Análise Combinatória PFC Princípio Fundamental da Contagem O princípio fundamental da contagem está diretamente ligado às situações que envolvem as possibilidades de um determinado evento ocorrer, por exemplo, os modos distintos que podemos organizar as pessoas em uma fila, o número de placas de automóveis que podemos formar com letras e algarismos, as possíveis combinações de um jogo de loteria, entre outras situações. O PFC é a estrutura básica da Análise Combinatória. Através dele desenvolvemos técnicas e métodos de contagem na resolução direta de problemas. Exemplos: 1) Mônica tem no seu armário 6 blusas, 4 saias e 3 pares de sapatos. De quantas formas diferentes ela pode se vestir usando uma blusa, uma saia e um par de sapatos? 2) Quantos são os números naturais de 2 algarismos que são múltiplos de 5? 3) Quantos são os números naturais de 2 algarismos distintos que são múltiplos de 5? Resposta:17 4) De quantas formas diferentes podemos dispor as letras da palavra DESAFIO, de modo que ela sempre termine com a letra F? Resposta:720 5) De quantas formas diferentes podemos dispor as letras da palavra DESAFIO, de modo que ela sempre termine com uma vogal? Resposta: 2880 6) De quantas formas diferentes podemos dispor as letras da palavra DESAFIO, de modo que ela sempre comece e termine com uma vogal? Resposta: 1440 pág. 1
7) Com os algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9 quantos números de 4 algarismos podemos formar? Resposta: 9000 8) Com os algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9 quantos números de 4 algarismos distintos podemos formar? Resposta: 4536 9) Com os algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9 quantos números ímpares de 4 algarismos distintos podemos formar? Resposta: 2240 10) Com os algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9 quantos números pares de 4 algarismos distintos podemos formar? Resposta: 2296 11) Considerando que o alfabeto tem 26 letras, quantas placas de carros com 3 letras e 4 algarismos podemos formar? Resposta: 26 3 10 4 = 175.760.000 12) Considerando que o alfabeto tem 26 letras, quantas placas de carros com 3 letras distintas e 4 algarismos distintos podemos formar? Resposta: 26252410987 = 78.624.000 13) Considerando que o alfabeto tem 26 letras, quantas placas de carros com 3 letras e 4 algarismos repetem ao menos uma letra ou um algarismo? Resposta: 97.136.000 14) Um estádio tem 6 portões. De quantas maneiras uma pessoa pode entrar por um dos 6 portões e sair necessariamente por um portão diferente do que entrou? Resposta: 30 15) Em uma prova de 20 questões, as repostas só podem ser Verdadeiro ou Falso. Quantos gabaritos diferentes podem ser feitos para esta prova? Resposta: 2 20 16) Uma prova de 20 questões é do tipo teste, cada uma com 5 alternativas, para assinalar penas uma resposta. Quantos gabaritos diferentes podem ser feitos para esta prova? Resposta: 5 20 pág. 2
Combinação Em uma empresa existem 10 funcionários. De quantas formas diferentes podemos marcar uma reunião chamando 3 dos 10 funcionários? NA COMBINAÇÃO, A ORDEM NÃO IMPORTA! O melhor caminho para resolver uma combinação é por sua fórmula. Arranjo Em uma competição há 10 atletas. A premiação para o 1º lugar é medalha de ouro, para o 2º lugar, prata, e 3º lugar, bronze. De quantos modos diferentes poderão ser entregues as premiações? NO ARRANJO, A ORDEM IMPORTA! Há duas formas de resolver o arranjo: n = número total de termos disponíveis. 1º) Pela fórmula: p = quantidade que será pega do total disponível. 2º) Pelo PFC : Interpretação de texto para a ideia de: e = vezes ou = mais Devido as exceções que aparecem nos problemas, em geral, a segunda forma é mais recomendada. pág. 3
Permutação Simples Ocorre quando apenas misturamos todos os elementos disponíveis. Podemos dizer que é um arranjo em que se pega todos os elementos. Permutação Com Repetição Ocorre quando apenas misturamos todos os elementos disponíveis, porém tem elementos repetidos, que trocados de ordem não faz diferença. NA PERMUTAÇÃO, A ORDEM IMPORTA! Exemplos: 1) Com a palavra DETERMINANTE: a) Quantos anagramas existem? Exemplos: 1) Em um super mercado, 5 pessoas com suas compras se dirigem a um único caixa disponível e vazio. De quantas formas poderá ser formada a fila para este caixa. ANAGRAMAS: É a mistura de todas as letras de uma palavra formando uma nova palavra, com ou sem sentido. b) Quantos anagramas começam pela letra T? Permutação Circular Ocorre quando a permutação é composta por um ou mais conjuntos em ordem cíclica. Ocorre quando temos grupos com n elementos distintos formando uma circunferência. 2) Com a palavra IMPORTA: a) Quantos anagramas existem? b) Quantos anagramas começam pela letra T? c) Quantos anagramas começam e terminam por vogal? d) Quantos anagramas tem as letras IMP juntas e nesta ordem? Exemplos: 1) Uma família é composta por seis pessoas: o pai, a mãe e quatro filhos. Num restaurante, essa família vai ocupar uma mesa redonda. Pede-se: a) Em quantas posições diferentes essas pessoas podem se sentar em torno da mesa? b) Em quantas posições diferentes essas pessoas podem se sentar em torno da mesa de modo que o pai e a mãe fiquem juntos? e) Quantos anagramas tem as letras IMP juntas? Neste caso, pai e mãe estão juntos, sendo assim, são tratados como um único elemento. pág. 4
1) Calcule: a) b) c) 6! 3! 2! 5! 9! 7! 4! 2! 0! 1! Exercícios Fatorial 2) Num hospital existem 3 portas de entrada que dão para um saguão no qual existem 4 elevadores. Um visitante que entra no hospital deve se dirigir ao 5º andar, utilizando-se de um dos elevadores. De quantas maneiras diferentes pode fazê-lo? 3) Quantos números de três algarismos distintos podem ser formados, usando os algarismos 1, 2, 3, 4 e 5? d) 5! 3! 2! Arranjo e Combinação 4) Calcule: 2) Resolva as equações: a) x! 15( x 1)! b) ( n 2)! 2( n 4)! c) ( n 2)! 720 a) b) A C 6,2 A4,3. A 4,1 9,2 C A C 6,3 5,4 A 8,1 5,2 C 11,1 ( x 1)! d) 56 ( x 1)! e) ( x 5)! ( x 4)! 35( x 3)! 5) Calcule o valor de x: a) A X, 3 4A X, 2 b) A A A 20 X, 2 X 1,2 X 2,2 Problemas de Contagem 1) Quatro carros disputam uma corrida. Quantas são as possibilidades de chegada para os três primeiros lugares? c) C C 0 X, 3 X,2 C X 2,8 d) 2 C X 1,8 e) A. C 0 X, 3 6 X, 2 pág. 5
6) Resolva os problemas: a) Quantas palavras de 3 letras, sem repetição, podemos formar com as 9 primeiras letras do nosso alfabeto? b) Quantos números pares de 4 algarismos, sem os repetir, podemos ser formados com os algarismos 0,1,2,3,4,5,6? c) Calcule quantos números múltiplos de três, de quatro algarismos distintos, podem ser formados com 2,3,4,6 e 9? d) Quantas comissões com 6 membros podemos formar com 10 alunos? e) Qual o número de diagonais de um hexágono? E de um decágono? f) Numa reunião de 7 rapazes e 6 moças, quantas comissões podemos formar: f1) Com 3 rapazes e 4 moças f2) Com 5 rapazes f3) Pelo menos 2 moças e exatamente 3 rapazes f4) Com 4 pessoas sendo que pelo menos 1 é rapaz g) Uma urna contém 12 bolas, das quais 7 são pretas e 5 brancas. De quantos modos podemos tirar 6 bolas da urna, das quais duas são brancas? h) De quantas maneiras podemos escolher 5 cartas de um baralho de 52 cartas se: h1) Forem de qualquer valor ou naipe h2) As 5 forem do mesmo naipe h3) Contém exatamente 3 ases h4) O naipe é de copa h5) As 5 forem rei e/ou damas e/ou valete h6) Não ter o naipe espadas i) Num plano temos 16 pontos; 9 deles pertencem a uma reta. Quantos triângulos podem formar com esses pontos? 7) Calcule: P 4,2 8) Calcule o valor de m: P m m P P m1 m 2 3 8 P8 P7 P4 9) Resolva os problemas: a) Quantos números de 5 algarismos distintos podem ser formados, usando os algarismos 1, 2, 3, 5, 8? b) Quantos são os anagramas da palavra CAFÉ? c) Quantos anagramas da palavra PROBLEMA: c1) Começam por R c2) Começam por P e terminam por M c3) Começam por vogal c4) Terminam por consoante c5) Têm as vogais juntas e em qualquer ordem d) Calcule de quantas maneiras podem ser dispostas 4 damas e 4 cavalheiros, numa fila, de forma que não fiquem juntos dois cavalheiros e duas damas. e) Quantos anagramas têm as palavras: e1) PATA e2) PARALELOGRAMO e3) GUANABARA f) Quantos anagramas da palavra MATEMÁTICA: f1) Começam por vogal f2) Terminam em consoante f3) Têm as letras CE juntas e nesta ordem pág. 6
RESPOSTAS: 181 1) a) 30 b) 72 c) 21 d) 30 2) a) {15} b) {4} c) {8} d) {7} e) {1} 3) 3 FATORIAL 6) a) 504 b) 420 c) 72 d) 210 e) hexágono = 9 decágono = 35 f1) 525 f2) 21 f3) 1995 f3) C C C C C ) 7,3 ( 6,2 6,3 6,4 6,5 C6, 6 f4) C7,1 C6,3 C7,2 C6,2 C7,3 C6,1 C7, 4 g) 350 h1) 2598960 C 52, 5 h2) 4 C 13,5 5148 h3) C 4512 C4,3 48, 2 C 13, 5 C 12, 5 C 39, 5 C16,3 - C9,3 h4) 1287 h5) 792 h6) 575757 i) 476 1) 24 2) 12 3) 60 4) 17 a ) 40 b) 1 5) a) 6 b) 4 c) 5 d) 14 e) 5 PROBLEMAS COM CONTAGEM ARRANJO E COMBINAÇÃO 7) -2916 8) 3 9) a) 120 b) 24 c1) 5040 c2) 720 c3) 15120 c4) 25200 c5) 4320 d) 1152 e1) 12 e2) 1.297.296.000 e3) 15120 f1) C P 1814400 5,1 9 f2)1814400 f3) P 9 362. 880 pág. 7
Tabela dos Fatoriais (0 a 40) 0! = 1 1! = 1 2! = 2 3! = 6 4! = 24 5! = 120 6! = 720 7! = 5040 8! = 40320 9! = 362880 10! = 3628800 11! = 39916800 12! = 479001600 13! = 6227020800 14! = 87178291200 15! = 1307674368000 16! = 20922789888000 17! = 355687428096000 18! = 6402373705728000 19! = 121645100408832000 20! = 2432902008176640000 21! = 51090942171709440000 22! = 1124000727777607680000 23! = 25852016738884976640000 24! = 620448401733239439360000 25! = 15511210043330985984000000 26! = 403291461126605635584000000 27! = 10888869450418352160768000000 28! = 304888344611713860501504000000 29! = 8841761993739701954543616000000 30! = 265252859812191058636308480000000 31! = 8222838654177922817725562880000000 32! = 263130836933693530167218012160000000 33! = 8683317618811886495518194401280000000 34! = 295232799039604140847618609643520000000 35! = 10333147966386144929666651337523200000000 36! = 371993326789901217467999448150835200000000 37! = 13763753091226345046315979581580902400000000 38! = 523022617466601111760007224100074291200000000 39! = 20397882081197443358640281739902897356800000000 40! = 815915283247897734345611269596115894272000000000 pág. 8
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