Universidade Federal do Rio de Janeiro Instituto de Física Física III 2014/2 Cap. 4 - Capacitância e Dielétricos Prof. Elvis Soares Nesse capítulo, estudaremos o conceito de capacitância, aplicações de capacitores e dielétricos. 1 Capacitância Considere dois condutores carregando cargas de mesmo sinal e sinais opostos, conforme figura. Essa combinação de dois condutores chamaremos de capacitores, sendo ambos condutores algumas vezes chamados de placas. E devido à presença das cargas, existe uma diferença de potencial V entre os condutores. O que determina quanta carga está nas placas de um capacitor para uma dada voltagem? Experimentos mostram que a quantidade de carga num capacitor é linearmente proporcional a diferença de potencial V entre os condutores. Sendo assim, a capacitância C de um condutor é definida como a razão entre a intensidade da carga num dos condutores pela intensidade da diferença de potencial entre eles C Note que por definição capacitância é sempre uma quantidade positiva. Além disso, capacitância é uma medida da capacidade de um capacitor em armazenar energia, pois cargas positivas e negativas estão separadas no sistema dos dois condutores de um capacitore, existindo uma energia potencial elétrica armazenada no sistema. V (1)
Prof. Elvis Soares 2 Cálculo de Capacitância A capacitância no sistema SI tem unidade de Coulomb por Volt, sendo definida como Farad F = C/V, em homenagem a Michael Faraday. Consideremos um capacitor formado por um par de placas paralelas, conforme figura. Com o capacitor inicialmente descarregado, conectamos cada placa a um terminal de uma bateria, que age como uma fonte de diferença de potencial, estabelecendo um campo elétrico nos fios condutores quando essa conexão é feita. Na placa conectada ao terminal negativo da bateria, o campo elétrico força os elétrons a irem em direção à placa, o processo continua até a placa, o fio, e o terminal da bateria terem o mesmo potencial, de modo que não há mais diferença de potencial entre o terminal e a placa, não há mais movimento de elétrons, e a placa agora está carregada negativamente. Um processo similar ocorre na outra placa do capacitor, com elétrons saindo da placa para o fio, deixando a placa carregada positivamente. Nessa configuração final, a diferença de potencial entre as placas do capacitor é a mesma daquela entre os terminais da bateria. 2 Cálculo de Capacitância Para determinar a capacitância de um certo tipo de capacitor vamos usar o seguinte procedimento: assumimos uma carga de magnitude numa das placas, em seguida calculamos a diferença de potencial V entre as placas usando as técnicas do capítulo anterior, e por último usamos a expressão C = / V para determinar a capacitância. Exemplo: Capacitância de uma Esfera Condutora Imaginemos um condutor esférico carregado. As linhas de campo ao redor desse condutor são exatamente as mesmas que no caso se existisse uma casca esférica condutora de raio infinito, concêntrica com a esfera e carregando uma carga de mesma intensidade e sinal oposto, de modo que essa casca esférica imaginária pode ser identificada como um segundo condutor de um capacitor de dois condutores. Assim, podemos calcular a capacitância para essa situação usando o fato que o potencial de uma esfera de raio R e carga é simplesmente k/r na sua superfície, e V = 0 na casca infinitamente grande, então C = V = k/r = R k = 4πɛ 0R, mostrando que a capacitância de uma esfera carregada é proporcional ao seu raio e independe da carga na esfera e da diferença de potencial. 2
2 Cálculo de Capacitância Prof. Elvis Soares A capacitância de uma par de condutores depende somente da geometria dos condutores. Vamos ilustrar isso com duas geometrias familiares: placas paralelas e cilindros concêntricos. Exemplo: Capacitor de Placas Paralelas Consideremos duas placas metálicas de áreas iguais A separadas por uma distância d, conforme figura. Uma placa está carregada com carga, a a outra carregada com carga. Se as placas estão muito próximas, de tal forma que a distância d é muito menor que as dimensões típicas das placas, podemos considerar o campo elétrico uniforme na região entre as placas com valor igual a E = σ ɛ 0 = ɛ 0 A, e nulo na região fora das placas. Então, como o campo entre as placas é uniforme, a diferença de potencial entre as placas é V = V V = Ed = d ɛ 0 A. Substituindo esse resultado na definição de capacitância, temos para o capacitor de placas paralelas portanto C = V = d/ɛ 0 A, C = ɛ 0A d Isto é, a capacitância de um capacitor de placas paralelas é proporcional à área das suas placas e inversamente proporcional à separação entre as placas. 3
Prof. Elvis Soares 2 Cálculo de Capacitância Exemplo: Capacitor Cilíndrico Consideremos um condutor cilíndrico sólido de raio a e carga é coaxial a uma casca cilíndrica de raio b > a e espessura desprezível, com carga. Se os condutores tiverem um comprimento L muito maior que os raio a e b, podemos desprezar os efeitos de borda sobre as linhas de campo, de tal forma que nesse caso o campo elétrico é perpendicular ao eixo dos cilindros e é confinado na região entre eles. A partir da Lei de Gauss, a intensidade do campo elétrico de um cilindro com distribuição de carga uniforme λ é. E(r) = 2kλ r = 2/L, r e como o campo elétrico da casca cilíndrica não influencia na região entre os cilindros, esse deve ser o campo na região entre a e b. Então, como conhecemos o campo entre os cilindros, a diferença de potencial entre eles é V = V V = a b a dr E(r)dr = 2k(/L) b r = 2k(/L) ln ( ) b. a Substituindo esse resultado na definição de capacitância, temos para o capacitor cilíndrico portanto C = V = 2k(/L) ln (b/a), C = L 2k ln (b/a) Isto é, a capacitância de um capacitor cilíndrico é proporcional ao comprimento dos cilindros. 4
3 Associação de Capacitores Prof. Elvis Soares 3 Associação de Capacitores Agora que sabemos determina a capacitância de capacitares devido a sua geometria, podemos associar diferentes capacitares para obter qualquer valor de capacitância que necessitarmos. Existem dois de associações: paralela e série. 3.1 Capacitores em Paralelo Numa associação em paralelo, conforme figura (b), as diferenças de potenciais em cada capacitor individualmente são as mesmas e iguais à diferença de potencial aplicada sobre a associação inteira. uando os capacitores são conectados ao circuito conforme a figura (a), elétrons são transferidos entre os fios e as placas, permitindo as placas da direita se carregarem negativamente e as placas da esquerda se carregarem positivamente. O fluxo de carga cessa quando a voltarem sobre os capacitares é igual àquela dos terminais da bateria, e os capacitares ficam carregados com cargas 1 e 2. A carga total armazenada nos capacitores é = 1 2 Isso é, a carga total nos capacitares conectados em paralelo é a soma das cargas de cada capacitor individual. E como a voltarem sobre cada capacitor é a mesma, as cargas que eles carregam são 1 = C 1 V e 2 = C 2 V Suponha que nós desejamos trocar esses capacitores por um capacitor equivalente tendo uma capacitância C eq, conforme figura (c). O efeito desse capacitor no circuito deve ser o mesmo 5
Prof. Elvis Soares 3 Associação de Capacitores do conjunto de capacitores anteriores, isto é, esse capacitor equivalente deve armazenar carga quando conectado a d.d.p de V. Assim, para o capacitor equivalente, = C eq V Substituindo essas três relações para as carga na equação da carga total do circuito, temos C eq V = C 1 V C 2 V C eq = C 1 C 2 Assim, a capacitância equivalente de uma associação de capacitores em paralelo é a soma algébrica das capacitâncias individuais e é maior que qualquer uma das capacitância individuais. C eq = C 1 C 2 C 3... (em paralelo) (2) 3.2 Capacitores em Série Numa associação em série, conforme figura (b), as cargas em cada capacitor individualmente são as mesmas e iguais à carga total armazenada na associação inteira. uando os capacitores são conectados ao circuito conforme a figura (a), elétrons são transferidos para fora da placa da esquerda de C 1 e vão para a placa da direita de C 2. Como essa carga negativa se acumula na placa direita de C 2, uma quantidade equivalente de carga negativa é forçada para fora da placa esquerda de C 2, e essa placa esquerda adquire então um excesso de carga positiva. A carga negativa deixando a placa esquerda de C 2 causa um acumulo de carga negativa na placa direita de C 1. Como resultado, todas as placas da direita ficam com carga negativa, e todas placas da esquerda com carga. Assim, as cargas nos capacitares conectados em série são as mesmas. Da figura (a), vemos que a voltagem V entre os terminais da bateria é dividida entre os capacitores 6 V = V 1 V 2
3 Associação de Capacitores Prof. Elvis Soares Em geral, a diferença de potencial entre qualquer número de capacitores conectados em série é a soma da diferença de potencial sobre cada capacitor individualmente. E como as cargas nos capacitores são as mesmas, as voltagens sobre eles são V 1 = C 1 V e V 2 = C 2 Suponha que nós desejamos trocar esses capacitores por um capacitor equivalente tendo uma capacitância C eq, conforme figura (c). O efeito desse capacitor no circuito deve ser o mesmo do conjunto de capacitores anteriores, isto é, esse capacitor equivalente deve armazenar carga na placa da direita e carga na placa da esquerda quando conectado a d.d.p de V dos terminais da bateria. Assim, para o capacitor equivalente, V = C eq Substituindo essas três relações para as voltagens na equação da voltarem total do circuito, temos C eq = C 1 C 2 1 C eq = 1 C 1 1 C 2 Assim, o inverso da capacitância equivalente de uma associação de capacitores em série é a soma algébrica dos inversos das capacitâncias individuais e é menor que qualquer uma das capacitância individuais. 1 C eq = 1 C 1 1 C 2 1 C 3... (em série) (3) Exemplo: Capacitância Equivalente Consideremos um circuito misto de capacitores, conforme figura (a). A capacitância equivalente entre a e b pode ser encontrada reduzindo as associações de capacitores como indicadas nas partes (b), (c), e (d), usando as regras de associações em série e paralelo. a b a b a b a b ( a) ( b) ( c) ( d) 7
Prof. Elvis Soares 4 Energia Armazenada num Capacitor 4 Energia Armazenada num Capacitor uanta energia deve estar armazenada num capacitor depois que o carregamos? Para calcular a energia armazenada num capacitor durante o processo de carregamento, imaginemos que a carga é transferida mecanicamente para o capacitor, de modo que o trabalho necessário para adicionar uma carga dq ao capacitor é dw = V dq e sabendo que a diferença de potencial entre as placas do capacitor depende da carga q nele, podemos escrever dw = q C dq, ilustrado na figura. O trabalho total para carregar o capacitor desde uma carga q = 0 até a carga final q = é W = 0 q C dq = 1 C 0 q dq = 2 2C O trabalho feito para carregar o capacitor aparece como energia potencial elétrica U armazenada no capacitor. Usando a capacitância, podemos expressar a energia potencial armazenada num capacitor carregado nas seguintes formas U = 2 2C = 1 2 V = 1 2 C( V )2 (4) Podemos considerar a energia armazenada num capacitor como sendo armazenada no campo elétrico criado entre as placas quando o capacitor está carregado, pois o campo elétrico é proporcional a carga no capacitor. Para um capacitor de placas paralelas, a diferença de potencial está relacionada com o campo elétrico através da relação V = Ed, e sua capacitância é C = ɛ 0 A/d. Substituindo essas expressões na energia, obtemos U = 1 ɛ 0 A 2 d (Ed)2 = 1 2 (ɛ 0Ad)E 2. Como o volume ocupado pelo campo elétrico é Ad, a energia por unidade de volume u E = U/(Ad), conhecida como densidade de energia, é u E = 1 2 ɛ 0E 2 (5) Assim, a densidade de energia em qualquer campo elétrico é proporcional ao quadrado da intensidade do campo elétrico num dado ponto. 8
5 Materiais Dielétricos Prof. Elvis Soares Para uma dada capacitância, a energia armazenada aumenta com o aumento da carga e com o aumento da diferença de potencial. Na prática, entretanto, há um limite de energia máxima (ou carga) que pode ser armazenada pois, em valores muito altos de voltarem, ocorre descarga elétrica entre as placas. 5 Materiais Dielétricos O que acontece quando colocamos um material isolante na presença de um campo elétrico externo? Consideremos um dielétrico feito de moléculas polares localizadas num campo elétrico entre as placas de um capacitor. Os dipolos (isso é, as moléculas polares que formam o dielétrico) estão orientados aleatoriamente na ausência de um campo elétrico, conforme figura (a). uando um campo elétrico externo E 0 devido ao capacitor é aplicado, conforme figura (b), um torque é exercido sobre os dipolos, fazendo com que eles se alinhem parcialmente com o campo. O grau de alinhamento das moléculas com o campo elétrico depende da temperatura e da intensidade do campo, em geral, aumentando com o aumento da temperatura e do campo. Se as moléculas do dielétrico são apolares, então o campo elétrico externo produz alguma separação de cargas e num momento de dipolo induzido. E 0 σind E 0 E ind σind Em ambos materiais feitos de moléculas polares ou apolares, os campos elétricos induzidos pelos momentos de dipolos elétricos alinhados tendem a cancelar parcialmente o campo externo original, figura (c). Assim, o campo elétrico resultante E T dentro do dielétrico é o campo original E 0 mais o campo induzido E ind ou E T = E 0 E ind, E T = E 0 E ind. Notamos que o campo resultante dentro do dielétrico aponta na direção do campo externo original. O campo induzido depende do campo externo original na forma E ind = αe 0, sendo α a polarizabilidade do meio material. Com isso, podemos escrever E T = (1 α)e 0, e denominando κ = 1/(1 α) a constante dielétrica do meio material, vemos que o campo resultante no interior do meio dielétrico é reduzido de um fator κ 9
Prof. Elvis Soares 6 Capacitores com Dielétricos E T = E 0 κ Além disso, o campo elétrico externo E 0 está relacionado com a densidade de carga σ nas placas através da relação E 0 = σ/ɛ 0, e o campo elétrico induzido E ind no dielétrico está relacionado com a densidade de carga induzida σ ind, conforme figura (b), através da relação E ind = σ ind /ɛ 0. Como E T = E 0 /κ = σ/(κɛ 0 ), temos (6) e σ κɛ 0 = σ ɛ 0 σ ind ɛ 0 ( ) κ 1 σ ind = σ (7) κ Como κ > 1, essas expressões mostram que o campo elétrico no interior do dielétrico E T é reduzido, e a densidade de carga induzida σ ind no dielétrico é menor que a densidade de cargas nas placas. Existe, porém, um valor crítico para o campo externo, consequentemente para a diferença de potencial, acima do qual o material deixa de ser isolante, e ocorre ou uma descarga elétrica ou uma ruptura do isolamento. Esse campo elétrico crítico fornece a rigidez dielétrica do material, que é medida pelo módulo do campo elétrico mínimo acima do qual se produz a ruptura do dielétrico. 6 Capacitores com Dielétricos uando inserimos um dielétrico no interior de um capacitor o que acontece com a capacitância? Aumenta, diminui, ou não se modifica? Podemos analisar o seguinte experimento para ilustrar o efeito de um dielétrico num capacitor. Consideremos um capacitor de placas paralelas isolado que sem o dielétrico, conforme figura (a), tem uma carga 0 e uma capacitância C 0, de modo que a diferença de potencial entre as 10
6 Capacitores com Dielétricos Prof. Elvis Soares placas é V 0. Se um dielétrico é agora inserido entre as placas, conforme figura (b), a diferença de potencial V entre as placas deve ser reduzida de um fator κ pois o campo no interior do capacitor foi reduzido do mesmo fator, desta forma V = V 0 κ. Como a carga 0 no capacitor não mudou, concluímos que a capacitância deve mudar para o valor então C = 0 V = 0 V 0 κ = κ 0 V 0 C = κc 0 (8) Isso é, a capacitância aumenta de um fato κ quando um dielétrico preenche completamente a região entre as placas. 11
Prof. Elvis Soares 6 Capacitores com Dielétricos Exemplo: Capacitor parcialmente preenchido Consideremos um capacitor de placas paralelas com separação entre as placas d, que tem capacitância C 0 na ausência de um dielétrico, preenchido com dielétrico de constante κ e espessura d/3 conforme figura (a). Podemos imaginar o conjunto da figura (a) como sendo dois capacitores C 1 e C 2 associados em série, conforme figura (b). Usando o resultado da capacitância de um capacitor de placas paralelas, temos C 1 = κɛ 0A d/3 e C 2 = ɛ 0A 2d/3. Como associamos em série, a capacitância equivalente é dada por então 1 C = 1 1 = d/3 C 1 C 2 κɛ 0 A 2d/3 ɛ 0 A C = ( 3κ ) ɛ0 A 2κ 1 d e como a capacitância sem o dielétrico é C 0 = ɛ 0 A/d, podemos escrever C = ( ) 3κ C 0 2κ 1 12