Hewlett-Packard Aulas 01 a 04 SISTEMAS LINEARES Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz
Sumário EQUAÇÕES LINEARES... 1... 1 Exemplo 2... 1... 1 SOLUÇÃO DE UMA EQUAÇÃO LINEAR... 1 Exemplo 3... 1... 1 SISTEMA DE EQUAÇÕES LINEARES... 1 SOLUÇÃO DE UM SISTEMA DE EQUAÇÕES LINEARES... 1... 2 2.1. Verifique se a terna ordenada 1; 2; 3 é uma solução do sistema linear x y z 6 2x y 3z 9.... 2 x 2y z 0... 2 Exemplo 2... 2 CLASSIFICAÇÃO DE UM SISTEMA... 2 REPRESENTAÇÃO MATRICIAL... 2... 2 ESCALONAMENTO... 3 SISTEMA ESCALONADO... 3 Diz-se que um sistema está escalonado se o número de coeficientes igual a zero antes do primeiro coeficiente não nulo aumenta a cada equação.... 3 EXERCÍCIO FUNDAMENTAL... 3 ESCALONAMENTO... 3 EXERCÍCIO FUNDAMENTAL... 4 CLASSIFICAÇÃO DE UM SISTEMA... 4 EXERCÍCIO FUNDAMENTAL... 4 PROBLEMAS... 4 PROBLEMAS... 4 REGRA DE CRAMER... 5 EXERCÍCIO FUNDAMENTAL... 5 DISCUSSÃO DE UM SISTEMA LINEAR... 5... 6 QUESTÕES EXTRAS... 6
AULA 01 EQUAÇÕES LINEARES Denomina-se equação linear nas incógnitas 𝑥1, 𝑥2,, 𝑥𝑛 toda equação do tipo 𝑎1 𝑥1 + 𝑎2 𝑥2 + + 𝑎𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏, em que 𝑎1, 𝑎2,, 𝑎𝑛 são denominados coeficientes reais e 𝑏 ℝ é denominado termo independente. As equações a seguir são exemplos de equações lineares SOLUÇÃO DE UMA EQUAÇÃO LINEAR Uma sequência de números reais (𝛼1, 𝛼2,, 𝛼𝑛 ) é uma solução da equação linear 𝑎1 𝑥1 + 𝑎2 𝑥2 + + 𝑎𝑛 𝑥𝑛 = 𝑏, se, e somente se, 𝑎1 𝛼1 + 𝑎2 𝛼2 + + 𝑎𝑛 𝛼𝑛 = 𝑏,. Exemplo 3 A terna ordenada 2, 1, 1 é solução da equação 2 x y 3z 8, pois 2 2 1 3 1 8. 2x1 5x2 7x3 3 1.2. Dada a equação linear 2 x 3y 5 verifique se os x1 x2 x3 x4 1 pares ordenados a seguir são soluções x 2y 3z 4w 2 a) 1, 1 p q r 0 b) 4, 1 EQUAÇÃO HOMOGÊNEA Obs.1: Quando o termo independente de equação é nulo, a mesma é dita equação homogênea. Exemplo 2 As equações a seguir não são exemplos de equações lineares x1 5x2 x3 1 x12 x2 1 2 x 3z 2 y Obs.2: Usualmente denotamos as variáveis com as letras 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑤,. 1.1. Verifique em cada caso a seguir se a equação apresentada é linear. a) 2 x 5y 3z 2 b) 3x 2y z c) x 3 y 2 d) m2 5n 0 2 3 e) z w 0 x y c) 2, 1 1.3. Determine 𝑚 ℝ de forma que o par ordenando m 1, m seja solução da equação 3x 2y 5. 1.4. Determine uma solução geral da equação 𝑥 + 3𝑦 = 2 em função de um parâmetro real 𝛼 ℝ. 1.5. Se um estudante tem em seu cofre muitas moedas de 10 e de 25 centavos, de quantas maneiras distintas pode pagar seu lanche que custou R$ 2,65 com essas moedas. TAREFA 1 Página 6, exercícios propostos 1 e 2. AULA 02 SISTEMA DE EQUAÇÕES LINEARES Um conjunto de duas ou mais equações lineares é denominado sistema de equações lineares. a11 x1 a12 x2 a13 x3 a1n xn b1 a x a x a x a x b 2n n 2 21 1 22 2 23 3 S a31 x1 a32 x2 a33 x3 a3n x n b3 am1 x1 am2 x2 am3 x3 amn xn bm SOLUÇÃO DE UM SISTEMA DE EQUAÇÕES LINEARES Uma sequência de números reais (𝛼1, 𝛼2,, 𝛼𝑛 ) é uma solução de um sistema linear se, e somente se, Página 1
ela é uma solução de todas as equações desse sistema. 2.1. Verifique se a terna ordenada 1; 2; 3 é uma x y z 6 solução do sistema linear 2 x y 3z 9. x 2y z 0 𝑥 𝑦 = 3 O sistema de equações { não 𝑥 𝑦 = 5 admite solução real, visto que é impossível que a subtração de dois números reais seja igual a 3 e 5 ao mesmo tempo. Exemplo 2 𝑥 𝑦 =0 O sistema de equações { admite 2𝑥 2𝑦 = 0 infinitas soluções, como por exemplo (0; 0) e (1; 1). Obs.3: Quando os termos independentes 𝑏1, 𝑏2,, 𝑏𝑛 forem iguais a zero, o sistema linear denomina-se sistema linear homogêneo. Todo sistema homogêneo admite a solução trivial (0; 0; ; 0). Obs.4: Não necessariamente um sistema admite solução única. Ele pode não ter solução ou ter infinitas soluções. CLASSIFICAÇÃO DE UM SISTEMA Podemos classificar um sistema, quanto as suas soluções, dentre as seguintes categorias. Sistema Possível e Determinado (SPD): uma única solução. Sistema Possível e Indeterminado (SPI): terá infinitas soluções. Sistema Impossível (SI): não tem solução, ou seja, seu conjunto solução será vazio. REPRESENTAÇÃO MATRICIAL No sistema 𝑆 a seguir temos associado a ele a matriz dos coeficientes 𝐴, das incógnitas 𝑋 e dos termos independentes 𝐵. a11 x1 a12 x2 a13 x3 a1n xn b1 a x a x a x a x b 2n n 2 21 1 22 2 23 3 S a31 x1 a32 x2 a33 x3 a3n x n b3 am1 x1 am2 x2 am3 x3 amn xn bm a11 a21 A a31 a m1 a12 a22 a32 a13 a23 a33 am2 am3 a1n x1 b1 a2 n x2 b2 a3n, X x3 e B b3 x b amn n m Observe que assim o sistema S pode ser escrito como uma operação entre essas matrizes, ou seja, A X B. a11 a21 a31 a m1 a12 a22 a32 a13 a23 a33 am2 am3 a1n x1 b1 a2 n x2 b2 a3n x3 b3 amn xn bm 2 x 3y 5z 3 Considere o sistema linear x 2y z 2, y 2z 1 podemos escrevê-lo da forma a seguir. 2 3 5 x 3 1 2 1 y 2 0 1 2 z 1 MATRIZ DOS COEFICIENTES MATRIZ DOS TERMOS INDEPENDENTES MATRIZ DAS INCÓGNITAS A cada sistema linear podemos associar três matrizes que resumem o sistema: a matriz dos coeficientes, a matriz das incógnitas e a matriz dos termos independentes. 2.2. Reescreva os sistemas lineares a seguir utilizando suas matrizes associadas. x 3y z 5 a) 7 x 5y z 6 x y z 0 Página 2
2 x y 2z 1 z 3 b) x 3y z 2 x z 1 c) 7 x y 2 y z 1 TAREFA 2 Página 6, exercícios propostos 3 e 4. AULA 03 ESCALONAMENTO SISTEMA ESCALONADO Diz-se que um sistema está escalonado se o número de coeficientes igual a zero antes do primeiro coeficiente não nulo aumenta a cada equação. Os sistemas lineares a seguir são exemplos de sistemas lineares escalonados 2 x 3y 5z 3 2y z 2, 2z 1 x y 5z w 0 2y z 3w 1 2z w 5 2x y z w 3 z w 2 EXERCÍCIO FUNDAMENTAL 2 x 3y 5z 3 2y z 2. 3.1. Resolva, em ℝ, o sistema 2z 1 ESCALONAMENTO Escalonar um sistema é fazer combinações lineares com suas equações até obter um sistema equivalente na forma escalonada. PASSO A PASSO 1. Utilizando a primeira equação faça combinações lineares com as equações seguintes de modo a zerar o coeficiente da primeira incógnita de todas elas. 2. Do novo sistema utilizando a segunda equação faça combinação linear com as demais equações de modo a zerar o coeficiente da segunda incógnita de todas elas. 3. Repita o processo para cada equação até obter um sistema escalonado. Exemplo 2 Vamos escalonar o sistema linear a seguir (I) x 3y 2z 1 (II) 2x y z 3 3x y 2z 5 (III) 1º: Com a 1ª equação vamos zerar os coeficientes de x nas equações seguintes. Para isso faça o seguinte: 2 x 6y 4 z 2 2 (I) (II) 2 x y z 3 5y 3z 1 3x 9y 6 z 3 3 (I) (III) 3x y 2z 5 8y 8 z 8 y z 1 x 3y 2z 1 (I) 5y 3z 1 (II) y z 1 (III) 2º: Com a 2ª equação vamos zerar os coeficientes de y na equação seguinte. Para isso faça o seguinte: 5y 3z 1 (II) 5 (III) 5y 5z 5 2z 6 z 3 Obtendo assim o sistema na forma escalonada. x 3y 2z 1 5y 3z 1 z 3 Uma vez na forma escalonada fica fácil determinar a solução do sistema, basta substituir as soluções obtidas nas equações da última para a primeira. Assim, no exemplo acima podemos determinar a seguinte solução. Página 3
z 3 5y 3 3 1 y 2 z 3 e y=2 x 3 2 2 3 1 x 1 S 1, 2, 3 EXERCÍCIO FUNDAMENTAL 3.2. Escalone e resolva os sistemas lineares a seguir x 2y z 1 a) 3x 5y 2z 4 x 3y 3z 1 x 2y z 1 b) 3x y 2z 1 x 3y z 1 CLASSIFICAÇÃO DE UM SISTEMA Podemos classificar o sistema entre SPD, SPI e SI no meio de escalonamento: Sistema Possível e Determinado pode ser identificado quando for obtido uma solução única ao fim do processo. Sistema Possível e Indeterminado pode ser identificado quando uma vez escrito na forma escalonada o número de equações for menor que o número de incógnitas. Sistema Impossível pode ser identificado quando no processo de escalonamento do sistema acontecer algum absurdo (do tipo 0 = 2). Resolução de um sistema possível indeterminado x y z 5 Considere o sistema, observe que ele y 2z 1 está na sua forma escalonada e que o número de equações é menor que o número de incógnitas, assim esse sistema é possível e indeterminado (SPI). Observe que para cada valor de 𝑧 que escolhermos encontraremos um único valor de 𝑥 e 𝑦 que resolve o sistema. Assim vamos escolher um valor arbitrário para 𝑧, por exemplo, tomemos z, com 𝛼 ℝ. Assim, o sistema ficará da seguinte forma: x y 5 y 1 2 Se substituirmos o valor de y na primeira equação teremos o seguinte Obs.1: As incógnitas que não iniciam nenhumas das equações de um sistema linear escalonado são chamadas de variáveis independentes e são a elas que atribuímos valores para resolver um sistema possível indeterminado. EXERCÍCIO FUNDAMENTAL 3.3. Escalone, classifique e resolva os sistemas lineares a seguir. x 2y z 1 a) x y 2z 1 2 x 3y z 4 x 2y z 1 b) x y 2z 1 2 x 7y 5z 2 c) 2 x 3y z 2 x 2 y 3 z 1 3x 8y z 5 d) TAREFA 3 Página 6, exercícios propostos 5 a 10. AULA 04 PROBLEMAS PROBLEMAS 4.1. Uma loja de doces vende brigadeiro, bombom e trufa. Sabe-se que um brigadeiro custa 𝑅$2,00, um bombom 𝑅$4,00 e uma trufa 𝑅$3,00. Um cliente comprou 100 doces, gastando 𝑅$280 reais. Se o total de brigadeiros comprados é igual a soma das quantidades dos outros dois doces. então o número de trufas compradas foi A) 10 B) 15 C) 20 D) 25 E)30 4.2. De quantas maneiras pode-se comprar selos de 3 reais e de 5 reais de modo que se gaste 50 reais. 4.3. Uma pessoa comprou cavalos e bois. Foram pagos 31 escudos por cavalo e 20 por boi e sabe-se que todos os bois custaram 7 escudos a mais do que todos os cavalos. Determine quantos cavalos e quantos bois foram comprados, sabendo que o número de bois está entre 30 e 45. x 1 2 5 x 4 Temos assim os valores de x, y e z em função de um valor escolhido. Podemos então escrever a solução geral desse sistema na forma. Prof. Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz 𝑆 = {(4 𝛼, 1 + 2𝛼, 𝛼); 𝛼 ℝ} Página 4
AULA 05 REGRA DE CRAMER A regra de Cramer utiliza o calculo de determinantes para determinar as incógnitas de um sistema linear. PASSO A PASSO 1. Calcule o determinante, D, da matriz dos coeficientes do sistema. 2. Na matriz dos coeficientes, substitua a coluna dos coeficientes de x pela coluna dos termos independentes e calcule o seu determinante, Dx. Dx. D 4. Repita o processo para cada incógnita do sistema. 3. O valor da incógnita 𝒙 será dado por x Vamos determinar a solução x, y, z do sistema x 3y 2z 1 2x y z 3 3x y 2z 5 1º: Vamos calcular o determinante, D, da matriz dos coeficientes. 1 3 2 D 2 1 1 2 9 4 6 12 1 16 3 1 2 2º: Calcule Dx, Dy, Dz 1 3 2 Dx 3 1 1 2 15 6 10 18 1 16 5 1 2 1 1 2 Dy 2 3 1 6 3 20 18 4 5 32 3 5 2 1 3 1 Dz 2 1 3 5 27 2 3 30 3 48 3 1 5 2º: Calcule x, y, z x Dx 16 1 D 16 Dy 32 2 D 16 D 48 z z 3 D 16 y Portanto, S 1, 2, 3 Obs.1: Só será possível resolver um sistema utilizando a regra de Cramer se o determinante da matriz dos coeficientes for diferente de zero, e nesse caso o sistema será possível e determinado. EXERCÍCIO FUNDAMENTAL 5.1. Resolva, utilizando a regra de Cramer, os sistemas lineares a seguir. a) 2 x 3y 1 3 x 4 y 1 2 x 3y z 9 b) 3x 4 y 3z 5 5x 10 y 5z 5 5.2. Uma distribuidora de lanches vende suco, mistoquente e hambúrguer. Sabe-se que o preço de um suco é R$ 1,00, um misto quente R$ 2,00 e um hambúrguer é R$ 4,00. Uma lanchonete comprou 60 desses três produtos da distribuidora, gastando R$ 170,00. Se o total de sucos comprados é igual à diferença entre a quantidade de hambúrgueres e mistos-quentes comprados, nessa ordem, então o número de mistos-quentes comprados foi igual a A) 5. B) 10. C)20. D)30. E)50. AULA 06 DISCUSSÃO DE UM SISTEMA LINEAR Discutir um sistema em função de um parâmetro real k é dizer para quais valores de k o sistema será possível e determinado (SPD), possível e indeterminado (SPI) e impossível (SI). PASSO A PASSO 1. Calcule o determinante, D, da matriz dos coeficientes do sistema. 2. Quando D 0 temos que o sistema será possível e determinado. 3. Quando D 0 temos que o sistema será possível e indeterminado ou impossível. Página 5
4. Escalone o sistema após substituir o valor do parâmetro que zera o determinante para decidir se o sistema será SPI ou SI. Vamos discutir o sistema a seguir em função do parâmetro real k x 3y 1 2 x ky 3 1º: Vamos calcular o determinante, D, da matriz dos coeficientes. D x 2y 3 x my n 6.3. Determine o valor do parâmetro real k de modo que o sistema linear homogêneo a seguir admita apenas a solução trivial. 2 x 3y z 0 x y 2z 0 x y kz 0 TAREFA 4 Do capítulo "Sistemas lineares discussão" fazer os exercícios propostos 1 a 6, 10 e 12. 1 3 k 6 2 k EXTRA 2º: Verifique para quais valores de k temos D 0. D 0 k 6 0 k 6 Ou seja, k 6 SPD k 6 SPI ou SI 3º: Para o caso k 6 decida se o sistema é SPI ou SI, utilizando o escalonamento. x 3y 1 2 I II 2 x 6 y 3 x 3y 1 0 1 Logo o sistema é impossível para k 6. k 6 SPD Assim, k 6 SI 6.1. Discuta, em função do parâmetro real k, os sistemas lineares a seguir. a) 2 x 3y 1 3 x ky 2 x 3y z 2 b) x 4 y 3z 3 2 x 13y kz 3 x y z 4 2z 3 c) x ky 2 x 3y 1 k z 1 6.2. Discuta, em função dos parâmetros reais m e n, o sistema linear a seguir. QUESTÕES EXTRAS 1. Em um restaurante, há 16 mesas e 62 fregueses, todos sentados. Algumas mesas estão ocupadas por cinco fregueses e as demais, por dois fregueses. Sendo x o número de mesas ocupadas por cinco fregueses e y o número de mesas ocupadas por dois fregueses determine x y. 2. Classifique e determine o conjunto-solução, emℝ x 2y 4 ℝ, do sistema 3x, nas incógnitas x e y. 2 3y 6 3. João entrou em uma lanchonete e pediu três hambúrgueres, um suco de laranja e duas cocadas, gastando R$ 21,50. Na mesa ao lado, algumas pessoas pediram oito hambúrgueres, três sucos de laranja e cinco cocadas, gastando R$ 57,00. Sabendo que o preço de um hambúrguer, mais o de um suco de laranja, mais o de uma cocada totaliza R$ 10,00, determine o preço, em reais, de um hambúrguer. 4. Determine o valor real de m para que o sistema x y z 0 2 x y 3z 0 x my 4 z 0 seja SPI. 5. Em um processo seletivo contendo 40 questões objetivas, para cada resposta correta ganha-se 4 pontos e, para cada resposta errada, perde-se 2 Página 6
pontos. Se um candidato respondeu todas as questões e obteve 100 pontos, quantas questões ele acertou? 6. Classifique e determine o conjunto-solução do x + y 2z = 5 sistema { y z = 6. 2x + 2y 4z = 10 7. Julgue os itens Na confecção de ursos, coelhos e elefantes de pelúcia, uma indústria utiliza três tipos de materiais: tecido, espuma e plástico. A quantidade de material usado na fabricação de cada um desses brinquedos está indicada na tabela acima, onde p R +. Nessa indústria, um funcionário, para produzir x ursos, y coelhos e z elefantes de pelúcia em um dia de trabalho, utiliza 3 kg de plástico; 4,4 kg de tecido e 5,2 kg de espuma. 1. Se p = 100, então o referido funcionário produziu mais ursos do que elefantes em um dia de trabalho. 2. Para qualquer valor de p R + o número de ursos, elefantes e coelhos produzidos pelo referido funcionário será único e possível de determinar. GABARITO 3.1. S = {( 17 8 ; 5 4 ; 1 2 )} 3.2. a) S = {(4; 2; 1)} b) S = { 1; 0; 2} 3.3. a) SPD S = {(0; 1; 1)}b) SPI S = {(1 α; α; α)} c) SI S = 4.1. C 4.2. 4 maneiras distintas 4.3. S = {(7; 5); (4; 10); (1; 15)} 4.4. Bois: 36 cavalos: 23 5.1. a) S = {( 7; 5)} b) S = {(3; 1; 0)} 5.2. C 6.1. a) { k = 9 2 SI k 9 2 SPD k = 6 SPI b) { k 6 SPD k = 2 SPI c) { k 2 SPD m 2 SPD 6.2. { m = 2 e n = 3 SPI m = 2 e n 3 SI 6.3 k 0 QUESTÕES EXTRAS 1. 60 2. SPI S = (4 + 2α; α)} ; α R 3. R$ 4 4. m = 2 5. 30 6. SPI S = {( 1 + α; 6 + α; α)}α R 7. EC 1.1. a) linear b) linear c) linear d) não linear e) não linear 1.2. a) é solução b) é solução c) não é solução 1.3. m = 2 5 1.4. S = {(2 3α; α); α R 2.1. É solução 1 3 1 x 5 2.2. a) ( 7 5 1 ) ( y) = ( 6) 1 1 1 z 0 2 1 2 x 1 b) ( 1 0 1 ) ( y) = ( 3) 0 3 1 z 2 1 0 1 x 1 c) ( 7 1 0 ) ( y) = ( 2 ) 0 1 1 z 1 Página 7