PROCESSOS DE CARGA E DESCARGA DE UNIDADES FLUTUANTES DE PRODUÇÃO ARMAZENAMENTO E TRANSFERÊNCIA DE PETRÓLEO. Ricardo Saldanha da Gama da Câmara e Souza

PROCESSOS DE CARGA E DESCARGA DE UNIDADES FLUTUANTES DE PRODUÇÃO ARMAZENAMENTO E TRANSFERÊNCIA DE PETRÓLEO Ricardo Sadanha da Gama da Câmara e Souza TESE SUBMETIDA AO CORPO DOCENTE DA COORDENAÇÃO DOS PROGRAMAS DE PÓS-GRADUAÇÃO DE ENGENHARIA DA UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO COMO PARTE DOS REQUISITOS NECESSÁRIOS PARA A OBTENÇÃO DO GRAU DE MESTRE EM CIÊNCIAS EM ENGENHARIA OCEÂNICA. Aprovada por: Prof. Peter Kaeff, Dr. Ing Prof. Antonio Caros Fernandes, Ph. D. Dr. Mauro Jacinto Pastor Braga, D.Sc. Dr. Pauo Mauricio Videiro, Ph. D. RIO DE JANEIRO, RJ BRASIL ABRIL DE 2005

SOUZA, RICARDO SALDANHA DA GAMA DA CÂMARA E Processos de Carga e Descarga de Unidades Futuantes de Produção Armazenamento e Transferência de Petróeo [Rio de Janeiro] 2005 VII, 83p. 29,7 cm (COPPE/UFRJ, M.Sc., Engenharia Oceânica, 2005) Tese Universidade Federa do Rio de Janeiro, COPPE.Processos de Carga e Descarga 2.Programação Dinâmica I. COPPE/UFRJ II. Títuo (série). ii

A meus avós Bernardo e Eunice. A minha mãe Tereza. A minha esposa Renata. iii

AGRADECIMENTOS Ao Professor Peter Kaeff pea orientação. À empresa Det Norske Veritas peo incentivo e apoio. iv

Resumo da Tese apresentada à COPPE/UFRJ como parte dos requisitos necessários para a obtenção do grau de Mestre em Ciências (M.Sc.) PROCESSOS DE CARGA E DESCARGA DE UNIDADES FLUTUANTES DE PRODUÇÃO ARMAZENAMENTO E TRANSFERÊNCIA DE PETRÓLEO Ricardo Sadanha da Gama da Câmara e Souza Abri/2005 Orientador: Peter Kaeff Programa: Engenharia Oceânica Neste trabaho propõe-se uma metodoogia para otimização dos processos de carga e descarga em unidades FPSO apoiada em técnicas de programação dinâmica e agoritmos de busca em redes direcionadas. Iniciamente promove-se uma revisão da conceituação de sistemas e processos no domínio da programação dinâmica. Processos cassificados como determinísticos são expostos de forma pormenorizada. Em seguida são revistas as técnicas de decisão em processos muti-estágios. Após uma anáise da técnica das redes direcionadas e dos agoritmos de soução pertinentes apresenta-se uma cassificação dos processos de carga e descarga de unidades FPSO. Finamente, as potenciaidades da metodoogia proposta são avaiadas frente à tarefa de otimização do processo de descarregamento de uma unidade FPSO típica. v

Abstract of Thesis presented to COPPE/UFRJ as a partia fufiment of the requirements for the degree of Master of Science (M.Sc.) LOADING AND UNLOADING PROCESSES OF FLOATING PRODUCTION STORAGE AND OFFLOADING UNITS. Ricardo Sadanha da Gama da Câmara e Souza Apri/2005 Advisor: Peter Kaeff Department: Ocean Engineering This research work provides a methodoogy to optimize the oading and unoading procedures of FPSO units based on Dynamic Programming techniques and on directed network search agorithms. Initiay the concepts of system and process are defined from the perspective of Dynamic Programming. This first discussion is mainy focused on deterministic processes. Further, an expanation of how decisions are made during a muti stage process takes pace. Directed networks and research agorithms are then presented and the oading and unoading processes of an FPSO unit is defined according to the concepts and terminoogy of Dynamic Programming. Finay the potentia of the proposed methodoogy is assessed by optimizing the unoading process of a typica FPSO unit. vi

ÍNDICE Introdução... CAPÍTULO - Processos Muti-Estágios... 3. - Sistemas e Processos... 3.2 - Independência do Passado... 4.3 - Processos com Restrições... 5 CAPÍTULO 2 - Processos de Decisão Muti Estágios... 7 2. - Processo de Decisão Muti-Estágios... 7 2.2 - Poítica... 8 2.3 - Princípio da Optimaidade... 8 2.4 - Estados... 0 2.5 - Estágios... 2.6 - Cadeia de Eventos... 2.7 - Equação Funciona... 2 CAPÍTULO 3 - Redes Direcionadas... 4 3. - Redes Direcionadas... 4 3.2 - Representação Gráfica de Redes Direcionadas... 5 3.2. - Vizinhança de Nós... 5 3.2.2 - Sucessor e Antecessor de um Nó.... 6 3.2.3 - Caminho... 6 3.2.4 - Comprimento de um Caminho... 6 3.2.5 - Contração de Nós... 7 3.3 - Probema do Menor Caminho (Shortest-Route Probem)... 8 3.4 - Agoritmos de Soução... 20 3.4. - Programação Dinâmica... 2 3.4.2 - Programação Dinâmica apicada ao Probema do Menor Caminho... 23 3.4.3 - Agoritmo de Dijkstra... 26 3.4.4 - Agoritmo de Ford Beman... 29 3.4.5 - Agoritmo de Foyd... 32 3.4.6 - Agoritmo de Dantzig... 33 3.5 - Escoha do Agoritmo de Soução... 33 3.6 - Probemas de vaor-inicia e vaor-fina... 34 3.7 - Refinamento... 35 vii

CAPÍTULO 4 - APLICAÇÃO... 36 4. - Cassificação dos Processos de Carga e Descarga... 36 4.2 - Procedimento Simpificado de Carga e Descarga... 36 4.3 - Processo de Descarregamento Iustrativo... 38 4.3. - Processo de Descarregamento Simuação # 0... 39 4.3.2 - Processo de Descarregamento Simuação # 02... 43 4.3.3 - Processo de Descarregamento Simuação # 03... 6 CAPÍTULO 5 - Concusões... 78 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS... 8 ANEXO I - Matróide... 83 viii

Introdução Unidades futuantes de produção, armazenamento e transferência de petróeo (ou FPSO, para Foating Production Storage and Offoading) têm aumentado sua importância como eemento de interconexão do sistema de extração de petróeo submarino em função da crescente profundidade e distância dos campos de exporação que encarecem a opção por dutos submarinos como eemento de transferência da produção sediada em unidades sem capacidade de armazenamento. Unidades FPSO possuem geometria de casco e arranjo estrutura semehantes aos de petroeiros convencionais, pois a maioria é constituída de petroeiros convertidos. Entretanto, os procedimentos de carga e descarga deste tipo de unidade diferem substanciamente daquees de navios convencionais. Enquanto as operações de carga e descarga em navios convencionais acontecem em águas abrigadas, em unidades FPSO estas operações acontecem ao argo; a carga se dá no ritmo definido pea vazão dos poços aos quais a unidade serve e a descarga depende não apenas da capacidade de bombeamento da unidade, mas também da disponibiidade, bem como do ritmo de operação, das embarcações de aívio. Com isso, os esforços ongitudinais devidos ao carregamento da unidade não poderão, em nenhum instante da operação de carga ou descarga, utrapassar os vaores máximos estabeecidos pea Sociedade Cassificadora para operação em mar aberto (os quais correspondem a aproximadamente dois terços dos máximos permitidos em águas abrigadas). Desta forma e ao contrário do que ocorre com navios convencionais, a margem de manobra no preenchimento/esgotamento dos tanques fica reduzida. De modo semehante e, novamente, ao contrário de navios em águas abrigadas, em cada instante da operação de carga ou descarga, também deverão ser satisfeitos todos os critérios de estabiidade estática conforme estabeecidos pea IMO []. Aém disso, as aceerações, que dependem da distribuição de massa da unidade devem respeitar vaores imites [4] a fim de não coocar em risco a atividade de produção de petróeo, os tripuantes e equipamentos. Aém disso, a embarcação ainda está sujeita a restrição de trim e banda em função de imitações na incinação do sistema de vasos separadores de petróeo e gás. A incinação excessiva pode ativar os sensores de níve ato ou baixo dos vasos separadores e ocasionar a parada da panta de processo.

Fica desta forma evidenciado que, para unidades FPSO, não se pode mais, como no caso de navios convencionais, raciocinar em termos de condições de carregamento estáticas, que se modificam muito pouco ao ongo de uma viagem. É necessário raciocinar-se em termos de processos de carregamento, isto é, em termos de seqüências de condições de carregamento que variam continuamente ao ongo do tempo. Em sua forma mais gera, um processo de carregamento é definido pea descrição tempora de todos os parâmetros reevantes à operação de carga ou descarga, incuídos os parâmetros operacionais da embarcação, os parâmetros do sistema de transferência do petróeo e os parâmetros da condição de futuação da unidade que afetam o sistema de processamento de petróeo. Para se estabeecer os possíveis processos de carregamento de uma unidade FPSO é necessário montar-se uma seqüência de decisões de preenchimento e/ou esgotamento dos tanques da unidade entre uma condição de preenchimento inicia e uma condição de preenchimento fina. Dentre os inúmeros caminhos possíveis apenas aguns serão viáveis caso respeitem os imites operacionais dos parâmetros reevantes, e apenas um será o ótimo que se busca. Para identificar os caminhos possíveis e viáveis é necessário acompanhar o processo ao ongo do tempo e verificar se os imites operacionais dos parâmetros reevantes foram ou não utrapassados. Para descobrir qua o caminho ótimo é necessário avaiar-se todos os caminhos viáveis à uz de uma função ou critério de otimização. No presente estudo propõe-se uma metodoogia para controe dos processos de carga e descarga em unidades FPSO apoiada em técnicas de programação dinâmica e agoritmos de busca em redes direcionadas. Iniciamente promove-se uma revisão da conceituação de sistemas e processos no domínio da programação dinâmica. Processos cassificados como determinísticos são expostos de forma pormenorizada. Em seguida são revistas as técnicas de decisão em processos muti-estágios. Após uma anáise da técnica das redes direcionadas e dos agoritmos de soução pertinentes, apresenta-se uma cassificação dos processos de carga e descarga de unidades FPSO. Finamente, as potenciaidades da metodoogia proposta são avaiadas frente à tarefa de otimização do processo de descarregamento de uma unidade FPSO típica. 2

CAPÍTULO - Processos Muti-Estágios De início, serão apresentadas agumas das idéias fundamentais da teoria matemática de processos e sistemas visando a sua utiização no controe de processos por meio da técnica denominada Programação Dinâmica conforme proposta por Beman [0].. - Sistemas e Processos No que se segue e de acordo com as definições propostas por Beman [0] um sistema será entendido como um vetor de estado x(t) associado a uma regra para determinação de seus componentes em quaquer instante t. (.) Cada componente de x(t) representa uma propriedade diferente do sistema, sendo M a dimensão do mesmo. Para simpificar a grafia, a notação x(t) é substituída pea notação p que designa um ponto de um conjunto ou espaço M-dimensiona R. Considere agora uma função T(p) que transforma um ponto p de R num ponto p = T(p) também pertencente a R de ta forma que, se p representa o estado inicia de um sistema, p = T(p) representará o estado após um determinado intervao de tempo e, genericamente, o conjunto de vetores x( t) x2( t) x( t) =...... xm ( t) [ p p, p,, ], 2 p N (.2) onde p 0 = p, p k+ = T(p k ), k = 0,, 2,..., N-, representará a história no tempo do sistema, observado em instantes discretos k = 0,, 2,..., N-. O conjunto de vetores representado em (.2) é denominado, segundo Beman [0], de processo muti-estágios e denotado por [p, T(p)] ou de forma simpificada, por [p, T]. Mais especificamente, trata-se de um processo muti-estágios do tipo discreto. 3

Vae registrar que, embora os processos de carregamento de unidades FPSO sejam caramente contínuos, conforme já foi mencionado na Introdução, adotou-se a formuação discreta em decorrência da maior disponibiidade de agoritmos para esta modaidade de encaminhamento. A adoção de um processo discreto para se modear um fenômeno contínuo envove naturamente questões conceituais de maior ou menor envergadura. Entretanto, para efeito do presente estudo será assumido que ta substituição seja possíve e que os estágios do processo discreto correspondam a instantes do fenômeno contínuo que se desenroa na unidade FPSO. Não se buscará provar que os resutados obtidos sejam idênticos àquees que seriam obtidos caso a formuação correspondesse à de um fenômeno contínuo, sendo até bastante prováve que não o sejam, se assumirá no entanto que sejam suficientemente próximos para efeitos práticos. A questão da existência das souções obtidas (isto é, se a soução obtida a partir do processo discreto também possa ser emuada de forma contínua) será confirmada para cada uma das souções obtidas refinando-se os intervaos de carregamento originamente adotados para a definição dos estágios..2 - Independência do Passado Ao se estabeecer o conceito de processo assumiu-se que no instante inicia o sistema é definido peo vetor-estado p, que no instante de observação ou estágio subseqüente o vetor-estado é p = T(p), que no próximo estágio o vetor-estado é p 2 = T(p ) e assim em diante. Uma conseqüência imediata desta hipótese é que os estados subseqüentes ao k-ésimo ponto dependem apenas de p k, o estado no instante k. Portanto, não se requer nenhum conhecimento da história passada do sistema a fim de determinar o futuro. Desta maneira, tem-se uma cara distinção entre passado, presente e futuro em processos muti-estágios. Uma outra forma de se expressar ta propriedade dos processos muti-estágios é considerar que p N tanto é o N-ésimo estado em um processo de N estágios a partir de um estado inicia p, como o (N-k)-ésimo estado em um processo de (N-k) estágios a partir de um estado p k no instante k. Simboicamente, ta afirmativa pode ser expressa pea equação: T N = T N K ( T K ) (.3) 4

Esta reação pode ser considerada uma decaração anaítica de causaidade, ou equivaentemente, do fato de que o futuro é unicamente determinado peo presente. Em termos cássicos, este é um teorema de unicidade..3- Processos com Restrições Na maior parte dos processos de interesse busca-se avaiar ou controar a evoução do sistema em estudo. Para tanto é necessário se introduzir funções de controe ou avaiação cujo argumento é composto peos estados do processo. Tais funções podem possuir diferentes formas. Em operações de carga de unidades FPSO é necessário, por um ado assegurar-se que parâmetros instantâneos como esforços e aceerações se mantenham dentro de imites pré-estabeecidos e, por outro que uma ou mais medidas de eficiência e/ou desempenho como, por exempo, o tempo de bombeamento, sejam minimizadas ou maximizadas. Exempos destes tipos de função são fornecidos abaixo. f ( p) = i= 0 ou (.4) Existem por outro ado diversos processos nos quais o número de estágios não é determinado de antemão, sendo dependente do estado inicia; i.e. N = N (p). Neste caso, as funções de controe assumem a forma: N h( f ( p) = max 0 i N p i ) h( p ) i f ( p) = N ( p) i= 0 h( p i ) (.5) Ou, ainda que as variáveis do processo, ou componentes do estado p i, estejam sujeitas a restrições. 5

Nestes casos, um processo muti-estágios é descrito como estando sujeito a restrições e passa a ser definido como um conjunto de vetores-estado [p, p, p 2,..., p N ] com f ( p) p ( j) b i = N ( p) i= 0 h( p ) i a (.6) onde a e b são constantes próprias do processo e p i (j) representa a componente j do vetor-estado p i. Processos de carga e descarga em unidades FPSO podem ser cassificados como processos muti-estágios com restrições. Tais processos em unidades FPSO possuem mais restrições do que em navios convencionais, devido à operação ao argo ao invés de em águas abrigadas como os útimos. 6

CAPÍTULO 2 - Processos de Decisão Muti-Estágios 2. - Processo de Decisão Muti-Estágios A fim de se definir um processo de decisão muti-estágios do tipo discreto e determinístico, parte-se da definição de processo muti-estágios [p, T(p)]. Reembra-se que se trata de um conjunto de vetores [p, p, p 2,..., p N ] com p 0 = p, p k+ = T(p k ). Este conceito será expandido ao considerar-se que a transformação T também depende de um outro vetor, T = T(p, q). Processo determinístico significa aquee onde o resutado de uma decisão é conseqüência apenas daquea decisão. Considera-se que haja infuência suficiente sobre o processo de forma que a cada estágio se possa escoher o vaor de q de um conjunto de vetores permissíveis S(q). Seja q i a escoha no i-ésimo estágio de forma que p p p 2 K + = T ( p, q ) = T ( p, q ) = T ( p 0 k, q 0 K ) (2.) O vetor q i é chamado de vetor decisão ou variáve de decisão, e a escoha de q i é chamada de decisão. Cada decisão equivae a uma transformação. No presente trabaho, estaremos estudando processos nos quais as escohas de q i, ou decisões, sejam feitas de forma a minimizar uma dada função dos estados e variáve de decisão. A esta função dá-se o nome de função de critério. R( p0, p, p2,, pn ; q0, q, q2,, qn ) (2.2) Um processo de decisão do tipo discreto e determinístico e de N estágios é definido peo conjunto de vetores ( p0, p, p2,, pn ; q0, q, q2,, qn ) (2.3) onde p k+ = T(p k, q k ) para cada k. 7

2.2 - Poítica Conforme indicado acima, os vaores de q k serão escohidos a cada estágio, de forma que, em vista da natureza gera da função R, seja dependente do estado atua do sistema, estados passados e futuros, e também decisões passadas e futuras. No presente trabaho, serão consideradas funções de critério R que possuam uma estrutura ta que nos permita concentrar apenas na história passada e presente do processo em busca de vaores de q. Com esta hipótese, pode-se restringir nosso estudo a funções do tipo q k ( p, p, p2,, pk; q0, q, q2,, q ) = qk k (2.4) Esta função é chamada função de poítica ou simpesmente poítica. A poítica que minimiza (ou maximiza) a função de critério R é chamada de poítica ótima. O tratamento dos processos muti-estágios no presente trabaho busca a determinação de poíticas ótimas. A expressão em (2.4) é bastante genérica, sendo desejáve trabahar-se com poíticas mais simpes do tipo q = q k k ( p k ) (2.5) Isto é, uma função do estado e estágio atua do processo. Esta simpificação adiciona deriva-se da estrutura da função critério R, estrutura esta que permite a tomada de decisões ótimas com base apenas no conhecimento do estado atua do sistema. 2.3 - Princípio da Optimaidade O Princípio da Optimaidade pode ser anunciado de diferentes maneiras. Denardo [7] apresenta este princípio em três versões: 8

Princípio da Optimaidade (primeira versão): Considere um caminho ótimo de um nó quaquer para agum outro nó. Quaquer caminho ( i, ), contido neste p i q caminho é um caminho ótimo do nó i p ao nó i q (Trad. de Denardo[7] ) Princípio da Optimaidade (segunda versão): Existe uma poítica que é ótima para todo nó (estado) (Trad. de Denardo[7] 2 ) Princípio da Optimaidade (terceira versão): Uma poítica ótima tem a propriedade de, quaisquer que sejam o estado e a decisão iniciais, as decisões remanescentes terão que constituir uma poítica ótima evando-se em consideração o estado resutante da primeira decisão. (Trad. de Denardo[7] 3 ) Doravante serão considerados apenas processos de decisão cuja formuação permita a restrição do estudo de poíticas àquees que dependem unicamente do estado atua. A fim de iustrar o que foi dito, suponha um processo de N estágios, possuindo a requerida separação de passado e futuro, iniciando em um estado p, com uma seqüência ótima de decisões q 0, q,..., q N- ta que p = T(p, q 0 ), p 2 = T(p, q ) e assim por diante. Então, q, q 2,..., q N- representa uma seqüência ótima de decisões para o processo de (N-) estágios iniciando no estado p. Denardo [7] ainda comenta que o termo princípio da optimaidade sugere que este é uma verdade fundamenta, e não uma conseqüência de coisas mais primitivas. A abordagem de Denardo consiste em reconhecer o princípio da optimaidade como um tema comum que guia a criação de equações funcionais de propriedades mais primitivas dos probemas de otimização. Principe of optimaity (first version): Consider an optima path from some node to some other node. Any path ( i p,, i q ) contained in this path is an optima path from node i p to node i q. 2 Principe of optimaity (second version): There exists a poicy that is optima for every node (state). 3 Principe of optimaity (third version): An optima poicy has the property that whatever the initia node (state) and initia arc (decision) are, the remaining arcs (decisions) must constitute an optima poicy with regard to the node (state) resuting from the first transition. 9

2.4 - Estados Estados desempenham um pape fundamenta dentro da representação matemática de processos bem como da Programação Dinâmica e, quando utiizado no presente trabaho as seguintes propriedades são preservadas. Propriedades dos Estados: Transições ocorrem de estado para estado, e um estado é uma síntese da história precedente do processo que é suficientemente detahado para permitir a avaiação das aternativas atuais. (Trad. de Denardo[7] 4 ) O termo estado tem significados semehantes em outras áreas. Em física, química e teoria de controe, o estado de um sistema é geramente uma síntese de seu comportamento passado que por si só basta para a avaiação e resposta ao estímuo. Em todos esses casos, a transição ocorre de estado para estado. Denardo[7]. Vae ressatar que os manuais de carregamento aprovados peas Sociedades Cassificadoras embora contenham diversas condições de carregamento, que configuram estados instantâneos, tais estados não configuram processos de carga/descarga. Muitos fatores contribuem para atribuir aos estados um pape centra na programação dinâmica. Um processo de decisões seqüenciais evoui de estado para estado. Estados são os pontos onde as decisões são feitas. A equação funciona e o princípio da optimaidade igam o retorno ótimo ao estado inicia. Uma razão a mais para ta importância é que a formuação de probemas de otimização com soução por programação dinâmica envove a definição de um espaço de estados. As propriedades que todos os estados devem satisfazer servem como guias e faciitam a busca por um espaço de estados. No caso de processos de carga e descarga de unidades FPSO, o espaço de estados é definido através da verificação de quais condições de carregamento, dentre todas as possíveis de serem geradas, atendem às restrições impostas (estabiidade, esforços ongitudinais, aceerações, etc...). Neste ponto, é importante embrar que tais processos são cassificados como processos mutiestágios do tipo discreto e determinístico com restrições. 4 Properties of States: Transition occurs from state to state, and a state is a summary of the prior history of the procss that is sufficienty detaied to enabe evauation of current aternatives. 0

2.5 - Estágios Praticamente todos os textos introdutórios à programação dinâmica contêm uma discussão sobre estágios. Enquanto todos os modeos possuem estados, apenas aguns possuem estágios. Se um modeo possui ou não estágios, depende de como ee foi formuado. Formuações sem estágios geramente acarretam computação mais rápida quando comparados aos modeos com estágios. Ainda assim, estágios são muito importantes. Os estados em um processo de decisão seqüencia geramente são agrupados em estágios, com transições ocorrendo de cada estágio para o seguinte. Quando isto ocorre, é conveniente enumerar cada estágio e pensar no processo como a evoução do estágio i para o estágio i+ e daí para o estágio i+2 e assim por diante. A grande vantagem dos estágios é a sua propriedade de agregar estados de mesma caracterização funciona. Estabeecer adequadamente os estágios de um processo de decisão seqüencia simpifica a tarefa de formuação do processo para soução via apicação da programação dinâmica. 2.6 - Cadeia de Eventos Um processo de decisão seqüencia acarreta uma certa cadeia de eventos que é descrita em gera e então particuarizada para modeos que possuem estágios. Um estado s é um eemento de um conjunto S chamada de espaço de estados. Associado com cada estado s está um conjunto de decisões D(s). O tomador de decisões observa o estado s (em S) que o sistema ocupa. Ee então seeciona uma decisão d do conjunto D(s). A seeção da decisão d para o estado s produz um retorno r(s,d), o qua pode ser negativo, e causa transição para o estado t(s,d). O tomador de decisões observa o estado t(s,d) que o sistema agora ocupa e a cadeia de eventos se repete continuamente. Esta cadeia de eventos é interrompida tão ogo o sistema tenha assumido um estado s cujo conjunto de decisões D(s) esteja vazio. Aém disso, a decisão d associada a um estado particuar pode causar a terminação, a qua é modeada através da atribuição de t(s,d) a um conjunto vazio. Teoricamente, quaisquer dos dois modeos de terminação seriam satisfatórios. Na prática, ambos são úteis. O modeo é dito com estágios quando agum inteiro N existe ta que o espaço de estados S pode ser dividido em N+ conjuntos S, S 2,..., S N+ que são separados e

que possuem as seguintes propriedades. O conjunto de decisões D(s) é vazio se e somente se s está contido em S N+. Aém disso, tem-se t(s,d) em S n+ para todo s em S n, todo n[n, e todo d em D(s). Assim, a transição ocorre de S para S 2, então para S 3 e assim por diante, até finamente S N+. 2.7 - Equação Funciona Quando um modeo possui estágios, é conveniente abusar das notações coocando índices nos estados e decisões de forma a indicar a qua estágio pertencem. Do ponto de vista técnico, estes índice são redundantes. Entretanto, na prática ees são muito convenientes. Estado s n é automaticamente um eemento de S n, e a decisão d n é automaticamente uma decisão para agum estado no estágio n. A figura a seguir utiiza esta notação para representar transições de estágio para estágio. Figura 2. O processo de decisão seqüencia apenas se competa após a definição de um critério de otimização. Presume-se que as decisões sejam feitas de forma a maximizar a soma dos retornos auferidos ou minimizar a soma dos custos intrínsecos ao processo. A fim de obter-se uma equação funciona para este processo de decisões seqüenciais, imagina-se que a transição tenha ocorrido para agum estado s n no estágio n. Como isto aconteceu não está reacionado ao probema de seeção de decisões d n até d N de maneira a maximizar a soma de retornos auferidos nos estágios n até N. Consequentemente, define-se a função de retorno-ótimo f como: f(s n ) = o retorno tota máximo obtido nos estágios n até N+ quando o estado s n está ocupado. 2

Escoher a decisão d n para o estado s n garante um retorno r(s n,d n ) e causa a transição para o estado t(s n, d n ). Aém disso, f[t(s n,d n )] é o mehor que pode ser obtido daquee ponto em diante. Isto eva diretamente à equação funciona: f ( s n 0, ) = max { r( sn, d d n, D( sn ) n ) + f [ t( s, d n n )]}, n = N + n < N + (2.6) O dispositivo recursivo consiste em cacuar-se a equação acima para todos os estados no estágio N, então para todos estados no estágio N-, e assim por diante, terminando no estágio. Isto funciona pois t(s n,d n ) encontra-se no estágio n+. De acordo com Denardo [7], a terceira versão do princípio da optimaidade está intimamente reacionada com a equação funciona, ou seja, a soma r s, d ) + f [ t( s, d )] que aparece em (2.6) é o custo associado ao caminho que ( n n n n iniciamente escoher o arco (i,j) e a partir daí utiizar arcos segundo uma poítica ótima. Assim, foi verificado que processos, quando abordados segundo a teoria da Programação Dinâmica, possuem as seguintes propriedades:. Sistemas podem ser separados em estágios e são caracterizados por um conjunto de parâmetros conhecidos como variáveis de estado. 2. A cada estágio um certo número de decisões são feitas. 3. O efeito de uma decisão é a transformação das variáveis de estado. 4. A história passada do sistema não possui importância na determinação de ações futuras. 5. O propósito do processo é maximizar ou minimizar aguma função das variáveis de estado. 3

CAPÍTULO 3 - Redes Direcionadas 3. - Redes Direcionadas Processos de decisão muti-estágios existem em diversas formas, mas todas são eaborações de probemas de otimização em redes direcionadas. Uma rede direcionada é representada através de gráficos extremamente simpes (conhecidos como grafos), mas sua definição matemática é um pouco mais sofisticada. Matematicamente, uma rede direcionada consiste de um conjunto não vazio S de nós e um sub-conjunto Z do produto cartesiano S x S. Os eementos de Z são conhecidos como arcos direcionados. Isto significa que um arco direcionado é um par ordenado (i,j ), onde i e j são nós. A figura seguinte representa uma rede que possui cinco nós e seis arcos direcionados. Os nós são numerados de a 5 e (3,2) é um arco direcionado embora (2,3) não seja. Figura 3. Os nós representam os estados de um sistema, enquanto os arcos direcionados representam as transições entre estados. A idéia motivadora é que um arco direcionado (i,j) sugere a possibiidade do movimento na direção do nó i para o nó j. O termo caminho tem a conotação de uma seqüência de tais movimentos. Matematicamente, um caminho é uma seqüência (i, i 2,..., i n ) de peo menos dois nós que possuam a propriedade de (i k, i k+ ) ser um arco direcionado para k =, 2,..., n-. A rede representada na figura acima contém os caminhos (2, 4) e (, 3, 2) mas (, 2, 3) não é um caminho. Diz-se que um arco direcionado (i, j) parte do nó i e termina no nó j. Um caminho (i,..., i n ) é visto como um caminho que parte do nó i e termina no nó i n. Diz-se que este caminho contém o caminho (i p,..., i q ) sendo p < q n. Por exempo, o caminho (, 2, 4, ) contém a 4

si próprio e vários outros caminhos, incuindo (, 2, 4) e (2, 4). Um caminho onde i = i n é chamado de cico. Uma rede é considerada cícica se possuir peo menos um cico. Uma rede que não possua cicos é chamada de acícica. A rede iustrada na figura 3. é cícica, mas seria acícica caso o arco direcionado (2, 4) fosse removido ou invertido. Aquees nós a partir dos quais nenhum arco parte são chamados de nós finais. Aquees nós nos quais nenhum arco termina são chamados de nós iniciais. O nó 5 é um nó fina. A rede da figura 3. não possui nós iniciais, mas teria caso o arco direcionado (2, 4) fosse removido. Redes finitas possuem um número finito de nós. Doravante iremos nos referir a redes direcionadas como redes e a arcos direcionados como arcos, uma vez que não iremos idar com redes e arcos que não sejam direcionados. É importante ressatar que transições ocorrem de estado para estado, e que estados são os pontos nos quais as decisões são feitas. Esta afirmação se resume à observação que arcos partindo de um nó não possuem reação aguma em como aquee nó foi acançado. Por exempo, o comprimento do arco (i,j) é independente do caminho que evou ao nó i. Probemas de otimização surgem quando um retorno, custo ou distância t ij está associado ao arco (i, j). Normamente, o custo de um caminho é definido como a soma dos custos dos arcos que constituem este caminho. Um probema típico de otimização é o de encontrar o caminho de menor custo (ou menor distância) de um nó a outro ou de um nó a todos os outros nós ou entre todos os pares de nós. Estes probemas de otimização podem ser tratados eficientemente peos métodos de programação dinâmica. 3.2 - Representação Gráfica de Redes Direcionadas A fim de auxiiar a compreensão da representação gráfica de redes direcionadas através de grafos, bem como introduzir a terminoogia apicada a este tipo de representação, agumas definições serão expostas abaixo. 3.2. - Vizinhança de Nós ou vice-versa. Dois nós x i e x j são vizinhos ou adjacentes quando existe um arco que iga x i a x j 5

Como o conceito de vizinho para o caso de grafos direcionados pode ser insuficiente no estabeecimento da compreensão de determinadas reações, introduz-se o conceito de sucessor e antecessor. 3.2.2 - Sucessor e Antecessor de um Nó. Um nó x j é sucessor de x i se existe peo menos um arco igando x i a x j. No caso da ocorrência da reação inversa, diz-se que x j é antecessor de x i. 3.2.3 - Caminho Figura 3.2 distintos. Um caminho é uma seqüência de arcos em que todos os nós visitados são 3.2.4 - Comprimento de um Caminho Em uma rede direcionada, o comprimento de um caminho é a soma das distâncias dos arcos desse caminho. 6

Figura 3.3 3.2.5 - Contração de Nós A minimização da estrutura de um grafo ou rede é uma tarefa de suma importância tanto para a compreensão do mesmo quanto para a performance dos agoritmos de soução. Dentre as técnicas empregadas com este fim, destaca-se a contração de nós. Basicamente, aquees nós que possuem vaores idênticos para todas as propriedades são considerados equivaentes e, desta forma, podem ser agrupados. Esta prática reduz consideravemente o tamanho da rede e, assim, proporciona mehor desempenho dos agoritmos de soução. Os nós x i e x j são contraídos quando o grafo resutante dessa operação substituir x i e x j por um único nó y i, reunindo nee todas as igações existentes nos nós contraídos. As contrações mais comuns ocorrem entre nós vizinhos. Figura 3.4 7

3.3 - Probema do Menor Caminho (Shortest-Route Probem) Considere uma rede conforme a figura a seguir. Figura 3.5 É possíve descobrir o caminho de menor custo (ou menor distância) através de uma anáise rápida e superficia. Entretanto, ta anáise é impossíve de se reaizar em grandes redes, sendo oportuno introduzir-se aqui o método de soução via programação dinâmica. Seja f i = o custo mínimo entre o nó i e o nó 9. Por definição, f 9 é zero e por inspeção descobre-se que f = 9. Sendo t ij o custo associado ao arco (i,j), tem-se t 47 = 5. Interprete (t ij + f j ) como o custo do caminho que parte do nó i e termina no nó 9 tendo percorrido primeiro o arco (i, j) e depois percorrido do nó j ao nó 9 com o menor custo possíve. Uma vez que se trata de um caminho que parte do nó i e termina no nó 9, o custo deste caminho tem, peo menos, que ser igua à fi. Em outras paavras, f i t ij + f j, i 9 (3.) Mas o caminho menos oneroso do nó i ao nó 9 atravessa agum arco (i, j) e depois vai do nó j ao nó 9 com o menor custo associado. Assim, agum j satisfaz a inequação acima como uma equação, ogo f i = min( t + f ), i 9 ij j (3.2) 8

O conjunto daquees j através dos quais o ado direito da equação (3.2) tem que ser minimizado não foi representado expicitamente. A minimização ocorre dentre aquees j para os quais existe um arco (i, j). Quando i = 4, minimiza-se o ado direito da equação considerando-se os vaores 5, 6, 7 e 8 de j. O caso i = 9 não é coberto pea equação (3.2) mas já foi observado que f 9 = 0 Note que a equação (3.2) especifica f i uma vez que f j é conhecido para todo j ta que (i, j) é um arco. Os nós na figura (3.5) foram numerados de forma que para todo arco (i, j) tem-se j maior que i. Assim, f i pode ser determinado de (3.) uma vez que f j seja conhecido para todo j maior que i. Conseqüentemente, (3.2) permite a computação de f i decrescendo-se i, começando com i = 8 e encerrando com i =. f 8 = 0 + f 9 = 0 f 7 = 3 + f 9 = 3 f 6 7 + f8 7 + 0 = min = min = 5 5 + f9 5 + 0 f 5 = 7 + f 7 = 0 f 4 4 + f5 5 + f = min 7 + f8 3 + f 6 7 4 + 0 5 3 + = = 4 7 + 0 3 + 5 f 3 3 + f = min 4 + f 4 6 3 + 4 = min = 7 4 + 5 (3.3) f 2 2 + f = min 6 + f 4 5 2 + 0 = min = 2 6 + 4 f + f 2 + 20 = min = min = 9 2 + f3 2 + 7 A figura seguinte resume as informações obtidas do cácuo acima. O custo f i é registrado acima do nó i. Observa-se que a figura mostra o caminho de menor custo de cada nó ao nó 9, e não apenas do nó ao nó 9. 9

Figura 3.6 Processos de decisão muti-estágios geramente representam probemas de decisão envovendo custos imediatos e custos futuros. A soução míope para o probema do menor caminho (ou de menor custo) escohe para cada nó i o menor arco direcionado (i, j) partindo do mesmo. A soução míope não considera o nó no qua um arco termina, e por esta razão está onge de proporcionar a soução ótima. A figura (3.5) representa uma rede onde a soução míope nos eva ao maior caminho entre cada nó e o nó 9. 3.4 - Agoritmos de Soução Existem várias abordagens possíveis para a soução do Probema do Menor Caminho. Na área de programação matemática tem-se disponíve: Agoritmos com especiaização do simpex. Agoritmos de fuxo. Entretanto, tais agoritmos não se apicam a probemas modeados como redes. Para ta modeação, apicam-se os agoritmos por indução e ajuste, dentre os quais destacam-se os seguintes: Agoritmo de Dijkstra Agoritmo de Ford Beman Agoritmo de Foyd Agoritmo de Dantzig 20

Obviamente, a soução por Programação Dinâmica é possíve e viáve, sendo exporada a seguir. Os princípios apicados da Programação Dinâmica serão expicados, incuindo uma breve abordagem do agoritmo Míope e suas fahas. Os agoritmos de Dijkstra e Ford-Beman também serão expicados em seguida, enquanto os demais serão apenas comentados, pois suas imitações impedem sua utiização em redes com grande quantidade de nós. 3.4. - Programação Dinâmica A Programação Dinâmica é uma técnica utiizada na otimização de processos de decisão muti-estágios. Processo de decisão muti-estágios, conforme já definido, é aquee que pode ser desdobrado segundo um certo número de etapas seqüenciais ou estágios. As aternativas incuídas na concusão de um estágio são denominadas decisões. A condição do processo dentro de cada estágio é denominada estado. Cada estágio incui a tomada de uma decisão que pode ou não aterar o estado do processo, mas que, obrigatoriamente, representa uma transição entre o estado corrente e o estado futuro do processo. Conforme já definido anteriormente, o objetivo de quem controa um processo muti-estágios é encontrar uma poítica ótima em reação ao retorno auferido com as decisões. Um processo de decisão muti-estágios é determinístico quando se conhece exatamente o resutado de cada decisão. A determinação de uma poítica ótima para um processo de decisão mutiestágios está teoricamente embasada no princípio da optimaidade de Beman [0]. Godbarg e Luna [8] apresentam sua própria definição do princípio da optimaidade: Princípio da Optimaidade. Uma poítica ótima apresenta a propriedade segundo a qua, a despeito das decisões tomadas para assumir um estado particuar num certo estágio, as decisões restantes a partir deste estado devem constituir uma poítica ótima.(godbarg e Luna [8]) O agoritmo Míope, a princípio, parece ser bastante semehante ao princípio de Beman. Este agoritmo determina que a decisão a adotar em cada estágio é sempre aquea que produz o maior acréscimo no critério de otimização. O agoritmo Míope trata todos os processos como se fossem muti-estágios e considera a tomada de decisão apenas dentro das condições vigentes para as variáveis no estágio corrente. No caso do 2

probema abordado ser reamente passíve de decomposição muti-estágios e o processo de decisão ser, face as características da função de avaiação, competamente independente a cada estágio, o resutado do agoritmo Míope será equivaente ao da Programação Dinâmica. Isso acontece quando o probema está baseado em um matróide (Anexo I). Esse caso particuar resume toda a possibiidade de semehança entre o princípio de Beman e o agoritmo Míope. Para impementar-se o princípio de Beman, parte-se do útimo estágio de um processo com n estágios e determina-se a mehor poítica para se deixar aquee estágio e competar o processo. Desoca-se, então, do fim para o início do processo, estágio após estágio, repetindo-se o raciocínio. Em cada estágio, determina-se a mehor poítica para deixar o estágio e competar o processo, supondo-se sempre que os estágios anteriores foram competados de forma ótima. Os cácuos são sempre aproveitados de um estágio para outro. Os eementos correspondentes ao útimo estágio do processo são, geramente, obtidos diretamente. Os demais eementos são cacuados de forma recursiva. A expressão de recorrência depende do probema e deve ser obtida para cada tipo de processo muti-estágios. Iustra-se a teoria com o seguinte exempo: Otimizar; z = f ( x ) + f onde x + x x i 2 + I 2 +... + x ( x ) +... + n 2 b f ( x ) n n (3.4) no qua as funções possivemente não-ineares f x ), f ( x ),..., f n ( x ) são ( 2 2 n conhecidas de uma variáve, b é um vaor não-negativo e inteiro conhecido e o probema pode ser modeado como um processo muti-estágios. O estágio envove a decisão sobre a variáve x, com uma contribuição resutante de f (x ). Os estados são, 2, 3,..., b representando os vaores possíveis para o número de unidades disponíveis para aocação. Considerando: u variáve de estado cujos vaores especificam os estados m j (u) retorno ótimo para se competar o processo começando-se no estágio j com o estado u. 22

d j (u) decisão tomada no estágio j que obtém m j (u). Neste modeo, os vaores de m j (u) serão dados pea seguinte expressão: m ( u) = n ótimo 0 x u { f ( x) } n (3.5) que eva a equação de recorrência: m j ( u) = ótimo { f j ( x) + m j+ ( u x) } 0 x u (3.6) Considerando o vetor da decisão ótima * * * * x = x, x2,..., xn que eva o critério de decisão a assumir o vaor z *, as componentes do vetor poderão ser encontradas seqüenciamente com a seguinte recorrência: x = d x * * 2... =... x * n = d = d ( b); 2 n ( b x * ( b x * ) x * 2... x * n ) (3.7) 3.4.2 - Programação Dinâmica apicada ao Probema do Menor Caminho Apesar da eficiência dos agoritmos de Dijkstra e Ford-Beman para o probema do Caminho Mais Curto, esse probema possui uma soução bastante interessante (e mesmo infaíve) quando abordado pea técnica da Programação Dinâmica. Na rede apresentada a seguir, o probema proposto é o de encontrar o caminho mais curto entre os nós A e J. 23

Figura 3.7 Como a rede apresentada é uma rede em estágios (quaquer rede pode ser transformada em uma rede em estágios) podemos decompor o probema de encontrar o caminho mais curto entre os nós A e J em um processo de decisão muti-estágios. As fases da decisão estão apresentadas na figura a seguir: Figura 3.8 Vários probemas de decisão seqüencia, incusive o de carregar e descarregar um FPSO, admitem uma modeagem do processo como um Probema do Menor Caminho. Apicando diretamente o princípio de Beman ao probema, vamos estabeecer as condições para a tomada de decisão da primeira fase (fase fina do caminho) do probema muti-estágios. A figura a seguir ressata as possibiidades para a poítica 24

ótima de chegada aos vértices H e I, a partir de J, considerando que o caminho até os vértices em pauta será reaizado também de forma ótima: Figura 3.9 Com a tomada de decisão reaizada na fase podemos, a partir da poítica ótima para H e I, cacuar a poítica ótima para E, F e G, conforme indica a figura seguinte: Figura 3.0 A partir dos vértices E, F e G podemos desenvover a terceira fase de decisão. A figura a seguir mostra que as informações constantes da primeira fase (vértices H e I) não são mais necessárias para isso. 25

Figura 3. Finamente, podemos concuir os cácuos determinando o caminho mais curto e seu vaor (o rótuo de A) como mostrado a seguir: Figura 3.2 3.4.3- Agoritmo de Dijkstra Em 959 Dijkstra sugeriu um agoritmo de rotuação para caminhos em redes com arcos positivos, utiizando indução e ajuste, eficiente e de fáci impementação computaciona. Seja, G = (N,A), a representação de uma rede onde N é o conjunto de nós e A é o conjunto dos arcos. 26

Lista F (ista de nós fechados) o conjunto de vértices para o qua já se conhece o menor caminho. Lista A (ista de nós abertos) o conjunto dos nós para o qua ainda não se conhece o menor caminho. t contador de iterações V representando o conjunto dos nós rotuados e abertos em G. r índice do vértice a ser fechado na iteração t. diretamente. C = [c ij ] matriz de custos representando as distâncias entre vértices igados d ij a distância entre os vértices x i e x j. d ij t a distância cacuada entre os vértices x i e x j na iteração t. rot(i) vetor que guarda o vértice que deu origem à distância cacuada para o vértice de índice i. Γ + (r) conjunto de vizinhos do vértice de índice r. Podemos descrever o agoritmo conforme resumido no quadro a seguir: 27

Quadro 3. - Agoritmo de Dijkstra A figura (3.3) a seguir mostra a seqüência de rotuação e fechamento dos nós do agoritmo de Dijkstra quando apicado na rede da figura (3.7). O rótuo que está coocado na proximidade de cada vértice em sua primeira posição guarda a origem da rotuação. A segunda posição anota o vaor do caminho acumuado até o vértice. A cada iteração o nó examinado que acumua a menor distância é fechado. O foco de exame da busca é sempre desocado para o útimo nó fechado (na figura simboizado peo asterisco). A partir de um nó fechado, os vizinhos (Γ + (r)) são examinados. O exame atuaiza obrigatoriamente as marcações, atribuídas iniciamente a todos os nós com exceção do nó, e (rot(i)) quando uma distância menor é encontrada. Um exempo desta atuaização por uma distância menor ocorre na figura (3.3c) quando a distância do nó 4 passa de 5 para 4. O agoritmo de Dijkstra não é capaz de encontrar caminhos ótimos em presença de arcos negativos, uma vez que a cada iteração, o vértice examinado com menor 28

distância acumuada é fechado. O agoritmo cacua as menores distâncias de um vértice a todos os outros. Portanto, o agoritmo de Dijkstra não pode ser apicado para redes direcionais onde um ou mais arcos possuam peso ou distância negativa. Figura 3.3 3.4.4- Agoritmo de Ford Beman O agoritmo de Ford Beman, assim denominado em homenagem ao trabaho simutâneo destes pesquisadores, mas pubicado em épocas diferentes, abre mão do fechamento de um nó a cada iteração, e examina todos os nós até que não seja mais possíve mehorias podendo, assim, aceitar arcos com distâncias ou custos negativos. Ta propriedade é uma vantagem sobre o agoritmo de Dijkstra. O critério de parada está 29

associado à não modificação de todos os rótuos em uma iteração. A idéia básica da iteração é de que, se um caminho de um nó s para um nó j contém k arcos, um caminho mehor de s para j conterá, no máximo, k+ arcos. Seja, (s, j) comprimento de um caminho entre s e j. s comprimento do caminho associado ao nó s. k j comprimento do menor caminho P k sj com no máximo k arcos, onde P k sj A O agoritmo pode ser assim descrito: Quadro 3.2 - Agoritmo de Ford_Beman Vamos apicar o agoritmo no exempo da figura (3.4) a seguir a fim de encontrar o menor caminho entre os nós S e 5. 30

3 Figura 3.4 Iniciaização: (3.8) { } [ ] { } [ ] { } [ ] { } [ ] { } 2 (3,5) (4,5); ; min ) 3( (3,4) (,4); ; min ) 4( (2,3) (,3); ; min ) 2( (,2) ; min, min 3 ; 3 4 5 2 5 3 4 2 4 2 3 2 3 2 2 2 2 2 = = + + = = + + = = + + = = + = = = = = = k mehorou mehorou mehorou k [ ] { } [ ] { } [ ] { } [ ] { } 3 ) 6( (3,5) (4,5); ; min ) ( (3,4) (,4); ; min 4 (2,3) (,3); ; min 2 (,2) ; min 2 3 2 4 2 5 3 5 2 3 2 2 4 3 4 2 2 2 2 3 3 3 2 2 2 3 2 3 = = + + = = + + = = + + = = + = = k mehorou mehorou [ ] { } [ ] { } [ ] { } [ ] { } 4 ) 4( (3,5) (4,5); ; min (3,4) (,4); ; min 4 (2,3) (,3); ; min 2 (,2) ; min 3 3 3 4 3 5 4 5 3 3 3 3 4 4 4 3 2 3 3 3 4 3 3 3 2 4 2 4 = = + + = = + + = = + + = = + = = k mehorou

Não haverá mais mehoria e o agoritmo chega ao fim. O caminho mais curto pode ser recuperado a partir do nó 5, da seguinte forma: na inha que se cacuou o caminho mais curto para 5 a parcea determinante foi 3 4 + (4, 5) = 4, tornando caro que o nó antecessor a 5 peo caminho mais curto é 4, vindo através de (4, 5). No cácuo da distância até 4 a parcea determinante é 3 4 =, o que determina que o vértice 3 é o antecessor do vértice 4 uma vez que 3 4 é obtido da expressão 2 3 + (3, 4), através de (3, 4), e assim por diante. O agoritmo cacua a menor distância entre todos os pares de nós de um grupo G. O agoritmo de Ford-Beman pode não funcionar para redes que contenham um circuito no qua o comprimento tota seja negativo (circuito fechado). Neste caso, o circuito poderá ser repetido infinitamente, fazendo com que o agoritmo se perca em um caminho de comprimento infinitamente negativo. Entretanto, os processos de carga e descarga de FPSO foram modeados de forma acícica, ou seja, não possuem circuitos fechados ou cicos. Assim, a imitação recém exposta sobre o agoritmo de Ford-Beman não acarreta a impossibiidade de sua utiização em nossas apicações. 3.4.5 - Agoritmo de Foyd O agoritmo de Foyd é mais gera que o agoritmo de Dijkstra, pois permite que os menores caminhos de quaquer par de nós em uma dada rede sejam cacuados. O agoritmo representa uma rede de N nós por uma matriz quadrada de ordem N. Cada entrada (i, j) da matriz representa a distância d ij de um nó i a um nó j. Caso haja um arco entre i e j, d ij será finito, do contrário será infinito. O agoritmo de Foyd se baseia na idéia que, dado três nós i, j e k, é mais curto acançar k a partir de i passando por j se: d + d < d ij jk ik (3.9) Neste caso, será ótimo substituir o caminho direto de i até k pea rota indireta i, j, k. Esta operação de troca é apicada sistematicamente à rede através do agoritmo de Foyd. 32

Por representar uma rede de N nós através de uma matriz N x N, o agoritmo de Foyd exige muita memória computaciona. Aém disso, a maioria dos eementos desta matriz terá vaor infinito, uma vez que não haverá um arco (i, j) correspondente. Por este motivo, o agoritmo de Foyd não deve ser utiizado na soução de probemas apicados a grandes redes. 3.4.6 - Agoritmo de Dantzig Outro agoritmo de soução do Probema do Menor Caminho entre cada par de nós de uma rede foi proposto em 967 por Dantzig. Este agoritmo é simiar ao agoritmo de Foyd, tendo em vista que os mesmos cácuos e representações matriciais são utiizados. Apenas a ordem em que as operações ocorrem difere daquea proposta por Foyd. Assim, a mesma imitação computaciona apicada ao agoritmo de Foyd apica-se também ao agoritmo de Dantzig. 3.5 - Escoha do Agoritmo de Soução. A programação dinâmica eementar nos proporciona uma ferramenta recursiva de grande vaor para a soução de redes direcionadas. Ou seja, através da programação dinâmica, todas as possibiidades serão avaiadas (busca exaustiva) antes de identificarse o caminho ótimo. Por se tratar de uma soução exata, iremos adotá-a nas apicações que aqui nos propomos a reaizar. Conforme foi visto, todos os agoritmos de soução possuem imitações que devem ser anaisadas sob o foco da apicação desejada. Assim, devido ao grande número de nós que constituirão as redes a serem estudadas, os agoritmos de Foyd e Dantzig não são apropriados. O agoritmo de Dijkstras, apesar de sua grande eficiência computaciona, não nos permite pesos ou distâncias negativas. Uma vez que iremos trabahar com parâmetros que assumem vaores negativos (trim, momento fetor, etc...), o agoritmo de Dijkstra também não é o mais apropriado para as apicações aqui desejadas. O agoritmo de Ford-Beman, conforme já mencionado, possui imitações quando apicado à redes cícicas que possuem circuitos negativos. Entretanto, os processos de carga e descarga de unidades FPSO foram aqui representados através de redes acícicas. Logo, o agoritmo de Ford-Beman é o mais apropriado para as apicações que se seguem. 33