UNIVERSIDADE TÉCNICA DE LISBOA

UNIVERSIDADE TÉCNICA DE LISBOA INSTITUTO SUPERIOR DE ECONOMIA E GESTÃO MESTRADO EM: DECISÃO ECONÓMICA E EMPRESARIAL OS MODELOS DE MARKOWITZ E DE KONNO E YAMAZAKI NA SELECÇÃO DE CARTEIRAS DE TÍTULOS UMA APLICAÇÃO AO CASO PORTUGUÊS DANIEL FILIPE TOMÁS ROLÃO ORIENTAÇÃO: PROF. DOUTORA LEONOR ALMEIDA LEITE SANTIAGO PINTO PROF. DRA. CLÁUDIA CATARINA ACÚRCIO DUARTE JÚRI PRESIDENTE: PROFESSORA DOUTORA MARGARIDA MARIA GONÇALVES VAZ PATO VOGAIS: PROF. DOUTORA MARIA MARGARIDA DE OLIVEIRA MOZ CARRAPA PROF. DRA. CLÁUDIA CATARINA ACÚRCIO DUARTE PROF. DOUTORA LEONOR ALMEIDA LEITE SANTIAGO PINTO JANEIRO/2012

Abstract Hiroshi Konno and Hiroaki Yamazaki (Konno & Yamazaki, 1991) proposed a linear programming model for the selection of portfolios of securities as an alternative to the traditional model of quadratic programming of Markowitz (Markovitz, 1952). Both proposals determine a portfolio that minimizes risk by a fixed level of return. The simplification introduced by Konno and Yamazaki is due to the use of mean absolute error as a measure of risk instead of the standard-deviation used in the classical model. Both formulations are tested with data on the Portuguese case. On this purpose in particular the optimal portfolio is determined based on daily closing prices of securities traded on the Portuguese stock index PSI20 during the period of two years (June 2008 / May 2010). For the linear and quadratic optimization the Premium Solver Pro application in Microsoft Excel, is used. The results are analyzed comparatively. Keywords: selection of portfolios, securities, linear and quadratic optimization. Resumo Hiroshi Konno e Hiroaki Yamazaki (Konno & Yamazaki, 1991) propuseram um modelo de programação linear para a selecção de carteiras de títulos financeiros em alternativa ao modelo clássico de programação quadrática de Markowitz (Markovitz, 1952). Ambas as propostas determinam uma carteira que minimiza o risco mediante um nível de retorno fixado. A simplificação introduzida por Konno e Yamazaki decorre da utilização do erro absoluto médio como medida de risco em vez do desvio-padrão usado no modelo clássico. Ambas as formulações são ensaiadas com dados referentes ao caso português. Para este efeito em concreto foram determinadas as carteiras óptimas tendo em conta as cotações diárias de fecho dos títulos do índice bolsista português PSI20 durante o período de dois anos (Junho 2008 / Maio 2010). Na optimização linear e quadrática utiliza-se a aplicação Solver Premium Pro no Microsoft Excel. Os resultados obtidos são analisados comparativamente. 2

Palavras-chave: selecção de carteiras, títulos financeiros, optimização linear e quadrática. Agradecimentos Gostaria de agradecer às professoras Leonor Santiago Pinto e Cláudia Acúrcio Duarte pelo apoio, disponibilidade e orientação durante o processo de pesquisa e desenvolvimento do trabalho, foi um apoio fundamental para a feitura do mesmo no seguimento dos objectivos a que o mesmo obedecia. 3

Índice 1 Introdução... 8 1.1 Objectivo... 8 1.2 Metodologia... 9 2 Enquadramento teórico... 13 2.1 Selecção de carteiras de títulos... 13 2.2 O mercado de títulos... 14 2.3 Modelo de Markowitz... 15 2.4 Modelo de Konno e Yamazaki... 17 3 Resultados computacionais... 20 3.1 Análise ao comportamento dos títulos do índice PSI20... 20 3.2 Alternativas de diversificação da carteira... 24 3.3 Resultados... 24 4 Conclusões... 30 5 Anexos... 31 5.1 Outputs do SOLVER referentes às alternativas analisadas... 31 5.1.1 Anexo 1 - Output da alternativa 1 do modelo de Markowitz... 32 5.1.2 Anexo 2 - Output da alternativa 2 do modelo de Markowitz... 33 5.1.3 Anexo 3 - Output da alternativa 3 do modelo de Markowitz... 34 5.1.4 Anexo 4 - Outputs da alternativa 1 do modelo de Konno e Yamazaki 35 5.1.5 Anexo 5 - Outputs da alternativa 2 do modelo de Konno e Yamazaki 37 5.1.6 Anexo 6 - Outputs da alternativa 3 do modelo de Konno e Yamazaki 39 4

Referências... 41 Lista de figuras FIGURA 1 MÉDIA, DESVIO PADRÃO E ÍNDICE SHARPE DAS RENTABILIDADES DOS TÍTULOS DO PSI20... 21 FIGURA 2 RENTABILIDADE HISTÓRICA DO TÍTULO ALTRI SGPS... 22 FIGURA 3 RENTABILIDADE HISTÓRICA DO TÍTULO SEMAPA... 22 FIGURA 4 RENTABILIDADE HISTÓRICA DO TÍTULO J. MARTINS SGPS... 23 FIGURA 5 RENTABILIDADE HISTÓRICA DO TÍTULO MOTA ENGIL... 23 FIGURA 6 CORRESPONDÊNCIA DOS ÍNDICES J AOS 20 TÍTULOS ANALISADOS... 24 FIGURA 7 RENTABILIDADE E RISCO DAS ALTERNATIVAS DE DIVERSIFICAÇÃO DA CARTEIRA EM AMBOS OS MODELOS... 25 FIGURA 8 COMPOSIÇÃO DAS CARTEIRAS ÓPTIMAS NAS ALTERNATIVAS DE AMBOS OS MODELOS... 25 FIGURA 9 PREÇOS SOMBRA DE RENDIMENTO E MONTANTE TOTAL A INVESTIR OBTIDOS NAS ALTERNATIVAS DO MODELO DE KONNO E YAMAZAKI... 27 FIGURA 10 PREÇOS SOMBRA DAS RESTRIÇÕES DE DIVERSIFICAÇÃO DE TÍTULOS NA ALTERNATIVA 2 DO MODELO DE KONNO E YAMAZAKI... 27 FIGURA 11 PREÇOS SOMBRA DAS RESTRIÇÕES DE DIVERSIFICAÇÃO DE TÍTULOS NA ALTERNATIVA 3 DO MODELO DE KONNO E YAMAZAKI... 28 FIGURA 12 RELATÓRIO DE RESPOSTAS DA ALTERNATIVA 1 MODELO DE MARKOWITZ. 32 FIGURA 13 RELATÓRIO DE RESPOSTAS DA ALTERNATIVA 2 DO MODELO DE MARKOWITZ... 33 FIGURA 14 RELATÓRIO DE RESPOSTAS DA ALTERNATIVA 3 DO MODELO DE MARKOWITZ... 34 FIGURA 15 RELATÓRIO DE RESPOSTAS DA ALTERNATIVA 1 DO MODELO DE KONNO E YAMAZAKI... 35 FIGURA 16 RELATÓRIO DE SENSIBILIDADE DA ALTERNATIVA 1 DO MODELO DE KONNO E YAMAZAKI... 36 5

FIGURA 17 RELATÓRIO DE RESPOSTAS DA ALTERNATIVA 2 DO MODELO DE KONNO E YAMAZAKI... 37 FIGURA 18 RELATÓRIO DE SENSIBILIDADE DA ALTERNATIVA 2 DO MODELO DE KONNO E YAMAZAKI... 38 FIGURA 19 RELATÓRIO DE RESPOSTAS DA ALTERNATIVA 3 DO MODELO DE KONNO E YAMAZAKI... 39 FIGURA 20 RELATÓRIO DE SENSIBILIDADE DA ALTERNATIVA 3 DO MODELO DE KONNO E YAMAZAKI... 40 6

Notação Rentabilidade do título j no momento t; Preço do título j no momento t; Rentabilidade média do título j no período considerado; Nº de momentos t a considerar; Variância das rentabilidades do título j; Decay factor; Co-variância entre as rentabilidades dos títulos i e j; : Valor esperado da variável entre parênteses; : Variável aleatória que representa a taxa de retorno do título j; Montante em unidades monetárias a investir no título j; Número de títulos disponíveis para investimento; Taxa de retorno mínima pretendida; Capital inicial disponibilizado; Montante máximo em unidades monetárias que pode ser investido no título j; Desvio do rendimento do título j no momento t face ao rendimento médio do título j. 7

1 Introdução 1.1 Objectivo O objectivo do trabalho é a análise e comparação dos resultados obtidos por dois modelos de optimização na selecção de carteiras de títulos financeiros: o modelo do desvio padrão (Markovitz, 1952) e o modelo de desvio absoluto (Konno & Yamazaki, 1991). Apesar de serem bastante semelhantes, o modelo de Konno e Yamazaki apresenta uma maior simplicidade, é um problema de programação linear em vez de programação quadrática, além disso deixa de ser necessário realizar o cálculo da matriz de variâncias e co-variâncias que exige elevado tempo de cálculo no modelo de Markowitz. A aplicação ao caso português é feita com base nos títulos do PSI 20, tendose determinado as carteiras óptimas para 3 alternativas de rentabilidade esperada mínima. Com base nestes testes comparam-se os modelos através da análise aos resultados obtidos. Em Portugal, foi desenvolvida no passado uma análise ao comportamento destes dois modelos (Júdice, Ribeiro, & Santos, 2003). 8

1.2 Metodologia Os modelos usados neste estudo são: programação quadrática de Markowitz (Markovitz, 1952) e programação linear de Konno e Yamazaki (Konno & Yamazaki, 1991). Com o intuito de atingir os objectivos propostos seguiram-se 3 etapas: I. Selecção de títulos do Mercado Português (Índice PSI20) A selecção de títulos referentes ao caso português, nomeadamente a títulos provenientes do índice PSI 20 deve-se ao facto de este ser o índice com maior importância a nível nacional pois é composto pelas 20 maiores empresas portuguesas admitidas à negociação no Mercado de Cotações Oficiais. É consensual que este índice é um bom avaliador, sendo o representativo do mercado accionista português e também um instrumento de suporte à negociação onde a rentabilidade está dependente do comportamento do mercado. II. Recolha de dados Nesta fase foram considerados os 20 títulos pertencentes à composição do índice PSI 20 em 31-05-2010 que passo a discriminar: ALTRI SGPS; B. COMERCIAL PORTUGUÊS; BES; BPI; BANIF SGPS; BRISA; CIMPOR SGPS; EDP; EDP RENOVÁVEIS; GALP ENERGIA; J. MARTINS SGPS; MOTA ENGIL; 9

P. TELECOM; PORTUCEL; REN; SEMAPA; SONAE; SONAEIND. SGPS; SONAECOM. SGPS; ZON MULTIMÉDIA. Decidiu-se utilizar as cotações diárias de fecho obtidas entre as datas de 02-06-2008 e 01-06-2010, tendo sido recolhida a informação no site da NYSE Euronext (www.euronext.com). III. Implementação e resolução dos modelos Na fase de introdução dos dados aplicados ao problema analisado, utilizou-se o Microsoft Excel e a ferramenta Solver Premium Pro (www.solver.com). Esta ferramenta permite a inserção dos dados de uma forma expedita numa folha de cálculo, o que facilita a manipulação dos dados para a formulação dos modelos e implementação. As rentabilidades históricas são calculadas pela Fórmula 1. Para cálculo da volatilidade das rentabilidades nas Fórmulas 3 e 4 utilizou-se o EWMA Exponentially Weighted Moving Average que utiliza um decay factor (0 < <1) para dar mais peso a observações recentes face a observações mais antigas tendo-se em conta as características dinâmicas da volatilidade. Quanto menor o decay factor, mais reactivo será o modelo, o que é particularmente indicado para situações de crise, como a que ocorre no período estudado neste trabalho. A Riskmetrics aconselha que este parâmetro seja 0,94 para previsão de volatilidades diárias (Risk Metrics, 1999). O cálculo das rentabilidades diárias históricas para ambos os modelos em estudo foi o seguinte: 10

Fórmula 1 R en tabilidad e do títul o j no m om en to t Notação: Rentabilidade do título j no momento t; Preço do título j no momento t. Fórmula 2 R en tabilidad e m édia do título j Notação: Rentabilidade média do título j no período considerado; Nº de momentos t a considerar. Tanto para o cálculo das variâncias como das co-variâncias pelas Fórmulas 3 e 4 é utilizado o mesmo decay factor ( = 0,94). Fórmula 3 V ari ânci a do t ítulo j (Ri sk Metri cs, 1999) Notação: Variância das rentabilidades do título j; Decay factor. 11

Fórmula 4 - C o - variân cia en t re os títul os j e k ( Risk Metrics, 1999) Notação: Co-variância entre as rentabilidades dos títulos j e k. Para a determinação das soluções óptimas de ambos os modelos, utilizou-se o Solver Premium Pro no software Microsoft Excel. 12

2 Enquadramento teórico 2.1 Selecção de carteiras de títulos A aposta nos mercados financeiros por parte dos investidores é uma prática comum nos dias correntes, desde investidores de maior dimensão a investidores de dimensão reduzida, hoje em dia é possível realizar investimentos numa grande variedade de aplicações financeiras. Certo é também que o investimento nestes mercados tem associado um determinado nível de risco consoante o tipo de aplicação. Na actualidade a rentabilidade da maioria dos activos financeiros apresenta elevada volatilidade devido às crises financeiras que têm ocorrido. Esta incerteza é a principal razão pela qual é atribuída bastante importância às medidas de controlo do risco no momento de se tomar uma decisão de investimento. 13

Harry Markowitz foi premiado com o Prémio Nobel da Economia pelo desenvolvimento da teoria de selecção de carteiras no ano de 1990 (Markovitz, 1952), teoria esta que modelizou uma relação entre a rentabilidade e o risco. É esta relação que se pretende optimizar para se obter o menor nível de risco fixada uma determinada rentabilidade esperada pretendida. Este contributo teve uma grande importância na gestão eficiente de carteiras de títulos, estabelecendo um marco na história da área financeira. Desde então, vários autores dedicaram-se ao estudo de optimização de carteiras de títulos, incluindo propostas de melhoria do modelo de Markowitz (Markovitz, 1952), nomeadamente a alternativa que se apresenta neste estudo, o modelo de Konno e Yamazaki (Konno & Yamazaki, 1991). O modelo de Harry Markowitz não é operacional em carteiras de títulos de grande dimensão, pois a resolução de problemas de programação quadrática com uma extensa matriz de variâncias e co-variâncias é exigente do ponto de vista computacional. Hiroshi Konno e Hiroaki Yamazaki utilizaram, no seu trabalho publicado em 1991, o desvio absoluto em vez do desvio padrão no cálculo do risco de uma carteira de títulos (Konno & Yamazaki, 1991), o que lhes permitiu escrever um modelo linear tirando partido da programação linear para optimizar as carteiras e explorar a informação contida nos preços sombra. 2.2 O mercado de títulos O conceito de títulos que representam quotas de capital de uma determinada empresa é proveniente da idade Média tendo posteriormente sido divulgado no período do Renascimento. As emissões de títulos tornaram-se populares com a Revolução Industrial, onde o objectivo era a obtenção de financiamento através de capitais provenientes de investidores. 14

Ao longo dos tempos o processo de transacção de acções sofreu diversas alterações e actualmente existem regulamentos para que este seja um processo com regras bem definidas, justo e claro para todos os intervenientes. A principal função do mercado bolsista consiste em dar a possibilidade aos emitentes de títulos e aos investidores de se relacionarem de acordo com a sua posição (longa/curta), onde o objectivo dos investidores é obter valor acrescentado nos títulos transaccionados, agindo sempre de uma forma clara e transparente (Levinson, 2005). Em Portugal, a Bolsa de Valores de Lisboa surgiu no ano de 1769 e assim se manteve até Abril de 1974. Reabriu em Janeiro de 1976 tendo estado em funcionamento até 1999, ano em que se iniciou o processo de fusão entre a Bolsa de Valores de Lisboa e a Bolsa de Valores do Porto originando a Bolsa de Valores de Lisboa e Porto. Recentemente a bolsa tem sofrido grandes mudanças, nomeadamente no que diz respeito ao enquadramento legal, estrutura funcional e aos sistemas de negociação. Em 2002, procedeu-se à integração Bolsa de Valores de Lisboa e Porto na plataforma europeia Euronext, sob a designação Euronext Lisboa (www.euronext.com). O PSI 20 é o índice de referência do mercado bolsista português que se baseia na evolução dos preços dos 20 títulos de maior dimensão e liquidez das empresas no Mercado de Cotações Oficiais. Os critérios de elegibilidade para inclusão no índice PSI 20 estão detalhados em (NyseEuronext, 2011) e baseiam-se, sobretudo, em períodos de tempo mínimos de negociação, volumes de transacção e liquidez. 2.3 Modelo de Markowitz No modelo de Markowitz (Markovitz, 1952), o investidor racional procura minimizar o risco da sua carteira de títulos em função de uma determinada rentabilidade esperada. O retorno esperado da carteira de títulos é dado através da seguinte formulação matemática: 15

Fórmula 5 Retorno da carteira de títulos segundo Markowitz Notação: : Valor esperado da variável entre parênteses; : Variável aleatória taxa de retorno do título j; Montante em unidades monetárias a investir no título j; Número de títulos disponíveis para investimento. De acordo com o modelo de Markowitz assume-se que o risco da carteira é medido adequadamente pelo desvio padrão das rentabilidades sendo representado da seguinte forma: Fórmula 6 Risco da carteira de títulos segundo Markowitz Neste trabalho não se explora a perspectiva aleatória do modelo de Markowitz, aceitando-se como um bom estimador para o valor esperado da rentabilidade do título j. Fórmula 7 Valor esperado da taxa de retorno por período do título j 16

Modelo 1 Programação quadrática de Markowitz Notação: Co-variância entre as rentabilidades dos títulos i e j; Taxa de retorno mínima pretendida; Capital inicial disponibilizado; Montante máximo em unidades monetárias que pode ser investido no título j. 2.4 Modelo de Konno e Yamazaki Konno e Yamazaki (Konno & Yamazaki, 1991) introduziram o desvio absoluto como medida de risco, em alternativa ao desvio padrão. Fórmula 8 Risco da carteira de títulos segundo Konno e Yamazaki Com as medidas de risco utilizadas por Markowitz na Fórmula 6 e por Konno e Yamazaki na fórmula anterior, se for multivariado e normalmente 17

distribuído, uma carteira óptima dada por um dos modelos é garantidamente uma carteira óptima no outro (Konno & Yamazaki, 1991). Modelo 2 Modelo auxiliar Konno / Yamazaki O Modelo 2 é o ponto de partida, que depois de linearizado resulta no Modelo 3. Mais detalhes podem ser consultados em (Konno & Yamazaki, 1991). O modelo é linearizado com o auxílio de um conjunto de variáveis do seguinte modo: Modelo 3 Programação linear de Konno e Yamazaki 18

Notação: Desvio do rendimento do título j no momento t face ao rendimento médio do título j, ou seja, Como principais vantagens do modelo de optimização de carteiras de títulos de Konno e Yamazaki face ao modelo desenvolvido por Markowitz consideram-se as seguintes (Konno & Yamazaki, 1991): Dispensa o cálculo da matriz de variâncias e co-variâncias que exige elevado tempo de cálculo no modelo de Markowitz; Proporciona grande facilidade na actualização do modelo com novos dados; É consideravelmente mais fácil a resolução de um problema de programação linear do que um problema de programação quadrática. 19

3 Resultados computacionais 3.1 Análise ao comportamento dos títulos do índice PSI20 Na Figura 1 pode observar-se a média, desvio padrão e índice Sharpe das rentabilidades observadas nos dados recolhidos relativos aos títulos em estudo. É importante referir que no período em análise apenas 3 títulos conseguem obter rentabilidades médias positivas, que são a ALTRI SGPS, a J. MARTINS SGPS e a PORTUGAL TELECOM. No que diz respeito aos títulos com rentabilidade média mais baixa são o B. COM. PORTUGUÊS, o BANIF SGPS e a MOTA ENGIL. Em relação ao desvio padrão, os títulos que possuem os valores mais elevados são a ALTRI SGPS, SONAE, SONAEIND. SGPS e a ZON MULTIMÉDIA. Por outro lado os títulos cujo desvio padrão assume valores mais baixos são a EDP, EDP RENOVÁVEIS, P. TELECOM e a SEMAPA. No que diz respeito aos valores obtidos no índice Sharpe verifica-se que os títulos melhor posicionados são a J. MARTINS SGPS, a ALTRI SGPS, a P. TELECOM e a 20

PORTUCEL. Por outro lado, os títulos com classificação mais baixa são o BANIF SGPS, a MOTA ENGIL, o BES e o B. COM. PORTUGUÊS. O índice de Sharpe tem por objectivo avaliar a relação entre a rentabilidade e o risco de um determinado título. Quanto maior for o peso da rentabilidade face ao peso do desvio padrão, melhor é a classificação do título segundo este índice. Este indicador permite ao investidor racional ter uma melhor percepção no que diz respeito aos títulos a selecionar para a composição da carteira. Figura 1 Média, desvio padrão e índice Sharpe das rentabilidades dos títulos do PSI20 Nas Figuras 2 a 5 podemos observar os títulos com maiores e menores níveis de desvio padrão e rentabilidade. Na FIGURA 2 pode constatar-se a rentabilidade histórica do título ALTRI SGPS, que no período em análise é o título do índice PSI20 que possui o desvio padrão mais elevado. 21

Figura 2 Rentabilidade histórica do título ALTRI SGPS Figura 3 Rentabilidade histórica do título SEMAPA Na FIGURA 4 constata-se a rentabilidade histórica do título J. MARTINS SGPS, que no período em análise é o título com a rentabilidade média mais elevada comparando com os restantes títulos do índice PSI20. 22

Figura 4 Rentabilidade histórica do título J. MARTINS SGPS Figura 5 Rentabilidade histórica do título MOTA ENGIL 23

3.2 Alternativas de diversificação da carteira São estudadas três alternativas alterando os parâmetros das restrições que impõem explicitamente uma diversificação da carteira estabelecendo a proporção máxima para cada título. Para a alternativa 1 ensaia-se a situação em que não há limite ao investimento em qualquer um dos títulos, na alternativa 2 estabelece-se que o máximo a investir por título é 25% do montante total a investir na carteira e na alternativa 3 considera-se que o máximo a investir num título é 10%. 3.3 Resultados Na selecção das rentabilidades mínimas para as alternativas em ambos os modelos, optou-se por atribuir valores negativos, uma vez que a rentabilidade média é negativa (- 0,1%), e não se admite a possibilidade de investir em outros títulos que não os do PSI 20. Na Figura 6 pode observar-se a correspondência dos valores assumidos por com os 20 títulos do índice PSI20. Figura 6 Correspondência dos índices j aos 20 títulos analisados 24

Figura 7 Rentabilidade e risco das alternativas de diversificação da carteira em ambos os modelos Na alternativa 3 não foi possível obter soluções admissíveis para a mesma rentabilidade das alternativas 1 e 2, devido à restrição de investimento máximo num título ser 10% do montante total a investir na carteira. Assim, foi considerada uma rentabilidade mínima de -5%. Figura 8 Composição das carteiras óptimas nas alternativas de ambos os modelos Analisando a composição das carteiras óptimas obtidas nas alternativas do modelo de Markowitz conclui-se que na alternativa 1 e 2 as carteiras devem ser compostas pelos títulos EDP RENOVÁVEIS, J. MARTINS SGPS, P. TELECOM, REN e SEMAPA havendo apenas diferença no montante a investir nos títulos que compõem as carteiras. Na alternativa 3, verifica-se que existiu uma maior diversificação na composição da carteira devendo esta ser composta pelos seguintes 13 títulos: BES, BANIF SGPS, 25

BRISA, CIMPOR SGPS, EDP, EDP RENOVÁVEIS, GALP ENERGIA, J. MARTINS SGPS, P. TELECOM, PORTUCEL, REN, SEMAPA e SONAECOM SGPS. No que diz respeito à composição das carteiras óptimas obtidas pelo modelo de Konno e Yamazaki verifica-se que a composição das carteiras obtidas nas alternativas 1 e 2 é igual sendo compostas pelos títulos EDP RENOVÁVEIS, J. MARTINS SGPS, P. TELECOM, PORTUCEL, REN e SEMAPA. Na alternativa 3 a carteira deve ser composta pelos seguintes 14 títulos: ALTRI SGPS, BANIF SGPS, BRISA, CIMPOR SGPS, EDP, EDP RENOVÁVEIS, GALP ENERGIA, J. MARTINS SGPS, P. TELECOM, PORTUCEL, REN, SEMAPA, SONAECOM SGPS e ZON MULTIMÉDIA. Na totalidade das alternativas em ambos os modelos verifica-se que os títulos EDP RENOVÁVEIS, J. MARTINS SGPS, P. TELECOM, REN e SEMAPA foram sempre seleccionados para constituírem as carteiras óptimas obtidas. É pertinente referir também que nas 3 alternativas de ambos os modelos os títulos B. COM. PORTUGUÊS, BPI, MOTA ENGIL, SONAE e SONAEIND. SGPS não foram incluídos nas carteiras. Analisando a Figura 1 com maior detalhe, destaca-se a relação entre os títulos melhor classificados no índice Sharpe e a sua selecção para as carteiras óptimas obtidas nas 3 alternativas de diversificação da carteira, nomeadamente os títulos J. MARTINS SGPS e P. TELECOM, por outro lado os títulos com pior classificação neste índice, nomeadamente o B. COM. PORTUGUÊS e a MOTA ENGIL nunca foram seleccionados para pertencerem às carteiras óptimas obtidas nas alternativas de diversificação. Como as carteiras óptimas são diferentes nos dois modelos, conclui-se que os retornos não seguem uma distribuição normal multivariada, como seria de esperar, dado o período de crise considerado. Passando à análise dos preços sombra temos o seguinte: 26

Figura 9 Preços sombra de rendimento e montante total a investir obtidos nas alternativas do modelo de Konno e Yamazaki Figura 10 Preços sombra das restrições de diversificação de títulos na alternativa 2 do modelo de Konno e Yamazaki 27

Figura 11 Preços sombra das restrições de diversificação de títulos na alternativa 3 do modelo de Konno e Yamazaki Como se referiu uma das vantagens de utilizar um modelo linear é a possibilidade de interpretar o valor dos preços sombra. Na Figura 9, tem-se, para cada uma das alternativas, o preço sombra do parâmetro (rendimento ou montante total a investir), o seu valor corrente e o intervalo de variação em que se mantém válido. Por exemplo, no que diz respeito à alternativa 1, pode afirmar-se que se o montante a investir aumentasse uma unidade, o risco total associado à carteira seleccionada aumentaria 0.0102. Mais genericamente, desde que a alteração do montante a investir se situasse no intervalo (-3.6546,3.3729) a variação do risco seria directamente proporcional, com constante de proporcionalidade igual a 0.0102, o preço sombra. Comparando as três alternativas estudadas observa-se que os preços sombra do montante a investir são muito semelhantes, sendo contudo ligeiramente superior na alternativa 3. 28

Quanto à reacção do risco a ligeiras variações do rendimento mínimo exigido (primeira linha da Figura 9), verifica-se que também não difere nas diversas alternativas mas o valor é mais elevado, sendo os intervalos de variação de amplitude bastante reduzida. O facto de todos os preços sombra desta tabela serem positivos traduz a ideia de que a uma maior exigência no rendimento mínimo ou disponibilidade para investimento correspondem carteiras óptimas com um maior risco. Nas Figuras 10 e 11 encontra-se a informação sobre os preços sombra relativos aos parâmetros que limitam o montante a aplicar em cada um dos títulos, para as alternativas 2 e 3, respectivamente. Recorde-se que na alternativa 1 não se estabelece qualquer limite à composição da carteira. Esta medida é válida enquanto a variação do rendimento pertencer ao intervalo de Aumento Permitido e Diminuição Permitida". Como seria de esperar, os preços sombra na Figura 9 são positivos, o que traduz a ideia de que existe uma ligação entre a rentabilidade e o risco no sentido directo. Nas Figuras 10 e 11 verifica-se a existência de preços sombra cujo valor é zero, pelo que se pode interpretar que para estes títulos não foi atingido o respectivo limite. Assim, a solução óptima não se altera desde que a variação do limite se mantenha dentro do intervalo diminuição/aumento permitido. Títulos com preço sombra negativo são aqueles cuja abolição do limite permitiria diminuir o risco total da carteira, de acordo com a medição feita na função objectivo. 29

4 Conclusões A aplicação prática dos modelos de desvio padrão de Markowitz e desvio absoluto de Konno e Yamazaki aos títulos transaccionados diariamente no índice PSI20, aponta no sentido das vantagens do modelo de Konno e Yamazaki face ao modelo de Markowitz, anteriormente referidas. Em particular, uma maior rapidez se comparado o conjunto dos procedimentos necessários para o cálculo de carteiras óptimas de títulos, sobretudo em carteiras onde está considerado um número elevado de acções, na simplicidade de actualização do modelo com novos dados, na facilidade de resolução de um problemas de programação linear e na possibilidade de analisar a informação contida nos preços sombra. 30

5 Anexos 5.1 Outputs do SOLVER referentes às alternativas analisadas Os outputs extraídos do Microsoft Excel através da ferramenta Solver Premium Pro para os modelos são os seguintes: Modelo de Markowitz Relatório de respostas. Modelo de Konno e Yamazaki Relatório de respostas; Relatório de sensibilidade. 31

5.1.1 Anexo 1 - Output da alternativa 1 do modelo de Markowitz Figura 12 Relatório de respostas da alternativa 1 modelo de Markowitz 32

5.1.2 Anexo 2 - Output da alternativa 2 do modelo de Markowitz Figura 13 Relatório de respostas da alternativa 2 do modelo de Markowitz 33

5.1.3 Anexo 3 - Output da alternativa 3 do modelo de Markowitz Figura 14 Relatório de respostas da alternativa 3 do modelo de Markowitz 34

5.1.4 Anexo 4 - Outputs da alternativa 1 do modelo de Konno e Yamazaki Figura 15 Relatório de respostas da alternativa 1 do modelo de Konno e Yamazaki 35

Figura 16 Relatório de sensibilidade da alternativa 1 do modelo de Konno e Yamazaki 36

Referências Júdice, J. J., Ribeiro, C. O., & Santos, J. P. (2003). "Análise Comparativa dos Modelos de Selecção de Carteiras de Acções de Markowitz e Konno". Inv. Op. Vol.23 nº2, pp. 211-224. Konno, H., & Yamazaki, H. (1991). Mean-Absolute Deviation Portfolio Optimization Model and Its Applications to Tokyo Stock Market. Management Science, vol.37, 519-531. Levinson, M. (2005). "Guia dos Mercados Financeiros". Editorial Caminho. Markowitz, H. (1952). "Portfolio Selection". Journal of Finance, vol. 7, 77-91. Nyse Euronext. (2011). "Rules for the PSI 20 Index". Nyse Euronext. Risk Metrics. (1999). "Risk Metrics Technical Document" 77-101. J. P. Morgan. 41