Good Deal Bounds e o caso das opções EuroStoxx50

Transcrição

1 Good Deal Bounds e o caso das opções EuroStoxx50 André Ribeiro Carlos Pinto Mestrado em Matemática Financeira Factor de Desconto Estocástico Os indíviduos, valorizam mais o consumo presente que o futuro. Assim, através do factor de desconto podemos chegar à relação: p E(mx) 1 E( mr) 0 E( mr e ) R e R R f 1

2 Alternativas de Valorização 1. Preço Absoluto implica a construção de modelos económicos para factores de desconto, que podem avaliar uma vasta classe de payoffs. Exemplo:. Preço Relativo extrai-se informação sobre o valor de um dado activo, observando o preço de outros activos. Isto, sobre o pressuposto da Lei dopreço Único. Exemplos: APT e Black and Scholes. Pontos negativos - O preço absoluto, dá-nos uma previsão muito ampla de preços. - No preço relativo, é preciso que os payoffs sejam exactamente replicados por uma carteira.

3 Valorização de Opções Ideia de Black-Scholes: - assume-se um certo processo estocástico para o preço do activo: ds Sdt Sdz Pelo Lema do Itô C C S C 1 C C S S t Sz t S S - constrói-se portfolio de opções vendidas + activos comprados (caso call): C C S S - exige-se que num intervalo infinitesimal de tempo o portfolio não tenha risco gerando no mesmo intervalo o mesmo que a mesma quantidade monetária investida em activos sem risco: C C S S rt Equação diferencial de Black-Scholes-Merton C C C 1 rs S rc t S S Juntamente com condições fronteira em T: C max S K;0, t T P max S K;0, t T Fórmula de Black- Scholes (BS), 1973 rt C Ke N( d) S0N( d1) lns0 / K ( r / ) T d1 T P Ke rt N( d) S0N( d1) d lns0 / K ( r / ) T d T T 1 A equação diferencial de Black-Scholes-Merton é independente das preferências dos investidores pois não inclui nenhum termo sobre as expectativas de retorno do stock - NEUTRALIDADE AO RISCO Usando o princípio de neutralidade ao risco chegava-se à fórmula de BS: rt C e Ê max( S K,0) É o caso p=e(mx) em que m é constante T (caso para a call europeia) 3

4 Resumem-se assim as hipóteses do modelo usados no modelo mais utilizado pelo mercado na valorização de opções: 1. O subjacente segue um processo com retornos logarítmicos normais. É permitido fazer short-selling 3. Não existem custos de transacção 4. Não existem oportunidades de arbitragem 5. A transacção de activos é realizada continuamente 6. Problemas encontrados 1. Existência de fat tails e desvios à forma funcional da distribuição log normal. Não é possível transaccionar os títulos continuamente e obter a liquidez desejada implícita na elaboração da fórmula sorrisos por explicar MERCADOS INCOMPLETOS 4

5 Soluções: É comum assumir preços para os activos em falta e então avaliar opções por argumentos de arbitragem (Cochrane, Saá_Requejo 1996) propõe-se avaliar opções estabelecendo preços máximos e mínimos possíveis ( upper and lower bounds ) usando um conjunto de coberturas aproximadas disponíveis no mercado (Cochrane, Saá_Requejo 1996) Lower and Upper Bounds para quê? 1. Para que usar fórmulas de preços de opções com hipóteses de replicação que não são permitidas no mercado?. Um market-maker que pretende sintetizar um derivado pode usar as good deals bounds para estabelecer preços bid-ask 3. Um trader pode usar as bounds como preços de referência à procura de bons negócios 4. Quando são grandes quantificam a nossa ignorância e informam-nos que a forma tradicional de valorização é particularmente má e que as coberturas aproximadas não são de facto boas. 5

6 O problema (caso lower ) - Minimizar o preço das opções, através da escolha do factor de desconto estocástico, que correctamente valorize os activos base e satisfaça as restrições para a estatística do factor de desconto: Limite inferior no preço da opção Factor de desconto Payoff da opção Preço e payoff dos activos primitivos Limite para o índice de Sharpe Taxa de Juro sem risco m 0 Condições para a não arbitragem Condição do valor máximo para o Índice de Sharpe m 0 p( x) s p m x s s s Arbitragem: payoffs positivos geram preços negativos. Se m>0, impossível! O trader quer comprar o portfolio com maior Índice de Sharpe, sobavaliando o portfolio: =h, rho=-1 6

7 Reformulando o problema Definindo resulta para o problema da lowe bound, Introduzindo o método dos multiplicadores de Lagrange (Hanse, Heaton, Luttmer ) podemos reescrever o problema: Resultando como condições de Kuhn-Tucker: A dedução para a upper bound seria equivalente. Obtém-se como solução:? 7

8 Aplicação no cenário Black-Scholes é necessário assumir uma distribuição. Black-Scholes: o retorno dos activos,,está distribuído segundo uma log-normal, f(r) R S / T S iremos estudar o caso de calls, Problemas que se colocam: 1º Determinar o primeiro termo da equação em função dos multiplicadores de Lagrange º Encontrar os valores possíveis dos multiplicadores de Lagrange de tal forma que maximizem o preço da call. 1º Problema c, x x E f ( 0, 1, ) 8

9 º Problema A resolução algébrica do problema é bastante penosa. O problema fica resolvido por métodos numéricos (uso do GAUSS). A convergência fica garantida se a função for côncava. Processo da simulação: 1. Encontrar os lambdas para o ponto de partida (caso em que não há restrição a m) (ficam encontrados igualando esta expressão com a anterior os lambdas iniciais). Procurar a direcção da maior variação (cálculo do gradiante) 3. Dar um passo e repetir. até que o gradiente seja nulo (máximo) ou que seja valor máximo STOP Caso prático Estudemos Good Deal Bounds para opções sobre o EuroStoxx 50 (histórico com 500 dias úteis) Posição : 30/11/007 Maturidade: 1 ano Spot: Strike: E( R): 1,063 Volatilidade Anualizada: 15,% (anualizou-se tendo em conta que o ano tem 55 dias úteis) Taxa de Juro sem Risco a 1 ano:4,686% Índice Sharpe Limite, h: 1.0 9

10 RESULTADOS em torno de um certo valor a largura das bounds é máxima para valores afastados a largura das bounds tende para zero e converge para o valor do preço de Black-Scholes Spot Upper Bound Low Bound Conclusões em torno de certos valores a largura das bounds é máxima traduz Maior dificuldade em replicar a estrutura no mercado com portfolios stock + obrigação Black-Scholes traduz a nossa ignorância quanto ao preço das opções para valores afastados a largura das bounds tende para zero e converge para o valor do preço de Black-Scholes Facilidade em replicar a estrutura no mercado com portfolios stock + obrigação Black-Scholes e hipóteses são aplicadas 10

11 E críticas Críticas: Modelo exige implementação numérica Inexistência de fórmula fechada Pouco praticável no Mercado [1] Beyound Arbitrage: Good-Deal Asset Price Bounds in Incomplete Markets, John Cochrane, Saá-Requejo 11