MODELOS DETERMINÍSTICOS DE SUCESSÕES CRONOLÓGI- CAS (Métodos Tradicionais ou Ingénuos)

MODELOS DETERMINÍSTICOS DE SUCESSÕES CRONOLÓGI- CAS (Métodos Tradicionais ou Ingénuos) 1. Sucessões cronológicas Uma sucessão cronológica é um conjunto de observações tomadas em instantes de tempo determinados em geral com intervalos iguais. Exemplos de sucessões cronológicas são: a produção total anual de aço nos Estados Unidos, durante um certo número de anos, o valor diário de encerramento de uma determinada acção na Bolsa de Valores, as temperaturas horárias anunciadas pelo serviço meteorológico de uma cidade, o total mensal das vendas de uma loja de departamentos Matematicamente, uma sucessão cronológica é definida pelos valores Y 1, Y 2, de uma variável Y (que pode ser temperatura, valor de encerramento de uma acção, etc.), nos instantes t 1, t 2,. Portanto, Y é uma função de t simbolizada por Y = F(t). 2. Representação gráfica das sucessões cronológicas Uma sucessão cronológica que envolve uma variável Y é representada, ilustrativamente, por meio da construção de um gráfico de Y em função de t. O gráfico da Fig. 1, representa os valores anuais de uma sucessão cronológica relativa ao rebanho animal dos Estados Unidos, entre 1870 e 1960. Fig. 1 1

3. Movimentos característicos das sucessões cronológicas È interessante imaginar que o gráfico de uma sucessão cronológica, como o representado na Fig. 1, pode ser descrito por um ponto que se move ao longo do tempo, de alguma forma análogo à trajectória de uma partícula material que se desloca sob a influência de forças físicas. No entanto, o movimento pode ser provocado, em vez de forças físicas, por uma combinação de forças económicas, sociológicas, psicológicas e outras (Note-se que não há aqui considerações de tipo probabilístico). Experiências realizadas com muitos exemplos de sucessões cronológicas (portanto de forma inteiramente empírica) revelaram certos movimentos ou variações características, alguns dos quais, ou todos, estão presentes em graus diversos. A análise desses movimentos é de grande valor em vários casos, um dos quais é o problema da previsão de movimentos futuros. Em consequência, não deve constituir surpresa o facto de muitas indústrias e sectores governamentais estarem profundamente interessados neste assunto. 4. Classificação dos movimentos das sucessões cronológicas Os movimentos característicos das sucessões cronológicas podem ser classificados em quatro tipos principais, frequentemente denominados componentes de uma sucessão cronológica: 4.1. Os movimentos de tendência. Referem-se à direcção geral segundo a qual parece que o gráfico da sucessão cronológica se desenvolve, num intervalo de tempo longo. No gráfico da Fig. 1, por exemplo, esse movimento secular ou, como é por vezes denominado, variação ou tendência secular, está indicado pela curva de tendência, representada em linha tracejada. Para algumas sucessões cronológicas, pode ser adequada uma recta de tendência. A determinação dessas rectas e curvas de tendências, pode ser efectivada através de regressão linear. Outros métodos serão também examinados. 4.2. Os movimentos ou variações cíclicas, referem-se às oscilações a longo prazo ou a desvios em torno da recta ou da curva de tendência. Esses ciclos, como são frequentemente denominados, podem ser ou não periódicos, isto é, podem ou não seguir padrões exactamente análogos ao longo de intervalos de tempo iguais. Nas actividades económicas e comerciais, os movimentos só são considerados cíclicos quando ocorrem com intervalos de tempo superiores a um ano. Exemplos importantes de movimentos cíclicos são os denominados ciclos de negócios, que representam intervalos de prosperidade, recessão, depressão e recuperação. Na Fig. 1, os movimentos cíclicos em torno da curva de tendência são perfeitamente visíveis. 4.3. Os movimentos ou variações por estações (sazonalidade), referem-se a padrões idênticos, ou quase, a que uma sucessão cronológica parece obedecer durante os mesmos meses, ou períodos ( trimestres, quadrimestres, semestres), de anos sucessivos. 2

Esses movimentos são resultantes de movimentos periódicos que ocorrem anualmente, como, por exemplo, o aumento das vendas de uma loja de departamentos antes do Natal. Na Fig. 1, não aparecem movimentos por estações, porque, na obtenção do gráfico, foram utilizados apenas dados anuais. Embora os movimentos por estações se refiram, geralmente, à periodicidade anual dos negócios ou das teorias económicas, as ideias neles implicadas podem ser generalizadas, para incluir a periodicidade relativa a qualquer intervalo de tempo, como a diária, a horária, a semanal etc., conforme o tipo dos dados disponíveis. 4.4. Os movimentos irregulares ou aleatórios, referem-se aos deslocamentos esporádicos das sucessões cronológicas, provocados por acontecimentos casuais, como cheias, greves, eleições, etc. Embora, ordinariamente, se admita que esses acontecimentos produzem variações sómente durante um curto período, é concebível que elas sejam tão intensas que acarretem novos movimentos cíclicos ou de outra natureza. 5. Análise das sucessões cronológicas A análise das sucessões cronológicas consiste numa descrição (geralmente matemática) dos movimentos componentes que se apresentam. Como exemplificação dos processos implicados nessa descrição, considerem-se os três painéis da Fig. 2, que se referem a uma sucessão cronológica ideal. A Fig. 2(a) representa o gráfico de uma recta de tendência a longo prazo ou secular (poder-se-ia, também, ter usado uma curva de tendência). A Fig. 2(b) apresenta essa linha de tendência a longo prazo com a sobreposição de um movimento cíclico (considerado periódico). A Fig. 2(c) mostra a sobreposição de um movimento por estações, ou sazonal, ao gráfico da Fig. 2(b). Se fossem sobrepostos ao gráfico da Fig.2(c) alguns movimentos aleatórios ou irregulares, o resultado apresentaria ainda maior semelhança com as sucessões cronológicas que se observam na prática. Fig. 2 As ideias acima apresentadas proporcionam uma técnica possível para a análise das sucessões cronológicas. Admita-se que a variável Y de uma sucessão cronológica é 3

um produto das variáveis T, C, S e I, que produzem, respectivamente, os movimentos de tendência, cíclicos, por estações (sazonais) e irregulares. Simbolicamente temos: Y = T C S I = TCSI (1) A análise das sucessões cronológicas consiste numa investigação dos factores T, C, S e I, e é frequentemente classificada como a decomposição de uma sucessão cronológica nos seus movimentos componentes básicos. Dever-se-ia mencionar que alguns autores preferem considerar Y como a soma das componentes básicas envolvidas: Y = T + C + S + I (2) Embora seja essencialmente adoptada, nos métodos a expor, a decomposição do tipo multiplicativo, procede-se de modo análogo no caso da decomposição aditiva. Na prática, a decisão acerca do método de decomposição que deve ser admitido depende do grau de sucesso alcançado com a aplicação da hipótese. 6. Médias móveis. Regularização das sucessões cronológicas Dado um conjunto de números: Y 1, Y 2, Y 3, (3) define-se uma média móvel de ordem N, que é obtida pela sequência das médias aritméticas, como Y1 + Y2 + + YN Y2 + Y3 + + YN + 1 Y3 + Y4 + + YN + 2,,, N N N (4) As somas dos numeradores de (4) são denominadas totais móveis de ordem N. Exemplo 1. Dados os números 2, 6, 1, 5, 3, 7, 2, uma média móvel de ordem 3 será dada pela sequência 2 + 6 + 1 6 + 1+ 5 1+ 5 + 3 5 + 3 + 7 3+ 7 + 2,,,, 3 3 3 3 3 (5) isto é: 3, 4, 3, 5, 4. Costuma-se localizar cada número da média móvel na sua posição apropriada em relação aos dados originais. Neste exemplo escrever-se-ia: Dados originais 2, 6, 1, 5, 3, 7, 2 Médias móveis de ordem 3 3, 4, 3, 5, 4 4

cada número da média móvel sendo a média dos 3 dados imediatamente acima dele. Se os dados forem fornecidos anualmente ou mensalmente, as médias móveis de ordem N são denominadas, respectivamente, média móvel de N anos ou de N meses. Por conseguinte, referem-se a médias móveis de 5 anos, de 12 meses, etc. É claro que pode ser usada qualquer outra unidade de tempo. As médias móveis têm a propriedade de tenderem a reduzir o total da variação que se apresenta num conjunto de dados. No caso das sucessões cronológicas, essa propriedade é frequentemente usada para eliminar flutuações indesejáveis e o processo é denominado regularização das sucessões cronológicas. Se nas expressões (4) forem usadas as médias aritméticas ponderadas, sendo os pesos especificados antecipadamente, a sequência resultante é denominada média móvel ponderada de ordem N. Exemplo 2. Se forem utilizados, no Exemplo 1, os pesos 1, 4, 1, a média móvel ponderada de ordem 3 vem dada pela sequência: 2(1) + 6(4) + 1(1) 6(1) + 1(4) + 5(1) 1(1) + 5(4) + 3(1),,, 6 6 6 5(1) + 3(4) + 7(1) 3(1) + 7(4) + 2(1), 6 6 (6) ou seja: 4,5; 2,5; 4; 4; 5,5. 7. Avaliação da tendência A avaliação da tendência pode ser feita de várias maneiras: 7.1. O método dos mínimos quadrados, pode ser usado para determinar a equação de uma recta ou curva de tendência apropriada. Pode-se calcular, por meio dessa equação, os valores T da tendência. 7.2. O método a sentimento, que consiste no ajustamento de uma recta ou curva de tendência, mediante a simples inspecção do gráfico, pode ser adoptado para a avaliação de T. Este método tem a desvantagem evidente de depender consideravelmente do critério ou juízo de valor individual (subjectividade). 7.3. O método das médias móveis. Mediante o emprego de médias móveis de ordem apropriada, podem ser eliminadas as variações cíclicas, estacionais (sazonalidade) e irregulares, isolando-se, dessa forma, apenas o movimento de tendência. Uma desvantagem deste método é que desaparecem os dados do início e do fim da série. Dessa forma, nos exemplos 1 e 2 acima, parte-se de uma série com 7 números e, 5

tomando-se uma média móvel de ordem 3, fica-se apenas com 5 números na série das médias móveis. Outra desvantagem é que as médias móveis podem gerar movimentos cíclicos, ou de outra natureza, que não existam nos dados originais. Uma terceira desvantagem é que as médias móveis são fortemente afectadas por valores extremos. Para superar de certo modo essa desvantagem, usa-se, por vezes, uma média móvel ponderada, com pesos apropriados. Nesses casos, ao valor (ou valores) central é atribuído o maior peso e aos valores extremos os menores. 7.4. O método das semimédias, consiste em separar os dados em duas partes (de preferência iguais) e calcular a média de cada uma delas, obtendo-se, dessa forma, dois pontos do gráfico das sucessões cronológicas. É desenhada, então, uma recta de tendência entre esses dois pontos e os valores da tendência podem assim ser determinados. Os valores da tendência podem também ser determinados directamente, sem o emprego de um gráfico (ver o Probl. 5). Embora este método seja de aplicação simples, ele pode conduzir a resultados medíocres, quando usado indiscriminadamente. Deve aplicar-se apenas quando a tendência é linear ou aproximadamente linear, embora possa ser generalizado aos casos em que os dados são agrupados em várias partes, sendo em cada uma delas a tendência linear. 8. Avaliação das variações por estações. Índice por estação (sazonalidade) Para determinar o factor por estação, S, da Eq. (1) deve-se avaliar de que maneira os dados de uma sucessão cronológica variam de mês a mês, através de um ano padrão. Um conjunto de números que mostre os valores relativos de uma variável durante os meses do ano é denominado índice por estação da variável. Se, por exemplo, se sabe que as vendas, durante os meses de Janeiro, Fevereiro, Março, etc., foram 50, 120, 90,... % da média mensal de todo o ano, os números 50, 120, 90,... proporcionam um índice anual por estação e são às vezes designados por números índices por estação. O índice médio por estação (a média) correspondente ao ano completo é 100%, isto é, a soma dos números índice mensais seria 1200%. Existem vários métodos para o cálculo dos índices por estação (sazonalidade): 8.1. Método da percentagem média. Neste método, os dados de cada mês são expressos em percentagem da média anual. As percentagens dos meses correspondentes dos diferentes anos são equilibradas mediante o emprego de uma média ou mediana. Se for adoptada a média, convém evitar os valores extremos que possam ocorrer. Este problema não ocorre utilizando-se a mediana. As 12 percentagens resultantes dão os índices por estação ou índices de sazonalidade. Se a sua média não for de 100% (isto é, se a soma não for 1200%), elas devem ser acertadas, mediante a sua multiplicação por factores convenientes. 6

8.2. Método da tendência ou relação percentual. Neste método, os dados de cada mês são expressos em percentagem dos valores da tendência mensal (e não da média anual). Uma média adequada das percentagens dos meses correspondentes dá, então, os índices desejados. Tal como no método anterior, eles são ajustados quando a média não for de 100%. Note-se que a divisão de cada valor mensal, Y, pelo correspondente valor da tendência, T, produz o valor Y/T = CSI da Eq. (1). A média subsequente dos valores de Y/T produz os índices por estação (sazonalidade) que podem incluir variações cíclicas e irregulares, especialmente quando elas são grandes. Esse facto pode representar uma desvantagem importante deste método. 8.3. Método da média móvel percentual ou da relação entre médias móveis. Neste método, calcula-se uma média móvel de 12 meses. Como os resultados assim obtidos caem entre meses sucessivos, em vez de no meio de um deles, como ocorre com os dados originais, calcula-se a média móvel de 2 meses daquela de 12 meses. O resultado é frequentemente denominado média móvel centrada de 12 meses. Depois disso, os dados originais de cada mês são expressos em percentagem da média móvel centrada de 12 meses correspondente. Calcula-se, então, a média das percentagens dos meses correspondentes, que dá o índice desejado. Como anteriormente, eles serão ajustados quando não apresentarem uma média de 100%. Note-se que o raciocínio lógico em que se baseia este método, provém da Eq. (1). Uma média móvel centrada de 12 meses dos valores de Y presta-se para eliminar os movimentos por estação (sazonais) e irregulares, S e I, e é, portanto, equivalente aos valores dados por TC. Então, a divisão dos dados originais por TC produz os valores de SI. As médias subsequentes para os meses correspondentes prestam-se para eliminar a irregularidade I e, dessa forma, conduz a um índice S conveniente. 8.4. O método dos elos relativos. Neste método, os dados de cada mês são expressos em percentagem dos dados do mês anterior. Essas percentagens são denominadas elos relativos, porque elas encadeiam cada mês ao precedente. Toma-se, então, uma média adequada dos elos relativos referentes aos meses correspondentes. Desses 12 elos relativos médios podem ser obtidas as percentagens relativas de cada mês, reportadas à de Janeiro, que é considerada de 100%. Depois disso feito, verifica-se, usualmente, que o próximo Janeiro tem uma percentagem acumulada superior ou inferior a 100%, dependendo de ter havido, ou não, acréscimo ou decréscimo da tendência. Ao empregar este método, as várias percentagens obtidas podem, então, ser ajustadas para essa tendência. As percentagens finais, ajustadas de modo a apresentarem a média de 100%, proporcionam o índice por estação (sazonalidade) desejado. 9. Desestacionalização (dessazonalização) dos dados Se os dados mensais originais são distribuídos de acordo com os números índices por estações correspondentes, diz-se que os dados resultantes estão desestacionalizados 7

ou ajustados à variação por estações. Esses dados incluem ainda os movimentos de tendência, cíclicos e irregulares. 10. Avaliação das variações cíclicas Depois dos dados serem desestacionalizados, eles podem também ser ajustados à tendência, mediante a sua simples divisão pelos valores de tendência correspondentes. De acordo com a Eq. (1), o processo de ajustamento à variação por estação e à tendência corresponde à divisão de Y por ST, o que dá CI, isto é, as variações cíclicas e irregulares. Uma média móvel apropriada, de duração de uns poucos meses (3, 5 ou 7 meses, por exemplo, de modo que a centralização subsequente não seja necessária) serve, então, para atenuar as variações irregulares I e deixar apenas as cíclicas. Uma vez isoladas, elas podem ser estudadas detalhadamente. Se ocorrer a periodicidade (ou periodicidade aproximada) dos ciclos, podem ser idealizados índices cíclicos, de modo muito semelhante ao dos índices por estações. 11. Avaliação das variações irregulares ou aleatórias A avaliação das variações irregulares ou aleatórias pode ser realizada mediante o ajustamento dos dados às variações da tendência, por estação e cíclicas. Isso obriga a dividir os dados originais Y por T, S e C, o que, de acordo com a Eq. (1), produz I. Na prática, verifica-se que os movimentos irregulares tendem a ser de pequena amplitude e que eles, frequentemente, tendem a seguir o padrão de uma distribuição normal, isto é, aquela na qual os pequenos desvios ocorrem com grande frequência e os grandes desvios ocorrem com pequena frequência. 12. Comparabilidade dos dados Deve-se ser sempre cuidadoso na comparação dos dados, quando essa providência é justificada. Por exemplo, ao comparar os dados de Março com os de Fevereiro, deve-se recordar que Março tem 31 dias, enquanto que Fevereiro tem 28 ou 29 dias. De modo semelhante, ao comparar os meses de Fevereiro de anos diferentes, deve-se lembrar que, nos anos bissextos, Fevereiro tem 29 em vez de 28 dias. O número de dias de trabalho de vários meses do mesmo, ou de anos diferentes, podem, também, ser diferentes por causa de férias, greves, licenças, etc. Na prática, nenhuma regra definida é seguida para efectuar os ajustamentos devidos a essas variações. A necessidade desse ajustamento é deixada ao arbítrio do investigador. Mais concretamente, ao bom senso (que não se ensina, apenas se pratica). 13. Previsão As ideias acima apresentadas podem ser usadas como auxílio no problema da previsão de sucessões cronológicas. Entretanto, deve-se compreender que o tratamento 8

matemático dos dados não resolve, isoladamente, todos os problemas. Conjugando o bom senso com a experiência, a habilidade e o bom julgamento do investigador, essa análise matemática pode, não obstante, ser valiosa para a previsão tanto a longo como a curto prazo. 14. Sumário das etapas fundamentais na análise das sucessões cronológicas 1. Coleccionar os dados das sucessões cronológicas, fazendo todo o esforço para assegurar que os dados são fidedignos. Na colheita dos dados deve-se ter sempre em mente a finalidade eventual da análise das sucessões cronológicas. Por exemplo, se se deseja prever uma certa sucessão cronológica, pode ser conveniente a obtenção de sucessões cronológicas correlatas, bem como outras informações. Se for necessário, ajustam-se os dados para comparação, isto é, ajustam-se os anos bissextos, etc. 2. Representar graficamente a sucessão cronológica, assinalando-se qualitativamente a presença da tendência a longo prazo e as variações cíclicas e por estações (sazonalidade). 3. Construir a curva ou a recta de tendência a longo prazo e obter valores adequados da tendência mediante o emprego de um dos métodos: mínimos quadrados, a sentimento, médias móveis ou semimédias. 4. Se houver variações por estações, obter um índice por estação e ajustar os dados àquelas variações, isto é: desestacionalizar os dados. 5. Ajustar os dados desestacionalizados à tendência. Os dados resultantes contêm (teóricamente) apenas as variações cíclicas e irregulares. Uma média móvel de 3, 5 ou 7 meses pode ser usada para remover as variações irregulares e revelar as cíclicas. 6. Representar graficamente as variações cíclicas obtidas na etapa 5, anotando quaisquer periodicidades (ou periodicidades aproximadas) que possam ocorrer. 7. Mediante a combinação dos resultados das etapas de 1 a 6, e utilizando qualquer outra informação disponível, fazer uma previsão (se for desejada) e, se possível, discutir as fontes de erro e a grandeza deste. 9

Problemas Resolvidos Movimentos característicos das sucessões cronológicas 1. A que movimento característico de uma sucessão cronológica está fortemente associada cada uma das seguintes ocorrências? (a) Um incêndio numa fábrica, atrasando a produção em 3 semanas. (b) Uma era de prosperidade. (c) Uma venda posterior à Páscoa, numa loja de um shopping. (d) A necessidade de aumentar a produção de trigo devido ao acréscimo constante da população. (e) Os valores mensais de precipitação numa cidade, durante um período de 5 anos. Soluções: (a) Irregular (b) Cíclico (c) Por estação ou sazonal (d) Tendência a longo prazo (e) Por estação ou sazonal Médias móveis 1. A Tabela 1 relaciona a produção média mensal norte-americana de carvão betuminoso, em milhões de toneladas, durante os anos de 1948 a 1958. Construir uma (a) média móvel de 5 anos; (b) média móvel de 4 anos; (c) média móvel centrada de 4 anos. Tabela 1 Anos 1948 1949 1950 1951 1952 1953 1954 1955 1956 1957 1958 Produção média mensal de carvão betuminoso 50 36,5 43 44,5 38,9 38,1 32,6 38,7 41,7 41,1 33,8 (milhões de toneladas) Fonte: Survey of Current Business 10

Soluções: (a) Refere-se à Tabela 2. Tabela 2 Anos Dados Movimento total de 5 anos Média móvel de 5 anos 1948 50,0 1949 36,5 1950 43,0 212,9 42,6 1951 44,5 201,0 40,2 1952 38,9 197,1 39,4 1953 38,1 192,8 38,6 1954 32,6 190,0 38,0 1955 38,7 192,2 38,4 1956 41,7 187,9 37,6 1957 41,1 1958 33,8 O primeiro total móvel, 212,9 da coluna 3 é a soma da 1.ª até a 5.ª casa da coluna 2. O segundo total móvel, 201, é a soma da 2.ª até a 6.ª casa da coluna 2, e assim sucessivamente. Na prática, depois de se obter o primeiro total móvel, 212,9 o segundo será facilmente obtido mediante a subtração de 50 (1.ª casa da coluna 2) e a soma de 38,1 (6.ª casa da coluna 2), obtendo-se o resultado 201. Os totais móveis sucessivos são obtidos de modo semelhante. Dividindo-se cada total móvel por 5, obtém-se a média móvel desejada. (b) Refere-se à Tabela 3. Os totais móveis de 4 anos são obtidos como em (a), excepto que são somadas 4 casas da coluna 2, em vez de 5. Note-se que os totais móveis estão centrados entre anos sucessivos de modo diferente de (a). Este será sempre o caso quando for considerado um número par de anos para a média móvel. Considerando-se que 1949 por exemplo, se refere a 1 de Julho, o primeiro total móvel de 4 anos está centrado em 1 de Janeiro de 1950 ou em 31 de Dezembro de 1949. O valor obtido pode ser colocado na célula correspondente a 1949 ou a 1950. As médias móveis de 4 anos são obtidas dividindo-se os totais móveis de 4 anos por 4. 11

Tabela 3 Anos Dados Movimento total de 4 anos Média móvel de 4 anos 1948 50,0 1949 36,5 174,0 43,5 1950 43,0 162,9 40,7 1951 44,5 164,5 41,1 1952 38,9 154,1 38,5 1953 38,1 148,3 37,1 1954 32,6 151,1 37,8 1955 38,7 154,1 38,5 1956 41,7 155,3 38,8 1957 41,1 1958 33,8 (c) Primeiro método: Refere-se à Tabela 4. Calcula-se, primeiramente, a média móvel de 4 anos, como em (b). Esses valores estão centrados entre anos sucessivos, como foi mostrado. Tabela 4 Anos Dados Movimento móvel de 4 anos Movimento total de 2 anos da coluna 3 Média móvel centrada de 4 anos (coluna 4 : 2) 1948 50,0 1949 36,5 43,5 1950 43,0 40,7 84,2 42,1 1951 44,5 41,1 81,9 40,9 1952 38,9 38,5 79,7 39,8 1953 38,1 37,1 75,6 37,8 1954 32,6 37,8 74,9 37,4 1955 38,7 38,5 76,3 38,2 1956 41,7 38,8 77,4 38,7 1957 41,1 1958 33,8 Se agora se calcular o total móvel de 2 anos do movimento móvel de 4 anos, os resultados estarão centrados nos anos desejados. Dividindo-se os resultados da coluna 4 por 2, obtém-se as médias móveis centradas de 4 anos desejadas. 12

Segundo método: Refere-se à Tabela 5. Calcula-se primeiramente, um total móvel de 4 anos, como em (b). Esses valores estão centrados entre anos sucessivos, como foi demonstrado. Se agora se calcular um total móvel de 2 anos desses 4 anos, os resultados tornar-seão centrados nos anos desejados. Dividindo os resultados da coluna 4 por 8 (2 4), obtém-se a média móvel desejada. Tabela 5 Anos Dados Movimento total de 4 anos Movimento total de 2 anos da coluna 3 Média móvel centrada de 4 anos (coluna 4 : 8) 1948 50,0 1949 36,5 174,0 1950 43,0 162,9 336,9 42,1 1951 44,5 164,5 327,4 40,9 1952 38,9 154,1 318,6 39,8 1953 38,1 148,3 302,4 37,8 1954 32,6 151,1 299,4 37,4 1955 38,7 154,1 305,2 38,2 1956 41,7 155,3 309,4 38,7 1957 41,1 1958 33,8 55 50 45 40 35 30 1948 1949 1950 1951 1952 1953 1954 1955 1956 1957 1958 Dados originais Média móvel a 4 anos Média móvel a 5 anos Média móvel centrada a 4 anos 13

Note-se como as médias móveis regularizaram o gráfico dos dados originais, indicando claramente a linha de tendência. Uma desvantagem das médias móveis é que são excluídos os dados do início e do fim da sucessão cronológica. Isso pode ser importante, quando o número de observações não for muito grande. 2. Mostrar que a média móvel centrada de 4 anos do Problema 2(c) é equivalente a uma média móvel ponderada de 5 anos, com os pesos, 1, 2, 2, 2, 1, respectivamente. Solução: Sejam Y 1, Y 2, Y 11 os valores correspondentes aos anos de 1948, 1949,..., 1958, respectivamente. Procedendo-se como no segundo método de 2(c), obtém-se a Tabela 6. Tabela 6 Anos Y Movimento total de 4 anos Movimento total de 2 anos da coluna 3 Média móvel centrada de 4 anos (col. 4 8) 1948 Y 1 1949 Y 2 Y1 + Y2 + Y3 + Y4 1950 Y 3 Y2 + Y3 + Y4 + Y5 Y1 2Y2 2Y3 2Y4 Y5 1951 Y 4 Y3 + Y4 + Y5 + Y6 Y2 2Y3 2Y4 2Y5 Y6 + + + + 1 ( + 2 + 2 + 2 + ) 8 Y Y Y Y Y 1 2 3 4 5 1 2 2 3 2 4 2 8 Y + Y + Y + Y + Y 5 6 + + + + ( )...... 1958 Y 11 De acordo com a última coluna, segue-se que a média móvel centrada de 4 anos é a ponderada de 5 anos com os pesos respectivos iguais a 1, 2, 2, 2, 1. Note-se que 8 é a soma desses pesos. Este método pode ser usado para obter os resultados do Problema 2(c). Por exemplo, a primeira casa (correspondende a 1950) é: ( 1)( 50) + ( 2)( 36,8) + ( 2)( 43) + ( 2)( 44,5) + ( 1)( 38,9) 8 = 42,1 Avaliação da tendência 3. Obter os valores da tendência para os dados do Problema 2, empregando o método das semimédias, em que os valores médios adoptados são: (a) a média e (b) a mediana. 14

Solução: (a) Distribuem-se os dados em duas partes iguais (omitindo o ano médio, 1953), como está indicado. Calcula-se a média dos dados de cada parte. Tabela 7 Anos Dados Anos Dados Variação total Variação anual 1948 50,0 1954 32,6 1949 36,5 1955 38,7 1950 43,0 1956 41,7 1951 44,5 1957 41,1 1952 38,9 1958 33,8 Total 212,9 187,9 Média 42,6 1950 37,6 1956-5,0-0,83 Mediana 43,0 1950 38,7 1955-4,3-0,86 De acordo com os resultados obtidos, conclui-se que, em 6 anos (de 1950 a 1956), houve um decréscimo de 5 milhões de toneladas, ou seja, 5/6 = 0,83 milhões de toneladas por ano. A partir daqui, podem ser calculados os valores da tendência. Dessa forma, os valores da tendência em 1951 e em 1952 são, respectivamente, 42,6 0,83 = 41,7 e 42,6 2 0,83 = 40,9 e por aí adiante, como indicado na Tabela 8. Tabela 8 Anos 1948 1949 1950 1951 1952 1953 1954 1955 1956 1957 1958 Valor da tendência Média 44,2 43,4 42,6 41,7 40,9 40,1 39,2 38,4 37,6 36,7 35,9 Mediana 44,7 43,9 43,0 42,1 41,3 40,4 39,6 38,7 37,8 37,0 36,1 Os resultados podem ser também obtidos, mediante o desenho do gráfico de uma recta que ligue os pontos (1950; 42,6) e (1956, 37,6) e a leitura, nesse gráfico, dos valores da tendência. (b) As medianas de cada uma das duas partes na Tabela 7 são 43 e 38,7, respectivamente, em 1950 e 1955. Dessa forma, há um decréscimo de (43 38,7)/5 = 0,86 milhões de toneladas por ano e os valores da tendência estão indicados na última linha da Tabela 8. Quando se utilizam as medianas, o método é frequentemente denominado das semimedianas. Se não for especificado o tipo de valor médio adoptado, fica implícito de que se trata da média. 4. Descrever como seriam utilizados os métodos (a) a sentimento e (b) das médias móveis para o cálculo dos valores da tendência dos dados do Problema 2. 15

Solução: (a) Neste método, construir-se-ia, simplesmente, no gráfico do Problema 2, uma recta ou curva que se aproximasse estreitamente dos dados fornecidos. Nesse gráfico seriam lidos, então, os valores da tendência. (b) Mediante o uso de uma média móvel de 5 anos, viu-se no Problema 2 que os dados da sucessão cronológica foram consideravelmente regularizados. Podem ser usadas as médias obtidas para os valores da tendência nos anos de 1950 a 1956. Através deste método, contudo, não se dispõe dos valores da tendência para os anos de 1948, 1949, 1957 e 1958. Se eles forem necessários, podem ser obtidos por extrapolação, no gráfico do Problema 2. 5. (a) Usar o método dos mínimos quadrados para ajustar uma recta aos dados do Problema 2, e (b) a partir do resultado da alínea anterior, determinar os valores da tendência. Solução: (a) Como há número ímpar de anos, temos Tabela 9 Anos X (tempo) Y (dados) X 2 XY 1948-5 50,0 25-250,0 1949-4 36,5 16-146,0 1950-3 43,0 9-129,0 1951-2 44,5 4-89,0 1952-1 38,9 1-38,9 1953 0 38,1 0 0,0 1954 1 32,6 1 32,6 1955 2 38,7 4 77,4 1956 3 41,7 9 125,1 1957 4 41,1 16 164,4 1958 5 33,8 25 169,0 Soma 0 438,9 110-84,4 Então, a recta dos mínimo quadrado desejada é: XY Y = Y + X 2, ou seja, X 438,9 84,4 Y = + X = 39,9 0,767 X 11 110, em que a origem X = 0 corresponde ao ano de 1953, e a unidade de X é 1 ano. 16

(b) Fazendo X = 5, 4, 3,, 4, 5, na equação dos mínimos quadrados determinada em (a), obtém-se os valores da tendência, apresentados na Tabela 10. Tabela 10 Anos 1948 1949 1950 1951 1952 1953 1954 1955 1956 1957 1958 Valor da tendência MMQ 43,7 43,0 42,2 41,4 40,7 39,9 39,1 38,4 37,6 36,8 36,1 45 44 43 42 41 40 39 38 37 36 35 1948 1949 1950 1951 1952 1953 1954 1955 1956 1957 1958 Mínimos quadrados Semimédias Semimedianas Note-se que os resultados obtidos pelo método dos mínimos quadrados são muito semelhantes aos obtidos pelo método das semimédias e das semimedianas, indicando claramente a linha de tendência. 17

Avaliação da variação por estação. Índice de estação 8. A Tabela 12 apresenta a energia eléctrica, em milhões de kilowatt-hora, consumida mensalmente para a iluminação de ruas e estradas, nos Estados Unidos, durante os anos de 1952 a 1958. (a) Construir um gráfico dos dados. (b) Obter os índices de estação, mediante o emprego do método das percentagens médias. Tabela 12 1951 318 281 278 250 231 216 223 245 269 302 325 347 1952 342 309 299 268 249 236 242 262 288 321 342 364 1953 367 328 320 287 269 251 259 284 309 345 367 394 1954 392 349 342 311 290 273 282 305 328 364 389 417 1955 420 378 370 334 314 296 305 330 356 396 422 452 1956 453 412 398 362 341 322 335 359 392 427 454 483 1957 487 440 429 393 370 347 357 388 415 457 491 516 1958 529 477 463 423 398 380 389 419 448 493 526 560 Solução: (a) Fig. 4 (b) Os totais e médias mensais (média aritmética), para os anos de 1951 a 1958, são as que se seguem (Tabela 13). Dividindo-se os dados mensais fornecidos pelas médias mensais correspondentes a cada ano e exprimindo o resultado em percentagem. Obtém-se as casas da Tabela 14. Por exemplo, a primeira casa da tabela é dada por 318/273,7 = 116,2%. Tabela 13 1951 1952 1953 1954 1955 1956 1957 1958 Totais 3285 3522 3780 4042 4373 4738 5090 5505 18

Médias Mensais 273,7 293,5 315,0 336,8 364,4 394,8 424,4 458,7 A percentagem média de cada mês é apresentada na última linha da Tabela 14. O total dessas percentagens é 1200,1%, que está tão próximo do desejado, 1 200%, que não é necessário nenhum ajustamento. Então, os números da última linha representam os índices de estação desejados. Tabela 14 1951 116,2 102,7 101,6 91,3 84,4 78,9 81,5 89,5 98,3 110,3 118,7 126,8 1952 116,5 105,3 101,9 91,3 84,8 80,4 82,5 89,3 98,1 109,4 116,5 124,0 1953 116,5 104,1 101,6 91,1 85,4 79,7 82,2 90,2 98,1 109,5 116,5 125,1 1954 116,4 103,6 101,5 92,3 86,1 81,1 83,7 90,6 97,4 108,1 115,5 123,8 1955 115,3 103,7 101,5 91,7 86,2 81,2 83,7 90,6 97,7 108,7 115,8 124,0 1956 114,7 104,4 100,8 91,7 86,4 81,6 84,9 90,9 99,3 108,2 115,0 122,3 1957 114,8 103,7 101,1 92,6 87,2 81,8 84,2 91,5 97,8 107,7 115,7 121,6 1958 115,3 104,0 100,9 92,2 86,8 82,8 84,8 91,3 97,7 107,5 114,7 122,1 Total 925,7 831,5 810,9 734,2 687,3 647,5 667,5 723,9 784,4 869,4 928,4 989,7 Média 115,7 103,9 101,4 91,8 85,9 80,9 83,4 90,5 98,1 108,7 116,1 123,7 9. Obter um índice por estação para os dados do Probl. 8, mediante o emprego do método da tendência percentual ou da relação da tendência. Ao aplicar esse método, usar o dos mínimos quadrados para a obtenção dos valores mensais da tendência. Solução: De acordo com os dados reais do Probl. 8(a), parece que a tendência a longo prazo pode ser convenientemente ajustada, por meio de uma linha recta. Em vez de obter essa recta por meio de dados mensais fornecidos, fá-lo-emos das médias mensais dos anos de 1951 a 1958, apresentadas na Tabela 15 e reproduzidas da Tabela 13 do Probl. 8(b). Tabela 15 Anos 1951 1952 1953 1954 1955 1956 1957 1958 Média Mensal 237,7 293,5 315,0 336,8 364,4 394,8 424,2 458,7 Admitindo-se que os dados mensais fornecidos correspondem ao meio do mês, as médias dessa tabela referem-se a 30 de Junho ou 1 de Julho do ano correspondente. Tabela 16 Anos X Y 2 X XY 19

1951-7 273,7 49-1915,9 1952-5 293,5 25-1467,5 1953-3 315,0 9-945,0 1954-1 336,8 1-336,8 1955 1 364,4 1 364,4 1956 3 394,8 9 1184,4 1957 5 424,2 25 2121,0 1958 7 458,7 49 3210,9 Y = 2861, 1 2 X = 168 XY = 2215, 5 A recta dos mínimos quadrados desejada é XY 2861,1 2215,5 Y = Y + X = + X = 357,6 + 13,188 X, 2 X 8 168 em que X é medido em meios anos, com origem em 31 de Dezembro de 1954 ou 1 de Janeiro de 1955. Face a essa equação, conclui-se que os valores Y aumentam de 13,188, depois de cada meio ano, ou de 13,188/6=2,20 cada mês. Portanto, para X = 0 (1 de Janeiro de 1955), Y = 357,6. Meio mês depois (15 de Janeiro de 1955), o valor de Y é 357,6 + 1 (2,20) = 358,7, que é o valor da tendência correspondente a Janeiro de 1955. Adicionando-se, sucessivamente, 2,20 a 358,7, determinam-se os valores da tendência em Feve- 2 reiro de 1955, Março de 1955, etc., que são 358,7 + 2,20 0 360,9; 360,9 + 2,20 0 363,1 etc. De modo semelhante, subtraindo-se sucessivamente 2,20 de 358,7, determinam-se os valores da tendência em Dezembro de 1954, Novembro de 1954, etc., que são 358,7 2,20 = 365,5; 356,5 2,20 = 354,3 etc. Dessa maneira, são obtidos os valores da tendência apresentados na Tabela 17. Tabela 17 1951 253,1 255,3 257,5 259,7 261,9 264,1 266,3 268,5 270,7 272,9 275,1 277,3 1952 279,5 281,7 283,9 286,1 288,3 290,5 292,7 294,9 297,1 299,3 301,5 303,7 1953 305,9 308,1 310,3 312,5 314,7 316,9 319,1 321,3 323,5 325,7 327,9 330,1 1954 332,3 334,5 336,7 338,9 341,1 343,3 345,5 347,7 349,9 352,1 354,3 356,5 1955 358,7 360,9 363,1 365,3 367,5 369,7 371,9 374,1 376,3 378,5 380,7 382,9 1956 385,1 387,3 389,5 391,7 393,9 396,1 396,3 400,5 402,7 404,9 407,1 409,3 Tabela 17 (cont.) 1957 411,5 413,7 415,9 418,1 420,3 422,5 424,7 426,9 429,1 431,3 433,5 435,7 20

1958 437,9 440,1 442,3 444,5 446,7 448,9 451,1 453,3 455,5 457,7 459,9 462,1 Dividem-se, agora, cada um dos valores mensais, apresentados na Tabela 12 do Probl. 8, pelos valores de tendência correspondentes, encontrados na Tabela 17. Os resultados, expressos em percentagem, estão lançados na Tabela 18. Por exemplo, a primeira casa da tabela é dada por 318/253,1 = 125,6%. Tabela 18 1951 125,6 110,1 108,0 96,3 88,2 81,8 83,7 91,2 99,4 110.7 118,1 125,1 1952 122,4 110,0 105,3 93,7 86,4 81,2 82,7 88,8 96,9 107,3 113,4 119,9 1953 120,0 106,5 103,1 91,8 85,5 79,2 81,2 88,4 95,5 105,9 111,9 119,4 1954 118,0 104,3 101,6 91,8 85,0 79,5 81,6 87,7 93,7 103,4 109,8 117,0 1955 117,1 104,7 101,9 91,4 85,4 80,1 82,0 88,2 94,6 104,6 110,8 118,0 1956 117,6 106,4 102,2 92,4 86,6 81,3 84,1 89,6 97,3 105,5 111,5 118,0 1957 118,3 106,4 103,1 94,0 88,0 82,1 84,1 90,9 96,7 106,0 113,3 118,4 1958 120,8 108,4 104,7 95,2 89,1 84,7 86,2 92,4 98,3 107,7 114,4 121,2 Média 119,2 106,2 103,1 93,0 86,5 81,2 83,2 89,2 96,8 106,0 112,6 118,9 Para obter a percentagem média de cada mês dos vários anos, foram adoptadas as medianas, que estão indicadas na última linha da tabela, por causa da presença de valores extremos. Como a soma dessas medianas é 1 196,1, elas são ajustadas, por meio da multiplicação por 1 200/1 196,1, de modo que a soma seja 1 200. Dessa maneira, são obtidos os índices por estação desejadas, apresentados na Tabela 19. Tabela 19 Índice por estação 119,6 106,7 103,4 93,3 86,8 81,5 83,5 89,5 97,1 106,3 É interessante assinalar que, para os primeiros sete meses, os números índices por estação são constantemente maiores do que os obtidos no Probl. 8, enquanto que, para os cinco últimos, eles são constantemente menores. O índice por estação pode também ser obtido mediante o emprego da média, em vez da mediana, na última linha da Tabela 18. Nesse caso, os valores extremos de cada coluna seriam eliminados ao ser calculada a média. 10. Obter um índice por estação, para os dados do Probl. 8, mediante o emprego do método da média móvel percentual ou relação das médias móveis. Solução: Obtém-se, primeiramente, uma média móvel centrada de 12 meses, mediante o emprego do segundo método do Probl. 2(c), que está apresentada na Tabela 20. 21

Divide-se, agora, cada um dos valores reais mensais pela média móvel centrada de 12 meses correspondente e exprime-se cada resultado em percentagem. Tabela 20 Ano e Mês Dados Movimento total de 12 meses Movimento total de 2 meses da col. 3 Média móvel centrada de 12 meses (col. 4 24 ) Ano e Mês Dados Movimento total de 12 meses Movimento total de 2 meses da col. 3 Média móvel centrada de 12 meses (col. 4 24 ) 1951 1953 Jan. 318 Jan. 367 3641 7299 304,1 Fev. 281 Fev. 328 3658 7338 305,7 Mar. 278 Mar. 320 3680 7381 307,5 Abr. 250 Abr. 287 3701 7426 309,4 Mai. 231 Mai. 269 3725 7475 311,5 Jun. 216 Jun. 251 3750 7530 313,7 Jul. 223 3285 6594 274,7 Jul. 259 3780 7585 316,0 Ago. 245 3309 6646 276,9 Ago. 284 3805 7631 318,0 Set. 269 3337 6695 179,0 Set. 309 3826 7674 319,7 Out. 302 3358 6734 280,6 Out. 345 3848 7720 321,7 Nov. 325 3376 6770 282,1 Nov. 367 3872 7765 323,5 Dez. 347 3394 6808 283,7 Dez. 394 3893 7808 325,3 3414 3915 1952 1954 Jan. 342 6847 285,3 Jan. 392 7853 327,2 Fev. 309 3433 6883 286,8 Fev. 349 3938 7897 329,0 Mar. 299 3450 6919 288,8 Mar. 342 3959 7937 330,7 Abr. 268 3469 6957 289,9 Abr. 311 3978 7975 332,3 Mai. 249 3488 6993 291,4 Mai. 290 3997 8016 334,0 Jun. 236 3505 7027 292,8 Jun. 273 4019 8061 335,9 Jul. 242 3522 7069 294,5 Jul. 282 4042 8112 338,0 Ago. 262 3547 7113 296,4 Ago. 305 4070 8169 340,4 Set. 288 3566 7153 298,0 Set. 328 4099 8226 342,7 Out. 321 3587 7193 299,7 Out. 364 4127 8277 344,9 Nov. 342 3606 7232 301,3 Nov. 389 4150 8324 346,8 Dez. 364 3626 7267 302,8 Dez. 417 4174 8371 348,8 1955 1956 Jan. 420 4197 8417 350,7 Jan. 487 4916 9854 410,6 Fev. 378 4220 8465 352,7 Fev. 440 4938 9905 412,7 Mar. 370 4245 8518 354,9 Mar. 429 4967 9957 414,9 Tabela 20 (cont.) Ano e Mês Dados Movimento total de 12 meses Movimento total de 2 meses da col. Média móvel centrada de 12 meses (col. 22 Ano e Mês Dados Movimento total de 12 meses Movimento total de 2 meses da col. Média móvel centrada de 12 meses (col.

3 4 24 ) 3 4 24 ) Abr. 334 4273 8578 357,4 Abr. 393 4990 10010 417,1 Mai. 314 4305 8643 360,1 Mai. 370 5020 10077 419,9 Jun. 296 4338 8711 363,0 Jun. 347 5057 10147 422,8 Jul. 305 4373 8779 365,8 Jul. 357 5090 10222 425,9 Ago. 330 4406 8846 368,6 Ago. 388 5132 10301 429,2 Set. 356 4440 8908 371,2 Set. 415 5169 10372 432,2 Out. 396 4468 8964 373,5 Out. 457 5203 10436 434,8 Nov. 422 4496 9019 375,8 Nov. 491 5233 10494 437,2 Dez. 452 4523 9072 378,0 Dez. 561 5261 10555 439,8 4549 5294 1957 1958 Jan. 453 9128 380,3 Jan. 529 10620 442,5 Fev. 412 4579 9187 382,8 Fev. 477 5326 10683 445,1 Mar. 398 4608 9252 385,5 Mar. 463 5357 10747 447,8 Abr. 362 4644 9319 388,3 Abr. 423 5390 10816 450,7 Mai. 341 4675 9382 390,9 Mai. 398 5426 10887 453,6 Jun. 322 4707 9445 393,5 Jun. 380 5461 10966 456,9 Jul. 335 4738 9510 396,2 Jul. 389 5505 Ago. 359 4772 9572 398,8 Ago. 419 Set. 392 3800 9631 401,3 Set. 448 Out. 427 4831 9693 403,9 Out. 493 Nov. 454 4862 9753 406,4 Nov. 526 Dez. 483 4891 9807 408,6 Dez. 560 Por exemplo, correspondendo a Julho de 1951, obtém-se 223/274,7 = 81,2%. Os resultados estão apresentados na Tabela 21. Note-se que não se dispõe, por esse método, das casas dos seis primeiros meses de 1951 e dos últimos seis de 1958. Para obter a percentagem média de cada mês dos vários anos, foram adoptadas as medianas que estão indicadas na Tabela 21, por causa da presença de valores extremos em alguns casos (exemplo: Novembro, Dezembro). Poderia, também, terem sido usadas as médias, mas, os valores extremos de cada coluna seriam eliminados. A soma das medianas, 1 199,8, é tão próxima da desejada, 1200, que não é necessário nenhum ajustamento. Os índices por estação desejados são, portanto, os apresentados na última linha da Tabela 21. Tabela 21 1951 81,2 88,5 96,4 107,6 115,2 122,3 1952 119,9 107,7 103,7 92,4 85,4 80,6 82,2 88,4 96,6 107,1 113,5 120,2 Tabela 21(cont.) 1953 120,7 107,3 104,1 92,8 86,4 80,0 82,0 89,3 96,7 107,2 113,4 121,1 1954 119,8 106,1 103,4 93,6 86,8 81,3 83,4 89,6 95,7 105,5 112,2 119,6 1955 119,8 107,2 104,3 93,5 87,2 81,5 83,4 89,5 95,9 106,0 112,3 119,6 1956 119,1 107,6 103,2 93,2 87,2 81,8 84,6 90,0 97,7 105,7 111,7 118,2 23

1957 118,6 106,6 103,4 94,2 88,1 82,1 83,8 90,4 96,0 105,1 112,3 117,3 1958 119,5 107,2 103,4 93,9 87,7 83,2 Mediana 119,8 107,2 103,4 93,5 87,2 81,5 83,4 89,5 96,4 106,0 112,3 119,6 Os resultados concordam muito bem com os do Probl. 9. 11. Obter um índice por estação para os dados do Probl. 8, mediante o emprego do método dos elos relativos. Solução: Primeiramente, exprimem-se os dados de cada mês em percentagem dos do mês anterior, como está indicado na Tabela 22. Cada uma dessas percentagens é denominada um elo relativo. Por exemplo, para obter as casas correspondentes a Fevereiro e Março de 1951, tem-se, a partir dos dados do Probl. 8, valordefev.1951 281 elo relativo de Fevereiro de 1951 = = = 88,4%; valordejan.1951 318 valordemarço1951 278 elo relativo de Março de 1951 = = = 98,9%. valordefev.1951 281 Tabela 22 1951 88,4 98,9 89,9 92,4 93,5 103,2 109,9 109,8 112,3 107,6 106,8 1952 98,6 90,4 96,8 89,6 92,9 94,8 102,5 108,3 109,9 111,5 106,5 106,4 1953 100,8 89,4 97,6 89,7 93,7 93,3 103,2 109,7 108,8 111,7 106,4 107,4 1954 99,5 89,0 98,0 90,9 93,2 94,1 103,3 108,2 107,5 111,0 106,9 107,2 1955 100,7 90,0 97,9 90,3 94,0 94,3 103,0 108,2 107,9 111,2 106,6 107,1 1956 100,2 90,9 76,6 91,0 94,2 94,4 104,0 107,2 109,2 108,9 106,3 106,4 1957 100,8 90,3 97,5 91,6 94,1 93,8 102,9 108,7 107,0 110,1 107,4 105,1 1958 102,5 90,2 97,1 91,4 94,1 95,5 102,4 107,7 106,9 110,0 106,7 106,5 Mediana 100,7 90,1 97,6 90,6 93,8 94,2 103,1 108,2 108,4 111,1 106,6 106,6 Os valores médios dos elos relativos de vários meses (no caso, as medianas) estão representadas na última linha da Tabela 22. Pode-se, também, usar a média (veja o Probl. 12). Considera-se que Janeiro tem o valor 100% (veja a Tabela 23). Como a média dos elos relativos de Fevereiro é 90,1 (da Tabela 22), os dados referentes a Fevereiro são, em média, 90,1% dos de Janeiro, isto é, 90,1% de 100 = 90,1: De modo semelhante, a média dos elos relativos de Março é 97,6% da de Fevereiro, isto é, 97,6% de 90,1 = 87,9 etc. 24

Desse modo, obtém-se a Tabela 23, cujas casas são frequentemente denominadas relativas em cadeia. Tabela 23 Jan. 100,0 90,1 87,9 79,6 74,7 70,4 72,6 78,6 85,2 94,7 101,0 107,7 108,5 Na Tabela 23, os resultados do segundo mês de Janeiro (última coluna) é 108,5 com um acréscimo de 8,5 sobre os do primeiro. Esse aumento é devido à tendência a longo prazo dos dados. Para ajustá-lo a essa tendência, deve-se subtrair (11/12)(8,5) = 7,8 do valor de Dezembro, (10/12)(8,5) = 7,1 do valor de Novembro etc. Os valores ajustados à tendência estão lançados na Tabela 24. Rigorosamente falando, dever-se-iam multiplicar as casas da direita para a esquerda, por ( 100 /108,5) 11/ 12 etc. Isso, entretanto, conduz, praticamente aos mesmos resultados que os Tabela 24. Tabela 24 100,0 89,4 86,5 77,5 71,9 66,9 68,4 73,6 79,5 88,3 93,9 99,9 Como o total dessas percentagens é 995,8, elas são ajustadas mediante sua multiplicação por 1 200/995,8, para a obtenção dos índices por estação da Tabela 25. Tabela 25 Índice por estação 12. Resolver o Probl. 11, adoptando a média dos elos relativos, em vez da mediana. 120,5 107,7 104,2 93,4 86,6 80,6 82,4 88,7 95,8 106,4 113,2 120,4 Solução: A média dos elos relativos está indicada na Tabela 26. Tabela 26 Média 100,4 89,8 97,6 90,5 93,6 94,2 103,1 108,5 108,4 110,8 106,8 106,6 Considerando-se que Janeiro tem o valor 100% o de Fevereiro é 89,8% de 100 = 89,8, o de Março 97,6% de 89,8 = 87,6 etc., como na Tabela 27. 25

Tabela 27 Jan. 100,0 89,8 87,6 79,3 74,2 699 72,1 78,2 84,8 94,0 100,4 107,0 107,4 Neste caso, o resultado para o último Janeiro é de 107, 4, com um aumento, devido à tendência, de 7,4 sobre o do primeiro. Para fazer o ajustamento, subtrai-se (12/12)(7,4) = 7,4 da casa da última coluna, (11/12)(7,4) = 6,8 da de Dezembro, (10/12)(7,4) = 6,2 da de Novembro etc., de modo que os valores são os apresentados na Tabela 28. Tabela 28 100,0 89,2 86,4 77,5 71,7 66,8 68,4 73,9 79,9 88,4 94,2 100,2 Como a soma das casas da última linha da Tabela 28 é 996,6, elas são ajustadas mediante sua multiplicação por 1 200/996,6 e obtêm-se os índices por estações constantes da Tabela 29. Tabela 29 Índice por estação 120,4 107,4 104,0 93,3 86,3 80,4 82,4 89,0 96,2 106,4 113,4 120,7 Desestacionalização dos dados 13. Ajustar os dados do Probl. 8 à variação por estação, isto é, desestacionalizálos. Tabela 30 1951 265 262 269 267 265 265 267 274 279 285 289 290 1952 185 288 289 287 286 290 290 293 299 303 305 304 1953 306 306 309 307 308 308 311 317 321 325 327 329 1954 327 326 331 333 333 335 338 341 340 343 346 349 1955 351 353 358 357 360 363 366 369 369 374 376 378 1956 378 384 385 387 391 395 402 401 407 403 404 404 1957 407 410 415 420 424 426 428 434 430 431 437 431 1958 442 445 448 452 456 466 466 468 465 465 468 468 26

Solução: Para ajustar os dados à variação por estação, deve-se dividir cada casa dos dados originais do Probl. 8 pelo índice por estação do mês correspondente, determinado por qualquer um dos métodos anteriores. Se, por exemplo, forem usados os índices por estação do Probl. 10, dividindo-se todos os valores de Janeiro por 119,8% (isto é, 1,198), todos os de Fevereiro por 107,2% (isto é, 1,072) etc. Então, os dados desestacionalizados são os apresentados na Tabela 30. 14. (a) Representar, graficamente, os dados desestacionalizados obtidos no problema anterior. (b) Comparar esse gráfico com o do Probl. 8(a). Solução: (a) Fig. 5 (b) O gráfico dos dados ajustados por estação indica claramente a tendência a longo prazo que, desprezadas as flutuações secundárias, se aproxima estreitamente de uma linha recta, embora haja uma ligeira tendência para cima. Representando-se os dados do Probl. 8 por Y = TCSI, o gráfico do item (a) é o da variável Y / S = TCI, localizada em relação ao tempo t e, portanto, contém os movimentos de tendência a longo prazo, cíclicos e irregulares. O factor correspondente aos componentes cíclicos e irregulares, deve ser, praticamente, 100% (ou seja: estes componentes não são praticamente detectados nesta sucessão). Este facto é confirmado no Probl. 16. Avaliação das variações cíclicas e irregulares 15. Ajustar os dados do Probl. 13 à tendência. Solução: 27

Para tornar os dados do Probl. 13 independentes da tendência, divide-se cada casa pelo valor da tendência mensal correspondente, calculado por qualquer dos métodos considerados. Usar-se-ão, neste caso, os valores mensais da tendência obtidos, no Probl. 10, pelo método das médias móveis. Os resultados estão indicados na Tabela 31. Para obter, por exemplo, o valor correspondente a 267, primeira casa da oitava coluna da Tabela 30,divide-se por 274,7 (primeira casa da coluna 5 da Tabela 20), o que dá 267/274,7 = 97,2%. As outras casas são obtidas de maneira semelhante. Uma desvantagem deste método, como de todos os que envolvem as médias móveis, é que desaparecem os dados de ambas as extremidades das sucessões cronológicas. Tabela 31 1951 97,2 99,0 100,0 101,6 102,4 102,2 1952 99,9 100,4 100,2 99,0 98,1 99,0 98,5 97,8 100,3 101,1 101,2 100,4 1953 100,6 100,1 100,5 99,2 98,9 98,2 98,4 99,7 100,4 101,0 101,1 101,1 1954 99,9 99,1 100,1 100,2 99,7 99,7 100,0 100,2 99,2 99,4 99,8 100,0 1955 100,1 100,1 100,9 100,0 100,0 100,0 100,1 100,1 99,4 100,1 100,1 100,0 1956 99,4 100,3 99,9 99,7 100,0 100,4 101,5 100,6 101,4 99,8 99,4 98,9 1957 99,1 99,3 100,0 100,7 101,0 100,8 100,5 101,1 99,5 99,1 100,0 98,0 1958 99,9 100,0 100,0 100,3 100,5 102,0 16. (a) Representar, gráficamente, os dados obtidos no Probl. 15. (b) Explicar o significado do gráfico. Solução: (a) convém subtrair 100% dos dados do problema anterior e representar, gráficamente, os devios resultantes. O gráfico obtido, mediante a adopção de uma escala vertical grandemente ampliada, está representado na Fig. 6. (b) Os dados originais são representados por Y = TCSI. Ajustados à variação por estação, como foi feito no Probl. 13, importa para a sua interpretação dividir ambos os membros daquela equação pelo índice por estação S, obtendo-se Y / S = TCI. O ajustamento subsequente à tendência corresponde à divisão por T, obtendo-se Y / ST = CI. A subtracção de 100% conduz a Y / ST 100 = CI 100. por conseguinte, a variável dependente da Fig. 6 é Y / ST 100 e a independente é o tempo t. 28

O gráfico é composto, teoricamente, apenas de movimentos cíclicos e irregulares, representados pelos factores correpondentes C e I, respectivamente. Note-se que o produto CI varia entre 97 e 103%, o que confirma a exposição feita no fim do Probl. 14. Fig. 6 17. a) Obter as médias móveis de 3 e de 7 meses, para os dados do Probl. 15. (a) Construir os gráficos das médias móveis do item (a). (c) Interpretá-los. Solução: (a) As médias móveis desejadas estão lançadas na Tabela 32. Tabela 32 Ano e Mês Dados Movimento total de 3 meses Média móvel de 3 meses Movimento total de 7 meses Média móvel de 7 meses 1951 Jul 97,2 Ago. 99,0 296,2 98,7 Set. 100,0 300,6 100,2 Out. 101,6 304,0 101,3 702,3 100,3 Nov. 102,4 306,2 102,1 705,5 100,8 Dez. 102,2 304,5 101,5 706,7 101,0 Tabela 32 (cont.) Ano e Mês Dados Movimento total de 3 meses 29 Média móvel de 3 meses Movimento total de 7 meses Média móvel de 7 meses