Palavras-chave: Carteira eficiente; Mercado de Capitais; Modelo de Markowitz.

Área Temática: Finanças Título: Aplicação do Modelo de Markowitz na Seleção de Carteiras Eficientes: Uma Análise de Cenários no Mercado de Capitais Brasileiro AUTORES NEIRILAINE SILVA DE ALMEIDA UNIVERSIDADE FEDERAL DE UBERLÂNDIA neiresa@gmail.com RONALDO FREITAS DA SILVA UNIVERSIDADE FEDERAL DE UBERLÂNDIA ronaldoudi@yahoo.com.br KÁREM CRISTINA DE SOUSA RIBEIRO Universidade Federal de Uberlândia kribeiro@ufu.br Resumo A possibilidade de investimentos com alta rentabilidade desperta a atenção dos investidores, todavia, muitas vezes o retorno atrativo possui riscos implícitos, o que aumenta a probabilidade de perdas e de diminuições consideráveis no retorno esperado. Neste contexto, Markowitz (1952) discutiu conceitos sobre diversificação de portfólios e deu origem a um modelo para auxiliar na composição de carteiras que minimizam o risco para determinado nível de rentabilidade. O objetivo do presente estudo é identificar a composição das carteiras eficientes que minimizam o risco para o mesmo nível de retorno esperado da carteira base, nos cenários denominados pré-crise, crise, pós-crise e referente à Abril/2005 a Abril/2010. São consideradas na composição da carteira base, as 10 ações que compõem o IBOVESPA e que apresentaram os maiores retornos históricos nos últimos cincos anos analisados. Realizou-se uma pesquisa descritiva com abordagem quantitativa, utilizando conceitos de programação linear e a ferramenta SOLVER do Excel para a otimização das carteiras. Os resultados demonstraram que as carteiras geradas ofereceram o retorno igual ou superior ao detectado na carteira base e minimizaram o risco em todos os cenários avaliados e que a ação TRPL4 esteve presente em todas as carteiras em combinação com as ações CSNA3, RSDI3, BRAP4, CYRE3. Palavras-chave: Carteira eficiente; Mercado de Capitais; Modelo de Markowitz. Abstract The possibility of investments with high returns tend to arouse the attention of investors, however, the attractive return has considerable risks, which increases the likelihood of substantial losses and decreases in expected return. Markowitz (1952) defined concepts of diversification of portfolios and their reflections on risk and return and arrived to a model to assist in the composition of portfolios that minimize risk for a given level of profitability. The objective of this study is to identify the composition of the efficient portfolios that minimize risk to the same level of expected return base portfolio, in the scenarios pre-crisis, crisis, posterior crisis, relating among Abril/2010 and April/2005. Are considered in the portfolio

basis, the 10 stocks that comprise the Bovespa Index, which showed the highest historical returns over the past five years analyzed. There was a descriptive research with quantitative approach, using concepts of linear programming and the Excel SOLVER tool for optimizing portfolios. The results showed that the portfolio generated a return expected equal or higher than observed in the base portfolio and minimized the risk in all scenarios assessed and that TRPL4 action was present in all portfolios in combination with the actions CSNA3, RSDI3, BRAP4, CYRE3. Keywords: Efficient portfolio; Capital Markets; Markowitz Model.

1. Introdução Uma alternativa simplória de obter redução dos riscos consiste no investimento em uma carteira de ativos, em que a própria diversificação do portfólio já seja satisfatória para minimizar o risco da aplicação (HIEDA e ODA, 1998). Contudo, a diversificação em percentagens iguais, por exemplo, conforme Elton e Gruber (1977) salientam, é ótima apenas quando o investidor não possui qualquer informação sobre os indícios dos riscos inerentes àquele investimento. Sendo assim, o conhecimento de qual será a distribuição de determinada importância entre os múltiplos títulos existentes no mercado é relevante na ocasião da efetivação de investimentos. Neste âmbito, Markowitz fez uma notória contribuição no campo do estudo das relações entre risco e retorno, apresentando conceitos inerentes à diversificação, variância, covariância, fronteira eficiente, dentre outros, em seu artigo Portfolio Selection publicado no The Journal of Finance em 1952. Segundo Markowitz (1952), ao levar em consideração tanto o retorno esperado quanto a variância dele, no momento de diversificar os investimentos, foi possível obter um modelo capaz de explanar a diversificação, bem como de assistir no processo decisório para a seleção de carteiras ótimas, respeitando as preferências de cada investidor. Neste modelo, o intuito é determinar a composição da carteira que satisfaz uma rentabilidade mínima apontada pelo investidor e minimiza o nível de risco, mensurado pela variância do retorno esperado. Considerando o mercado de capitais brasileiro, o presente estudo pretende responder a seguinte questão: quais são as carteiras eficientes para a minimização dos riscos nos cenários pré-crise, crise, pós-crise e do período entre Abril/2005 e Abril/2010? Destarte, o objetivo do presente artigo é analisar quais são as carteiras eficientes que proporciona a minimização de risco, nos cenários denominados pré-crise, crise, pós-crise e referente à Abril/2005 a Abril/2010. Para tanto, realizou-se um estudo descritivo com abordagem quantitativa, através da análise das dez empresas com maior rentabilidade histórica, nos últimos cinco anos, que compõem o Índice da Bolsa de Valores de São Paulo (IBOVESPA). Este artigo apresenta cinco seções. Após a introdução, a segunda seção versa sobre os conceitos de risco e retorno, carteiras eficientes, bem como o modelo de Markowitz, enquanto a terceira seção aborda os procedimentos metodológicos. E na quarta e quinta seções são apresentadas as análises e considerações finais sobre o assunto. 2. Fundamentação Teórica 2.1 Risco e Retorno Conforme Elton et al. (2004) o retorno de uma carteira de ativos é simplesmente uma média ponderada dos retornos dos ativos individuais. Para Copeland e Weston (1988) o retorno esperado pode ser encontrado com a subtração do preço corrente do preço esperado dividido pelo preço corrente, conforme expressão a seguir: ~ E( P ~ ) P0 E( R) P Quanto ao risco, Bruni e Fama (1998) afirmam que Markowitz foi um dos primeiros acadêmicos a ponderar a relevância do risco na gestão de ativos. Para Markowitz (1952) o conceito de risco deveria ir além da percepção do potencial de perdas em um investimento, o risco estava na incerteza do resultado esperado e em sua variabilidade em torno do resultado mais provável. 0

Weston e Brigham (2000), por sua vez, consideram o risco como uma possibilidade de que determinado evento desfavorável venha a acontecer, um perigo. O risco de um investimento está intrínseco a probabilidade de se ganhar menos que o esperado. Segundo Damodaran (1996), conceitualmente o risco pode ser dividido em dois tipos básicos: o risco diversificável, que é minimizado pela diversificação de ativos, e o risco não diversificável, que se refere a acontecimentos que afetam o mercado como um todo. No mesmo sentido, Fleuriet (2004, p. 99) afirma que: O risco de um papel é composto de dois conjuntos distinguíveis de risco. O risco sistemático é aquele que não pode ser eliminado mediante estratégias de diversificação. É o risco inerente ao sistema, o risco de mercado. O risco específico é próprio ao ativo financeiro em pauta. É um reflexo do risco de que alguma coisa aconteça e afete o ativo (e somente este). Esse risco desaparece com a diversificação. Pode-se perceber que o risco e retorno são conceitos interligados, visto que aquele pode influenciar na ocorrência do retorno, e que neste processo, a diversificação pode auxiliar na redução do risco e da probabilidade do que foi planejado como rentabilidade não venha a ocorrer. 2.2 Carteiras eficientes Na literatura é possível encontrar vários estudos que abordam a questão de eficiência das carteiras, com características estatísticas e recortes distintos. Black, Jensen e Scholes (1972); Gibbons (1982), Jobson e Korkie (1982), Shanken (1985), Kandel e Stambaugh (1987), MacKinlay (1987), Gibbons, Ross e Shanken (1989), MacKinlay e Richardson (1991) e Haugen e Baker (1991), Grinold (1992), além de Silva e Stern (1995) e Bruni e Famá (1998), Hieda e Oda (1998) no Brasil, foram alguns dos autores que apresentaram trabalhos significativos sobre o tema. Segundo Francis (1993), uma carteira é considerada eficiente se ao ser determinada uma taxa de retorno, não existir nenhuma outra carteira com risco menor ou, em outras palavras, se para um dado nível de risco, não tiver nenhuma outra carteira com uma taxa de retorno maior. Para Markowitz (1952), o melhor conjunto possível de carteiras eficientes é denominado de fronteira eficiente, isto é, neste conjunto todas as carteiras têm o mínimo nível de risco para dado nível de retorno e o máximo de retorno para dado nível de risco. A fronteira eficiente aponta as melhores alternativas de combinação de investimento, mas nada diz sobre qual combinação ou qual carteira deverá ser selecionada. Assim, com a determinação da fronteira eficiente os investidores teriam condições de executar melhores análises e se concentrar na seleção de uma melhor carteira na fronteira eficiente, em função de suas características pessoais (MARKOWITZ, 1952). No que diz respeito a estas características Tobin (1958) salienta que os investidores podem ter diferentes preferências com relação ao risco, podendo ser: propensos ao risco, o que implica que para ter a possibilidade de obter maiores retornos, eles aceitariam facilmente investir em uma ação de grande volatilidade; avessos ao risco, o que significa que incorrer em um risco maior para obter maiores retornos não condizem com as preferências destes investidores; e os indiferentes ao risco, cujo risco maior ou menor para o mesmo retorno não fariam diferenças no momento da escolha de aplicações para estes investidores. Corrêa (1997) explica que o formato da fronteira eficiente implica a existência de uma relação positiva entre o risco e o retorno e que, portanto, para obter maior retorno, o investidor terá necessariamente que incorrer em maior risco.

2.3 Modelo de Markowitz Markowitz (1952) observou que os investidores não aplicam todo o seu capital no ativo com o maior retorno esperado, e ratificou matematicamente, que além de não ser esse o comportamento da maioria dos investidores, essa não seria uma atitude sábia, porque o investidor quer um alto retorno, mas, simultaneamente, quer que esse retorno seja tão exato quanto possível. Portanto, o investidor racional leva em consideração dois parâmetros na hora da seleção de sua carteira de investimentos: a média e a variância do retorno esperado. Segundo Markowitz (1959, p. 3), o objetivo da análise de portfólios é encontrar as carteiras que melhor se adéquam aos objetivos do investidor. Em aversão ao pensamento de que a melhor circunstância para a alocação de recursos era o agrupamento dos investimentos nos ativos que ofereciam os maiores retornos esperados, Markowitz evidenciou que seria possível obter combinações mais eficientes de alocação de recursos, com melhor relação entre retorno esperado e risco incorrido. O autor seguia alguns requisitos para a composição da base da Moderna Teoria de Portfólios, como: os investidores deveriam avaliar as carteiras apenas com base no retorno esperado e na variância dos retornos sobre o horizonte de tempo de um período; os investidores seriam avessos ao risco e se solicitados a escolher entre duas carteiras de mesmo retorno, sempre escolheriam o de menor risco; os investidores estariam sempre insatisfeitos em termos de retorno, sendo que instados a escolher entre duas carteiras de mesmo risco, sempre escolheriam a de maior retorno; seria possível dividir continuamente os ativos, ou seja, ao investidor seria permitido comprar mesmo frações de ações; e todos os impostos e custos de transação seriam considerados irrelevantes. Partindo destas premissas, Markowitz (1952) determina as duas características fundamentais de uma carteira: o seu retorno esperado e a sua variância. Para Markowitz (1952, p. 89): na tentativa de reduzir a variância, investir em diversos ativos não é o suficiente. É preciso evitar que o investimento seja feito em ativos com alta covariância entre si. Devemos diversificar entre indústrias, especialmente indústrias com diferentes características econômicas, porque empresas de diferentes indústrias tem covariâncias menores que empresas da mesma indústria. Em seu modelo, Markowitz (1952) determina que o retorno esperado de uma carteira é identificado como a média ponderada das taxas de retorno esperadas dos ativos que compõem esta carteira (1). No que diz respeito às ponderações, pode-se afirmar que elas são os percentuais aplicados em cada ativo individual. O risco de uma carteira, por sua vez, é mensurado através da variância ou do desvio padrão dos retornos dos ativos que fazem parte do portfólio (2). Diante disso, o modelo de Markowitz pode ser matematicamente definido conforme as seguintes expressões: E n i 1 Xi i (1) V n n i 1 j 1 Xi Xj ij (2) n i 1 Xi 1 (3) Xi 0 (4)

onde: E = retorno esperado da carteira; Xi = participação de cada ativo; µi = retorno de cada ativo; V= variância da carteira; σij = covariância entre o par de ativos se (i) diferente (j) e variância de (i) igual (j); Xi 0 = não existe alavancagem; n i 1 Xi 1 = todo capital deve ser investido. Neste modelo, Markowitz considera que os investidores são avessos ao risco, o que conforme (Sharpe et al, 1995) é alicerce para o Princípio da Dominância, que determina que um investidor irá escolher seu portfólio ótimo do conjunto de portfólios que oferecer o máximo retorno esperado para diferentes níveis de risco e o mínimo risco para diferentes níveis de retorno esperado. 3.Metodologia Em termos metodológicos, a pesquisa é descritiva, considerada de acordo com Selltiz et al (1975) como aquela que expõe as características de uma situação, um grupo ou um indivíduo específico. Quanto à forma de abordagem do problema, esta é uma pesquisa quantitativa, que conforme Beuren (2004, p. 92) caracteriza-se pelo emprego de instrumentos estáticos, tanto na coleta quanto no tratamento dos dados. Para a realização da análise, foi efetuada a coleta dos retornos nominais mensais das sessenta e seis empresas que compõem o Índice BOVESPA (IBOVESPA) referentes ao período de Abril/2005 a Abril/2010. A escolha pelas ações deste índice ocorreu, pois ele é considerado o indicador mais importante para retratar o desempenho médio das cotações das empresas, bem como o comportamento dos principais papéis negociados na Bolsa de São Paulo (BOVESPA, 2010). Os dados, atualizados por inflação e dividendos, foram extraídos do banco de dados Economática, e os retornos foram calculados através da variação entre as cotações nos meses analisados. Após os cálculos dos retornos, houve a seleção das dez ações com maior retorno histórico que compõem a carteira base, sendo que o percentual de participação em cada uma foi pré-estabelecido como 10%. As dez ações analisadas no estudo estão expostas no Quadro 1. Ação Empresa BBAS3 Brasil BRAP4 Bradespar CSNA3 Sid. Nacional GGBR4 Gerdau ITSA4 Itausa LAME4 Lojas Americanas CYRE3 Cyrela Realty RSID3 Rossi Residencial TRPL4 Tran Paulista USIM3 Usiminas Quadro 1: Ações com maior rentabilidade histórica Abr/05 a Abr/10 do IBOVESPA Para a realização deste estudo considerou-se o período referente à Abril/2005 a Maio/2008, como o cenário pré-crise, o período referente à Junho/2008 a Junho/2009, como o cenário da Crise, e o período referente à Julho/2009 a Abril/2010, como período pós-crise.

Através da ferramenta de Análise de Dados do Excel, foi possível montar as matrizes de Covariância, para o cálculo da Variância da Carteira e do seu Desvio Padrão. Para determinar quais ações e qual a participação que deveria ser efetuado em cada ativo das carteiras eficientes, utilizou-se o recurso SOLVER disponível no software Excel. As variáveis que foram utilizadas na composição da análise são as participações individuais, o retorno da carteira, o risco da carteira, o retorno individual de cada ativo, as variâncias e covariâncias, com o intuito de identificar a função objetivo. Para a resposta da pergunta deste estudo a função objetivo é a minimização do risco, representada pela variância encontrada através do Modelo de Markowitz. As restrições da função objetivo podem ser assim expressas: Participações individuais > = 0 Soma das participações individuais = 1 Retorno da carteira >= (índice das empresas IBOVESPA). 4. Análise dos dados Através dos dados históricos das cotações das dez empresas com maior rentabilidade do IBOVESPA, pode-se calcular o retorno médio dos meses que compõem, para efeito deste estudo, o período pré-crise através da média do período, conforme demonstrado no Quadro 2: Retornos Históricos do período antes da Crise Mundial 2008 Empresas BBAS3 BRAP4 CSNA3 GGBR4 ITSA4 LAME4 CYRE3 RSID3 TRPL4 USIM3 Retorno Médio 3,56% 4,39% 5,16% 4,45% 3,27% 3,72% 6,19% 5,14% 4,03% 4,57% Quadro 2: Retorno médio dos retornos históricos baseados no período pré-crise Observa-se que a ação (CYRE3) possui a maior rentabilidade do período, 6,19%, seguida da ação CSNA3, 5,16% e RSID3, 5,14%. As ações que apresentaram menor retorno médio foram ITSA4, 3,27%, BBAS3, 3,56%, e LAME4, 3,72%. Para o cálculo do risco, determina-se a Matriz de Covariância das ações (Quadro 3). Através dela pode-se identificar qual o valor da variância de cada um dos ativos, levando em consideração as participações uniformes pré-estabelecidas pelo estudo. MATRIZ DE COVARIÂNCIAS BBAS3 BRAP4 CSNA3 GGBR4 ITSA4 LAME4 CYRE3 RSID3 TRPL4 USIM3 BBAS3 0,009461 0,006150 0,003914 0,005998 0,005010 0,004258 0,005846 0,002390 0,003294 0,005924 BRAP4 0,006150 0,012829 0,006152 0,007414 0,005923 0,007491 0,006570 0,000385 0,001390 0,006985 CSNA3 0,003914 0,006152 0,011149 0,007679 0,003321 0,005376 0,003753-0,000951 0,001158 0,009130 GGBR4 0,005998 0,007414 0,007679 0,012384 0,005506 0,006487 0,006932 0,004300 0,001973 0,008552 ITSA4 0,005010 0,005923 0,003321 0,005506 0,005666 0,005170 0,006088 0,005611 0,001957 0,005470 LAME4 0,004258 0,007491 0,005376 0,006487 0,005170 0,014290 0,010028 0,010738 0,003571 0,005842 CYRE3 0,005846 0,006570 0,003753 0,006932 0,006088 0,010028 0,027573 0,017179 0,004735 0,005100 RSID3 0,002390 0,000385-0,000951 0,004300 0,005611 0,010738 0,017179 0,071850 0,003938 0,003665 TRPL4 0,003294 0,001390 0,001158 0,001973 0,001957 0,003571 0,004735 0,003938 0,008149 0,000991 USIM3 0,005924 0,006985 0,009130 0,008552 0,005470 0,005842 0,005100 0,003665 0,000991 0,013605 Percentuais 10,00% 10,00% 10,00% 10,00% 10,00% 10,00% 10,00% 10,00% 10,00% 10,00% VARIÂNCIA 0,000522 0,000613 0,000507 0,000672 0,000497 0,000733 0,000938 0,001191 0,000312 0,000653 RETORNO 0,36% 0,44% 0,52% 0,45% 0,33% 0,37% 0,62% 0,51% 0,40% 0,46% Quadro 3: Matriz de Covariâncias baseados nos retornos históricos do período pré-crise Para a análise do portfólio é necessário o cálculo da variância de toda a carteira, bem como do retorno esperado do conjunto de investimentos nos ativos (Quadro 4).

Dados do Portfólio Variância (Risco) 0,66% Desvio- Padrão 8,15% Retorno Esperado 4,45% Quadro 4: Dados do portfólio baseados nos retornos históricos do período pré-crise O risco encontrado foi 0,66%, enquanto o retorno para esta carteira de ativos, considerando o investimento no percentual de 10% em cada ativo do portfólio, foi 4,45%, Com a utilização da otimização da carteira, proporcionada pelo SOLVER no programa Excel, obteve-se a carteira ótima demonstrada no Quadro 5: Cenários Minimização de risco Pré-crise Carteira das 10 empresas mais rentáveis Carteira ótima (Empresas) CSNA3 TRPL4 10% em cada uma das Participações ótimas 36,93% 63,07% empresas Retorno esperado 4,45% 4,45% Risco ótimo (Variância) 0,38% 0,66% Quadro 5: Carteira ótima com a minimização do risco no período pré-crise De acordo com o Modelo de Markowitz, o investimento nas ações da empresa CSNA3 (36,93%) e na TRPL4 (63,07%), reduziria o risco de 0,66% para 0,38%, com o mesmo retorno que seria obtido na composição uniforme da carteira com as 10 empresas mais rentáveis do IBOVESPA. No que diz respeito ao período de crise, pode-se identificar os seguintes retornos médios das empresas analisadas (Quadro 6). Retornos Históricos do período da Crise Mundial 2008 Empresas BBAS3 BRAP4 CSNA3 GGBR4 ITSA4 LAME4 CYRE3 RSID3 TRPL4 USIM3 Retorno Médio 0,54% -2,35% -1,38% -2,85% 1,08% 0,91% 1,72% 4,13% 0,26% -1,98% Quadro 6: Retorno médio dos retornos históricos baseados no período da crise Diferente do que ocorre com o período considerado anterior a crise, a maior parte das empresas teve retorno próximo de zero ou negativo, e a empresa que apresentou maior retorno foi a RSID3 com 4,13%. MATRIZ DE COVARIÂNCIAS BBAS3 BRAP4 CSNA3 GGBR4 ITSA4 LAME4 CYRE3 RSID3 TRPL4 USIM3 BBAS3 0,018400 0,012128 0,017020 0,017552 0,012793 0,015233 0,026938 0,021318 0,004906 0,017830 BRAP4 0,012128 0,019862 0,021340 0,019360 0,008556 0,015442 0,021865 0,034164 0,002570 0,017258 CSNA3 0,017020 0,021340 0,028378 0,024492 0,009783 0,018995 0,031763 0,042398 0,000456 0,026598 GGBR4 0,017552 0,019360 0,024492 0,030189 0,013132 0,021806 0,029359 0,042545 0,002537 0,026168 ITSA4 0,012793 0,008556 0,009783 0,013132 0,012970 0,015555 0,019633 0,019626 0,006372 0,009324 LAME4 0,015233 0,015442 0,018995 0,021806 0,015555 0,027629 0,033103 0,049408 0,005548 0,018565 CYRE3 0,026938 0,021865 0,031763 0,029359 0,019633 0,033103 0,060716 0,068904 0,001883 0,033198 RSID3 0,021318 0,034164 0,042398 0,042545 0,019626 0,049408 0,068904 0,125374-0,002858 0,041312 TRPL4 0,004906 0,002570 0,000456 0,002537 0,006372 0,005548 0,001883-0,002858 0,008506-0,000182 USIM3 0,017830 0,017258 0,026598 0,026168 0,009324 0,018565 0,033198 0,041312-0,000182 0,033207 Percentuais 10,00% 10,00% 10,00% 10,00% 10,00% 10,00% 10,00% 10,00% 10,00% 10,00% VARIÂNCIA 0,001641 0,001725 0,002212 0,002271 0,001277 0,002213 0,003274 0,004422 0,000297 0,002233 RETORNO 0,05% -0,24% -0,14% -0,28% 0,11% 0,09% 0,17% 0,41% 0,03% -0,20% Quadro 7: Matriz de Covariâncias baseados nos retornos históricos do período da crise

Após o cálculo da Matriz de Covariâncias (Quadro 7), chega-se aos dados da carteira de ativos no período da crise (Quadro 8). Dados do Portfólio Variância (Risco) 2,16% Desvio- Padrão 14,69% Retorno Esperado 0,01% Quadro 8: Dados do portfólio baseados nos retornos históricos do período da crise O risco da carteira com estas características é 2,16%, aproximadamente três vezes maior do que o risco apresentado na composição do período anterior a crise. O retorno da carteira foi apenas 0,01%, apresentando praticamente rentabilidade nula neste período. A carteira ótima que minimizaria o risco nestas condições é apresenta no Quadro 9. Cenários Minimização de risco Crise Carteira das 10 empresas mais rentáveis Carteira ótima (Empresas) RSID3 TRPL4 10% em cada uma das Participações ótimas 19,07% 80,93% empresas Retorno esperado 1,00% 0,01% Risco ótimo 1,08% 2,16% Quadro 9: Carteira ótima com a minimização do risco no período da crise A carteira ótima deste período é composta pelo investimento de 19,07% do capital nas ações da empresa RSID3 e 80.93% nas ações da empresa TRPL4. Ela possui um risco de 1,08%, metade do apresentado na carteira das empresas da IBOVESPA, e proporciona um retorno de 1,00%, inúmeras vezes maior do que o retorno de 0,01% da carteira das dez empresas. No que concerne ao período posterior a crise, os retornos médios são apresentados no Quadro 10. Retornos Históricos do período posterior a Crise Mundial 2008 Empresas BBAS3 BRAP4 CSNA3 GGBR4 ITSA4 LAME4 CYRE3 RSID3 TRPL4 USIM3 Retorno Médio 3,95% 4,49% 3,95% 3,21% 3,28% 3,59% 3,78% 5,35% 0,09% 2,92% Quadro 10: Retorno médio dos retornos históricos baseados no período da crise Neste período a ação que apresentou o maior retorno, 5,35%, foi a RSID3, seguidas das ações BRAP4, CSNA3 e BBAS3, com retorno de 4,49%, 3,95% e 3,95%, respectivamente.

MATRIZ DE COVARIÂNCIAS BBAS3 BRAP4 CSNA3 GGBR4 ITSA4 LAME4 CYRE3 RSID3 TRPL4 USIM3 BBAS3 0,007820 0,001684 0,002104 0,001109 0,004251 0,005392 0,005993 0,011790 0,001313 0,001952 BRAP4 0,001684 0,004111 0,004310 0,002437 0,001540 0,002330 0,001205 0,000941-0,000021 0,003524 CSNA3 0,002104 0,004310 0,006655 0,003001 0,001917 0,000953 0,000364-0,000316-0,000374 0,005177 GGBR4 0,001109 0,002437 0,003001 0,004404 0,001781 0,003231 0,001554 0,001788 0,001259 0,002175 ITSA4 0,004251 0,001540 0,001917 0,001781 0,003994 0,005195 0,002908 0,007724 0,001102 0,003687 LAME4 0,005392 0,002330 0,000953 0,003231 0,005195 0,010467 0,007974 0,012530 0,002031 0,004297 CYRE3 0,005993 0,001205 0,000364 0,001554 0,002908 0,007974 0,015352 0,014132 0,001253 0,000925 RSID3 0,011790 0,000941-0,000316 0,001788 0,007724 0,012530 0,014132 0,024976 0,003246 0,002264 TRPL4 0,001313-0,000021-0,000374 0,001259 0,001102 0,002031 0,001253 0,003246 0,001027-0,000268 USIM3 0,001952 0,003524 0,005177 0,002175 0,003687 0,004297 0,000925 0,002264-0,000268 0,007959 Percentuais 10,00% 10,00% 10,00% 10,00% 10,00% 10,00% 10,00% 10,00% 10,00% 10,00% VARIÂNCIA 0,000434 0,000221 0,000238 0,000227 0,000341 0,000544 0,000517 0,000791 0,000106 0,000317 RETORNO 0,40% 0,45% 0,39% 0,32% 0,33% 0,36% 0,38% 0,53% 0,01% 0,29% Quadro 11: Matriz de Covariâncias baseados nos retornos históricos do período após a crise O Quadro 11 mostra a covariância, a variância e o retorno de cada par de ativos enquanto o Quadro 12 evidencia a variância da carteira, 0,37%, e o retorno da mesma, 3,46%. D a d o s d o P o rtfó l io V a ri â n c ia (R isc o ) 0,3 7 % D e sv io - P a d rã o 6,1 1 % R e to rn o Esp e ra d o 3,4 6 % Quadro 12: Dados do portfólio baseados nos retornos históricos do período após a crise No quadro 13, pode-se observar a carteira ótima para minimização do risco, com o destino de 88,96% para as ações da empresa BRAP4 e 11,04% para a empresa TRPL4. Com esta diversificação, o risco reduziria de 0,37% para 0,21% e o retorno aumentaria de 3,46% para 4%. Cenários Minimização de risco Pós-crise Carteira das 10 empresas mais rentáveis Carteira ótima (Empresas) BRAP4 TRPL4 10% em cada uma das Participações ótimas 88,96% 11,04% empresas Retorno esperado 4,00% 3,46% Risco ótimo 0,21% 0,37% Quadro 13: Carteira ótima com a minimização do risco no período da crise Na parte do estudo que compete ao período completo, Abril de 2005 a Abril de 2010, pode-se observar os retornos médios expostos no Quadro 14. Retornos Históricos do período Abril/2005 a Abril/2010 Empresas BBAS3 BRAP4 CSNA3 GGBR4 ITSA4 LAME4 CYRE3 RSID3 TRPL4 USIM3 Retorno Médio 2,46% 2,65% 3,24% 2,49% 2,41% 2,57% 4,08% 4,04% 2,74% 2,52% Quadro 14: Retorno médio dos retornos históricos baseados no período de Abril/2005 a Abril/2010

Percebe-se que as empresas que apresentam maior retorno médio, nos cinco anos analisados, são a CYRE3, 4,08%, seguida da RSID3 e da CSNA3 que apresentam retorno médio de 4,04% e 3,24%, respectivamente. MATRIZ DE COVARIÂNCIAS BBAS3 BRAP4 CSNA3 GGBR4 ITSA4 LAME4 CYRE3 RSID3 TRPL4 USIM3 BBAS3 0,011944 0,007461 0,007152 0,008328 0,007157 0,007629 0,011093 0,008700 0,003196 0,008697 BRAP4 0,007461 0,013921 0,010056 0,010130 0,006319 0,009084 0,009728 0,008216 0,001588 0,009658 CSNA3 0,007152 0,010056 0,015026 0,011449 0,005006 0,008282 0,009949 0,008915 0,000976 0,013239 GGBR4 0,008328 0,010130 0,011449 0,015858 0,007006 0,009866 0,011614 0,012507 0,002279 0,012274 ITSA4 0,007157 0,006319 0,005006 0,007006 0,007393 0,008002 0,008982 0,009472 0,002683 0,006647 LAME4 0,007629 0,009084 0,008282 0,009866 0,008002 0,017357 0,015355 0,020029 0,003628 0,009180 CYRE3 0,011093 0,009728 0,009949 0,011614 0,008982 0,015355 0,033089 0,027955 0,003647 0,011367 RSID3 0,008700 0,008216 0,008915 0,012507 0,009472 0,020029 0,027955 0,075877 0,002131 0,012193 TRPL4 0,003196 0,001588 0,000976 0,002279 0,002683 0,003628 0,003647 0,002131 0,007493 0,000722 USIM3 0,008697 0,009658 0,013239 0,012274 0,006647 0,009180 0,011367 0,012193 0,000722 0,018010 Percentuais 10,00% 10,00% 10,00% 10,00% 10,00% 10,00% 10,00% 10,00% 10,00% 10,00% VARIÂNCIA 0,000814 0,000862 0,000901 0,001013 0,000687 0,001084 0,001428 0,001860 0,000283 0,001020 RETORNO 0,25% 0,27% 0,32% 0,25% 0,24% 0,26% 0,41% 0,40% 0,27% 0,25% Quadro 15: Matriz de Covariâncias baseados nos retornos do período no período de Abr/2005 a Abr/10 Dados do Portfólio Variância (Risco) 1,00% Desvio- Padrão 9,98% Retorno Esperado 2,92% Quadro 16: Dados do portfólio baseados nos retornos históricos do período de Abr/2005 a Abr/10 A variância, risco, desta carteira é 1,0%, enquanto o retorno é 2,92%. Com a otimização da carteira de acordo com o modelo de Markowitz, obtém-se a carteira com a composição apresentada no Quadro 17. Cenários Minimização de risco Abr/2005 a Abr/2010 Carteira das 10 empresas mais rentáveis Carteira ótima (Empresas) CYRE3 TRPL4 10% em cada uma das Participações ótimas 19,58% 80,42% empresas Retorno esperado 3,00% 2,92% Risco ótimo 0,51% 1,00% Quadro 17: Carteira ótima com a minimização do risco no período de Abr/2005 a Abr/10 Observa-se que os percentuais desta carteira ótima são 19,58% dos investimentos para a empresa CYRE3 e 80,42% para a TRPL4. Com esta diversificação, o risco diminui para 0,51% e o retorno aumenta para 3,0%.

Gráfico 1: Risco da carteira ótimas e das empresas do IBOVESPA Como pode-se observar no Gráfico 1, as diferenças entre a carteira composta pelas dez empresas com maior rentabilidade do IBOVESPA em relação a carteira ótima são significantes, sendo que no período da crise o risco alcança a diferença de 100%. Pré-Crise Crise Pós- Crise Abr/05 a Abr/10 Carteira CSNA3 TRPL4 RSID3 TRPL4 BRAP4 TRPL4 CYRE3 TRPL4 Pariticipações 36,93% 63,07% 19,07% 80,93% 88,96% 11,04% 19,58% 80,42% Retorno 4,45% Cenários 1,00% 4,00% 3,00% Risco 0,38% 1,08% 0,21% 0,51% Quadro 17: Cenários de carteiras ótimas com a minimização do risco Percebe-se que em todos os cenários apresentados neste estudo, a empresa TRPL4 foi indicada como um investimento interessante, que contribuiu para a minimização do risco apresentado pela aplicação nas empresas mais rentáveis do IBOVESPA. Além desta empresa, verifica-se, em cada cenário, a sua combinação com empresas como a CSNA3, no período anterior a crise, a RSID3, durante a crise, a BRAP4, após a crise, e com a CYRE3 na análise proveniente ao período entre Abril/2005 e Abril/2010. 5. Considerações Finais Este estudo teve como principal objetivo realizar a aplicação das considerações relacionadas ao risco e retorno, além de outros conceitos inerentes a investimentos no mercado de capitais, com cerne nas idéias de Markowitz, para a identificação das carteiras que minimizam os riscos nos cenários denominados pré-crise, crise, pós-crise e referente ao período de Abril/2005 a Abril/2010 no mercado de capitais brasileiro. Ao analisar o período pré-crise, detectou-se, que as ações CSNA3 (36,93%) e a TRPL4 (63,07%), eram as mais indicadas para a composição da carteira eficiente que

reduziria o risco de 0,66%, em aproximadamente 43%, e apresentaria o mesmo retorno que seria obtido na composição uniforme da carteira com as 10 empresas mais rentáveis do IBOVESPA. Durante a crise, a carteira eficiente identificada era composta pelo investimento de 19,07% do capital na ação RSID3 e 80,93% na ação TRPL4, sendo que a mesma possuiria um risco de 1,08%, metade do apresentado na carteira das empresas da IBOVESPA, e proporcionaria um retorno de 1,00%, inúmeras vezes maior do que o retorno de 0,01% oferecido pela carteira das dez empresas. Após a crise, a carteira eficiente para minimização do risco, propõe o destino de 88,96% para a ação BRAP4 e 11,04% para a ação TRPL4. Com esta diversificação, o risco reduziria de 0,37% para 0,21% e o retorno aumentaria de 3,46% para 4,0%. No que concerne a análise do período de Abril/2005 a Abril/2010, observa-se que os percentuais da carteira eficiente são 19,58% dos investimentos para a ação CYRE3 e 80,42% para a TRPL4, sendo que com esta diversificação, o risco diminuiria para 0,51% e o retorno aumentaria para 3,0%. Percebe-se que em todos os cenários apresentados neste estudo, a ação TRPL4 apareceu como um investimento atraente, que contribuiu para a minimização do risco apresentado pela aplicação nas empresas mais rentáveis do IBOVESPA. Além desta empresa, verifica-se, em cada cenário, a sua combinação com empresas como a CSNA3, no período anterior a crise, a RSID3, durante a crise, a BRAP4, após a crise, e com a CYRE3, referente à análise do período entre Abril/2005 e Abril/2010. Não obstante, em uma análise geral as diferenças entre a carteira composta pelas dez empresas com maior rentabilidade do IBOVESPA em relação à carteira ótima foram consideráveis, sendo que no período da crise o risco alcançou a diferença de 100%. Em suma, a otimização com a utilização da diversificação de Markowitz foi eficaz no sentido de minimizar o risco associado ao retorno esperado das carteiras em cada cenário. Como sugestão para pesquisas futuras, sugere-se a utilização de um número maior de empresas, outros horizontes de tempo, bem como a comparação do modelo de Markowitz com outros modelos de otimização de carteiras. Referências BEUREN, I. M. Como elaborar trabalhos monográficos em Contabilidade: teoria e pratica. São Paulo: Atlas, 2004. BLACK, F., JENSEN, M. C., SCHOLES, M. The capital asset pricing model: some empirical findings. New York: Praeger, 1972. BOVESPA. Bolsa de Valores de São Paulo. Disponível em: http://www.bovespa.com.br/principal.asp. Data de acesso: 05 de jun. de 2010. BRUNI, A. L., FAMA, R.. Moderna Teoria de Portfólios: e possível captar, na pratica, os benefícios decorrentes de sua utilização? Resenha BM&F, São Paulo, n. 128, p. 19-34, nov/dez 1998. COPELAND, T. E.; WESTON, J. F. Financial Theory and Corporate Policy. EUA: Addison Wiley Publishing Company, 1988 CORRÊA, A. de C. Análise de Investimentos: um teste dos modelos CAPM e APT. João Pessoa, 1997. 107 p. Dissertação (Mestrado em Administração) Universidade Federal da Paraíba. DAMODARAN, A. Investiment valuation: tools and techniques for determining the value of any asset. New York: Wiley, 1996.

ELTON, E. J.; GRUBER, M. J., Modern Portfolio Theory and Investment Analysis. New York: John Wiley & Sons, Inc, 1995. ELTON, E. J.; GRUBER, M. J. Risk reduction and portfólio size: an analytical solution. Journal of Business, vol. 50, n 2, pp. 415-437. Oct. 1977. FLEURIET, M. A arte e a ciência das finanças: uma introdução ao mercado financeiro. Rio de Janeiro: Elsevier, 2004. FRANCIS, J. C. Management of investments. New York: Mc Graw-Hill, 1993. GIBBONS, M. R. Multivariate testes of financial models. Journal of Financial Economics, v.10, p.3-27, 1982. GIBBONS, M. R., ROSS S. A., SHANKEN, J. A test of the efficiency of a given portfolio. Econometrica, v.57, n. 5, p.1121-1152, 1989. GRINOLD, R. C. Are benchmark portfolios efficient? The Journal of Portfolio Management, p.34-40, fall 1992. HIEDA, A., ODA, A. L. Um estudo sobre a utilização de dados históricos no modelo de Markowitz aplicado a Bolsa de Valores de São Paulo. In: Seminários de Administração, 3, Out. 1998, São Paulo. Anais do III SEMEAD. São Paulo: Faculdade de Economia, Administração e Contabilidade da USP, 1998. JOBSON, J. D., KORKIE, B. Potential performance and tests of portfolio efficiency. Journal of Financial Economics, v.10, p.433-466, 1982. KANDEL, S., STAMBAUGH, R. F. On correlations and inferences about mean-variance efficiency. Journal of Financial Economics, v.18, p.61-90, 1987. MACKINLAY, A. C. On multivariate tests of the CAPM. Journal of Financial Economics, v.18, p.341-371, 1987. MACKINLAY, A. C.; RICHARDSON, M. P. Using generalized method of moments to test mean-variance efficiency. The Journal of Finance, v.46, p.511-527, 1991. MARKOWITZ, H. Portfolio Selection. Journal of Finance, p. 77-91, 1952. MARKOWITZ, H. Portfolio Selection: efficient diversification of investments. Journal of Finance, n.7, 1959. ROLL, R. A critique of the asset pricing theory s tests. Journal of Financial Economics, v.4, p.129-176, 1977. SELLTIZ, C.; WRIGHTSMAN, L.; COOK, S.; KIDDER, L. Métodos de Pesquisa nas Relações Sociais. 6ª. Reimpressão EPU. São Paulo: Editora USP, 1975. SHANKEN, J. Multivariate tests of the zero-beta CAPM. Journal of Financial Economics, v.14, p.327-348, 1985. SILVA, M. E., STERN, J. M. Efficient Portfolios at São Paulo Stock Exchange (BOVESPA) in 1994, Anais do XVII Encontro Brasileiro de Econometria, Salvador, BA, p.995-1013. SHARPE, W. F., ALEXANDER, G. J., BAILEY, J. V. Investments. New Jersey: Prentice Hall, 1995. TOBIN, J. Liquidity Preference as Behavior Towards Risk. Review of Economics Studies, feb, 1958.