AULA J INTRODUÇÃO O Projeto de Revisão da Norma NBR-6118 sugere que a descrição do comportamento estrutural seja feita de maneira mais rigorosa possível, utilizando-se programas computacionais baseados no Método dos Elementos Finitos, além de novas filosofias de dimensionamento à força cortante. O presente modelo didático leva em conta as prescrições da referida norma e apresenta uma comparação de resultados entre os modelos rigoroso e aproximado de uma viga-balcão. EXEMPLO DE CÁLCULO: VIGA-BALCÃO VB1(1/40) Pretende-se a partir deste exemplo de cálculo realizar um estudo comparativo entre as respostas dos modelos estruturais (a) aproximado, obtido a partir de uma viga-balcão bi-engastada e (b) rigoroso, considerando-se a viga-balcão pertencente a um pórtico espacial enrijecido por elementos bidimensionais em cada lance (diagragmas rígidos). A partir do modelo rigoroso pode-se verificar que os vínculos reativos não são simétricos, um vez que a rigidez axial do pilar P3(0/60) é muito maior do que a rigidez à flexão da viga contínua V1(15/50), conforme indicado na Figura J.1. A B C D 4,50 5,00 5,0 V(15/50) L3 V1(15/50) V3(15/50) L4 V4(15/50) L5 V5(15/50) P4 (0/60) 0,15 P1 (0/60) P (0/60) L1 P3 (0/60) L 0,90 0,15 VB1(1/40) VB(1/40) 4,35 1,5 1,00 1,60 1,00 1,00 4,05 0,15 0,15 0,15 0,15 Figura J.1 Detalhe da planta de fôrmas na região das vigas-balcão Figura J. Modelo de elementos finitos das vigas contínuas, vigas-balcão e pilares AGO.001 J-1/9
(a) (b) Figura J.3 Configurações deformada e indeformada dos modelos matemáticos (a) rigoroso e (b) aproximado Comparando-se as Figuras J.3(a) e J.3(b), pode-se afirmar que a solução aproximada corresponde, hipoteticamente, a se considerar nos dois encontros da viga balcão com a superestrutura, a presença de pilares com a mesma dimensão e disposição, garantindo assim a simetria das condições de contorno. Segundo o modelo teórico rigoroso, o apoio mais rígido, correspondente ao pilar P3, sustentará a maior parte do carregamento, refletindo-se assim, em maiores esforços internos solicitantes. A título de ilustração pode-se citar o comportamento à flexão de uma viga engastadaapoiada uniformemente carregada, indicada na Figura J.4. Pode-se observar que a reação de apoio junto à extremidade engastada é quase igual ao dobro da reação junto à extremidade apoiada. p! 3p! V= 8 5p! V= 8 Figura J.4 Viga engastada-apoiada e diagramas de forças cortantes Por outro lado, a solução correspondente ao modelo matemático aproximado, apresentada na Figura J.3(b), apresenta esforços inferiores e simetricamente distribuídos em relação ao plano de simetria do problema. As diferenças são apreciáveis, neste caso particular, e devem ser levadas em cosideração na fase de análise estrutural. As mesmas considerações podem ser estendidas aos diagramas de momentos torçores. Para os momentos fletores as diferenças são ainda mais significativas, não somente em termos quantitativos, como também, em relação ao sinal do esforço. Como o posicionamento da armadura longitudinal, em relação às faces inferior e superior da viga, depende do sinal do momento fletor as diferenças entre os modelos matemáticos rigoroso e aproximado são apreciáveis. Por exemplo, o trecho menos rígido da viga-balcão será armado à momentos negativos, enquanto que para a solução rigoroso o mesmo trecho será armado à momentos positivos. Didaticamente, pode-se ilustrar este comportamento analisando-se a distribuição dos momentos fletores em vigas sujeitas a recalques diferenciais isentas de carregamento. M>0 M<0 + + + + + + Figura J.5 Viga simplesmente apoiada sujeita a recalque diferencial AGO.001 J-/9
Pode-se considerar que os trechos da viga-balcão não paralelos oferecem uma resistência ao movimento de rotação das extremidades do trecho central, garantida pela rigidez à torção deste trecho. Por esta razão, como pode-se confirmar na Figura J.6 os momentos fletores junto ao apoio flexível são positivos (tração na fibra inferior) e, por outro lado, junto ao apoio rígidos, negativos (tração na fibra superior). Os diagramas apresentados nas Figuras J.6 e J.7 correspondem, respectivamente, aos esforços de flexão obtidos pelos modelos rigoroso e aproximado. DIMENSIONAMENTO DAS ARMADURAS DE FLEXÃO Para o cálculo das armaduras positivas e negativas serão considerados os dois modelos matemáticos para uma comparação entre os resultados. A partir das Figuras J.6 e J.7 pode-se obter os esforços de flexão mais desfavoráveis, que conduzirão o dimensionamento à flexão normal simples no Estado Limite Último para seção retangular, com coeficiente de majoração para as ações permanentes e variáveis γ g = γ q =1,4 e coeficientes de minoração das resistência do aço γ a =1,15 e do concreto γ c =1,4. A armadura mínima de flexão, prescrita pela NBR-6118/78, é dada por: mín = 0,15% bw h = 0,7 cm. mín = φ8mm 6,85 33, 11,86 Figura J.6 Diagrama de momentos fletores na viga-balcão com ligação elástica modelo matemático rigoroso 9,31 9,31,00 Figura J.7 Diagrama de momentos fletores na viga-balcão com ligação rígida solução aproximada AGO.001 J-3/9
MODELO RIGOROSO Armadura positiva 1 37 1186 k 6 = 13,85 A s = 0,0338 = 1,08 cm > mín 1186 37 adot = φ10mm Armadura negativa 1 37 33 k 6 = 4,9 A s = 0,0373 = 3,35 cm > mín 33 37 adot = φ10mm + 1φ16mm MODELO SIMPLIFICADO Armadura positiva 1 37 00 k 6 = 8,1 A s = 0,035 = 0,17 cm < mín 00 37 mín = φ8mm Armadura negativa 1 37 931 k 6 = 17,6 A s = 0,0335 = 0,84 cm > mín 931 37 adot = φ8mm DIMENSIONAMENTO ARMADURA TRANSVERSAL (MODELO CÁLCULO I) Particularizando-se para o caso prático de estribos verticais (α.=.90.o ), tem-se segundo o Modelo de Cálculo I, proposto no Projeto de Revisão da Norma NBR-6118, a expressão ρsw / 3 Asw Vs 0,1 fck bw d = bw s = fywd bw d para o cálculo da taxa de armadura transversal. Tal modelo apresenta o cálculo mais econômico para a armadura transversal, alem do fato das quantidades a serem levantadas são explícitamente indicadas. A única ressalva é que deve-se entrar com o dado relativo à resistência característica à compressão do concreto em MPa (1 Mega Pascal=1N/mm ). Assim, segundo as unidades impostas nesta formulação, deve-se trabalhar, consistentemente, em milímetros (mm) e newtons (N). AGO.001 J-4/9
14,81 kn 33,35 kn 11,94 kn Figura J.8 Diagrama de forças cortantes na viga-balcão com ligação elástica solução rigorosa 9,71 kn 9,71 kn 3,90 kn 3,90 kn Figura J.9 Diagrama de forças cortantes na viga-balcão com ligação rígida solução aproximada MODELO RIGOROSO A / 3 sw 33.350 0,1 0 10 370 ρsw = = = 0,10% bw s 434,8 10 370 Para um trecho de comprimento s.=.100.cm, tem-se: A sw = 1, cm Adotando-se barras de diâmetro nominal φ = 5 mm (A sw,1φ = 0,0 cm ), a armadura transversal será: 100 0,0 s = 30cm > smáx = 0,6 d 0cm φ5mm c / 0cm (ramos) 1, Verificação da força cortante correspondente à armadura transversal mínima Segundo o Item 17.3.1.1 que prescreve a taxa de armadura transversal mínima para elementos sujeitos à força cortante no ELU, tem-se: / 3 f 0,06 ck ρ sw,mín = = 0,088% < 0,10%. fywk Vmín = f b d / 3 ywd w 0,1 fck bw d sw mín + ( ρ ) / 3 434,8 10 370 0,1 0 10 370 Vmín = 0,088% + = 31.91N AGO.001 J-5/9
MODELO APROXIMADO Devido ao valor da força cortante correspondente a armadura transversal mínima ser superior ao maior valor indicado no diagrama da Figura E.14, deve-se adotar a armadura transversal mínima dada por / 3 f 0,06 ck ρsw,mín = = 0,088% fywk Para um trecho de comprimento s.=.100.cm, tem-se: A sw = 1,06 cm φ5mm c / 0cm (ramos) DETALHAMENTO DAS ARMADURAS Ao longo de todo o comprimento da viga deve-se garantir a presença de duas barras superiores e outras duas inferiores, locadas nos quatros cantos da seção transversal retangular, de modo a conferir estabilidade lateral aos estribos verticais na fase de execução. Estas barras, conhecidas por porta-estribos, são indispensáveis na montagem das armaduras em vigas de concreto armado. Valendo-se deste princípio, pode-se utilizar a armadura de flexão para cumprir este papel, e com isto, dispensa-se a decalagem do diagrama de momentos fletores para a revelação dos comprimentos das barras tracionadas, uma vez que foram utilizadas duas barras para combater os momentos fletores positivos e negativos. Sendo assim, as barras longitudinais devem se estender por toda a extensão da viga. Para o trecho tipicamente representado pelo Corte CC, segundo o método rigoroso para a obtenção dos esforços surge a necessidade de uma terceira barra para complementar a área de aço exigida no cálculo. Na realidade, o comprimento da barra negativa N4, indicada na Figura J.11, deve ser obtido segundo o esquema de cobertura do diagrama de momentos fletores deslocado, observando-se os comprimentos de ancoragem exigidos em região de má aderência. V1 (1/50) A A B C C P3 (0/60) B VB1(1/40) Figura J.10 Planta de Fôrmas referente à viga-balcão VB1(1/40) N φ10 N φ10 N φ10 N4 1φ16 N3φ5c/0 N3φ5c/0 N3φ5c/0 corte AA corte BB corte CC N1 φ10 N1 φ10 N1 φ10 Figura J.11 Detalhe típico das armaduras nos trechos correspondentes aos cortes AA, BB e CC da viga-balcão VB1(1/40) obtidas pelo Método Rigoroso AGO.001 J-6/9
N φ8 N φ8 N φ8 N3φ5c/0 N3φ5c/0 N3φ5c/0 corte AA corte BB corte CC N1 φ8 N1 φ8 N1 φ8 Figura J.1 Detalhe típico das armaduras nos trechos correspondentes aos cortes AA, BB e CC da viga-balcão VB1(1/40) obtidas pelo Método Aproximado CONSIDERAÇÕES FINAIS Os comprimentos das armaduras detalhadas foram adotados, simplificadamente, para facilitar a montagem e conferência na fase de execução da viga-balcão. Por outro lado, pode-se notar uma diferença nas armaduras calculadas, comparativamente, segundo os métodos de cálculo rigoroso e aproximado apresentados. Pode-se afirmar que nos dois casos temse um dimensionamento seguro, apesar de que, particularmente, para a viga calculada segundo o método aproximado, deve-se notar uma plastificação (fissuração) da mesma no encontro com o pilar P3, levando a uma redistribuição de esforços e passando a chamar a armadura positiva, que a solução elástica, obtida pelo modelo aproximado, exigiu. Segundo o modelo de cálculo aproximado instalar-se-ão fissuras na região do encontro da viga-balcão com o pilar P3 e caso, a superfície externa da viga-balcão não receber tratamento adequado, tal fato poderá se reverter, futuramente, num problema patológico. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS [1] ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS (NBR-6118/78). Projeto e Execução de Obras de Concreto Armado. Rio de Janeiro, ABNT, 1978. [] ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS (ABNT). Projeto e Execução de Obras de Concreto Armado. Projeto de Revisão da NBR 6118 Texto de Discussão. No prelo. [3].SÁNCHEZ, E. organizador. Nova Normalização Brasileira para o Concreto Estrutural. Rio de Janeiro, Editora Interciência, 1999. [4].SANTOS, L. M. Edifícios de Concreto Armado. São Paulo, FDTE EPUSP, 1984. AGO.001 J-7/9
ANEXO J SOLUÇÃO ANALÍTICA 4,11 kn/m 4,87 kn/m 4,11 kn/m 1,00 m M=1 1,05 m 1,60 m 1,05 m 1,05 m 1,60 m 1,05 m Figura J.13 (a) Geometria, dimensões, vinculações e carregamentos do modelo matemático aproximado (b) solução isostática fundamental 10,7 G O 1,10 G O M 0 0,71 M Figura J.14 Diagramas de momentos fletores fundamental e esforço unitário 1,00 1,10 T 0 0,71 T Figura J.15 Diagramas de momentos torçores fundamental e esforço unitário Sendo X a única incógnita hiperestática do problema, considerando-se as condições de simetria, pode-se obter o seu valor por meio da aplicação do Teorema de Menabrea, levando-se em conta apenas as energias de deformação por flexão e torção (preponderantes), dado por: que resulta nos esforços finais EI M0Mds + T0 Tds X = EI M ds + T ds M = M0 + X M T = T0 + X T AGO.001 J-8/9
Tabela J.1 Propriedades físicas e geométricas da viga-balcão PARÂMETROS FÍSICOS E GEOMÉTRICOS Módulo de elasticidade longitudinal Módulo de elasticidade transversal para coeficiente de poisson ν=0, VALORES DE CÁLCULO E = 4GPa G E 4 = = 10GPa (1 + ν) (1 + 0,) = Momento de inércia da seção (1/40) b h 0,1 0,40 4 4 I = = = 6,4 10 m 1 1 3 3 Momento de inércia à torção (1/40) 3 4 4 J = 0,6 0,1 0,40 = 1,8 10 m EI 4 6,4 10 Relação inércia à torção / flexão = = 8, 55 4 10 1,8 10 4 Calculando-se as integrais pela Regra de Vereschaquine, tem-se M 0 M ds = (1,10 1,41) 0,71 (5,51 1,41/ ) 0,71 (4,11 1,41/ 3) 0,71 ( 0,80 / 3) 1,00 M 0 M ds = 5,64 M ds = (0,80 1,00) 1,00 + (0,71 1,41) 0,71 M ds = + 1,51 T 0 T ds = (1,10 1,41) 0,71 = 1,10 T ds = (0,71 1,41) 0,71 = + 0, 71 EI M0Mds + T0 Tds 4,7 + (8,55 1,10) X = = = + EI 1,51+ (8,55 0,71) M ds + T ds Chegando-se assim, aos diagramas apresentados nas Figuras J.7 e J.9. AGO.001 J-9/9