Exercício 1. (Kokoska, 2013) Estudos indicam que residências canadenses desperdiçam, aproximadamente, de 389 a 513 quilowatts-hora de eletricidade por ano. Esse desperdício é causado por aparelhos eletrônicos que são desligados, mas permanecem em standby como, por exemplo, aparelhos de TV, impressoras de computadores, controles de abertura de garagens etc. Sabe-se que o desperdício mensal, em quilowatts, é uma variável com desvio padrão σ = 5, 7 kw. (a) Qual o tamanho amostral necessário para que, ao nível de confiança de 95%, o erro de estimação máximo não seja superior a 2 kw? (b) Suponha que uma amostra do desperdício mensal de 50 residências tenha sido coletada, com os resultados sendo apresentados logo abaixo. (b.1) Qual o erro de estimação obtido na estimação da média, ao nível de confiança de 95%? (b.2) Qual o intervalo de confiança para o desperdício médio mensal do país, ao nível de confiança de 95%? (b.3) Refaça os itens (b.1) e (b.2) considerando γ = 98%. 31 28 25 21 24 21 27 28 19 18 30 23 30 32 27 33 24 22 15 19 29 25 21 23 32 27 23 15 29 34 27 24 29 22 23 32 30 19 32 35 37 25 29 22 22 22 27 19 10 18 Exercício 2. Refaça o exercício anterior supondo que o desvio-padrão seja desconhecido. Exercício 3. As células brancas do sangue são o mecanismo de defesa natural contra doenças e infecções. A contagem média de células brancas no sangue de adultos saudáveis, medida como parte de uma CCB (contagem completa do sangue), é de 7, 5 10 3 /µl. Uma companhia está desenvolvendo uma nova droga para o tratamento da dor de artrite e quer verificar se a droga causa alguma mudança na contagem média de células brancas. Suponha que a contagem de células brancas tenha distribuição Normal com desvio-padrão σ = 1, 1 10 3 /µl. EST024 2016.3 Página 1 de 6
(d) Selecionou-se uma amostra aleatória de 21 pacientes que usaram a nova droga, e fez-se a contagem de células brancas de cada paciente. Os resultados são apresentados a seguir ( 10 3 /µl). Calcule o nível descritivo do teste; 6,50 8,69 6,85 6,76 6,58 8,84 8,44 8,28 7,65 6,95 10,12 8,74 8,00 8,84 7,93 7,65 7,00 6,70 9,20 6,45 7,66 (e) Ao nível de significância α = 5% tome uma decisão e conclua. (f) Calcule a probabilidade de erro do tipo II quando a verdadeira contagem média de células brancas for de 8 10 3 /µl. Exercício 4. A necessidade média diária de energia para um menino de oito anos de idade é de 2.200 Kcal. Um pesquisador educacional acredita que muitos estudantes nesse grupo se saem mal na escola devido a uma dieta inadequada e por não terem energia suficiente. Obteve-se uma amostra aleatória de meninos de oito anos academicamente em risco e mediu-se cuidadosamente sua ingestão de Kcal para um dia. Obteve-se as estimativas abaixo. n Média Desvio-padrão 36 2.089 358 (c) Calcule o nível descritivo do teste; (d) Ao nível de significância α = 5% tome uma decisão e conclua. EST024 2016.3 Página 2 de 6
Exercício 5. Um míssil destruidor de casamatas é projetado para destruir casamatas inimigas a aproximadamente 70 pés de profundidade. Para evitar falhas, o míssil deve penetrar 120 pés abaixo do chão. Em testes realizados pelos militares, oito mísseis foram disparados e foi registrada a profundidade de penetração (em pés) de cada um. Os dados constam logo abaixo. O pesquisador quer saber se, em média, os mísseis estarão aptos a destruir as casamatas inimigas. 122 117 119 119 121 124 119 120 (c) Calcule o nível descritivo do teste; (d) Foi necessária alguma suposição para o cálculo do nível descritivo no item anterior? Qual? (e) Ao nível de significância α = 5% tome uma decisão e conclua. Exercício 6. A vida do pneu de uma determinada marca possui uma média de 60.000 km. Um engenheiro de desenvolvimento da empresa está investigando a vida do pneu e quer analisar o uso de um novo componente da borracha. Ele fabricou 10 pneus e testou-os até o final da vida em um teste de estrada. A média e o desvio padrão-padrão amostrais obtidos foram 62.171 km e 3.035 km, respectivamente. Suponha que o engenheiro queira testar se o uso desse novo componente melhora a média de quilometragem da vida do pneu. (e) Ao nível de significância α = 5% tome uma decisão e conclua; EST024 2016.3 Página 3 de 6
(f) Com o objetivo de calcular o intervalo de confiança unilateral, com limite inferior, para a média de quilometragem da vida do pneu, obtenha o erro de estimação e, em seguida, calcule o intervalo. Considere um nível de confiança de 95%. Exercício 7. Com base no exercício anterior, suponha que o engenheiro queria testar se o uso do novo componente da borracha altera a média de quilometragem da vida do pneu. α = 1%; (e) Ao nível de significância α = 1% tome uma decisão e conclua; (f) Com o objetivo de calcular o intervalo de confiança bilateral, para a média de quilometragem da vida do pneu, obtenha o erro de estimação e, em seguida, calcule o intervalo. Considere um nível de confiança de 95%. Exercício 8. Uma máquina enche pacotes de café com um desvio padrão igual a 10g. Ela estava regulada para encher os pacotes com um peso médio de 500g. Depois de algum tempo de uso, a máquina parece ter desregulado e alterado o peso médio dos pacotes. Uma amostra de 25 pacotes apresentou peso médio igual a 485g. Suponha que o peso dos pacotes enchidos pela máquina tenha distribuição normal. (a) Há o interesse em avaliar se de fato o peso médio alterou. (a.1) Defina as hipóteses estatísticas adequadas ao problema; (a.2) Descreva os erros tipo I e tipo II para o problema; (a.3) Obtenha as regiões de aceitação e de rejeição para o teste, ao nível de significância de α = 1%; (a.4) Calcule o nível descritivo do teste; EST024 2016.3 Página 4 de 6
(a.5) Ao nível de significância α = 1% tome uma decisão e conclua; (a.6) Suponha que o peso médio passou a ser de 490g. Qual seria a probabilidade de erro do tipo II nesse caso? (b) Deseja-se saber qual o peso médio atual µ com que a máquina enche os pacotes de café (o desvio padrão não se alterou). (b.1) Construa um intervalo com 95% de confiança para µ. Interprete o intervalo obtido; (b.2) Qual o erro associado ao intervalo construído no item anterior? (b.3) Que tamanho amostral é necessário para produzir um intervalo de confiança para µ, com erro de 3, 5g de café? Utilize um coeficiente de confiança de 99%. Exercício 9. Um professor deseja estimar a proporção p de alunos que conseguiram entender de forma satisfatória o conteúdo ministrado de sua matéria, utilizando um novo método de ensino. Ele quer que essa proporção seja estimada com um erro de 0,04 e um nível de confiança de 92%. (a) Qual o tamanho de amostra necessário para atender às exigências do professor? (b) Que tamanho deveria ter a amostra, supondo que p está entre 0,2 e 0,6? E supondo que p é menor que 0,2? (c) Tomada uma amostra de 120 estudantes, 50 apresentaram bom desempenho em uma prova aplicada após dois meses de utilização do novo método. Com base nesses dados, determine um intervalo de confiança para p, com coeficiente de confiança de 95%. Exercício 10. Suponha que, nas aulas convencionais, a proporção de alunos que conseguem entender o conteúdo seja de 0,7. O professor está interessado em avaliar se um novo método de ensino é capaz de influenciar de algum modo esse percentual. EST024 2016.3 Página 5 de 6
(e) Ao nível de significância α = 5% tome uma decisão e conclua; Exercício 11. Uma máquina automática de enchimento é usada para encher garrafas com detergente líquido. Uma amostra aleatória do volume de enchimento de 20 garrafas resulta em uma variância amostral s 2 = 0, 0153 (onça fluida) 2. Se a variância do volume de enchimento exceder 0,01 (onça fluida) 2, existirá uma proporção inaceitável de garrafas cujo enchimento não foi completo ou foi em demasia. O fabricante está interessado em avaliar se há um problema com garrafas cheias com falta e com excesso de detergente. (e) Ao nível de significância α = 5% tome uma decisão e conclua; (f) Quais as suposições necessárias para a realização do teste de hipóteses neste problema? Exercício 12. Com base nas informações do exercício anterior, apresente um intervalo de confiança superior, ou seja, um intervalo de confiança que possui apenas limite superior a ser calculado. Considere o nível de confiança de 95%. EST024 2016.3 Página 6 de 6