CURSO INTRODUTÓRIO DE MATEMÁTICA PARA ENGENHARIA 014. Geometria Euclidiana Plana Parte II Joyce Danielle de Araújo - Engenharia de Produção Vitor Bruno - Engenharia Civil
Introdução Desde os egípcios, que procuravam medir e demarcar suas terras, até hoje, quando topógrafos, engenheiros e arquitetos fazem seus mapeamentos e plantas, o cálculo de áreas tem sido uma preocupação constante na história da Matemática. Na aula de hoje você aprenderá como resolver problemas envolvendo áreas.
Área do Retângulo Tomando como unidade de área o quadrado de 1cm² de área, observamos que cabem 1 desses quadrados no retângulo ao lado. Logo, a área do retângulo é 1cm². 1 cm 1cm² 1 cm 3 cm 4 cm
Área do retângulo Por outro lado, se multiplicarmos a medida do comprimento do retângulo pela medida da sua largura, obtemos o mesmo resultado. 4 cm. 3 cm = 1 cm² Portanto, a área da superfície de um retângulo é igual ao produto das medidas da base b e da altura h. A h. A retângulo = b. h b Em que: b e h são números reais positivos.
Área do quadrado Particularmente, para o quadrado de lado a, ou seja, b = a e h = a, temos : A a A quadrado = a. a ou A quadrado = a² Em que: a é um número real positivo. a
Exercício O comprimento de um terreno retangular tem 8 m a mais do que a frente. Sabendo-se que o perímetro desse terreno é de 11 m, determine: a) As dimensões desse terreno. b) A área desse terreno.
Resolução Fazemos um esboço do terreno e suas dimensões Como o perímetro de um polígono plano é a soma das medidas de todos os seus lados, somamos seus lados e igualamos ao perímetro fornecido pela questão, que é 11. x + 8 x x x + 8 ( x 8) ( x 8) x x 11
( x 4x 4x Resolução 8) 56 56 ( x 11 x 8) 56 4 4x x 11 x x 14 11 56 14 + 8 14 14 + 8 a) Substituímos o valor encontrado 14 para x nas dimensões do retângulo. Verificamos que o terreno mede 14 m de frente e 4 m de comprimento.
Resolução b) Sabemos as dimensões do retângulo e queremos saber sua área. Vimos que a área do retângulo é dada pelo produto das medidas da base e da altura, no caso, a base e a altura valem, respectivamente, 14 m e 4 m. Logo: A 14m.4m 588m²
Exercício (UFF-RJ) Num terreno retangular com 104 m² de área, deseja-se construir um jardim, também retangular, medindo 9 m por 4 m, contornado por uma calçada de largura L, como indica a figura. Calcule o valor de L. CALÇADA JARDIM L L
Resolução De acordo com as medidas fornecidas do jardim, sabemos que a área do terreno pode ser escrita em função de L da seguinte forma: 4 4 L 9 L L ( 9 L).(4 L) A A = Largura x Altura L
Resolução Como a questão nos fornece o valor da área total, igualamos esse valor dado à equação que montamos anteriormente para determinar L: A 104 104 104 34 (9 9(4) 36 18L 36 13L L).(4 6L L² 9(L) L) 8L 4L² L² 104 L(4) 4L² 68 13L L(L) 6L 34 4L² 0
Resolução Resolvemos a equação de segundo grau e acharemos possíveis valores para L: L² 13L 13² 34 0 4()( 34) 169 7 441 L' 13 441 () 13 4 1 8 4 L'' 13 441 () 13 4 1 34 4 8,5
Resolução Depois de resolvermos a equação, achamos e -8,5 como possíveis valores para L, porém, o valor L é referente a medida, dimensão, e como não existem medidas negativas, desconsideramos o valor de -8,5. Então, o valor de L é de m. L' 13 441 () 13 4 1 8 4 L'' 13 441 () 13 4 1 34 4 8,5
Área do paralelogramo Cortando um pedaço do paralelogramo, podemos encaixá-lo do outro lado, transformando-o num retângulo. Veja: h b Então, podemos definir que a área do paralelogramo é igual à área do retângulo: A paralelogramo = b. h Em que: b e h são números reais positivos.
Área do triângulo Toda região triangular é metade da região limitada por um paralelogramo de mesma base e altura. Como dividimos um paralelogramo em dois triângulos iguais, a área de cada um dos triângulos é igual à metade da área do paralelogramo: h b A triângulo = b. h
Exercício A vela de um barco tem a forma triangular, com 4m de base e 5 m de altura. Osmar quer pintar 35% dessa vela de azul, 5% de verde e o restante de branco. a) Qual a área da parte azul? b) Qual a área da parte verde? E da branca?
Resolução Sabemos que a área do triângulo é a metade do produto da base pela altura. Como temos esses valores, apenas aplicamos a definição: a) b. h 4.5 0 A 10m² Como 35% dessa área será pintada de azul, multiplicamos 35/100 pelo valor da área total para saber a área azul que será pintada: 35 350.10 3,5m² 100 100 A azul
Resolução b) 5% da vela será pintada de verde, então: 5 50 A verde.10,5m² 100 100 Já foi pintada 60% da área da vela (35% de azul e 5% de verde). Como o restante será pintado de branco, esse restante será de 40% da área da vela (100% 60%): A branco 40 100.10 400 100 4m²
Exercício Para decorar seu quarto, Carol preparou bandeirinhas de papel. A partir do modelo abaixo, ela fez 40 bandeirinhas. Qual a área total de papel utilizado para fazer toda essa decoração no quarto dela?
Resolução Para calcular a área total, achamos a área de uma bandeira, e depois multiplicamos pelo numero n de bandeiras. 4 cm 4 cm 4 cm 4² 4 cm cm ² h² Aplicamos o teorema de Pitágoras para achar a altura h do triângulo. 16 4 h² 1 h² h 1 h 3
Resolução 4 cm cm 3 cm Agora acharemos a área da metade de uma bandeira, já que temos sua base e altura: A. 3 3cm² Como achamos a metade da área de uma bandeira, a área da bandeira será o dobro dessa área: A bandeira. A. 3 4 3cm²
Resolução Achamos a área de uma bandeira, a área total será o número de bandeiras multiplicado por essa área. Como o número de bandeiras é 40, multiplicamos esse valor pela área de uma bandeira e acharemos a área total: A total 40. A 40.4 3 960 3cm² bandeira A área total de papel necessário para Carol fazer suas bandeirinhas foi 960 3 cm².
Área do trapézio Trapézio é todo quadrilátero com apenas um par de lados paralelos, que são suas bases. Vamos decompor a região limitada por um trapézio para encontrar sua área.
Área do trapézio Considere um trapézio de bases b, B e altura a (números reais positivos). Primeiro, decompomos a região traçando uma de suas diagonais. Observe que temos agora regiões triangulares: b a a B b B a
Área do trapézio A área de uma região triangular nós já aprendemos a calcular, então temos: A A A A T T T T A 1 A b. a B. a b. a B. a ( b B). a a b A 1 A A T B ( B b) a
Exercício Determine a área do terreno plano abaixo usando as medidas dadas.
Resolução Modelo matemático: decomposição do terreno em três regiões. 6m 4m 1m 9m 11m Como já sabemos calcular a área destas figuras, temos que: A A A A A A terreno terreno terreno ( bh) retângulo (16) bh 56 triângulo ( B b) h trapézio (9 11) 4 5m A terreno 17m²
Área do Losango Todo losango pode ser transformado num retângulo equivalente, com altura D e base d/. Assim, a área da região limitada por um losango é dada pela metade do produto das medidas das diagonais. d A losango D. Em que D e d são números reais positivos.
Exercício (Unicamp-SP) Os vértices de um losango são os pontos médios dos lados de um retângulo. Qual a razão entre a área do retângulo (A r ) e a do losango (A L )? a) ½ b) c) 1/3 d) 4/3
Resolução Temos a seguinte figura: A partir disso, calculamos a área de cada figura: A r Dd Dd A L Ar Dd A Dd L e, logo a razão A r /A L é: Dd 1 Dd
Área de um triângulo equilátero
Área de um triângulo equilátero
Área de um triângulo equilátero
Área de um Hexágono regular Um hexágono regular é formado por seis regiões triangulares equiláteras. Como a área de uma região triangular equilátera é dada por: A triânguloequilátero l² 3 4 A área do hexágono é dada por: A hexágono 6 l² 3 4 6l² 4 3 Ou seja: A hexágono 3l ² 3
Área de um polígono regular Um polígono regular é aquele que tem todos os lados e todos os ângulos internos congruentes. Ele pode sempre ser inscrito em uma circunferência. Exemplos:
Área de um polígono regular Pode-se perceber que se o polígono regular tem n lados, a região limitada por ele pode ser decomposta em n regiões limitadas por triângulos isósceles. Em cada um desses triângulos, a base é o lado (l ) e a altura é o apótema (a). Logo: Em que l : lado a: apótema A n la n: número de lados, (valores reais positivos).
Exercício Na figura, ABCD é um quadrado de lado a. Tomando-se E e G nos prolongamentos da diagonal AC e F e H nos prolongamentos da diagonal BD, com EA=AC=CG e FB=BD=DH, determine a área do octógono AFBGCHDE em função de a.
Resolução Podemos perceber que o octógono é formado por 4 triângulos congruentes: Logo, a área total equivale a soma das áreas de cada triângulo. Sendo assim, vamos encontrar as medidas, calcular a área de um triângulo e multiplicar por 4.
Resolução Primeiro considere o triângulo isósceles (hachurado), de medidas a, x e x. E note que o valor de x corresponde a base dos triângulos maiores. Portanto, vamos calcular o valor de x (em função de a), aplicando o teorema de Pitágoras: a x x a x x a x a
Resolução 3x Sabendo o valor de x, podemos verificar as demais medidas dos triângulos maiores. x Para descobrir a altura do triângulo, voltamos para o enunciado da questão, que diz que DB=DH, por exemplo. Logo a altura do triângulo é o triplo de sua base. x x
Resolução Como a,a base do triângulo é igual a a x e a altura é 3a. 3a Por fim a área de cada triângulo é dada por: a 3a 3a Base altura 3a Atriângulo 4 a E a área do octógono: A total 4 3a 4 3a
Obrigada pela atenção! www.ufal.edu.br www.facebook.com/petengenharias