Mestrado Integrado em Engenharia Electrotécnica e de Computadores Investigação Operacional 2010.02.05 Prova com consulta Alunos admitidos a exame com avaliação contínua Duração: 2h30 A programação internacional do Ano Ibero-Americano de Museus será divulgada em Fevereiro, em Espanha, durante a Feira Internacional de Arte Contemporânea ARCO, na qual o Brasil será homenageado como paístema. Mais de 7 000 museus e órgãos governamentais de todos os países envolvidos vão participar do Ano Ibero-Americano de Museus. Ao todo foram registrados mais de 20 mil eventos, entre exposições, seminários, palestras e shows, relacionados ao tema do Ano Museu como Agente de Mudança Social e Desenvolvimento. A diversidade cultural da Ibero-América também se reflecte no panorama museológico. Actualmente existem cerca de 10 mil museus ibero-americanos, espaços de comunicação e encontro de diferentes identidades que recebem em média 100 milhões de visitantes ao ano. Juntas, essas unidades museológicas têm perto de 260 milhões de itens nos seus acervos. 1 1 Adaptado de http://www.datacoop.com.br 1
1. (20/3 valores) Quando foi divulgada a presença da orquestra Gulbenkian no Teatro Colon em Buenos Aires, Argentina (http://www.teatrocolon.org.ar/) no âmbito da programação musical do Ano Ibero-Americano de Museus, as bilheteira foram tomadas de assalto. Os bilhetes para os dias 25 e 26 de Abril esgotaram em menos de meia hora e foi necessário repensar e alargar a programação. Segundo a nova programação, os espectáculos decorrerão durante 5 dias, mantendo-se a duração máxima de 120 minutos em cada dia. A notícia do sucesso da programação em Buenos Aires espalhou-se rapidamente entre as orquestras clássicas portuguesas e houve várias manifestações de interesse em participar nos espectáculos. Nas tabelas seguintes são apresentadas as 4 propostas que devem ser tomadas em consideração e que incluem as peças propostas inicialmente pela Gulbenkian. Em todos os casos as durações previstas já incluem os períodos para afinação dos instrumentos no início e para as ovações no fim. Para que os custos de deslocação não se tornem excessivos, apenas 3 das 4 orquestras se deslocarão a Buenos Aires. Uma dessas 3 orquestras será sempre, por razões óbvias, a orquestra Gulbenkian. Pretende-se determinar qual a melhor distribuição das peças musicais pelos 5 concertos, minimizando os custos totais. Cada uma das peças musicais só poderá ser tocada uma vez durante os 5 dias de espectáculos. A sequência das peças musicais em cada um dos dias será depois decidida pelos responsáveis pela programação. Orquestra Gulbenkian Orquestra A Custo de deslocação (ke) K OG Custo de deslocação (ke) K OA Peça Orquestra Duração Custo Peça Orquestra Duração Custo musical (em minutos) (ke) musical (em minutos) (ke) P M OG1 OG d OG1 c OG1 P M OA1 OA d OA1 c OA1 P M OG2 OG d OG2 c OG2 P M OA2 OA d OA2 c OA2 P M OG3 OG d OG3 c OG3 P M OA3 OA d OA3 c OA3 P M OG4 OG d OG4 c OG4 P M OA4 OA d OA4 c OA4 P M OG5 OG d OG5 c OG5 P M OG6 OG d OG6 c OG6 Orquestra B Orquestra C Custo de deslocação (ke) K OB Custo de deslocação (ke) K OC Peça Orquestra Duração Custo Peça Orquestra Duração Custo musical (em minutos) (ke) musical (em minutos) (ke) P M OB1 OB d OB1 c OB1 P M OC1 OC d OC1 c OC1 P M OB2 OB d OB1 c OB2 P M OC2 OC d OC2 c OC2 P M OB3 OB d OB1 c OB3 P M OC3 OC d OC3 c OC3 P M OB4 OB d OB1 c OB4 (a) Solução Vai ter uma reunião com o responsável pela programação desta semana no Teatro Colon, durante a qual vai ter de apresentar a solução a que chegou para este problema. Descreva uma solução para este problema. Se considerar necessário recorra a uma tabela para apresentar a solução. (b) Decisões i) Descreva por palavras os vários tipos de variáveis de decisão para este problema. ii) Quantas são as variáveis de decisão de cada tipo? Como calculou? iii) Represente matematicamente as variáveis de decisão para este problema. 2
(c) Restrições i) Descreva por palavras os tipos de restrições para este problema. ii) Quantas são as restrições de cada tipo? Como calculou? iii) Represente matematicamente restrições para este problema na forma linear. (d) Objectivo i) Descreva por palavras a função objectivo para este problema. ii) Represente matematicamente essa função objectivo na forma linear. Se necessário represente as restrições e variáveis de decisão adicionais necessárias para que a função objectivo seja linear. (e) Comente o modelo que construiu do ponto de vista de ele poder gerar soluções óptimas que não cumpram os objectivos para a programação musical do Ano Ibero- Americano de Museus. (f) Considere agora que a restrição Para que seja garantida alguma diversidade, os responsáveis pela organização pretendem que em cada um dos dias previstos na programação actuem exactamente duas orquestras. é acrescentada ao modelo. Escreva agora o modelo completo, considerando essa nova restrição. 3
2. (20/3 valores) Apesar do que dissemos no problema anterior, os bilhetes para os concertos dos dias 25 e 26 de Abril não esgotaram... Isto é, esgotaram os bilhetes que foram colocados à venda, mas os responsáveis pela organização ficaram ainda com 200 bilhetes para cada um dos dias de concerto, que planeiam colocar à venda apenas no próprio dia e nas bilheteiras do Teatro Colon. Ora, o problema passou agora para a direcção do Teatro Colon. As bilheteiras abrirão, como é habitual, 2 horas antes do início do espectáculo. Espera-se uma afluência às bilheteiras de cerca de 45 pessoas por hora, sendo que este é um valor médio de um fenómeno aleatório, que segue uma distribuição de Poisson. Por outro lado, tendo a organização dos concertos limitado a 4 o número de bilhetes a vender a cada pessoa, estima-se que o número de bilhetes comprados por pessoa seja uma variável aleatória com uma distribuição equiprovável para os números inteiros de 1 a 4. Finalmente, da estudos anteriores sobre o funcionamento das bilheteiras, sabe-se que o tempo que cada pessoa leva a comprar os bilhetes (fazer o pedido, conferir os bilhetes, pagar e dar a vez à pessoa seguinte na fila) segue uma distribuição exponencial negativa com média de 2,4 minutos. (a) Assumindo que os bilhetes não esgotam, determine o número mínimo de bilheteiras que devem ser abertas de forma a que, em média, uma pessoa que chegue ao Teatro Colon dez minutos antes do espectáculo, ainda consiga comprar o seu bilhete e ver o concerto desde o seu início. (b) Considerando agora que os bilhetes podem esgotar, dependendo do número de bilhetes que cada pessoa compra, descreva uma forma de resolver a alínea anterior. 4
3. (20/3 valores) O Museu de Gulbenkian, na sequência do seu projecto de itinerância internacional, pretende levar a sua exposição ART DÉCO, 1925 aos países ibero-americanos. A Argentina é um dos países em que está confirmada a exposição que decorrerá em Buenos Aires. O número de peças da exposição está restringido pela capacidade dos voos que farão a ligação Lisboa-Buenos Aires, incluindo escalas, no dia 1 de Janeiro de 2010, já que as mesmas peças estarão em exposição em Lisboa até ao dia 31 de Dezembro de 2009 e a exposição em Buenos Aires terá início a 2 de Janeiro de 2010. A definição do número de peças a integrar a exposição está neste momento a ser trabalhada por uma equipa que formulou o problema como um problema de fluxo máximo. A figura que se segue representa o referido problema de fluxo máximo e indica para cada voo um par c,f onde (c) é o número máximo de peças que podem ser transportadas e (f ) é o número de peças alocadas nesta fase ao voo. A solução apresentada ainda não é óptima. (a) Determine o número de peças X e Y alocadas aos voos para que a solução em causa seja admissível. (b) Determine o número máximo de peças que a exposição terá, redefinindo f para cada um dos voos. (c) Indique o corte mínimo da rede e mostre que a sua capacidade é igual ao número de peças que chegarão a Buenos Aires. 5
Resolução 1. (a) Descrição de uma solução: A orquestra A não deve ir a Buenos Aires. Na tabela seguinte estão representadas as peças musicais que vão ser tocadas em cada um dos dias de espectáculo. (b) Decisões Dia Peça Peça Peça Peça musical musical musical musical 1 P M OG1 P M OG2 P M OB1 2 P M OG4 P M OC1 3 P M OG5 P M OB3 4 P M OB2 P M OC2 5 P M OG6 i) Tipos de variáveis de decisão para este problema: Tipo 1: Variáveis que descrevem a atribuição ou não de uma peça musical a um dia de espectáculo. Tipo 2: Variáveis de decisão que descrevem se uma orquestra se desloca ou não a Buenos Aires. ii) Número de variáveis de decisão de cada tipo. Tipo 1: decisão. (6 OG + 4 OA + 4 OB + 3 OC ) 5 espectaculos = 17 5 = 85 variáveis de Tipo 2: 3 Variáveis de decisão, uma por cada orquestra que se poderá, ou não, deslocar a Buenos Aires. A Orquestra Gulbenkian desloca-se sempre, logo essa não é uma decisão. iii) Representação matemática: Tipo 1: { 1 se peça musical P Moi for atribuída ao concerto do dia j x oi j = 0 se não Tipo 2: (c) Restrições { 1 se orquestra o se desloca a Buenos Aires y o = 0 se não i) Restrições para o problema: Tipo 1: Em cada dia de espectáculo a soma das durações das peças musicais que vão ser tocadas não pode exceder 120 minutos. 6
Tipo 2: Cada peça musical só pode ser tocada uma vez no conjunto dos 5 espectáculos. Tipo 3: outras. Só se podem deslocar a Buenos Aires a Orquestra Gulbenkian e duas Tipo 4: Uma orquestra só pode tocar se tiver sido uma das escolhidas para se deslocar a Buenos Aires. ii) Número de restrições de cada tipo. Tipo 1: 5 restrições, uma por cada dia de espectáculo. Tipo 2: 17 restrições, uma por cada peça musical proposta pelas orquestras: (6 OG + 4 OA + 4 OB + 3 OC ) Tipo 3: 1 restrição. Tipo 4: 3 restrições, uma por cada orquestra que se poderá, ou não, deslocar a Buenos Aires. iii) Representação matemática: Tipo 1: Tipo 2: j o i d oi x oi j 120 o i j x o i j 1 Tipo 3: o y o = 3 y OG = 1 Tipo 4: o j x o i j y o (d) Objectivo i) Com a função objectivo para este problema pretendem-se minimizar os custos totais com os concertos no Teatro Colon. Esses custos são de dois tipos, custos com a deslocação a Buenos Aires das orquestras e custos com as peças musicais tocadas. ii) Representação matemática: min o K o y o + o i c oi x oi j 7
(e) Como não há nenhuma restrição que imponha um limite inferior para o número (ou duração) das peças tocadas nos vários dias e como a função objectivo impõe a minimização dos custos, a solução óptima para este problema é uma solução trivial que não contempla tocar peças musicais nos concertos: Deslocam-se a Buenos Aires a Orquestra Gulbenkian e as outras duas orquestras que têm custos de deslocação mais baixos e... não tocam uma única peça musical em nenhum dos dias. (f) Considere agora que a restrição Para que seja garantida alguma diversidade, os responsáveis pela organização pretendem que em cada um dos dias previstos na programação actuem exactamente duas orquestras. é acrescentada ao modelo. Escreva agora o modelo completo, considerando essa nova restrição. Variáveis de decisão { 1 se peça musical P Moi for atribuída ao concerto do dia j x oi j = 0 se não { 1 se orquestra o se desloca a Buenos Aires y o = 0 se não { 1 se orquestra o toca no dia j δ oj = 0 se não Função objectivo min o K o y o + o i c oi x oi j Restrições Duração máxima dos concertos: j o i d oi x oi j 120 Cada peça só pode ser tocada uma vez no conjunto dos espectáculos: o i j x o i j 1 Uma orquestra só pode tocar em Buenos Aires se se tiver deslocado para lá. o j x o i j y o Só se podem deslocar a Buenos Aires a Orquestra Gulbenkian e duas outras orquestras. o y o = 3 y OG = 1 Em cada dia de espectáculo têm de tocar exactamente duas orquestras: j o δ oj = 2 j, o x oi j δ oj 8
2. (a) Este é um problema de filas de espera, em que se pretende determinar o número mínimo de servidores S que garante um tempo médio no sistema W inferior a 0,167 horas. Para esta alínea não é necessária a informação sobre o número de bilhetes. Parâmetros do sistema: λ = 45 pessoas/hora e µ = 25 pessoas/hora λ µ = 45 25 = 1, 8 > 1 isto é, não é possível ter apenas um servidor. Considerando 2 servidores (S = 2): ρ = λ Sµ = 45 2 25 = 0, 9 < 1 A partir da tabela prática de P 0 retira-se P 0 = 0, 0526, pelo que: L q = P 0 ( λ µ) S ρ S!(1 ρ) 2 = 0, 0526 1.82 0, 9 2 (1 0, 9) 2 = 7, 67 pessoas W q = L q λ = 0, 17 horas W = W q+ 1 µ = 0, 17+0, 04 = 0, 21 horas = 12.6 minutos Assim, o tempo médio no sistema não é inferior aos dez minutos pretendidos. Com mais uma bilheteira (S = 3): ρ = 45 3 25 = 0, 6 < 1 A partir da tabela prática de P 0 retira-se P 0 = 0, 1460, pelo que: L q = 0, 1460 1, 83 0, 6 3 2 (1 0, 6) 2 = 0, 53 pessoas W q = L q λ = 0, 012 horas W = W q+ 1 µ = 0, 012+0, 04 = 0, 052 horas = 3, 11 minutos Isto é, com 3 bilheteiras consegue-se à vontade cumprir o tempo para entrar no teatro. (b) Para termos em conta o número de bilhetes comprados por cada pessoa teria que se simular o funcionamento da fila de espera. Assim, através de geradores de números aleatórios com distribuição exponencial negativa de parâmetro 45 e 25 geraríamos tempos entre chegadas consecutivas e tempos entre atendimentos consecutivos. De seguida, usando um gerador de números aleatórios inteiros equiprováveis (histograma de frequências em que todas as barras têm a mesma altura), geraríamos o número de bilhetes que cada pessoa iria adquirir. Finalmente, simulávamos o funcionamento da fila durante as duas horas e veríamos se (a) quem chegasse 10 minutos antes do início do espectáculo tinha ainda bilhete e (b) se ainda teria tempo de esperar, comprar o bilhete e ir assistir ao espectáculo. Dado o carácter probabilístico desta abordagem, devia-se repetir a simulação várias vezes e retirar conclusões do comportamento médio do sistema e não de uma execução só. 9
3. (a) O problema de fluxo máximo pode ser representado através do esquema seguinte: Para que a solução seja admissível X = 60 e Y = 30. (b) (c) A exposição terá 260 peças no máximo. 10