Instituto Politécnico de Viseu Escola Superior de Tecnologia Curso: Eng a Mecânica e G. I. Ano: 1 o Semestre: 2 o Ano Lectivo: 2005/2006 Indicações para a elaboração do trabalho a realizar em horário extra lectivo O trabalho consiste na elaboração de um programa que contenha a implementação de um dos métodos estudados na disciplina em MATLAB e na elaboração de um relatório. Em relação ao relatório, os grupos são livres de escolher a sua estrutura, devendo no entanto atender a que: deve ser escrito de forma clara e concisa; a primeira página deverá conter a informação do curso, disciplina, ano lectivo actual, título do trabalho, nome e número de estudante dos elementos do grupo e data. O conteúdo do relatório deverá conter introdução (onde, sucintamente, são apresentados o objectivo e a estrutura do trabalho desenvolvido); fundamentação teórica do método em causa; o programa final, explicando com detalhe os comandos e procedimentos utilizados; resultados obtidos pelo programa na resolução do exemplo proposto no enunciado do trabalho; conclusões; bibliografia consultada. No final, o grupo deverá enviar um email ao docente da disciplina com o assunto Trabalho prático de contendo como anexo o ficheiro MATLAB com a implementação do método e no corpo do email a identificação dos elementos do grupo. O relatório deverá ser entregue por escrito. A data limite de entrega dos trabalhos é 7 de Junho de 2006. Em caso de dúvida contacte o docente da disciplina, preferencialmente por email. Indicações para a elaboração do trabalho a realizar em horário extra lectivo
Trabalho 1 - Método do Ponto-Fixo O volume V de um líquido num tanque esférico de raio r está relacionado com a altura h do líquido por: V = πh2 (3r h) (1) 3 Pretende-se calcular h dados r (em m) e V ( em m 3 ). programa deverá ter como inputs as constantes r e V e como outputs deverá apresentar o valor utilizado pelo programa deverá ser o do Ponto Fixo. + indicar ao utilizador o ponto fixo e a aproximação inicial a utilizar; Teste o programa, tendo em conta os valores seguintes para as constantes: r = 1 m e V = 0.5 m 3. Considere como critério de paragem um erro máximo de 10 3.
Trabalho 2 - Método do Ponto-Fixo O volume V de um líquido num tanque esférico de raio r está relacionado com a altura h do líquido por: V = πh2 (3r h) (1) 3 Pretende-se calcular h dados r (em m) e V ( em m 3 ). programa deverá ter como inputs as constantes r e V e como outputs deverá apresentar o valor utilizado pelo programa deverá ser o do Ponto Fixo. + indicar ao utilizador o ponto fixo e a aproximação inicial a utilizar; Teste o programa, tendo em conta os valores seguintes para as constantes: r = 1 m e V = 0.5 m 3. Efectue 10 iterações do método referido.
Trabalho 3 - Método de Newton-Raphson O volume V de um líquido num tanque esférico de raio r está relacionado com a altura h do líquido por: V = πh2 (3r h) (1) 3 Pretende-se calcular h dados r (em m) e V ( em m 3 ). programa deverá ter como inputs as constantes r e V e como outputs deverá apresentar o valor utilizado pelo programa deverá ser o de Newton-Raphson. + indicar ao utilizador a aproximação inicial a utilizar; Teste o programa, tendo em conta os valores seguintes para as constantes: r = 1 m e V = 0.5 m 3. Considere como critério de paragem um erro máximo de 10 3.
Trabalho 4 - Método de Newton-Raphson O volume V de um líquido num tanque esférico de raio r está relacionado com a altura h do líquido por: V = πh2 (3r h) (1) 3 Pretende-se calcular h dados r (em m) e V ( em m 3 ). programa deverá ter como inputs as constantes r e V e como outputs deverá apresentar o valor utilizado pelo programa deverá ser o de Newton-Raphson. + indicar ao utilizador a aproximação inicial a utilizar; Teste o programa, tendo em conta os valores seguintes para as constantes: r = 1 m e V = 0.5 m 3. Efectue 10 iterações do método referido.
Trabalho 5 - Método de Ponto-Fixo O volume V de um líquido num cilindro horizontal de raio r e comprimento L está relacionado com a altura h do líquido por: [ ( ) r h V = r 2 arccos (r h) ] 2rh h r 2 L (1) Pretende-se calcular h dados r (em m), L ( em m) e V ( em m 3 ). programa deverá ter como inputs as constantes r,l e V e como outputs deverá apresentar o valor utilizado pelo programa deverá ser o de Método de Ponto-Fixo. + indicar ao utilizador o ponto fixo e a aproximação inicial a utilizar; Teste o programa, tendo em conta os valores seguintes para as constantes: r = 2 m, L = 5 m e V = 8 m 3. Considere como critério de paragem um erro máximo de 10 5.
Trabalho 6 - Método de Ponto-Fixo O volume V de um líquido num cilindro horizontal de raio r e comprimento L está relacionado com a altura h do líquido por: [ ( ) r h V = r 2 arccos (r h) ] 2rh h r 2 L (1) Pretende-se calcular h dados r (em m), L ( em m) e V ( em m 3 ). programa deverá ter como inputs as constantes r,l e V e como outputs deverá apresentar o valor utilizado pelo programa deverá ser o de Método de Ponto-Fixo. + indicar ao utilizador o ponto fixo e a aproximação inicial a utilizar; Teste o programa, tendo em conta os valores seguintes para as constantes: r = 2 m, L = 5 m e V = 8 m 3. Efectue 8 iterações do método referido.
Trabalho 7 - Método de Newton-Raphson O volume V de um líquido num cilindro horizontal de raio r e comprimento L está relacionado com a altura h do líquido por: [ ( ) r h V = r 2 arccos (r h) ] 2rh h r 2 L (1) Pretende-se calcular h dados r (em m), L ( em m) e V ( em m 3 ). programa deverá ter como inputs as constantes r,l e V e como outputs deverá apresentar o valor utilizado pelo programa deverá ser o de Método de Newton-Raphson. + indicar ao utilizador a aproximação inicial a utilizar; Teste o programa, tendo em conta os valores seguintes para as constantes: r = 2 m, L = 5 m e V = 8 m 3. Efectue 8 iterações do método referido.
Trabalho 8 - Método de Newton-Raphson O volume V de um líquido num cilindro horizontal de raio r e comprimento L está relacionado com a altura h do líquido por: [ ( ) r h V = r 2 arccos (r h) ] 2rh h r 2 L (1) Pretende-se calcular h dados r (em m), L ( em m) e V ( em m 3 ). programa deverá ter como inputs as constantes r,l e V e como outputs deverá apresentar o valor utilizado pelo programa deverá ser o de Método de Newton-Raphson. + indicar ao utilizador a aproximação inicial a utilizar; Teste o programa, tendo em conta os valores seguintes para as constantes: r = 2 m, L = 5 m e V = 8 m 3. Considere como critério de paragem um erro máximo de 10 5.
Instituto Politécnico de Viseu Escola Superior de Tecnologia Trabalho 9 - Método de Gauss-Seidel Implementar, em MATLAB, um programa que permita calcular uma aproximação da solução de um sistema de equações lineares. ter como inputs a matriz dos coeficientes do sistema em causa, o vector dos termos independentes e o vector das aproximações iniciais. Como outputs deverá apresentar a aproximação calculada, o número de iterações efectuadas e uma estimativa do erro cometido. O método numérico utilizado pelo programa deverá ser o de Gauss-Seidel. erro máximo); + verificar se a matriz dos coeficientes do sistema é estritamente diagonal dominante (por linhas e/ou colunas) e, caso não o seja, informar o utilizador e dar-lhe a opção de continuar ou parar a execução do programa; + fornecer ao utilizador todas as indicações necessárias à sua correcta utilização. Considere a figura: O seguinte sistema de equações foi gerado por aplicação da lei de voltagem nos nós para o circuito representado na figura anterior: 17V 1 8V 2 3V 3 = 480 2V 1 + 6V 2 3V 3 = 0 V 1 4V 2 + 13V 3 = 0 Encontre uma aproximação da solução ( [V 1 V 2 V 3 ] T ) do sistema com erro inferior a 10 4.
Instituto Politécnico de Viseu Escola Superior de Tecnologia Trabalho 10 - Método de Jacobi Implementar, em MATLAB, um programa que permita calcular uma aproximação da solução de um sistema de equações lineares. ter como inputs a matriz dos coeficientes do sistema em causa, o vector dos termos independentes e o vector das aproximações iniciais. Como outputs deverá apresentar a aproximação calculada, o número de iterações efectuadas e uma estimativa do erro cometido. O método numérico utilizado pelo programa deverá ser o de Jacobi. erro máximo); + verificar se a matriz dos coeficientes do sistema é estritamente diagonal dominante (por linhas e/ou colunas) e, caso não o seja, informar o utilizador e dar-lhe a opção de continuar ou parar a execução do programa; + fornecer ao utilizador todas as indicações necessárias à sua correcta utilização. Considere a figura: O seguinte sistema de equações foi gerado por aplicação da lei de voltagem nos nós para o circuito representado na figura anterior: 17V 1 8V 2 3V 3 = 480 2V 1 + 6V 2 3V 3 = 0 V 1 4V 2 + 13V 3 = 0 Encontre uma aproximação da solução ( [V 1 V 2 V 3 ] T ) do sistema com erro inferior a 10 4.
Trabalho 11 - Método de Jacobi Implementar, em MATLAB, um programa que permita calcular uma aproximação da solução de um sistema de equações lineares. ter como inputs a matriz dos coeficientes do sistema em causa, o vector dos termos independentes e o vector das aproximações iniciais. Como outputs deverá apresentar a aproximação calculada, o número de iterações efectuadas e uma estimativa do erro cometido. O método numérico utilizado pelo programa deverá ser o de Jacobi. erro máximo); + verificar se a matriz dos coeficientes do sistema é estritamente diagonal dominante (por linhas e/ou colunas) e, caso não o seja, informar o utilizador e dar-lhe a opção de continuar ou parar a execução do programa; + fornecer ao utilizador todas as indicações necessárias à sua correcta utilização. Considere a figura: O seguinte sistema de equações foi gerado por aplicação da lei de voltagem nos nós para o circuito representado na figura anterior: 17V 1 8V 2 3V 3 = 480 2V 1 + 6V 2 3V 3 = 0 V 1 4V 2 + 13V 3 = 0 Encontre uma aproximação da solução ( [V 1 V 2 V 3 ] T ) do sistema efectuando 15 iterações do referido método.
Trabalho 12 - Método de Gauss-Seidel Implementar, em MATLAB, um programa que permita calcular uma aproximação da solução de um sistema de equações lineares. ter como inputs a matriz dos coeficientes do sistema em causa, o vector dos termos independentes e o vector das aproximações iniciais. Como outputs deverá apresentar a aproximação calculada, o número de iterações efectuadas e uma estimativa do erro cometido. O método numérico utilizado pelo programa deverá ser o de Gauss-Seidel. erro máximo); + verificar se a matriz dos coeficientes do sistema é estritamente diagonal dominante (por linhas e/ou colunas) e, caso não o seja, informar o utilizador e dar-lhe a opção de continuar ou parar a execução do programa; + fornecer ao utilizador todas as indicações necessárias à sua correcta utilização. Considere a figura: O seguinte sistema de equações foi gerado por aplicação da lei de voltagem nos nós para o circuito representado na figura anterior: 17V 1 8V 2 3V 3 = 480 2V 1 + 6V 2 3V 3 = 0 V 1 4V 2 + 13V 3 = 0 Encontre uma aproximação da solução ( [V 1 V 2 V 3 ] T ) do sistema efectuando 15 iterações do referido método.
Instituto Politécnico de Viseu Escola Superior de Tecnologia Trabalho 13 - Ajuste Polinomial Implementar, em MATLAB, um programa que permita calcular o polinómio de grau m que melhor se ajusta a um conjunto de pontos. ter como input o conjunto de pontos e o grau do polinómio e como outputs o polinómio de grau m que melhor se ajusta ao conjunto de dados, o valor do polinómio num ponto especificado e o respectivo coeficiente de determinação. + Calcular o polinómio de grau m que melhor se ajusta aos pontos dados; + permitir o cálculo do valor desse polinómio num ponto especificado pelo utilizador; + fornecer ao utilizador todas as indicações necessárias à sua correcta utilização. Considere a seguinte figura: Um individuo é suspenso num túnel de vento como mostra a figura anterior e é medida a força da resistência do ar para diferentes valores de velocidade do vento. Os dados obtidos encontram-se na seguinte tabela: Velocidade(m/s) 10 20 30 40 50 60 70 80 Força(N) 25 70 380 550 610 1220 830 1450 1. Calcule o polinómio de grau: (a) m = 3 (b) m = 5 2. Usando o melhor polinómio obtenha um valor aproximado da força para uma velocidade do vento de 57 m/s.