Roteiros e Exercícios - Álgebra Linear v1.0

Roteiros e Exercícios - Álgebra Linear v1.0 Robinson Alves Lemos 14 de janeiro de 2017 Introdução Este material é um roteiro/apoio para o curso de álgebra linear da engenharia civil na UNEMAT de Tangará da Serra ministrado pelo professor Robinson A. Lemos. O material é todo baseado no livro Curso de Álgebra Linear: Fundamentos e Aplicações de Marco Cabral e Paulo Goldfeld (Terceira Edição). O principal objetivo é facilitar e explicitar denições importantes dentro do conteúdo do livro. Não deve-se substituir o livro por esse material, eles devem ser utilizados em conjunto. Para sugestões entre em contato pelo site www.robinson.mat.br Roteiro do Capítulo 1 Denição 1. Um vetor no R n é uma lista ordenada com n números reais: (a 1, a 2,..., a n ), com a i R. (Denição 1.1 pág. 1) Denição 2. Sejam u = (u 1,..., u n ) e v = (v 1,..., v n ) vetores do R n. u + v é denida por: u + v = (u 1 + v 1,..., u n + v n ). (Denição 1.2 pág. 2) A soma Denição 3. Sejam u = (u 1,..., u n ) um vetore do R n e k R. O produto por escalar ku é denido por: ku = (ku 1,..., ku n ). (Denição 1.4 pág. 2) 1

Denição 4. A origem, ou vetor nulo, é denotado por 0 e é o vetor do R n com todos os valores nulos, ou seja, 0 = (0, 0,..., 0). (Denição 1.3 pág. 2) Denição 5. Sejam v, w R n. Diz-se que v é múltiplo de w se exite k R tal que v = kw. Neste caso, também diz-se que v e w são paralelos. (Denição 1.5 pág. 2) Equações paramétricas e cartesianas Denição 6. Sejam u, w R n, com u 0. A parametrização da reta passando por w e paralela a u em R n é dada pelo conjunto: (Denição 1.8 pág. 6) {w + su s R}. Denição 7. Sejam u, v, w R n, com u e v não nulos e não paralelos. A parametrização de um plano passando por w e gerados por u e v em R n é dada pelo conjunto: {w + su + tv s, t R}. (Denição 1.10 pág. 9) Denição 8. Sejam a, b, c R, com a 0 ou b 0. A equação cartesiana da reta em R 2 é dada por ax + by = c e representa o conjunto (Denição 1.7 pág. 5) {(x, y) R 2 ax + by = c}. Denição 9. Sejam a, b, c, d R, com a 0 ou b 0 ou c 0. A equação cartesiana do plano em R 3 é dada por ax + by + cz = d e representa o conjunto (Denição 1.7 pág. 5) {(x, y, z) R 3 ax + by + cz = d}. Observação 1. A representação cartesiana de uma reta em R 3 é dada por duas equações cartesianas de plano, ou seja, uma reta é a intersecção de dois planos. Observação 2. Instruções para converter representações paramétricas em cartesianas e converter representações cartesianas em paramétricas são dadas nas páginas 11 e 12. Exercício 1. Prob 1.2 pág. 23. Exercício 2. Prob 1.3 pág. 23. Exercício 3. Prob 1.10 pág. 23. 2

Combinações lineares Denição 10. Um vetor v é combinação linear dos vetores v 1, v 2,..., v p se existem números reais a 1, a 2,..., a p tais que v = a 1 v 1 + a 2 v 2 + + a p v p = p a i v i. i=1 (Denição 1.11 pág. 13) Exercício 4. Considere os vetores u = (1, 2, 1), v = (1, 0, 1) e w = ( 1, 2, 0). Verique se os seguintes vetores são combinações lineares de u, v e w: (1, 1, 1), (6, 4, 4) e (3, 2, 8). Denição 11. O espaço gerado pelos vetores v 1,..., v p é o conjunto de todas as combinações lineares dos vetores v 1,..., v p. Denota-se por v 1,..., v p o espaço gerado pelos vetores v 1,..., v p. (Denição 1.12 pág. 14) Exercício 5. Prob 1.15 pág. 24. Denição 12. Um conjunto de vetores v 1,..., v p é dito linearmente independente (LI) se o sistema de equações lineares nas incógnitas t 1,..., t p gerado pela equação t 1 v 1 +... + t p v p = 0 possui uma única solução: t 1 = t 2 = = t p = 0. Caso contrário, o conjunto de vetores é dito linearmente dependente (LD). (Denição 1.15 pág. 16) Exercício 6. Prob 1.14 pág. 24. Denição 13. Diz-se que o espaço gerado H = v 1,..., v p possui dimensão p se o conjunto de geradores v 1,..., v p é LI. Observação 3. Considere o epaço H = v 1,..., v p gerado por um conjunto de vetores LI v 1,..., v p. O conjunto de vetores v 1,..., v p é chamado de base de H. Observação 4. As subseções 1.3.2, 1.3.3 e 1.3.4 fazem considerações sobre espaços gerados, retas e planos. Roteiro do Capítulo 2 Observação 5. Dado um sistema de equações lineares, é importante saber o signicado de matriz de coecientes, matriz do lado direito e matriz aumentada. Veja a denição 2.3 na página 36. 3

Denição 14. Um sistema de equações lineares é dito homogêneo se seu lado direito é todo nulo. (Denição 2.23 pág. 55) Observação 6. Um sistema homogêneo sempre possui ao menos uma solução: solução toda nula. (Denição 2.24 pág. 55) Observação 7. É bastante simples resolver sistemas de equações lineares cujas matrizes de coecientes sejam diagonais ou triangulares. Veja as denições 2.4 (pág. 36), 2.5 (pág. 37) e os exemplos que a seguem. Denição 15. Dois sistemas de equações lineares nas mesmas incógnitas são equivalentes se possuem o mesmo conjunto solução. (Denição 2.6 pág. 37) Observação 8. As operações que não mudam as soluções de um sistema e podem ser utilizadas nas matrizes aumentadas: 1. Trocar duas linhas de posição; 2. multiplicar uma linha por um número real não nulo; 3. substituir uma linha por ela mais a soma de outra linha (a) utilizando as operações dos itens 2 e 3, pode-se simultâneamente substuir uma linha por ela mais a soma de outra multiplicada por um número real não nulo; 4. descartar ou acrescentar uma linha nula, ou seja, somente com zeros (a) se duas linhas são iguais, podemos descartar uma. (Denição 2.7 pág. 38) Denição 16. Uma matriz está na forma escalonada (do tipo triangular superior) se: O número de zeros no início de cada linha linha aumenta estritamente de uma linha para outra, exceto se a linha é toda nula. as linhas nulas, caso existam, são as últimas da matriz. (Denição 2.10 pág. 41) Exercício 7. Prob 2.4 pág. 60. Denição 17. Em uma matriz escalonada, o primeiro elemento não nulo de uma linha é chamado de pivô. (Denição2.11 pág. 41) 4 a

Denição 18. Uma matriz escalonada está totalmente escalonada se cada um de seus pivôs é: igual a 1 o único elemento não nulo de sua coluna. (Denição 2.12 pág. 42) Observação 9. Escalonamento pode ser visto no algoritmo 2.13 (forma escalonada) na página 42 e no algoritmo 2.14 (forma totalmente escalonada) na página 43. Os algoritmos são bastante formais e sugere-se o uso de exemplos para melhorar o entendimento. Observação 10. A análise feita em uma matriz escalonada é vista no Teorema 2.15 (pág. 45) e no Corolário 2.16 (pág. 46). Com esta análise é possível classicar o tipo de sistema de equações lineares. Observação 11. A subseção 2.5.3 na página 47 mostra como lidar com a solução de sistemas com innitas soluções. Exercício 8. Prob 2.5 pág. 60. Exercício 9. Prob 2.9 pág. 61. Exercício 10. Prob 2.11 pág. 61. Roteiro do Capítulo 3 Observação 12. A seção 3.1 mostra a denição de espaço vetorial e subespaços vetoriais. Basicamente este conceito generaliza a ideia de vetores no R n. Olhar para o R n e olhar para um espaço vetorial de dimensão n é praticamente a mesma coisa. Já os subespaços vetoriais são espaços vetoriais dentro de outros espaços, por exemplo, uma reta que passa pela origem em R 2 é um espaço de dimensão 1 dentro de um espaço de dimensão 2. Observação 13. As seções 3.2, 3.3 e 3.4 generalizam as ideias de cobinação linear, espaçõ gerado, dependência/independência linear, base e dimensão, abordados no Capítulo 1. Observação 14. A seção 3.5 mostra os espaços vetoriais de polinômios e funções. Exercício 11. Prob 3.1 pág. 86. Exercício 12. Prob 3.3 pág. 86. Exercício 13. Prob 3.7 pág. 87. Exercício 14. Ext 3.4 pág. 88. 5

Roteiro do Capítulo 4 Denição 19. Seja f : X Y uma função. X é o domínio de f. Y é o contradomínio de f. {f(x) x X} é a imagem de f. (Denição 4.1 pág. 92) Denição 20. Sejam V e W dois espaços vetoriais. Uma função T : V W é chamada de transformação linear (TL) se T (ku + v) = kt (u) + T (v), para todo u, v V e todo k R. (Denição 4.2 pág. 92) Exercício 15. Fix 4.1 pág. 126. Denição 21. Dada uma matriz A M m n, a TL T A : R n R m, dada por T A (w) = Aw t, é a TL associada de A e A é a matriz associada de T A. (Denição 4.3 pág. 93) Exercício 16. Fix 4.2 pág. 126. Observação 15. Seção 4.1.3: Transformações Lineares Geométricas, na pág. importante. 95 é Exercício 17. Prob 4.1 pág 128. Denição 22. Seja T : U V uma transformação linear. O núcleo de T é denotado por Nuc(T ) e denido por: Nuc(T ) = {u U T (u) = 0} Proposição 1. O núcleo de uma transformação linear T : U V é um subespaço vetorial de U. Proposição 2. A imagem de uma transformação linear T : U V é um subespaço vetorial de V. Exercício 18. Prob 4.4 pág. 128. Denição 23. Dadas f : X Y e g : Y Z, dene-se a função composta g f : X Z por g f(x) = g(f(x)). (Denição 4.19 pág. 107) 6

Proposição 3. Sejam A M m p e B M p n. Se T A é a TL associada de A e T B é a TL associada de B, então AB M m n é a matriz associada de T A T B. (Denição 4.23 pág. 109) Exercício 19. Determine a composta T L, onde T e L são, respectivamente, as transformações lineares dadas nos itens (b) e (c) do Prob 4.4 na página 128. Determine a matriz associada de L, T, T T e T L. Proposição 4. Seja A M m uma matriz inversível e T A a TL associada de A. Então a TL associada a A 1 é função inversa de T A. (Seção 4.4 pág. 111) Exercício 20. Prob 4.13 pág. 129. Observação 16. É importante operar com matrizes, tanto adição quanto multiplicação. (Subseção 4.5.1 pág. 114) Exercício 21. Ext 4.19 pág. 131. Roteiro do Capítulo 5 Denição 24. Sejam v, w R n vetores tais que v = (v 1, v 2,..., v n ) e w = (w 1, w 2,..., w n ). Dene-se o produto interno de v e w por < v w >= n v i w i = v 1 w 1 + + v n w n. i=1 (Denição 5.1 pág. 137) Denição 25. Seja v R n. A norma de v é denotada v e denida por v = < v v >. (Denição 5.3 pág. 138) Denição 26. Sejam v, w R n. A distância entre v e w é denotada por d(v, w) e denida por d(v, w) = v w. (Denição 5.4 pág. 138) Denição 27. Um vetor v R n é dito unitário se v = 1. (Denição 5.5 pág. 139) Proposição 5. Seja v R n 1 um vetor não nulo. Então v v = v unitário. Neste caso, diz-se que é a normalização de v. v 139) v v é um vetor (Denição 5.5 pág. 7

Denição 28. Sejam v, w R n. Os vetores v e w são ditos vetores ortogonais, denota-se v w, se < v w >= 0. Neste caso, diz-se também que v e w são perpendiculares entre si. (Denição 5.7 pág. 139) Exercício 22. Fix 5.1 pág. 161. Além disso, verique se u e v são ortogonais. Exercício 23. Repetir Fix 5.1 pág. 161 com os vetores u = (2, 1, 9, 1, 3) e v = (2, 3, 1, 1, 5). Também deve-se vericar se u e v são ortogonais. Denição 29. Sejam A M n n, b R n um vetor coluna e x um vetor coluna incógnita em R n. Um vetor z R n é uma solução de mínimos quadrados para o sistema Ax = b se d(az, b) d(ay, b) para todo y R n. (Denição 5.17 pág. 144) Proposição 6. Sejam A M n n, b R n um vetor coluna e x um vetor coluna incógnita em R n. Se z R n é uma solução do sistema A t Ax = A t b, então z é uma solução de mínimos quadrados de Ax = b. (Teorema 5.18 pág. 144) Exercício 24. Prob 5.10 pág. 163. Exercício 25. Prob 5.11 item (a) pág. 163. Roteiro do Capítulo 6 Observação 17. A seção 6.1 na página 167 mostra como ver o determinante como área para dois vetores em R 2 e volume para três vetores em R 3. Observação 18. A seção 6.2 na página 171 dene formalmente o determinante, porém não mostra uma forma de calculá-lo. Essa é uma característica de teorias matemáticas: eventualmente mostra-se a existência de alguma entidade matemática, porém não necessariamente se mostra uma fórmula ou uma maneira de expressá-la. Vale a pena pensar sobre a observação 6.2 na página 172. Proposição 7. Se uma matriz é triangular (inferior ou superior), então seu determinante é igual ao produdo dos elementos de sua diagonal. (Lema 6.9 pág. 175) Exercício 26. Fix 6.4 item (b) pág. 187. Observação 19. O algoritmo 6.10 na página 176 mostra uma forma de calcular o determinante para matrizes quadradas de ordem 4 ou superior. Basicamente deve-se escalonar a matriz original e observar as alterações feitas no determinante da matriz original. Exercício 27. Fix 6.4 item (a) pág. 187. 8

Exercício 28. Prob 6.2 pág. 188 Proposição 8. Seja A uma matriz quadrada, então A é inversível se, e somente se, det(a) 0. (Teorema 6.11 pág. 177) Exercício 29. Prob 6.1 pág. 188. Além disso, determine se as matrizes são inversíveis ou não. Em caso armativo, calcule a inversa. Proposição 9. Sejam A e B matrizes quadradas de mesma ordem. Então det(ab) = det(a)det(b). (Teorema 6.12 pág. 178) Observação 20. O produto vetorial de u e v em R 3 é dado na Denição 6.17 (pág. 183) e é um vetor denotado por u v. Esse vetor é perpendicular a u e a v. Exercício 30. Determine um vetor não nulo que é perpendicular, simultaneamente, aos vetores (1, 2, 1) e (0, 1, 1). Observação 21. O produto misto de u, v, z R 3 é dado na Denição 6.19 (pág. 184) e indica quando os vetores satisfazem (ou não) a regra da mão direita. Exercício 31. Calcule < u v z >, onde u = (2, 2, 0), v = ( 1, 1, 1) e z = (3, 9, 12). Esses vetores satisfazem a regra da mão direita? Roteiro do Capítulo 7 Denição 30. Seja A uma matriz de ordem n e v R n um vetor coluna não nulo. Diz-se que v é um autovetor de A se existe λ R tal que Av = λv. Neste caso, λ é chamado de autovalor de A. O conjunto de todos os autovetores de A é chamado espectro de A. (Denição 7.1 pág. 195) Observação 22. A Denição 7.1 da página 195 dene autolavores e autovetores para uma transformação linear. Basta lembrar que cada transformação linear possui uma matriz associada e cada matriz possui uma transformação linear associada, ou seja, denir autovalores e autovetores para uma TL ou uma matriz quadrada é equivalente. Todo o conceito nesta seção será feito utilizando matrizes e não TLs. Denição 31. Seja A uma matriz de ordem n. O polinômio característico de A é denido por p(λ) = det(a λi), onde I é a matriz identidade. (Denição 7.2 pág. 196) Exercício 32. Calcule os polinômios característicos nos itens (a), (b) e (c) do Prob 7.2 na página 210. 9

Denição 32. Seja A uma matriz de ordem n, λ um autovalor de A e T A : R n R n a TL associada de A. O autoespaço de A associado à λ é o subespaço Nuc(T A λi), onde I : R n R n é a TL identidade. (Denição 7.3 pág. 196) Proposição 10. Os autovalores de uma matriz quadrada A são dados pelas raízes do polinômio característico de A. (Quadro na página 196) Exercício 33. Calcule os autovalores nos itens (a), (b) e (c) do Prob 7.2 na página 210. Proposição 11. Os autovetores associados a um determinado autovalor de uma matriz quadrada A são as soluções do sistema (A λi)x = 0, onde 0 representa o vetor coluna nulo. (Quadro na página 196) Exercício 34. Calcule os autovetores nos itens (a), (b) e (c) do Prob 7.2 na página 210. Exercício 35. Calcule a dimensão de cada autoespaços nos itens (a), (b) e (c) do Prob 7.2 na página 210. Histórico de Versões e Agradecimentos v1.0 2017-01-14: Versão inicial. Agradecimento: turmas de álgebra linear de 2015-1, 2015-2, 2016-1 e 2016-2 pelas críticas e sugestões que possibilitaram a idealização e criação do material. 10