Módulo II Capitalização Simples Danillo Tourinho S. da Silva, M.Sc. CAPITALIZAÇÃO SIMPLES Juro Fórmulas Derivadas JUROS SIMPLES O regime de juros será simples quando o percentual de juros incidir apenas sobre o valor principal. Sobre os juros gerados a cada período não incidirão novos juros. 1
JUROS SIMPLES Valor Principal ou simplesmente principal é o valor inicial emprestado ou aplicado, antes de somarmos os juros. EXEMPLO Se dissermos que um empréstimo de R$ 1000,00 cobra juros de R$ 5,00 isso representará uma variação grande ou pequena? JUROS COMERCIAIS E JUROS EXATOS 1. PRAZO COMERCIAL (JUROS COMERCIAIS) Todos os meses são considerados com 30 dias e o ano contendo 360 dias. 2. PRAZO EXATO (JUROS EXATOS) Consideram-se os dias transcorridos efetivamente entre as datas apresentadas. 2
JUROS SIMPLES Um capital C, empregado durante n períodos, à taxa i, produz juros J, dados por: e um montante igual a: J = C i n M = C( 1+ i n) JUROS SIMPLES EXEMPLOS 1. Um capital de R$20.000,00 é aplicado à taxa de juros simples de 30% a.a, pelo prazo de 8 meses. Determine os juros produzidos. R$ 4.000,00 JUROS SIMPLES EXEMPLOS 2. Um capital de R$23.500,00 foi aplicado durante 8 meses à taxa de 9% a.a. Determine o montante dessa aplicação. R$24.910,00 3
JUROS SIMPLES EXEMPLOS 3. Uma aplicação de R$50.000,00 pelo prazo de 8 meses resultou num montante de R$66.000,00. Qual foi a taxa desta aplicação? 4% a.m. JUROS SIMPLES EXEMPLOS 4. De quanto seria o juro produzido por um capital de R$2.300,00, aplicado durante 3 meses e 10 dias, à taxa de 12% ao mês? R$ 920,00 PRAZO MÉDIO Dado um conjunto com duas ou mais aplicações a juros simples, cada qual com seus próprios valores de capital, taxa e prazo, dizemos que PRAZO MÉDIO é um prazo único tal que, substituindo os prazos de cada uma das aplicações dadas, produzirá o mesmo total de juros das aplicações originais. 4
PRAZO MÉDIO PM = ( P C T) ( C T) P PRAZO C CAPITAL T - TAXA PRAZO MÉDIO EXEMPLO: Três capitais de R$1000,00, R$2000,00 e R$3000,00 foram aplicados às taxas simples de 2%, 3% e 4% ao mês durante 3 meses, 2 meses e 1 mês, respectivamente. Qual seria o prazo médio para essas três aplicações? 45 dias PRAZO MÉDIO EXEMPLO José Roberto fez quatro aplicações, à mesma taxa de juros simples, com valores de R$ 2.000,00, R$ 1.500,00, R$ 4.500,00 e R$ 3.000,00, pelos prazos, respectivamente, de 6 meses, 1 ano, 4 meses e 8 meses. Calcule o prazo médio. 6,55 meses 5
TAXA MÉDIA TAXA MÉDIA é uma taxa única tal que, substituindo as taxas de cada uma das aplicações dadas, produzirá o mesmo total de juros das aplicações originais. TAXA MÉDIA TM = ( P C T ) ( P C) P PRAZO C CAPITAL T - TAXA TAXA MÉDIA EXEMPLO: Três capitais de R$1000,00, R$2000,00 e R$3000,00 foram aplicados às taxas simples de 2%, 3% e 4% ao mês durante 3 meses, 2 meses e 1 mês, respectivamente. Qual seria a taxa média para essas três aplicações? 3% a.m. 6
CAPITAL MÉDIO CAPITAL MÉDIO é um capital único tal que, substituindo os capitais de cada uma das aplicações dadas, produzirá o mesmo total de juros das aplicações originais. CAPITAL MÉDIO CM = ( P C T ) ( P T ) P PRAZO C CAPITAL T - TAXA EXERCÍCIO AVALIATIVO Considere o total de juros simples obtidos pelas aplicações de R$300,00 por 1 mês à taxa de 2% a.m., R$100,00 por 3 meses à taxa de 3% a.m. e R$200,00 por 2 meses à taxa de 2% a.m. a) Qual a taxa única que resultaria na mesma quantidade de juros produzidos? b) Qual o prazo único? c) Qual o capital único? 7
CAPITALIZAÇÃO SIMPLES Títulos de Crédito 23 Títulos de Crédito Os títulos de crédito são instrumentos legais previstos no direito comercial (contratos) e são usados para formalizar dívidas que serão pagas no futuro, em prazo previamente estipulado. Representam ativos financeiros que, por serem endossáveis, possibilitam sua negociação, ou seja, permitem que seus possuidores (credores da dívida que lhes deu origem) possam vende-los por valor inferior ao que será recebido no futuro. Títulos de Crédito 24 A vantagem dada ao comprador de um título é denominada de desconto e corresponde a um prêmio pela antecipação do vencimento. Esta negociação de títulos de crédito é denominada desconto de títulos, em geral feita por instituições financeiras, e muito comum entre empresas quando ocorre a antecipação do resgate (pagamento) de uma duplicata (título de crédito oriundo de faturamento de mercadorias). 8
25 Títulos de Crédito Diz-se que um título de crédito possui elevada liquidez quando suas chances de desconto são altas. Os títulos possuem os seguintes dados: a) quem deve pagar; b) quanto deve ser pago (ou como se calcula); c) em que data (ou prazo a partir de sua emissão em que será pago); d) a quem será pago. Títulos de Crédito Nota Promissória pode ser usada entre pessoas físicas ou entre instituições financeiras. Consiste em título de crédito que corresponde a uma promessa de pagamento, em que vão especificados: valor nominal e quantia a ser paga (que é a dívida inicial acrescida dos juros); data de vencimento do título (em que a dívida deve ser paga); nome e assinatura do devedor; nome do credor e da pessoa que deverá receber a importância a ser paga. 26 Títulos de Crédito Letra de Câmbio é um título ao portador, emitido por uma financeira em operações de crédito direto para pessoas físicas ou jurídicas. Uma Letra de Câmbio tem especificados: valor de resgate (que é o valor nominal acrescido de juros); data de vencimento do título; quem deve pagar. 27 9
28 Títulos de Crédito Duplicata é usada por pessoa jurídica contra um cliente (que pode ser pessoa física ou jurídica) para o qual vendeu mercadorias a prazo, ou prestou serviços a serem pagos no futuro (segundo contrato). Da duplicata devem constar: o aceite do cliente; o valor nominal; a data de vencimento; o nome de quem deverá pagar; o nome da pessoa a quem deverá pagar. Uma duplicata só é legal se for feita com base na Nota Fiscal. Títulos de Crédito Cheques Pré-datados embora não especificados pela legislação, têm sido cada vez mais empregados em operações comerciais em função da facilidade operacional do uso. De forma similar à Letra de Câmbio, o cheque pré-datado deve ter especificado: o valor nominal, a data programada para o depósito; o emitente (quem deve pagar). 29 CAPITALIZAÇÃO SIMPLES Desconto Simples: Racional e Comercial 10
31 Operações de Desconto Note que o desconto representa os juros associados a operação. O conceito de juros, porém, está associado a operações de capitalização (levar do presente para o futuro), enquanto o desconto costuma referir-se a operações de descapitalização (ou operações de desconto, trazer do futuro para o presente). 32 Desconto Simples A operação de desconto normalmente é realizada quando se conhece o valor futuro de um título (FV, Valor Nominal, Valor de Face ou Valor de Resgate) e se quer determinar o seu Valor Atual (PV). Desconto Simples O desconto (D), deve ser entendido como a diferença entre o Valor de Nominal de um título e o seu Valor Presente na data da operação, ou seja, D = FV PV D = valor monetário do desconto; FV = valor nominal, valor futuro; PV = valor atual, valor presente, valor liquido, valor pago. 33 11
34 Siglas para desconto PV - é o valor obtido pelo título de crédito em data anterior ao dia do vencimento; FV - é o valor expresso no título de crédito e que deve ser pago no dia do vencimento; D - é a diferença entre o valor nominal e o valor atual, desconto obtido da operação; n - é o número de períodos transcorridos entre a data do desconto até o seu vencimento, denominado período antecipação; 35 Siglas para desconto i - A taxa de desconto deverá estar indicada na mesma unidade de tempo que o número de períodos n, refere ao prêmio pago para a realização da antecipação; Se a taxa de descontos e períodos não forem compatíveis faz-se necessário a conversões de unidades, seja, da taxa ou do período. 36 Desconto Simples Enquanto no cálculo dos juros a taxa referente ao período da operação incide sobre o capital inicial ou valor presente, no desconto a taxa do período incide sobre o seu montante ou valor futuro. JUROS DESCONTOS taxa incide sobre o capital inicial taxa incide sobre o montante 12
37 Desconto Simples Desconto Simples Desconto Racional (Desconto por dentro) É aquele onde a referencia para o cálculo percentual do desconto é o VALOR ATUAL (PV) Desconto Comercial (Desconto por fora) É aquele onde a referencia para o cálculo percentual do desconto é o VALOR NOMINAL (FV) Desconto Racional Simples No Brasil não é muito praticado, pois é desfavorável para aquele que possui os recursos financeiros e terá de conceber um desconto em função de uma negociação. Esta operação é interessante para quem solicita o desconto, mas quem determina a metodologia de cálculo da operação geralmente é quem tem a posse dos recursos financeiros. 39 Desconto Racional Simples O desconto por dentro ou racional é obtido multiplicando-se o valor atual (PV) do título pela taxa de desconto (i), e este produto pelo prazo (n) a decorrer até o vencimento do título. Entretanto, na prática, o valor atual (PV) do título é sempre a incógnita, teremos que deduzir uma fórmula que dê o valor do desconto (D) em função das variáveis conhecidas, ou seja, ( FV, i e n). 13
Desconto Racional Simples DRS = VN VL DRS = Desconto Racional Simples VN = Valor Nominal VL = Valor Líquido (negociado antes do venc.) VN = VL (1 + i d x n d ) VL = VN / (1 + i d x n d ) VN. id. n DRS = 1+ i. n d d d 41 Desconto Racional Simples Fórmula: D = FV ( id n) ( ) 1+ id n Desconto Racional Simples Desconto por dentro ou racional 100% é o valor ATUAL Neste caso, o nosso esquema será: 100% + i% = (100% + i%) Valor Atual DESCONTO Valor Nominal Atenção: a taxa de desconto, i%, é sempre proporcional ao prazo de antecipação do título. 42 14
Desconto Racional Simples Exemplo: Um título de valor nominal de R$ 25.000,00 é descontado 2 meses antes do seu vencimento, à taxa de juros simples de 2,5% ao mês. Qual o desconto racional? Valor Líquido = R$ 23.809,52 DRS = R$ 1.190,48 Desconto Comercial Simples bancário, irracional ou por fora Assim como nas operações de juros simples, o desconto bancário simples resulta do produto do prazo (n) pela taxa de desconto (i d ). No entanto, enquanto na linguagem dos juros simples, as taxas de juros incidem sobre o capital inicial, no desconto bancário simples, as taxas de desconto incidem sobre o montante. Taxa de desconto Taxa de Juros Desconto Comercial Simples Juros simples calculado sobre o valor nominal (VF) do título de crédito, no prazo (n) que falta para o vencimento, a uma taxa (i d ) denominada taxa de desconto. É utilizada no Brasil de maneira ampla e generalizada, principalmente nas chamadas operações de desconto de duplicatas realizado pelos bancos. Por definição o desconto por fora é obtido multiplicando-se o valor de resgate (FV) do título pela taxa de desconto (i d ), e este produto pelo prazo (n) a decorrer até o vencimento. 45 15
Desconto Comercial Simples DBS = VN x i d x n d e VL = VN - DBS DBS = Desconto Bancário Simples VN = Valor Nominal, Valor de Face (VB) VL = Valor Líquido (negociado antes do venc.) i d = taxa de desconto = prazo de desconto n d Desconto Comercial Simples Exemplo: Um título de valor nominal de R$ 25.000,00 é descontado 2 meses antes do seu vencimento, à taxa de juros simples de 2,5% ao mês. Qual o desconto bancário? DBS = VN x i d x n d DBS = R$ 1.250,00 Valor Líquido = R$ 23.750,00 Desconto Comercial Simples Exemplo: Uma duplicata no valor de R$ 25.000,00 é descontada em um banco 2 meses antes do seu vencimento, à taxa de desconto de 2,5% ao mês. Sabendo-se que o banco cobra uma taxa de 1% a título de despesas administrativas e que o IOF é 0,0041% ao dia sobre o valor do título, obter o valor recebido pelo portador do título. Uma outra alternativa seria tomar um empréstimo com a taxa líquida de 2,8% ao mês. Qual a melhor opção? VL = VN DBS D iof - D ADM a) DBS = 25.000 x 0,025 x 2 = R$ 1.250,00 b) D ADM = 25.000 x 0,01 = R$ 250,00 c) D IOF = 25.000 x 0,000041 = R$ 61,50 VL = 25.000-1.250 250 61,50 = R$ 23.438,50 16
EXERCÍCIO AVALIATIVO Exemplo: Uma duplicata no valor de R$ 25.000,00 é descontada em um banco 2 meses antes do seu vencimento, à taxa de desconto de 2,5% ao mês. Sabendo-se que o banco cobra uma 1% a título de despesas administrativas e que o IOF é 0,0041% ao dia sobre o valor do título, obter o valor recebido pelo portador do título. Uma outra alternativa sería tomar um empréstimo com a taxa líquida de 2,8% ao mês. Qual a melhor opção? Sendo PV = 23.438,50 e FV = 25.000,00, então a taxa desta operação será: i = 25.000 23.438,50 / 25.000 x 2 = 0,0312 = 3,12% Obs.: A operação de empréstimo com a taxa de 2,8% ao mês, neste caso, será a melhor opção. 50 EXERCÍCIO AVALIATIVO Uma duplicata de R$ 70.000,00, com 90 dias a decorrer até o seu vencimento, foi descontada por um banco à taxa de 2,7% ao mês. Calcular o valor líquido creditado ou entregue ao cliente, de acordo com os dois conceitos. Dados: FV = 70.000,00 n = 90 dias i = 2,7% a.m. PV =? 51 Exemplo Desconto Racional Dados: FV = 70.000,00 n = 90 dias 90/30 = 3 m i = 2,7% a.m. PV =? ( d n) ( ) D = FV D = FV PV 1+ d n 5.245,14 = 70.000 PV 0,081 D = 70.000 1,081 PV = 64.754,86 D = 70.000 0,0749306 D = 5.245,14 17
DESCONTO DE DUPLICATAS Exemplo 1: Descontar uma duplicata de R$ 85.600,00 para 21 dias, a uma taxa de desconto de 3,6% ao mês. Dados: VB = 85.600,00 n = 21 dias i = 3,6% a.m. = 0,12% a.d. 83.442,88 85.600,00 Solução: i d = 0,12 * 21 = 2,52% p/ 21 dias 0 21 dias VL = VB * (1 - desconto) O portador da duplicata irá receber R$ VL = 85.600 * (1-0,0252) 83.442,88 ao descontar hoje a duplicata VL = 83.442,88 de R$ 85.600,00 com prazo de 21 dias. Exercício Avaliativo Exemplo 2: uma empresa apresenta o borderô de duplicatas abaixo, para serem descontadas num banco à taxa de desconto bancário de 3% ao mês. Qual o valor líquido recebido pela empresa? R$ 2.500,00 ---- 25 dias R$ 3.500,00 ---- 57 dias R$ 6.500,00 ---- 72 dias DESCONTO DE BORDERÔ DE DUPLICATAS Prazo Valor Duplicata (dias) Coeficiente líquido R$ 2.500,00 25 0,975 62,50 R$ 3.500,00 57 199,50 R$ 6.500,00 72 468,00 i d = 3% ao mês / 30 = 0,1% a.d. Para 25 dias I d = (0,001 * 25) = 0,025 Coeficiente = 1-0,025 = 0,975 Valor Líquido = 2.500 * 0,975 = R$ 62,50 18
55 Desconto Bancário É o DESCONTO COMERCIAL acrescido de uma TAXA DE DESPESAS BANCÁRIAS, aplicadas sobre o valor nominal. A taxa de despesa bancária está relacionada com as despesas administrativas do banco, necessárias para efetuar a operação. Db = N i n + N h h = taxa de despesas bancárias Db = N (in + h) Exercício Avaliativo Um título de R$ 100.000,00, é descontado em um banco, seis meses antes do vencimento, à taxa de desconto comercial de 5% a.m. O banco cobra uma taxa de 2% sobre o valor nominal do título como despesa administrativa e 1,5% a.a de IOF. Calcule o valor líquido a ser recebido pelo proprietário do título e a taxa de juros efetiva da operação. Dados: N = 100.000,00 Despesas Bancárias: n = 6 meses Taxa Adm = 2% N i = 5% a.m. IOF= 1,5% a.a. V =? 56 19