APLICAÇÕES DA MATEMÁTICA

FACULDADE DE CIÊNCIAS E TECNOLOGIA DA UNIVERSIDADE DE COIMBRA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA APLICAÇÕES DA MATEMÁTICA Trabalho realizado por: Isabel Maria Luís Marques Sónia Mauríio Ferreira Sila

ÍN D ICE I. Introdução... 3 II. Transformações de Lorentz... 4 Dilatação dos Tempos... 7 III. Paradoxo dos Gémeos... 9 IV. A Teoria da Relatiidade em Portugal... 11 V. Conlusão... 14 VI. Bibliografia... 15 de 15

I. Introdução Numa onferênia em 1900, om o propósito de fazer o balanço de um séulo de inestigação e intitulada "Nineteenth entury louds oer the dynamial theory of heat and light", Lord Kelin apontou para um problema, uma nuem que toldaa o panorama da Físia. Nuem essa que se iria a reelar omo a origem de uma fortíssima tempestade que abalaria toda a Físia do séulo XIX, a Teoria da Relatiidade (TR), dando origem à grande reolução ientífia que se iniia no dealbar do séulo XX. Uma reolução ujas reperussões se fizeram sentir em todos os domínios do pensamento e que mara de um modo indeléel a inestigação ientífia e tenológia deste séulo. O alemão Albert Einstein (1879-1955) passou a representar um ponto de inflexão na iênia moderna om a publiação da Teoria da Relatiidade Restrita, em 1905, na reonheida reista ientífia Annalen der Physik. Como uma generalização da Relatiidade Restrita onebeu uma teoria geométria de graitação uja ersão final foi publiada em 1916 e fiou onheida omo Teoria Geral da Relatiidade. Tal omo noutros países da Europa, também em Portugal a omunidade dos matemátios desempenhou um papel importante na reepção da teoria da relatiidade. E, embora os matemátios tenham partiipado nas disussões teórias até aos anos 30, não pode ser ignorada a importânia da omunidade dos astrónomos na apropriação da relatiidade. Com este trabalho é nossa intenção dar uma isão panorâmia, muito bree, não de toda a teoria da relatiidade restrita mas apenas de alguns tópios relaionados om esta tão importante teoria. Pretendemos, ainda, estudar numa perspetia história a introdução e influênia desta teoria em Portugal, leando a abo um estudo de História da Ciênia, enquanto área integradora dos efeitos soiais, polítios, ulturais e ientífios, que permitam a ompreensão da assimilação das ideias reoluionárias da Físia Moderna por diferentes grupos da soiedade portuguesa: professores, estudantes, inteletuais. 3 de 15

II. Transformações de Lorentz No fim do séulo XIX, quando ainda se admitia o espaço azio de matéria e heio om "éter", houe muita disussão para se saber omo os orpos se moiam atraés desse éter e omo esse moimento afetaria a eloidade da luz medida em relação à Terra. No iníio, os físios admitiram que as ibrações desse éter hipotétio estaam relaionadas om a luz, do mesmo modo que as ibrações do ar estaam relaionadas om o som. Supondo o éter estaionário, enontrou-se para a eloidade da luz relatia ao éter o alor =,9979 x 10 8 m/s. Se a Terra se moesse atraés do éter sem perturbá-lo, então a eloidade da luz relatia à Terra deeria depender da direção de propagação da luz. Por exemplo, seria - para um raio de luz propagando-se na mesma direção do moimento da Terra e + para uma propagação em sentido oposto. Entretanto se a trajetória da luz obserada da Terra fosse perpendiular ao moimento terrestre, a sua eloidade relatia à Terra seria. Em 1881, os físios amerianos Mihelson e Morley iniiaram uma série memoráel de experimentos para medir a eloidade da luz em diferentes direções relatias à Terra. Com grande surpresa eles erifiaram que a eloidade da luz era a mesma em todas as direções. Contudo a transformação de Galileu india que nenhum orpo pode ter a mesma eloidade relatia a dois obseradores em moimento uniforme relatio e que a eloidade relatia depende da direção do moimento do obserador. Outra expliação seria dizer que a Terra arrasta o éter om ela, assim omo ela arrasta a atmosfera; desse modo, próximo à superfíie, o éter estaria em repouso relatio à Terra. Essa expliação é um tanto improáel, isto que o arrasto do éter se deeria manifestar em outros fenómenos relaionados om a propagação da luz. Tais fenómenos jamais foram obserados. Por estas razões a ideia de um éter foi abandonada pelos físios. O enigma de Mihelson e Morley foi resolido em 1905, quando Einstein enuniou o seu prinípio da Relatiidade. Einstein admitiu a eloidade da luz omo um inariante físio, tendo o mesmo alor para todos os obseradores. Essa exigênia deorre da apliação do prinípio relatiidade ao eletromagnetismo. Admitida essa hipótese, a transformação de Galileu não pode ser orreta. Como a eloidade é a distânia diidida pelo tempo, pode 4 de 15

ser que tenhamos de ajustar o tempo bem omo a distânia para que o quoiente dos dois permaneça om o mesmo alor para obseradores em moimento relatio, omo aontee no aso da eloidade da luz. Por outras palaras, o interalo de tempo entre dois aonteimentos não é o mesmo para dois obseradores em moimento relatio. Assim, deemos substituir a transformação de Galileu por outra, de modo que a eloidade da luz seja inariante. Vamos admitir que os obseradores O e O' estejam em moimento om eloidade relatia, que os eixos X e X' estejam dirigidos ao longo do moimento relatio dos dois obseradores, e que os eixos YZ e Y'Z' permaneem respetiamente paralelos. Também podemos admitir que ambos os obseradores aertam os seus relógios de modo que, quando eles estierem em oinidênia, t = t' = 0. Suponhamos que, no instante t = 0, um larão luminoso é emitido a partir da posição omum aos dois obseradores. Deorrido o interalo de tempo t, o obserador O notará que a luz alançou o ponto A e esreerá r = t, onde é a eloidade da luz. Como r = x + y + z então (t) = x + y + z. (1) De modo semelhante, o obserador O' notará que a luz atingiu o mesmo ponto A deorrido o interalo de tempo t', mas também om eloidade. Portanto r' = t', e (t ) = x + y + z. () Pretendemos obter uma transformação que relaione as equações (1) e (). A simetria do problema sugere que y' = y e z' = z. Como para o obserador O, 00' = t, tem-se x = t para x' = 0 (ponto O'). Isto sugere a relação x' = k(x - t), sendo k uma onstante a determinar. Podemos também admitir que t' = a(t - bx), onde a e b são onstantes a serem determinadas (para a transformação de Galileu k = a = 1 e b = 0). Fazendo todas estas substituições na equação (), temos k x ( x xt + t ) + y + z = a ( t tbx b x ) k + a b x + a tbx k xt + y + z = a t k t k ( ) ( ) k a b x + a b k xt + y + z = t a Como esta equação dee ser idêntia à equação (1) em 5 de 15

k a b = 1 a b k = 0 k a = 1 Resolendo este sistema de equações, temos 1 k = a = e b = A noa transformação, ompatíel om a inariânia da eloidade da luz, é então x t x' = k(x-t) = y' = y, z' = z, t = k(t-bx)= x t Este onjunto de relações é hamado transformação de Lorentz por ter sido o físio holandês Hendrik Lorentz o primeiro a obtê-lo, por olta de 1890, em onexão om o problema do ampo eletromagnétio de uma arga em moimento. Notando-se que é uma eloidade muito grande omparada om a maioria das eloidades normalmente enontradas na Terra tem-se que a razão / é muito pequena, os termos x e são, em geral, desprezíeis e k é pratiamente igual a 1. Embora os resultados numérios da transformaão de Lorentz, na maioria dos asos, não difiram muito dos resultados da transformação de Galileu, sob o ponto de ista teório, a transformação de Lorentz, também hamada transformaão relatiístia, representa uma mudança oneptual muito profunda, espeialmente om relação ao espaço e ao tempo. Consequênias da Transformação de Lorentz O fator de esala k = 1 sugere que os omprimentos dos orpos nos interalos de tempo entre dados eentos medidos por obseradores em moimento relatio 6 de 15

possam ser diferentes. Dilatação dos Tempos Um interalo de tempo pode ser definido omo o tempo deorrido entre dois eentos medido por um obserador. Um eento é uma oorrênia espeífia que aontee num dado ponto do espaço num erto instante. Assim, em termos destas definições, quando a bola de um pêndulo alança a sua posição mais alta durante a osilação, onstitui um eento. Depois de um erto período de tempo, a bola oltará à mesma posição; isto é o segundo eento. O tempo deorrido entre esses dois eentos é então um interalo de tempo. Assim, um interalo de tempo é o tempo que se lea para se fazer alguma oisa: para um pêndulo osilar, para um eletrão girar em torno de um núleo, para uma partíula radioatia sofrer uma desintegração, para um oração bater, et. Consideremos dois eentos oorrendo no mesmo loal x' relatio a um obserador O'. O interalo de tempo entre esses dois eentos é T ' =. Para o obserador O, em relação ' ' t b ta ao qual O' se moe om eloidade onstante no sentido positio do eixo X, o interalo de tempo é T = t b t. Para enontrar a relação entre os instantes de oorrênia dos dois a eentos, registados por ambos os obseradores, utilizamos a transformação de Lorentz. Assim, Então, t a t' = k ( t bx) ' x' ta + = e x' t' + t = t b ' x' tb + = em Note-se que o x' é o mesmo em ambas as expressões. Portanto, subtraindo t a de t b, 7 de 15

t b ' ' tb ta ta = ou seja, T = T ' onde T é o interalo de tempo medido por um obserador O' em repouso relatio ao ponto onde os eentos oorreram, e T é o interalo de tempo medido por um obserador O em relação ao qual o ponto está em moimento quando da oorrênia dos eentos. Isto é, para o obserador O os dois eentos oorrem em duas posições diferentes no espaço. Visto que o fator 1 é maior do que 1 tem-se T > T. Assim, quando os proessos oorrem num orpo em moimento relatio ao obserador eles pareem ter uma duração maior do que quando eles oorrem num orpo em repouso relatio ao obserador. Isto é, T moimento > T repouso 8 de 15

III. Paradoxo dos Gémeos O paradoxo dos gémeos é um problema de relatiidade geral que intriga os ientistas e as pessoas omuns pois obriga-nos a er o espaço e o tempo de uma forma diferente da qual fomos aostumados a ê-los. Vamos supor que existem dois gémeos idêntios Paulo e Pedro, e que ao ompletarem 0 anos, o Paulo iaja para um planeta X que dista 10 anos-luz da Terra. Iniialmente amos definir o que é um ano-luz. Diferentemente do que se aha, o ano-luz não é uma unidade de tempo, mas sim uma unidade de espaço, e é equialente à distânia perorrida pela luz no interalo de tempo de um ano. Desta forma, emos que para alançar o planeta X, tem que iajar numa nae espaial à eloidade da luz durante 10 anos. Vamos onsiderar agora um referenial inerial R em que ambos os planetas Terra e o planeta X estejam em repouso e separados pela distânia L 0. Temos também os refereniais R e R, que representam respetiamente o referenial do Paulo durante a sua iagem de ida para X e a iagem de olta para a Terra. Vamos supor que a aeleração do Paulo é muito grande e que adquire uma eloidade, próxima à eloidade da luz, muito rapidamente e iaja durante dez anos para o planeta X. Ao hegar ao planeta X, deide rapidamente oltar para a Terra e noamente adquire uma eloidade agora em direção à Terra. Considerando que = 0,8, temos 1 3 =. Considerando o referenial do Pedro, o Paulo iajou durante 10 anos- 5 luz/0,8=1,5 anos, e omo a iagem de olta também leou 1,5, o Pedro estará 5 anos mais elho. No entanto, no referenial do Paulo o espaço está ontraído e o tempo dilatado, logo 3 o tempo de iagem no referenial do Paulo é t 0 = t = 1,5 = 7, 5. Portanto, o 5 Paulo estará apenas 15 anos mais elho. Temos então uma diferença de 10 anos entre os dois irmãos gémeos. O paradoxo aparee quando nos perguntamos: Se onsiderarmos que o Paulo está no referenial em repouso, ele perebe que o Pedro se moe à eloidade da luz, então porque é que o Pedro não está mais joem? O problema está no entendimento do proesso que oorre durante a aeleração do Paulo na saída da Terra, na hegada ao planeta X, na saída de X e na hegada à Terra. Vamos imaginar que um relógio no planeta X esteja sinronizado om o relógio de Pedro. Isto signifia que no meio do aminho entre os dois planetas, um obserador ê a mesma hora no planeta X e na Terra. No referenial do Paulo no entanto, a 9 de 15

assinronia destes relógios é dada por uma diferença igual a L 0 /. No instante em que o Paulo se aproxima do planeta X, ele perebe que o relógio de X está adiantado 10x0,8/ =8 anos. No instante em que o Paulo pára no planeta X para mudar a sua direção, ele está no referenial R, onde os relógios estão sinronizados. Neste instante, o relógio do Pedro adiantou 8 anos, dando a impressão a Paulo que seu irmão enelheeu 8 anos. Considerando os mesmos fatores para a olta, teremos um enelheimento total de 5 anos. Apesar de este experimento não poder ser realizado deido a impossibilidade de alançarmos uma eloidade próxima à da luz, partíulas ósmias omo os múons (reproduzem este efeito quando apresentam um tempo de ida maior do que o esperado, quando se moem om eloidades muito grandes. Nestes asos, o tempo de ida da partíula é o mesmo, porém o tempo e o espaço estão deformados, e portanto no nosso referenial, medimos tempos de ida maiores para estas partíulas. Efeitos similares são obtidos em grandes aeleradores de partíulas em grandes entros de pesquisa. 10 de 15

IV. A Teoria da Relatiidade em Portugal Também em Portugal, no primeiro quarto do séulo XX, a Teoria da Relatiidade não passou desperebida e foi objeto de referênia e de alguma reflexão em reistas de índole ultural e ientífia, em relatórios aadémios e ursos uniersitários. É atraés dos matemátios, sobretudo, os ligados à Físia Matemátia, Astronomia e Geodesia, que se estabeleem os primeiros ontatos om esta teoria. Em 191, Leonardo Coimbra (1883-1935), filósofo e lieniado em Matemátia, nasido em Felgueiras, omeçou a falar da teoria da relatiidade restrita em Portugal, sete anos depois de ela ter sido proposta por Einstein. Apresentou uma dissertação intitulada O Criaionismo. Esboço de um Sistema Filosófio, onde disute as doutrinas físias do omeço do séulo, em partiular, a teoria dos eletrões de Lorentz e a teoria da relatiidade restrita de Einstein. Mais tarde, em 19, disserta sobre a relatiidade restrita e a teoria da relatiidade geral, reém-formulada em 1916, na sua obra Razão Experimental. Entre 19 e 193, foi ministrado, no ensino uniersitário português, o primeiro urso de relatiidade, restrita e geral, na Fauldade de Ciênias da Uniersidade de Lisboa, pelo professor António dos Santos Luas (1866-1939). Nos anos 0, Almeida Lima (1859-1930), professor de Físia da Fauldade de Ciênias de Lisboa, publiou artigos expondo as suas posições anti-relatiistas. Ainda nos anos 0, o Almirante Gago Coutinho publiou na reista O Instituto uma série de artigos expondo a sua isão anti-relatiista, não tendo motiado reações. O mesmo não se passou om os seus esritos na reista Seara Noa, nos anos 30, os quais prooaram a interenção de Manuel dos Reis e de Ruy Luís Gomes. Em 195, Einstein isitou Portugal a aminho e na olta da Améria do Sul. Nos anos 30, geraram-se algumas polémias e reações entre anti-relatiistas e relatiistas, sobretudo entre o Almirante Gago Coutinho e os relatiistas Manuel dos Reis e Ruy Luís Gomes. Franiso da Costa Lobo assumiu um papel de antagonista das noas teorias (relatiidade e quântia). Para expliar os fenómenos físios do Unierso propôs a teoria radiante. Sobre o tema, proferiu uma onferênia na série organizada pelo fisio Mário Sila (1901-1977) em Coimbra no ano letio de 1930-1931 e publiou na Reista da Fauldade de Ciênias da Uniersidade de Coimbra (Vol II, 1931-193). Nessa mesma 11 de 15

reista e olume, tomaram posição os professores da.ª Seção da sua Fauldade (Físia e Químia), Pinto Basto (1881-1937) e Mário Sila, ritiando as posições de Costa Lobo. Os lieniados e doutorados em Matemátia pela Uniersidade de Coimbra, Mira Fernandes (1884-1958), Ruy Luís Gomes e Manuel dos Reis (1900-199) são, entre outros, os ultores da relatiidade em Portugal, distinguindo-se pelos inúmeros artigos esritos e onferênias realizadas. Em 1930, Manuel dos Reis fez a apresentação mais ompleta da relatiidade restrita e geral, esrita para as proas para professor atedrátio na Uniersidade de Coimbra. Intitulado O problema da graitação uniersal, o texto desree a história das teorias da graitação de Newton a Einstein, e inorpora as noas ideias no ontexto da físia, ontribuindo para failitar a apropriação da relatiidade pela omunidade nasente dos físios. Contudo, não desenoleu o hábito de submeter para publiação em reistas internaionais os resultados do seu trabalho de inestigação, dando seguimento a uma tradição de isolamento om onsequênias nefastas para o progresso da iênia portuguesa. Em 193, Einstein foi nomeado sóio da Aademia de Ciênias de Lisboa, no ano em que foge da Alemanha para se refugiar nos Estados Unidos, de onde troou orrespondênia ientífia om o físio português, António Gião, que iia em Reguengos de Monsaraz. Em Junho de 1933, numa onferênia, intitulada Galileo Galilei, Valor ientífio e alor moral da sua obra, publiada na reista Seara Noa, Bento de Jesus Caraça (1901-1948) diulgou as teorias relatiistas em Portugal. Ruy Luís Gomes esreeu diersos textos de interpretação e diulgação da relatiidade, dos quais A Teoria da Relatiidade Restrita é exemplo. Desenoleu inestigação nesta área e realizou trabalhos no âmbito da relatiidade geral, por exemplo, sobre os oneitos de espaço e tempo absolutos para determinadas métrias osmológias. Em 1954, publiou a obra Teoria da Relatiidade Espaço, Tempo, Graitação. Dos seus artigos ténios sobre relatiidade restrita dados a onheer em reistas internaionais da espeialidade, salienta-se o publiado em 1935, nos Rendionti della Aademia dei Linei e outro no Journal de Physique et le Radium, em 1938. Além disso, mantee orrespondênia om Lei-Ciita, bem omo om Mira Fernandes, tendo a sua obra mereido referênia de grandes ultos da époa, entre outros o prémio Nobel da Físia Louis de Broglie e o élebre matemátio John on Neumann. Pelo que, os seus trabalhos ontribuíram para o aanço da físia-matemátia, uma das áreas por si desenolidas a par da análise. 1 de 15

No ano de 1938, Ruy Luís Gomes fez a análise de quatro artigos, publiados na reista Seara Noa por Gago Coutinho, sob o título Meânia Clássia e Meânia Relatiista e subtítulo Dediado aos Alunos de Físia Lieal, uja formação daria bases mais do que sufiientes para se poder omparar a Realidade om os interessantes paradoxos da Relatiidade Restrita. As reflexões de Ruy Luís Gomes, dispersas por ários números desta reista, foram posteriormente ompilados om título A relatiidade. Origem, eolução e tendênias atuais. O eidente auge da ida ientífia portuguesa nas déadas de 30 e 40 prometia mudanças na Uniersidade e na iênia em Portugal, finalizando um período de letargia erifiado no séulo XIX. Contudo, para além de algum isolamento ainda existente, os motios polítios relatios ao regime polítio da époa mararam os finais da déada de 40, prooando o afastamento do ensino de muitos ientistas, nomeadamente do ampo das iênias exatas. Alguns, iram-se obrigados a prourar exílio no estrangeiro, por exemplo António Monteiro, Pereira Gomes, Ruy Luís Gomes, desenolendo as suas inestigações em uniersidades estrangeiras. Outros, omo Nees Real, Bento Caraça, Laureano de Barros,... iram interrompidas as suas arreiras. Pelas razões expostas foi interrompida a tentatia de organização da inestigação ientífia, aentuando-se o atraso da iênia em Portugal, reomeçando uma aproximação à Europa, ainda que de modo lento na déada de 60. Reentemente, o liro Einstein entre nós: a reepção de Einstein em Portugal de 1905 a 1955, oordenado pelo físio Carlos Fiolhais e lançado em 17 de Outubro de 005, inlui ários trabalhos sobre Albert Einstein e a sua obra, da autoria de ários espeialistas naionais de história da iênia. Além disso, ontém um atálogo dos liros e artigos publiados até 1955 em reistas ientífias e ulturais, jornais, et., em Portugal ou no estrangeiro, sobre Einstein e a sua obra. Refletindo alguma polémia que houe a níel naional entre 1905 e 1955 sobre a relatiidade. 13 de 15

V. Conlusão Ao realizar este trabalho aperebemo-nos da imensidão desta teoria. Todos sabem que Einstein fez algo de espantoso quando desobriu a Teoria da Relatiidade, mas pouos sabem exatamente em que onsiste essa teoria e quais as suas onsequênias. Einstein reoluionou a onepção tradiional do mundo físio, mas as suas ideias estão enoltas em teniidades matemátias. A teoria da relatiidade é uma teoria onstruída não só na interfae da físia, mas também na matemátia e na astronomia, pelo que se erifiaram reações e apropriações, de modos ariados, por parte dos membros destas três ulturas ientífias. Em Portugal, omo em outros países, as reações à teoria da relatiidade ariaram da adesão à resistênia, qualquer uma destas enolendo progressões no espaço e no tempo dependentes do perfil das personalidades enolidas e das omunidades a que estas perteniam. No final deste trabalho, e parafraseando Bertrand Russel, hegámos à onlusão, que sabemos extremamente pouo, embora seja surpreendente que onheçamos tanto, e ainda mais surpreendente que tão pouo onheimento nos onsiga proporionar tamanho poder. 14 de 15

VI. Bibliografia Liros: Bertrand Russel, ABC da Relatiidade; Apontamentos da disiplina de Mestrado Apliações da Matemátia, Ano letio 005/006, professora Natália Bebiano; Rindler, W. Introdution to Speial Relatiity, Oxford Uniersity Press, Oxford Ramayana Gazzinelli, Teoria da Relatiidade Espeial; Paulo Crawford, Centro de Astronomia e Astrofísia da Uniersidade de Lisboa, Campo Grande, Ed. C8; 1749-016 Lisboa, Portugal, Julho de 004, Diagramas do Espaço-tempo; Elsa Mota, Ana Simões e Paulo Crawford, Einstein em Portugal: o primeiro teste da teoria da relatiidade geral e o seu impato na omunidade ientífia naional, Uniersidade de Lisboa, Fauldade de Ciênias, CHCUL e CAAUL; Ferreira, Riardo e Coelho, Hélio Teixeira. Annus Mirabilis de Einstein: artigos que reoluionaram a Físia, Gazeta de Matemátia, nº150, 006-07-6; Alonso, Marelo e Finn, Edward J. Físia Um Curso Uniersitário - Vol. 1, Editora Edgard Bluher, 197, apítulo 6; Fiolhais, Carlos, e outros. Físia, Didátia Editora, 001, apítulo 1.6; Fiolhais, C.; Valadares, J.; Sila, L.; Teodoro, V. D. Físia 1º ano, Lisboa Didátia, 1996, páginas 73-78. Sites da Internet: http://www.ieniahoje.pt/index.php?oid=1389&op=all http://www.if.ufrgs.br/~betz/spae_time/gemtextfr.html http://www.deduoeslogias.om/relatiidade/paradoxo.html http://www.eientifioultural.om/ecc/dialogos/trigemeos.htm#47316 http://www.oniteafisia.om.br/home_fisia/perguntas_leitores/respostas/fisia/per gunta_10.htm http://new.ieniaia.pt/rede/spae/resposta5.asp http://mup.f.up.pt/mup/relatiidade/rr/index.htm 15 de 15