MATERIAL DE APOIO SUPLEMENTAR FEP HELIO DIAS

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1 MATERIAL DE APOIO SUPLEMENTAR FEP 96- HELIO DIAS CINEMÁTICA E DINÂMICA RELATIVÍSTICA Resmo da Teoria Exeríios Resolidos

2 Resmo A Teoria da Relatiidade Restrita tem m postlado fndamental: a eloidade da lz no áo (expressa omo, m/s) é a mesma para qaisqer obseradores ineriais, independente do moimento da fonte de lz o do obserador. Uma das prinipais onseqüênias desse postlado é qe nenhm objeto pode iajar a ma eloidade sperior a. A Relatiidade em sendo testada desde 905, qando Albert Einstein propôs essa teoria para expliar algmas propriedades das ondas eletromagnétias. Além do interferômetro de Mihelson e Morley, dezenas de experimentos enolendo os mais ariados sistemas físios nas mais diersas sitações têm inariaelmente demonstrado qe, de fato, a onstânia da eloidade da lz (também onheida omo Inariânia de Lorentz ) paree ser m fato fndamental da natreza. Enqanto os experimentos do tipo Mihelson-Morley, feitos por olta do ano 900, indiaam qe a eloidade da lz deeria ser onstante om ma preisão de apenas ma parte em 0 (o 0,%), os últimos experimentos já são apazes de erifiar a onstânia da eloidade da lz om ma preisão melhor qe ma parte em 0 5. A onstânia da eloidade da lz para qaisqer obseradores ineriais implia qe nem os interalos de tempo nem as distânias entre dois eentos podem ser igais para todos os obseradores. Isso signifia qe as noções de tempo e de espaço não têm mais m aráter absolto, omo era o aso na Meânia de Galile e Newton. A própria noção de simltaneidade tem qe ser abandonada: ela passa a ser ma erta relação entre dois eentos qe pode ser álida em m erto referenial, mas não é álida para todos os refereniais. Conseqentemente, obseradores em diferentes refereniais ineriais (o seja, obseradores qe se moimentam om eloidade onstante m em relação ao otro) medirão diferentes interalos de tempo e distânias e ambos estarão ertos! Tempo e omprimento próprios Apesar dos interalos de tempo e as distânias não serem mais absoltos na Teoria da Relatiidade Espeial, ainda podemos definir distânias e interalos de tempo em ertos refereniais partilares, e ompará-los às medidas de tempos e distânias feitas por otros obseradores. Tempo próprio é o tempo entre dois eentos qe oorrem em instantes diferentes no mesmo ponto do espaço. Assim, o tempo próprio pode apenas ser medido sando ertos relógios aqeles relógios qe estão em reposo om relação ao ponto onde os eentos oorrem. Sponha qe dois eentos oorrem no mesmo ponto do espaço nm erto referenial S, mas em pontos diferentes nm otro referenial S' (qe se moe om eloidade om relação a S). Como exemplo oê pode pensar nm malabarista sentado dentro de m trem qe se moe om eloidade onstante: para o próprio malabarista (digamos, no referenial S), ele lança e pega sa bola em instantes diferentes, no mesmo ponto do espaço o lgar onde ele está sentado. Já para ma pessoa parada na estação de trem (digamos, no referenial S') endo o trem passar, o malabarista lança e pega a bola em posições diferentes. Seja Δ t0 o interalo de tempo próprio, medido no relógio do referenial S no qal os dois eentos oorrem na mesma posição (no exemplo aima, o interalo de tempo medido no relógio do malabarista). A Teoria da Relatiidade Espeial determina então qe o interalo de tempo Δ medido pelo relógio do referenial S' Para maiores detalhes, eja M. P. Haghn e C. M. Will, Physis Today 40, pg. 69 (maio de 987). Os últimos dados são de H. Mller et al., Physial Reiew Letters 9, pg. 040 (00).

3 (no exemplo aima, o relógio do sjeito parado na estação de trem) é sempre mais longo qe o interalo de tempo próprio: Δ ' t Δt0 γ, onde γ. Note qe, omo / <, γ é m número maior qe. Também podemos definir o omprimento próprio de m objeto, qe é simplesmente o omprimento medido no sistema de referênia em qe aqele objeto está parado. Sponha qe m sjeito obsera ma barra qe passa por ele om ma eloidade paralela ao omprimento da barra. Chamemos de S o referenial do tal sjeito e de S' o referenial qe se moe jnto om a barra (o referenial próprio da barra), e sponha qe a barra possi omprimento próprio L 0. O obserador no referenial S pode medir o omprimento da barra do seginte modo: ele ronometra o interalo de tempo qe a barra lea para passar por ele e então sa a fórmla L Δt para dedzir o omprimento da barra. A Teoria da Relatiidade Espeial determina qe o omprimento da barra medido pelo obserador no referenial S (qe hamamos de L) será sempre menor do qe o omprimento medido no referenial próprio da barra (qe hamamos de L 0 ) : L L 0. γ Transformações de Lorentz No aso mais geral as relações entre os interalos de tempo e as distânias entre qaisqer eentos, medidas por diferentes obseradores ineriais, podem ser expressas atraés das Transformações de Lorentz. Seja m referenial S' em moimento om relação a m referenial S, om eloidade na direção x. Sinronize os ronômetros dos dois refereniais de forma qe t 0 no instante em qe a origem do sistema de oordenadas S ( x r 0 ) oinidir om a origem do sistema de oordenadas S' ( x r ' 0 ). Então, dadas as oordenadas de qalqer eento (x,y,z,t) medidas no referenial S, as oordenadas (x',y',z',) medidas no referenial S' são dadas por: ( x t) x' γ y ' y z ' z x γ t A transformação inersa é failmente obtida: basta mdar ν por -ν e troar os índies (linha por sem-linha). Note qe neste aso hamamos o referenial próprio da barra de S', enqanto no exemplo anterior hamamos o referenial próprio do malabarista de S. Eidentemente, a opção de oloar a linha nm referenial o no otro (o pintar m de ermelho e o otro de azl) ai do gosto do fregês.

4 Transformação de eloidades r r Um objeto ja eloidade medida no referenial S é,, ) terá a eloidade ' ( ', ', ' ) medida no referenial S' dada por: ' x x ; x ' y ( x y z y ; x γ ' z z. x γ x y z Problemas Resolidos. - Um eento oorre, no sistema de referênia S, em x 40 m, y z 0 e t 0-8 s. Um sistema de referênia S se moe om ma eloidade ν 0,8 ao longo do eixo positio x de S. Ahe as oordenadas do eento no referenial S (assma qe os eixos x, y e z de ambos os sistemas são paralelos). Utilizando as transformações de Lorentz obtemos: γ ( 5 x' y' 0. z' ) ( 0.8) ( ) , m. 7 s. - Os píons são partílas radioatias qe podem ser prodzidas nm laboratório de pesqisa. O tempo de meia-ida de m píon em reposo é T 0,8 x 0-8 s. Isso signifia qe, em média, a metade dos píons existentes em m dado instante se desintegra deorridos,8 0-8 s. Em ma dada experiênia, os píons são prodzidos om alta eloidade e se erifia qe, a ma distânia L 9 m do loal da prodção, a poplação de píons ai à metade. Qal a eloidade dos píons? Se os píons andassem om eloidade ν e se desprezássemos a dilatação do tempo, eles hegariam om a metade da poplação a ma distânia: 8 8 L 0 T0 0,8 0 5,4m. No entanto eles atingem a distânia de 9m! Isso oorre porqe o tempo de deaimento próprio dos píons é T 0, mas no referenial do laboratório o tempo de deaimento é T γ T 0. Portanto: o seja: L T γ T0 T 0, 4

5 L T o 7, 0,99. - Um grpo de astronatas realiza ma jornada da Terra até Síris, ma estrela mito brilhante loalizada a 8,5 anos-lz de distânia da Terra, de aordo om medidas feitas na Terra. A eloidade esalar da astronae é ν 0,95. Ahe a distânia entre a Terra e Síris, de aordo om medidas feitas pelos astronatas. A distânia Terra-Síris medida da Terra é a distânia própria : L 0 8,5 anos lz. A distânia obserada pelo grpo de astronatas (em moimento om relação a Síris) será portanto: L L 0, onde, γ 8,5 γ L,7 anos-lz., 4- Uma nae espaial S é alançada por ma nae espaial S', qe ltrapassa S om ma eloidade relatia ν /. O apitão de S saúda o apitão de S' pisando as lzes da proa e da popa simltaneamente do ponto de ista de S. Qando medida por S, a distânia entre as lzes é de 00m. Qal a diferença entre os instantes de emissão dos sinais de lz, qando medidos por S'? No sistema de referênia de S os sinais das das lzes são emitidos nos instantes de tempo t e t, desde os loais x e x (proa e popa, respetiamente). Mas os tempos de emissão, no sistema de referênia de S', oorrem nos tempos e t, qe podem ser allados a partir das transformações de Lorentz. x t e x t Portanto, de aordo om S' a diferença entre os tempos de emissão é: ( t t ) ( x x ) De aordo om S os sinais são simltâneos, portanto t t. Temos, portanto: Sbstitindo ν 0,5 e x - x 00 m, obtemos: ( x x ) 5

6 t t -,9 x 0-7 s. O sinal negatio signifia qe o apitão de S' ê a lz da proa (frente) de S pisar ligeiramente mais edo do qe a lz de popa (trás). 5- Um homem, arregando ma ara de omprimento próprio L 0V 0 m, passa orrendo por baixo de ma área oberta de telhas de omprimento próprio L 0T m. A sitação é esqematizada na figra abaixo. A eloidade ν do homem om relação ao telhado é tal qe γ. Responda: a) Qal a magnitde da eloidade do homem em relação ao telhado? b) No referenial do telhado, por qanto tempo a ara estará totalmente debaixo das telhas? ) No referenial do homem, existe algm instante em qe a ara esteja totalmente sob as telhas? a) A eloidade do homem no referenial do telhado pode ser allada a partir de: γ b) No referenial do telhado a ara mede: L0 V 0m LV 0m. γ Portanto ela abe toda debaixo dos m de extensão do telhado. Assim, a ara permaneerá debaixo do telhado por m interalo de tempo: m 0m Δ t m L0 T ) No referenial do homem, o telhado tem ma extensão de L 5, m. γ T 5 Portanto, do ponto de ista dele, ertamente os 0m de ara não onsegem fiar debaixo dos 5,5m de telhado! Como resoler esse paradoxo? Note qe estar debaixo do telhado signifia qe os extremos C e D deem estar simltaneamente entre os pontos extremos A e B do telhado. Porém, aqilo qe é simltâneo 6

7 para m obserador no referenial do telhado não é simltâneo para o homem segrando a ara. A ordem om qe os eentos importantes desse exeríio aonteem são diferentes nos dois refereniais. Seja t 0 o instante em qe o extremo C da ara oinide om o ponto A do telhado. No referenial do telhado, a oordenada do ponto D nesse instante é x 0 m. Portanto, no ponto de ista do telhado, no instante t 0 a ara está toda sob as telhas. Ainda do ponto de ista do telhado, a ara omeça a sair de baixo do telhado qando D passa por B o m seja, após m interalo de tempo Δ t e a ma distânia Δx 0 m do loal em qe C passo por A. Já no referenial do homem (S ), tilizando as transformações de Lorentz temos: Δx Δ γ Δt m 0m 6 Δ m O sinal negatio signifia qe, para o homem qe arrega a ara, a extremidade D da barra rza o ponto B do telhado antes qe a extremidade C rze o ponto A. Portanto, para o homem, a ponta da frente da ara já omeça a sair de dentro do telhado antes qe a ponta de trás omee a entrar debaixo do telhado. 6- Um objeto A se desloa om eloidade em relação a m referenial S, aminhando para leste. Um objeto B se desloa om eloidade, também em relação ao referenial S, aminhando para oeste. Qal a eloidade relatia de B em relação a A? Em relação ao referenial S, temos ν Α e ν Β -. No referenial S', ligado a Α, a eloidade relatia ao referenial S é ν. O alor ν B ' é obtido atraés da transformação de eloidades: ' B B B + Problemas Propostos - Um relógio fniona drante m ano em m referenial de reposo fixo na Terra. Se o relógio se moe om ma eloidade esalar 0 6 m/s em relação à Terra, ahe o número de segndos pelo qal ele aria de m relógio fixo na Terra. - Considere m nierso em qe a eloidade da lz é 0 Km/h. Um Ford Landa orrendo a ma eloidade relatia à estrada ltrapassa m Volkswagen se moendo a ma eloidade 60 km/h / em relação à estrada. A eloidade do Landa é tal qe o se omprimento é medido por m obserador fixo na estrada omo sendo o mesmo qe o do Volkswagen. Sabe-se qe o omprimento próprio do Landa é o dobro do Volkswagen. Qal é a eloidade do Landa? 7

8 Resmo Dinâmia Relatiístia O momento linear relatiístio de ma partíla qe se moe om eloidade em relação a m referenial inerial S é dado por: p m( ), onde m( ) γ ( ) m0, γ ( ). Nestas expressões é o módlo da eloidade, m() é a massa relatiístia da partíla e m 0 é a sa massa r de reposo. Note qe o momento relatiístio se redz ao momento lássio ( p m ) no limite 0. Na dinâmia relatiístia, a energia relatiístia e a massa relatiístia de ma partíla estão relaionadas pela famosa eqação de Einstein: E m() γ() m 0. É fáil erifiar qe a energia e o momento linear relatiístios estão relaionados pela eqação: E - p (m 0 ). Se a partíla se enontra em reposo em relação a m referenial S ( 0), então a energia da partíla é a hamada energia de reposo: E 0 m 0. Às ezes é útil definir a energia inétia relatiístia de ma partíla, qe é simplesmente a diferença entre a sa energia relatiístia e sa energia de reposo: K() E E 0 m() m 0 [γ() - ] m 0. A eqação E 0 m 0 tem m signifiado mito profndo: ela nos diz qe massa e energia são basiamente eqialentes. Uma das mais importantes impliações dessa eqação é a noção de qe podemos, em prinípio, transformar massa em energia e ie-ersa. Para er omo isso é possíel, onsidere das partílas qaisqer qe, isoladamente, têm massas de reposo m 0A e m 0B. Mas se essas das partílas formam m sistema ligado de massa de reposo M 0, há ma energia de ligação do sistema, E B, dada por: E B (m 0A + m 0B - M 0 ). Isso signifia qe m sistema ligado (por exemplo, m átomo o m núleo atômio), tem ma massa diferente das massas de sas partes onstitintes. Se a massa do estado ligado for menor qe as massas das partes onstitintes, a energia de ligação é positia; se for maior, a energia de ligação é negatia. Assim, por exemplo, m átomo de Hidrogênio tem ma massa ligeiramente menor qe m próton e m elétron isolados; m núleo de He (4) tem ma massa m poo menor qe dois prótons e dois nêtrons; já o isótopo radioatio 9 U (5) pode deair em sbprodtos qe têm ma massa m poo menor do qe o núleo original (esses sbprodtos podem ser, por exemplo, 56 Ba (4), 6 Kr (9) e mais dois nêtrons). Desta forma, é preiso forneer ma erta qantidade de energia para ionizar m átomo de Hidrogênio o qebrar m núleo de Hélio, mas qando o núleo do Urânio 5 se qebra ma erta qantidade de energia é liberada no proesso (o deaimento de núleos radioatios é onheido omo fissão nlear). Na erdade o deaimento espontâneo do 9 U (5) é extremamente lento, mas podemos aelerar esse proesso tremendamente se exitarmos leemente o núleo de 9 U (5) om m nêtron de baixa energia. Essa reação foi obserada pela primeira ez por Otto Hahn e Fritz Strassman em 98.

9 Unidades na Meânia Relatiístia No sistema MKS a massa de ma partíla é expressa em qilogramas (Kg), a energia em Jole (J) e o momento linear em kg m/s. Já na físia atômia e nlear, é mais oneniente expressar massas e energias no sistema nifiado de massa e eletron-olts e ses deriados, em lgar das nidades MKS. A nidade de massa nifiada é definida omo / da massa do átomo de C netro (onstitído do núleo atômio mais os elétrons), e é dada por:, Kg. Um elétron-olt (ev) é definido omo a energia adqirida por m elétron de arga e,60x0-9 C sbmetido a ma diferença de potenial elétrio de olt. O ev e o Jole estão relaionados por: ev, J. Os múltiplos do ev são o kev (0 ev), o MeV (0 6 ev) e o GeV (0 9 ev). A energia de reposo de ma massa de ma grama é: E 0 m 0 (0 - g) (, m/s) 9 0 Kg (m/s) 5,6 0 ev 5,6 0 GeV A energia de reposo da massa nifiada é: E 0 () 9,5 MeV É sal expressarmos a massa de reposo de ma partíla na nidade MeV/. No exemplo aima podemos esreer: 9,5 MeV/. Da relação entre a energia e o momento relatiístio emos qe o prodto do momento pela eloidade da lz tem dimensão de energia; o seja [p] [energia]. Portanto podemos expressar o momento em nidades de ev/ (o MeV/, GeV/ et.) Na tabela abaixo mostramos a massa de reposo de algmas partílas (note qe partílas de massa zero, omo o fóton, não têm, a rigor, energia de reposo, pois elas têm sempre a eloidade da lz, em qalqer referenial!) Partíla Símbolo Massa de reposo (MeV/ ) Fóton γ 0 Netrino ν < 0-6 Elétron e 0,5 Próton p 98,7 Nêtron n 99,565 Múon μ 05,658 Problemas resolidos

10 - Calle a massa relatiístia, o momento e a energia inétia de m múon qe se moe om eloidade de magnitde 0,999. A massa de reposo de m múon é m μ,8807 x 0-8 Kg. A massa relatiístia é dada por m( ) 8 m0, ,064x0 (0,999) 7 Kg o, m() 6, MeV/. A magnitde do momento linear relatiístio pode ser allada por: Logo, p m() 4, , p, J,6 MeV. p,6 MeV/., o seja, A direção e o sentido do momento são os mesmos da eloidade. A energia inétia será E k E - E 0 m() - m 0 (4,07-0,88) 0-7 ( 0 8 ), J,6 MeV Obs.: Verifiqe qe a relação E - p (m 0 ) é satisfeita. - Um elétron tem momento linear de módlo p Kg m/s. Calle sa energia inétia relatiístia. A massa de reposo de m elétron é m e Kg. Note qe a massa de reposo do elétron pode ser expressa em MeV/ : A energia relatiístia é dada por m e 8, J 0,5 MeV, o m e 0,5 MeV/. E (p) +(m 0 ) ( )+(8, ) ; portanto, E, J,067 MeV. A energia inétia ale: K E - E 0, , , J 0,556 MeV. - Um próton tem massa de reposo,007 e m nêtron tem massa de reposo, Qando os dois se ombinam, forma-se m dêteron (Hidrogênio pesado), ja massa de reposo é,060. a) Qal a energia liberada pela reação? b) Seja ma sina atômia qe prodza 000 moles de deterons a ada hora. Qal a potênia gerada pela sina? 4

11 (a) Sendo m 0p, m 0p e m 0D as massas de reposo do próton, nêtron e dêteron, respetiamente, a energia do sistema formado pelo próton e pelo nêtron, isoladamente e em reposo, é: E ( m 0p + m 0n ) Como a energia é onserada, após a reação a energia liberada é: E B ( m 0p + m 0n m 0D ). Sbstitindo os números na fórmla aima obtém-se: (b) A ada hora, a sina gera ma energia: Assim, sa potênia é: E B,7 0 - J. E T, ,0 0,9 0 4 J. P,9 0 4 J / (600 s) 5,0 0 0 Watts. Para se ter ma idéia da grandeza desse número, basta menionar qe a potênia elétria sendo gerada em todo o Brasil é da ordem de grandeza de 0 0 Watts. Porém, as sinas nleares hoje existentes no mndo não sam Hidrogênio, mas Urânio, o qe fornee ma energia bem menor por grama de reagente. 4- Uma partíla em reposo, de massa M 0, desintegra-se em das partílas igais de massa de reposo m 0 < M 0 /. Use onseração de momento e energia relatiístios para allar as eloidades dos fragmentos em fnção das massa m 0 e M 0. O momento iniial é zero (a partíla original está em reposo). Portanto, por onseração de momento, é eidente qe os fragmentos saem om momentos e eloidades idêntios, mas em direções opostas. Da onseração da energia temos qe: M 0 m 0 γ + m 0 γ. Assim, γ M 0 /m 0. Portanto, as eloidades de ada fragmento têm módlo: γ 4m M