CADERNO DE ATIVIDADES

APÊNDICE PRODUTO DA PESQUISA PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE MINAS GERAIS Programa de Pós-Graduação em Ensino de Ciências e Matemática CADERNO DE ATIVIDADES UM AMBIENTE DE APRENDIZAGEM PARA ABORDAGEM INTRODUTÓRIA DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS César de Oliveira Almeida Dimas Felipe de Miranda Belo Horizonte 2015

César de Oliveira Almeida CADERNO DE ATIVIDADES UM AMBIENTE DE APRENDIZAGEM PARA ABORDAGEM INTRODUTÓRIA DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS Produto construído durante a realização de pesquisa, apresentado ao Programa de Pós-Graduação em Ensino de Ciências e Matemática da Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais, como requisito parcial para obtenção do título de Mestre em Ensino de Ciências e Matemática. Orientador: Prof. Dr. Dimas Felipe de Miranda Área de concentração: Matemática Belo Horizonte 2015

INTRODUÇÃO Esta obra é o produto da dissertação de Mestrado do Programa de Pós-Graduação em Ensino de Ciências e Matemática da PUC Minas, cujo título é Um Ambiente de Aprendizagem para Abordagem Introdutória de Equações Diferenciais, realizada nos anos de 2014 e 2015. Este caderno surgiu da inquietação e necessidade de estimular o estudo e o interesse pela importância das Equações Diferenciais para o mundo. O objetivo principal aqui proposto é estimular os alunos e professores no aprendizado e ensino de Equações Diferenciais que fujam da memorização e convirjam para o entendimento das mesmas como necessária para a resolução de problemas físicos, químicos, biológicos e áreas afins à matemática ou que de alguma maneira façam uso dela. Assim, propõe-se através deste caderno desenvolver algumas estratégias que estimulem a resolução de Equações Diferenciais por meio da resolução de problemas, desde conceitos básicos, porém necessários, do Cálculo Diferencial e Integral como interdependência de variáveis, análises de gráficos, limite de uma expressão algébrica, transição da linguagem literal para a matemática, até conceitos e conteúdos mais elaborados como escrita e compreensão de uma Equação Diferencial Ordinária e resolução de uma Equação Diferencial Ordinária separável. A estrutura deste caderno consiste em três capítulos contendo teorias e atividades que buscam desenvolver o raciocínio e compreensão que envolvam problemas que façam uso de Equações Diferenciais. O Caderno pode ser utilizado tanto por professores que queiram fazer a introdução em uma disciplina de Equações Diferenciais ou relembrar esse assunto, como também para estudantes que almejam aprimorar seus conhecimentos nessa área. Ao final, encontram-se as resoluções de todas as atividades. Em conjunto com o Caderno também é disponibilizado o software EDOCA, que, também como produto dessa dissertação, serve de apoio às atividades aqui propostas. Bons estudos! Os autores

ATIVIDADE 1 Crescimento Populacional Objetivos a) Explorar a função como dependência entre variáveis; b) Explorar conceitos básicos de função assim como a sua representação gráfica; c) Resgatar conceitos e notações do Cálculo Diferencial e Integral; d) Introduzir e apresentar a resolução de uma ED de variáveis separáveis; e) Apresentar o conceito de Solução Geral de uma ED e direcionar à representação gráfica (família de curvas); f) Apresentar o conceito de Solução Particular de uma ED utilizando condições iniciais; g) Desafiar o aluno a resolver um problema populacional que obedece a Lei de Malthus, registrando todos os procedimentos e identificando os procedimentos, conforme objetivado nos itens anteriores. Uma função Introdução, segundo Stewart, é uma expressão matemática que descreve uma situação ou fenômeno natural ou não. Nessa expressão vê-se dois tipos de variáveis: } e. Cada valor de depende diretamente ou não de cada valor de. Dessa maneira, a variável é chamada de dependente, enquanto que é a independente ou livre. Porém, é importante ter em mente que em outras situações e funções as variáveis podem ser escritas com outras letras por uma questão de melhor aproximação ou adaptação. As variáveis estão presentes nos modelos equacionais em geral. Ela tem a característica de possuir vários valores numéricos, uma quantidade que pode ser alterada em cada caso ou unidade de estudo. A variável independente é definida como a que exerce influência sobre outra variável, determinando ou afetando o resultado observado na segunda, com precisão e regularidade. A variável dependente resume-se nos fenômenos ou fatores explicados ou identificados, por serem influenciados ou determinados pela variável independente.

1. Considere o seguinte fenômeno, em linguagem verbal. Uma população P sendo observada em função de um tempo t. a) Quais as variáveis independente e dependente no fenômeno enunciado? Dependente: Independente: b) Transcreva a linguagem verbal do fenômeno acima para a linguagem matemática: c) Considerando a forma geral (linguagem matemática) de uma função, como você a transcreveria em linguagem verbal? Linguagem verbal: 2. Frequentemente problemas que envolvem fenômenos requerem atenção especial em relação aos seus valores iniciais e pontuais para determinadas situações. Pois, é por meio deles que uma equação em geral é manipulada. Por exemplo, considerando, quando se escreve quer-se dizer que quando o resultado ou imagem encontrado será. Com esse pensamento, considerando o fenômeno apresentado no início da questão 1, explique com suas palavras o significado de, considerando t em anos. P(0) = 5600 P(4) = 8000 e 3. Considere o fenômeno do início da questão 1. A tendência é que a população varie de uma forma crescente ao longo do tempo. Por exemplo, poderíamos ter:,,,... Em uma situação real seria possível manter essa tendência por um período de tempo ilimitado? Justifique a sua resposta.

4. Esboce um modelo gráfico qualquer para o crescimento de uma população P qualquer ao longo do tempo t, considerando sua resposta dada na questão 3. Explique o porquê de você ter escolhido construir tal gráfico. 5. O incremento ou variação de uma variável é a diferença entre o maior e o menor valor numa determinada situação. Esse incremento é representado pela letra seguido da letra que representa a variável. Por exemplo, na Física, velocidade de um corpo. pode representar a variação de Voltando ao fenômeno inicialmente apresentado na questão 1, para uma dada população de um ambiente conhecem-se as seguintes informações: e incremento populacional. Então, diz-se que: para um incremento de tempo = tem-se um =. (complete os espaços em branco) 6. A taxa média é razão entre os incrementos de duas variáveis. Por exemplo, na Física, entende-se velocidade média (ou taxa média) como a razão entre a variação da distância percorrida e a variação do tempo passado. Considerando os elemento da questão 5, qual a taxa média da população em relação ao intervalo dado? A taxa é positiva ou negativa? Dê uma possível explicação para tal característica.

7. Considere como símbolo de uma taxa média. Utilizando a notação apresentada na questão 5, escreva em linguagem matemática uma expressão genérica para a taxa média populacional. 8. Compare a expressão de taxa média que você escreveu na questão anterior com As duas são equivalentes? Explique porque. 9. a) Considere a variável em um certo intervalo real e esboce um modelo gráfico genérico para representar geometricamente a expressão matemática (taxa média) da questão 8.

b) Observe o seu modelo gráfico (taxa média) do item a anterior e imagine diminuindo, e diminuindo cada vez mais. Esse movimento faz tender para o valor (complete), e diz-se que atingiu-se uma taxa instantânea T (chamada de velocidade ou variação instantânea ou derivada no ponto t). Então, escreva matematicamente a expressão da questão 8 incorporada com esse movimento do. c) Para uma tradicional função matemática, são símbolos da primeira derivada:, em que, nesse último símbolo, tem-se: no numerador a variável e no denominador a variável (complete). d) Escreva, para, os símbolos das derivadas segunda, terceira e quarta, utilizando as três notações do item c. e) Reescreva a resposta do item b) acima com esses símbolos de derivada.

10. Existem equações que envolvem uma função desconhecida e uma ou mais de suas derivadas. Essa equações são chamadas de Equações Diferenciais. Exemplos: Um tipo dessas equações bastante simples de serem resolvidas são as EQUAÇÕES DE VARIÁVEIS SEPARÁVEIS. Um exemplo seria a equação Para resolver esse tipo de equação devemos fazer como a própria classificação diz: separar as variáveis. Com os fatores de integração e separados pode-se integrar em ambos os membros da equação para obter-se a solução. a) Escreva abaixo os resultados das integrações do primeiro membro e do segundo membro. (OBS: lembre-se que são integrais não definidas, logo, há constante.) Observe que basta adicionar uma única constante C no segundo membro. A solução dependente da constante C, é chamada de SOLUÇÃO GERAL da. Toda Equação Diferencial, teoricamente, terá uma, que é o resultado da integral. A dificuldade no estudo de Equações Diferenciais reside na separação das variáveis ou na solução da integral.

b) Na solução geral do item a substitua C por -1, 0 e 1 para obter três curvas diferentes. Desenhe essas curvas no plano cartesiano abaixo. c) No item acima, cada curva representa uma situação diferente. Cada uma dessas curvas é uma SOLUÇÃO PARTICULAR da Equação Diferencial dada anteriormente. Acima temos apenas uma pequena parcela de uma família de curvas, as quais são soluções da equação. Vê-se que a constante C pode assumir infinitos valores e teremos os pontos do plano cartesiano pertencendo à alguma curva da família de uma dada Equação Diferencial. Em cada ponto temos um vetor tangente, devido à derivada presente na Equação Diferencial. Esse conjunto de vetores forma o chamado CAMPO DIREÇÃO, permitindo visualizar silhuetas ou formato gráfico das curvas da família, conforme o quadro gráfico a seguir.

d) No quadro anterior, esboce a curva para C = 0 e marque nela os pontos A (1, 1), B(2, 4), C(-1, 1) e D(-2, 4). e) Nos pontos do item d use a derivada para marcar os vetores do campo direção nesses quatro pontos dados. Quando quer-se determinar uma curva especifica, são dados valores para as variáveis, constituindo, assim, as chamadas CONDIÇÕES INICIAIS. O objetivo nesses caso é determinar um valor para a constante e escrever a solução particular substituindo o valor da constante encontrada. Para exemplificar essa ideia, determine a solução particular para as condições impostas abaixo, usando a solução geral encontrada em 10-a. i) Para x = 1 tem-se y = 2 ii). 11. Voltando ao exemplo do crescimento populacional, tem-se que o crescimento de uma população com o passar de um tempo obedece a lei de Malthus (1803). Onde P é a população, t, o tempo e K, a constante de proporcionalidade. Em linguagem verbal essa equação significa um fenômeno em que: a taxa de variação de uma população (P) com o passar de um tempo (t) é proporcional (k vezes) ao tamanho daquela população. Para resolver uma Equação Diferencial, tenta-se separar as variáveis. Há casos em que isso não será possível e recorre-se a outros processos. Mas, no caso:

a) Utilize o mesmo raciocínio da questão 10 para obter a solução geral dessa Equação Diferencial. b) Sabe-se que em um pote há inicialmente uma população de 10 000 bactérias. Após uma hora a quantidade de bactérias dobrou. Determine a solução particular para essa situação, usando o modelo populacional encontrado na questão 11-a.

c) Esboce o gráfico que representa a situação acima. d) Esboce, no mesmo sistema cartesiano do item c, mais duas curvas para uma mesma população inicial, admitindo valores para a quantidade de bactérias em tempo diferentes. Utilize o quadro abaixo para eventuais cálculos, caso necessário. e) Os gráficos do item d relatam o fenômeno de populações que crescem exponencialmente e de forma ilimitada, ao longo do tempo (expressado matematicamente pela lei de Malthus). Mas, é possível manter na vida real essa tendência por um tempo ilimitado? Explique. OBS: o biólogo Verhulst (1838) modificou a lei de Malthus, adaptando-a à realidade. Isso será abordado a frente.

AGORA, ALGUMAS QUESTÕES PROPOSTAS (Resolva-as em folha separada) 1) Inicialmente, vá em Stewart (6ª edição), página 363, e copie o Teorema Fundamental do Cálculo. 2) Usando o conceito de antiderivada e mostre que: a) (se precisar, consulte Stewart) b) c) 3) Use o Teorema Fundamental do Cálculo para resolver a integral Verifique, graficamente, se o resultado dessa integral pode ser interpretado como área. Escreva resumidamente, o que você sabe sobre o resultado numérico de uma integral e o conceito de área. (Se precisar, consulte Stewart) 4) Determine a solução geral (integral) de cada Equação Diferencial abaixo. a) (ver página 378, exemplo 4) b) (ver página 377, exemplo 1) (ver página 449, exemplo 3)

ATIVIDADE 2 Modelo Logístico Objetivos a) Retomar o modelo populacional apresentado na atividade 1 e introduzir um outro modelo mais realístico mas que também busca apoio nas Equações Diferenciais; b) Desafiar o estudante a resolver a Equação Diferencial logística; c) Mostrar que esse modelo exige um limite populacional e como determiná-lo; d) Representar graficamente esse modelo; e) Determinar uma solução particular que envolva esse modelo. Introdução Em torno de 1803, Malthus propôs a lei, que vimos anteriormente: uma população cresce ao longo do tempo a uma taxa proporcional à população em cada instante, que se traduz pela Equação Diferencial: Vimos que na vida real, esse modelo matemático não representa o fenômeno para um tempo muito longo. Em 1838, Verhulst propôs um modelo de crescimento populacional, que foi baseado em avaliações de estatísticas disponíveis e complementado pela teoria do crescimento exponencial, a qual considera os fatores de inibição de crescimento. A nova equação, chamada de equação logística, de acordo com o livro de Cálculo do Edward Penney, pode ter a forma:. Veja que é a equação de Malthus, ligeiramente alterada, isto é, multiplicada por um fator com função redutora: a diferença entre M (população suporte, limite ou limitante do crescimento) e P (população presente) tende a diminuir ao longo do tempo. O parâmetro M é um valor hipotético, um referencial assintótico, do qual a população tende a se aproximar, em situação normal.

1) A equação de Verhulst, acima, é uma Equação Diferencial. Resolva-a, encontrando a solução geral na forma.

2) Suponha uma população inicial P0 = 20, ou seja, quando t = 0 então P = 20. Encontre a solução particular escrevendo em função de k, M e t. 3) Considerando a questão 2, qual o resultado para? Interprete o resultado obtido.

4) Vamos construir o gráfico P x t referente a expressão P(t) determinada no item anterior. 5) Determine os pontos de inflexão do gráfico. Lembre-se que já é conhecida a expressão para.

6) Utilize o plano cartesiano abaixo para desenhar o esboço do gráfico P x t para t > 0. 7) Suponha que em 1885 a população de um certo país era de 50 milhões e estava crescendo à taxa de 750 000 pessoas por ano naquela época. Suponha também que em 1940 sua população era de 100 milhões e que crescia então à taxa de 1 milhão por ano. Assuma que esta população satisfaça a equação logística. Determine tanto a população limite M quanto a população prevista para o ano 2000.

ATIVIDADE 3 Lei do resfriamento/aquecimento de Newton Objetivos a) Apresentar o modelo da Lei de Resfriamento/Aquecimento de Newton e sua relação com as Equações Diferenciais; b) Retomar conceitos e símbolos matemáticos que servem de base para as Equações Diferenciais; c) Mostrar que a temperatura de um corpo tende à temperatura de um ambiente em que aquele é inserido, considerando o corpo a uma temperatura maior do que a do ambiente; d) Representar graficamente esse modelo; e) Determinar uma solução particular que envolva esse modelo; f) Desafiar a intuir os mesmo acontecimentos com um corpo a uma temperatura menor do que a do ambiente em que aquele é inserido. Introdução A terceira atividade procura desenvolver o entendimento da Lei de Newton do resfriamento/aquecimento de um corpo. Essa lei diz que: a taxa segundo qual a temperatura de um corpo varia é proporcional à diferença entre a temperatura do corpo e a temperatura do meio que o rodeia, denominada temperatura ambiente. Se representa a temperatura de um corpo no instante, a temperatura do meio que o rodeia e a taxa segundo a qual a temperatura do corpo varia, a lei de Newton do esfriamento/aquecimento é convertida na sentença matemática 1 1 ZILL, Dennis G., 2011, p.22.

1. Observe o fenômeno a seguir. Uma substância a uma temperatura T variando ao passar de um tempo t. a) Quais as varáveis do fenômeno descrito acima? b) Destas duas variáveis qual é a dependente e qual é a independente? Dependente: Independente: 2. A lei de Newton diz que: a velocidade de resfriamento/aquecimento da temperatura T de um corpo em função de um tempo t, colocado em um ambiente, é proporcional à diferença entre a temperatura T do corpo e do ambiente TA. a) Circule a(s) opção(ões) abaixo uma possível representação da velocidade (variação) de uma temperatura T em um tempo t? dt - dt b) Agora, escreva a Equação Diferencial que representa esse fenômeno descrito no início da questão 2 (lei de Newton). c) Com base na equação descrita acima, responda: (i) A temperatura ambiente influencia na mudança de temperatura de um corpo? (ii) O que acontece quando um corpo é inserido em um ambiente com uma temperatura diferente da sua?

3. Utilize o método de separação de variáveis e resolva a Equação Diferencial encontrada na questão 2-b, substituindo a temperatura ambiente por 25 C. 4. Suponha que um corpo tenha uma temperatura inicial igual a 37 C. Se após 1 minuto a temperatura passa a ser de 31 C, determine a solução particular. OBS: procure substituir os valores citados na solução geral determinada na questão 3.

5. Para a solução encontrada na questão 4, qual é o melhor gráfico que a representa? Justifique. Justificativa

6. Na questão 3 foi apresentada a matematização do resfriamento/aquecimento de um corpo. Com o valor do parâmetro k encontrado com a situação particular (equação 4) tem-se a equação Aponte o melhor gráfico que representa essa Equação Diferencial. Justificativa 7. Utilizando o mesmo raciocínio das questões 5 e 6, explique e faça esboços sobre o comportamento de um corpo que sua temperatura inicial fosse menor do que a temperatura ambiente.

ATIVIDADE 4 Estudo informatizado Em consonância com as atividades apresentadas nesse bloco de atividades, há um software denominado EDOCA Equações Diferenciais Ordinárias com Cálculo. Esse software foi construído com o objetivo de informatizar as atividades do bloco, agindo como suporte para estudos mais dinâmicos e que produzam respostas instantâneas. Na tela inicial é possível inserir o email do estudante e do professor para que as respostas das questões sejam enviadas para ambos. Assim como também há a possibilidade de que o estudante, ao finalizar o estudo, salve suas respostas na máquina em que estiver realizando as atividades.

Na guia arquivos, é possível transitar entre todas as questões de todas as atividades. Basta que uma questão de alguma atividade seja selecionada de acordo com a necessidade. A maioria das atividades concede um suporte teórico em que o estudante pode consultar sem perder a essência de uma atividade que testa os conhecimentos. O suporte teórico sempre aparece no lado direito da tela, enquanto que as questão estarão no lado esquerdo.

SOLUÇÕES DAS QUESTÕES DAS ATIVIDADES ATIVIDADE 1 1. a) dependente: P; independente: t. b) c) Uma variável dependente y está em função de uma variável independente x. Ou uma quantidade y varia de acordo com uma quantidade x. 2. a) No tempo t = 0 (inicial), a população é de 5600 habitantes. b) No tempo t = 4, a população é de 8000 habitantes. Ou após 4 anos, a população passou a ser de 8000 habitantes. 3. Não. Uma população não cresce ilimitadamente por vários motivos. Esses motivos podem ser desde limitações espaciais a limitadores biológicos como doenças. 4. Um possível gráfico é quando uma população por um determinado tempo cresce de maneira exponencial. Muitas populações antes de se depararem com algum limite crescem dessa maneira. Porém, isso não significa que seja o único gráfico ou um gráfico determinante para essa questão, já que uma população pode também ser representada de forma decrescente dependendo da situação. 5. e 6. Taxa média =. A taxa é negativa, logo isso significa que 7. nesse intervalo de tempo houve decrescimento do número de indivíduos dessa população. 8. Sim. Observa-se que. Logo,. Então, usando a notação descrita na questão7, tem-se, Logo, é possível verificar que as duas expressões são equivalentes se houve uma mudança de variável de para.

9. a) b) 0 (zero). c) Dependente. Independente. d) e) 10. a)... Equação Diferencial. Solução. b) d) e)

f) (i) ; (ii). 11. a), em que C e K são constantes reais. b) c) d) e) Não, pois existem fatores externos que influenciam no crescimento de uma população limitando-a de alguma maneira. Essa limitação pode ser dada pelo próprio espaço em que a população está localizada como conflitos entre outras populações (predador-presa).

ATIVIDADE 2 1., em que a, K e M são constantes. 2.. 3.. A constante M é o limite que uma população consegue atingir de acordo com a Teoria de Vehulst. 4. Como, então. Logo, o ponto de inflexão fica em. 5. 153,7 milhões de pessoas.

ATIVIDADE 3 1. a) Temperatura T e tempo t. b) Dependente: T e independente: t. 2. a) b), em que k é uma constante real. c) (i) sim. (ii) A temperatura do corpo tende a entrar em equilíbrio com a temperatura ambiente com o passar do tempo. 3., em que C é uma constante real. 4. 5. O primeiro gráfico retrata melhor a situação, pois a função é do tipo exponencial descente com limite inferior em T = 25 C. 6. O segundo gráfico retrata melhor a situação, pois a equação é do tipo linear em que -0,6931 é o coeficiente angular. 7.. Como a temperatura do corpo é menor do que a temperatura ambiente, a sua tendência é aquecer até atingir o equilíbrio entre as duas.

Como a velocidade de aquecimento do corpo depende da temperatura de forma diretamente proporcional, o gráfico é um segmento de reta crescente com ponto inicial na temperatura inicial do corpo e ponto final na temperatura ambiente.