Capítulo 149 Equação do momento 149-1
Capítulo 149- Equação do momento em canais abertos 149.1 Introdução Na hidráulica as equações básicas são: a) Conservação de massa...q= V.A b) Conservação de energia...e= z + y +α V2/2g c) Conservação do momento.. F=β.ρ.Q (V2-V1) Vamos considerar o volume de controle da Figura (149.1) conforme Subramanya, 2009. O volume de controle é fixado em um espaço ladeado pelas faces (1) e (2) e escolhemos os contornos do mesmo para facilitar os cálculos. Figura 149.1- Esquema para aplicação da equação do momento A somatória das forças agindo no volume de controle deverá ser igual a variação do momento. Não devemos esquecer que o momento é um vetor de quantidade. Assim teremos: F = F1 F2 F3 + F4 = M2 M1 149-2
Mas, M1= β1. ρq V1 que é o momento na entrada do volume de controle. e M2= β2. ρq V2que é o momento na saída do volume de controle. Nota: β geralmente é considerado igual a 1. A equação do momento segundo Subramanya, 2009 é particularmente uma ótima ferramenta na análise do movimentos rapidamente variados (RVF-Rapidly Varied Flow) em situações onde as perdas por energia são complexas e não podem ser facilmente estimadas. Segunda Lei de Newton F= m. a sendo: F= força (N/m2) m= massa (kg) a= aceleração ( m/s2) A aceleração a pode ser escrita: a= (V2- V1)/ t F= m. a F= m. (V2- V1)/ t F= (m/ t). (V2- V1) F= M=ρ.Q (V2-V1) ρ.q.v= momento= massa x velocidade 149-3
Exemplo 149.1 Calcular a força F que age sobre uma comporta móvel da Figura (149.2) usando a equação do momento. Figura 149.2- Descarga móvel Fonte: Subramanya, 2009 Primeiramente temos o volume de controle que é a linha (1) e (2). Aplicando o teorema do momento no volume de controle temos: Na seção (1) a altura é γ.y1 e a área do triângulo de altura y1 será: Base= γ.y1 Altura y1 Em um ponto qualquer da água temos P= γ. y Para o fundo temos PA= γ. y1 Area= γ.y1. y1/ 2= γ.y12/2 Portanto, teremos: γ.y12/2 - γ.y22/2 -F= ρ.q (V2-V1) Donde facilmente podemos achar o valor de F. 149-4
Exemplo 149.2 Usando a equação do momento achar a força FD que age sobre o bloco sendo que o ressalto está sobre a horizontal. Figura 149.3- Volume de controle do ressalto com o bloco Aplicando a equação do momento no volume de controle (1) e (2) temos: P1- FD P2 = M2- M1 γ.y12/2 FD - γ.y22/2 = ρ.q (V2-V1) Onde facilmente acharemos o valor de FD. 149-5
Exemplo 149.3 Seja o volume de controle em um ressalto hidráulico definido pelas seções (1) e (2). γ.y12/2 - γ.y22/2 = ρ.q (V2-V1) Facilmente chegaremos a equação conhecida: y1/y2 = 0,5 ( -1 + (1+8F12) 0,5) Sendo: F1= V1/(g.y1)0,5 Figura 149.4- Esquema de ressalto hidráulico em fundo plano Fonte: Subramanya, 2009 149-6
149.2 Aplicação a curvas pressurizadas em tubos Ver página 455 do livro Applied fluid mechanics de Robert L.Mott onde mostra que a equação do momento pode ser aplicada a condutos forçados e neste caso temos duas posições: x e y para aplicação da equaçao do momento. Exemplo 149.4 Calcular a força exercida por um tubo em curva de 90º com objetivo de manter o equilibrio.na Figura (149.5) e (149.6) temos uma curva de 90º. Figura 149.5- Curva de 90º Figura 149.6- Esquema das forças agindo sobre o volume de controle Aplicando a equação do momento em X e depois em Y. Fx= ρq(v2x-v1) V2x=0 Fx=- ρqv1 mas Fx= p1.a1 Rx 149-7
Fx= p1.a1 Rx= - ρqv1 Rx= p1.a1+ ρqv1 p1=550000 Pa ρ= 1000 kg/m3 A1= 8,213 x 10-3 m2 Q= 0,05m3/s V1= Q/A1= 6,09m/s ρqv1 = 1000 x 0,05 x 6,09= 305 kg.m/s2= 305 N p1.a1= 550000 x 8,213 x 10-3 = 4517 N Rx= p1.a1+ ρqv1 Rx= 4517+ 305= 4822 N Assim achamos Rx= 4822 N Para acharmos Ry façamos os calculos na direção Y. Ry= p2.a2+ ρqv2 Acharemos Ry= 4822 N As forças Rx e Ry serão usadas na ancoragem da curva de 90º. 149-8
Exemplo 149.5 Calcular a reação em X e Y sobre uma proteção em um jato de água sobre uma curva de 90º. O problema é semelhante ao anterior coma diferença p1.a1= p2.a2=0. 149-9
149.19 Bibliografia e livros consultados -CHANSON, HUBERT. The hydraulics of open channel flow: an introduction. 2a ed. 585 páginas. Elsevier, 2010 ISBN 978-0-7506-5978-9. -MOTT, ROBERT L. Applied fluid mechanics. 4a ed. 579 páginas, 1994, New York -SUBRAMANYA, K. Flow in open channels. 3a ed. Tata McGraw-Hill, New Delhi, 2009, 548 páginas, ISBN 0-07-069966-6. 149-10