Teste de Hipóteses Nos estudos analíticos, além da descrição estatística, às vezes é necessário tomar uma decisão. O teste de hipóteses é um procedimento estatístico que tem por objetivo ajudar o pesquisador, a tomar uma decisão em relação a uma população através da observação de uma amostra desta população. Por exemplo: Ao comparar os níveis de colesterol de pacientes tratados com duas drogas, é preciso descobrir qual dos dois fármacos é melhor no controle dos níveis de colesterol total. Teste de Hipóteses Vamos supor que nas três situações a seguir, foram observados dois grupos de pacientes que se submeteram a dois tipos de tratamento para controlar os níveis de colesterol total. Na situação 1 haveria diferença entre os níveis de colesterol dos pacientes com tratamento 1 em relação aos níveis de colesterol dos pacientes com tratamento, porem não seriam observadas diferenças nas respostas dos pacientes dentro de cada grupo Níveis de Colesterol Total Situação 1 Tratamento1 Tratamento 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 x 1 = 00 e s 1 = 0 x = 30 e s = 0 00 10 0 30 T 1 S 1 T S 1 Perante este resultado podemos pensar que os indivíduos que foram tratados com o tratamento 1 tem níveis de colesterol mais baixos do que os indivíduos que foram tratados com o tratamento. A diferença das médias amostrais é igual 30 (30 00), os desvios padrão: s 1 = s = 0, indica que realmente não há diferenças nas respostas dos pacientes dentro de cada grupo, os tratamentos tem efeito diferenciado no controle dos níveis de colesterol Se no lugar das amostras da situação 1, fossem observadas as amostras da situação, o que poderia ser levantado em relação aos efeitos dos tratamentos? Níveis de Colesterol Total Situação Tratamento1 Tratamento 00 01 198 00 195 04 00 199 00 01 197 00 0 00 03 05 199 00 00 196 8 30 3 31 33 7 33 30 30 6 30 30 8 3 30 34 6 30 35 5 x 1 = 00 e s 1 =,43 x = 30 e s =,73
Níveis de Colesterol Total Situação 190 00 10 0 30 40 T 1 S T S Observa-se agora uma pequena variabilidade dos níveis de colesterol em cada grupo, A diferença (30 00 = 30) entre os níveis médios de colesterol dos grupos permanecem Não se observam valores comuns as distribuições, neste caso também podemos pensar que há diferença entre os níveis de colesterol total dos tratamentos 1 e. Se agora fossem observadas as amostras da situação 3, o que poderia ser levantado neste ultimo caso em relação aos efeitos dos tratamentos? Níveis de Colesterol Total Situação 3 Tratamento1 Tratamento 150 50 80 10 00 04 196 110 90 30 170 30 195 180 06 176 160 190 198 176 196 30 198 330 04 180 80 60 176 150 30 30 45 6 19 50 31 9 36 10 x 1 = 00 e s 1 = 53,09 x = 30 e s = 44,35 será que agora é possível pensar que a diferença observada é devida a erros aleatórios do processo da amostragem ou devida a um efeito diferenciado dos tratamentos? Níveis de Colesterol Total Situação 3 100 150 00 50 300 350 T 1 S 3 T S 3 A pesar de continuar uma diferença de 30mmHg entre os níveis médios do colesterol total, resulta difícil agora, afirmar que os níveis de colesterol total apresentam distribuições diferentes para cada um dos tratamentos, pois elas podem assumir valores semelhantes. O pesquisador depara-se muitas vezes com situações como essa, nas quais as perguntas são formuladas como hipóteses : será que o efeito dos tratamentos é diferente?, os estudos são desenhados e conduzidos para gerar informações que permitam validar ou rejeitar estas hipóteses. O teste é aplicado para decidir se uma afirmação feita sobre um parâmetro da população pode ser aceita ou não, isto é, deseja-se saber se os dados observados suportam essa hipótese ou não.
Comparando dois Grupos Uma questão importante no trabalho de pesquisa na área de saúde é a comparação de tratamentos (drogas, tipos de cirurgias, dietas, procedimentos laboratoriais, etc). Deseja-se comparar se um tratamento novo em relação a um tratamento padrão ou em relação a um placebo é superior ou se eles são equivalentes. Os critérios para avaliar a superioridade ou maior eficiência ou a equivalência dos tratamentos deveram estar de acordo com os objetivos da pesquisa, por exemplo um tratamento pode ser considerado mais eficiente se o percentual de pacientes curados é maior ou se o tempo até a cura é menor, etc. Comparando dois Grupos A comparação entre dois tratamentos é realizada observando-se duas amostras, uma das quais recebe o tratamento padrão e o outro o novo tratamento. Neste tipo de comparação recomenda-se que os elementos que fazem parte da pesquisa sejam tão homogêneos quanto possível de modo que se for observada alguma diferença entre as médias das respostas, esta será devido a diferenças entre os tratamentos e não a diferenças entre os indivíduos as amostras. Resposta Contínua amostras independentes: Quando o objetivo de uma pesquisa é testar a hipótese de igualdade de médias populacionais, a estatística do teste é a diferença das médias amostrais. Sob o pressuposto de normalidade existem três situações para a distribuição da diferença entre médias amostrais. A primeira pressupõe que as variâncias são conhecidas, a segunda que as variâncias são iguais mais desconhecidas e a terceira situação é quando as variâncias são diferentes e desconhecidas. Resposta Contínua amostras independentes: Exemplo: Variável: Nível de Colesterol Grupos: I - Tratamento I Pressuposto: II - Tratamento I I Para utilizar este teste é necessário fazer as seguintes pressupostos: na população, a variável é normalmente distribuída na população as variância dos dois grupos são semelhantes. as amostras são independentes.
Resposta Contínua amostras independentes: Na segunda situação: variâncias iguais porem desconhecidas. Variável: Nível de Colesterol (Col) Grupos: I - Nível de Colesterol após o tratamento I II - Nível de Colesterol apos o tratamento II µ 1 : Média do Colesterol no tratamento I µ : Média do Colesterol no tratamento II Hipótese Estatísticas = µ trat e σ trat1 = σ trat =? vs H 1 µ trat Resposta Contínua amostras independentes: A estatística do teste será definida como a diferença amostral padronizada, que tem uma distribuição T de Student com (n 1 + n ) graus de liberdade: Estatística do Teste: Onde: n 1 tamanho de amostra do grupo I n tamanho de amostra do grupo II x1 média amostral do grupo I x média amostral do grupo II Rejeita-se : se t > t t = n + n 1 s x x 1 1 1 + p n 1 n ; α 1 e s p ( = n 1 s n1 1) 1 + n n + ( 1) s Distribuição T de Student A distribuição t de Student, desenvolvida por William Sealy Gosset, é uma distribuição de probabilidade teórica. É simétrica, semelhante à curva normal padrão, porém com caudas mais largas, ou seja, uma simulação da t de Student pode gerar valores mais extremos que uma simulação da normal. O único parâmetro v que a define e caracteriza a sua forma é o número de graus de liberdade. Quanto maior for esse parâmetro, mais próxima da normal ela será. Seja Z uma variável aleatória com distribuição Normal com média 0 e variância 1 e V uma variável aleatória com distribuição Chi-quadrado com v graus de liberdade. Z e V são variáveis independentes. Logo a razão t definida a seguir tem distribuição t de Student com v graus de liberdade. t = Z V v
use C:\data\sist_independente.dta.dta" = µ trat vs H 1 µ trat e σ trat1 = σ trati Classical test of hypotheses Group mean comparison test use C:\data\sist_independente.dta.dta". ttest situacao, by(tratamento) Two-sample t test with equal variances Group Obs Mean Std. Err. Std. Dev. [95% Conf. Interval] Trat1 0 00.548967.47908 198.8637 01.1363 Trat 0 30.61197.733804 8.705 31.795 combined 40 15.43558 15.40396 10.0736 19.964 diff -30.817570-31.65508-8.3449 diff = mean(trat1) - mean(trat) t = -36.6941 Ho: diff = 0 degrees of freedom = 38 Ha: diff < 0 Ha: diff!= 0 Ha: diff > 0 Pr(T < t) = 0.0000 Pr( T > t ) = 0.0000 Pr(T > t) = 1.0000 H 1 < µ trat H 1 µ trat H 1 > µ trat Classical test of hypotheses = µ trat e σ trat1 = σ trati. ttest situacao3, by(tratamento) Group mean comparison test vs H 1 µ trat Two-sample t test with equal variances Group Obs Mean Std. Err. Std. Dev. [95% Conf. Interval] Trat1 0 00 11.8713 53.09376 175.1514 4.8486 Trat 0 30 9.91704 44.3508 09.434 50.7566 combined 40 15 8.003685 50.61975 198.811 31.189 diff -30 15.46915-61.31567 1.315666 diff = mean(trat1) - mean(trat) t = -1.9393 Ho: diff = 0 degrees of freedom = 38 Ha: diff < 0 Ha: diff!= 0 Ha: diff > 0 Pr(T < t) = 0.0300 Pr( T > t ) = 0.0599 Pr(T > t) = 0.9700
Distribuição F Também denominada distribuição F de Snedecor ou distribuição Fisher-Snedecor, encontra aplicações em alguns testes estatísticos. Consideram-se as variáveis aleatórias U e V tais que U e V são independentes. U tem distribuição χ com α graus de liberdade. V tem distribuição χ com β graus de liberdade. Define-se uma nova variável aleatória X tal que X = (U / α) / (V / β) Então X é dita ter distribuição F com α e β graus de liberdade ou X ~F(α, β). A Figura 01 dá curvas aproximadas das funções de distribuição acumulada e de densidade de probabilidades para α = 5 e β = Média da distribuição F: E(X) = β se β > β Variância da distribuição F: Var(X) = β ( α + β ) α( β ) ( β 4) Fonte:http://www.mspc.eng.br/matm/prob_est358.shtml Algumas propriedades 01) Se X tem distribuição t-student com ν graus de liberdade, então X ~F(1, ν). 03) Sejam as seguintes amostras: X 1, X,..., X m de uma população com distribuição normal de média µ 1 e variância σ 1. Y 1, Y,..., Y n de uma população com distribuição normal de média µ e variância σ. As variâncias das amostras são: ( ) ( ) x = i x S y = i y 1 S m 1 n 1 Então a variável definida por Z = s 1 / s tem distribuição F com m e n graus de liberdade. Esta propriedade pode ser usada para testar a igualdade de variância entre as duas populações. use C:\data\sist_independente.dta.dta" Classical test of hypotheses Group variance comparison test
use C:\data\sist_independente.dta.dta" : σ trat1 = σ trat vs H 1 : σ trat1 σ trat Classical test of hypotheses Group variance comparison test. sdtest situacao, by(tratamento) Variance ratio test Group Obs Mean Std. Err. Std. Dev. [95% Conf. Interval] Trat1 0 00.548967.47908 198.8637 01.1363 Trat 0 30.61197.733804 8.705 31.795 combined 40 15.43558 15.40396 10.0736 19.964 ratio = sd(trat1) / sd(trat) f = 0.7887 Ho: ratio = 1 degrees of freedom = 19, 19 Ha: ratio < 1 Ha: ratio!= 1 Ha: ratio > 1 Pr(F < f) = 0.3051 *Pr(F < f) = 0.6101 Pr(F > f) = 0.6949. sdtest situacao3, by(tratamento) Variance ratio test Group Obs Mean Std. Err. Std. Dev. [95% Conf. Interval] Trat1 0 00 11.8713 53.09376 175.1514 4.8486 Trat 0 30 9.91704 44.3508 09.434 50.7566 combined 40 15 8.003685 50.61975 198.811 31.189 ratio = sd(trat1) / sd(trat) f = 1.433 Ho: ratio = 1 degrees of freedom = 19, 19 Ha: ratio < 1 Ha: ratio!= 1 Ha: ratio > 1 Pr(F < f) = 0.7800 *Pr(F > f) = 0.4401 Pr(F > f) = 0.00. Resposta Contínua amostras pareadas: Algumas pesquisas nas quais se deseja investigar a eficácia de um tratamento ou de um procedimento experimental, fazem uso de observações relacionadas obtidas a partir de amostras dependentes. A finalidade seria a de eliminar fontes externas de variação, de modo que os elementos relacionados sejam semelhantes em relação a diversas características, e que as diferenças observadas na variável de interesse sejam devido exclusivamente a diferenças nos tratamentos aplicados e não a fatores externos. As observações relacionadas podem ser: medidas das mesmas entidades separadas no tempo (tipo antes e depois), ou de entidades relacionadas (Pareadas segundo algumas características tipo: sexo, idade, condição socioeconômica, etc.). Resposta Contínua amostras pareadas: Compara grupos de medidas de uma resposta contínua Duas medidas das mesmas entidades, separadas no tempo (tipo antes e depois), ou de entidades relacionadas (Pareadas). Exemplo: Pressão sistólica em mmhg em 10 mulheres que não usavam Contraceptivo Oral (OC) no início da pesquisa e quando usavam OC (seguimento). Variáveis: Pressão Arterial Sistólica Grupos: I - PAS antes do tratamento II - PAS apos o tratamento com lisinopril µ 1 : Média da PAS no grupo I µ : Média da PAS no grupo II
6.6 Resposta Contínua amostras pareadas: Hipótese Estatísticas : µ 1 = µ vs H A : µ 1 µ ou : = 0 vs H A : 0, onde = µ 1 - µ d 0 d Estatística do Teste: T = = p sd sd n n Distribuição da estatistica T p : T p ~ t (n-1) Rejeita-se : se T p t (n-1, 1-α/) ** t (n-1, 1-α/) é o percentil de orden 1-α/ da distribuição T de Student com n-1 graus de liberdade Exemplo: Pressão sistólica em mmhg em 10 mulheres que não usavam OC (início) e quando usavam OC (seguimento). Pressupostos: assume-se que a distribuição da PAS (pressão arterial sistólica) da i-ésima mulher possui distribuição normal com média µ i e variância σ e a média da PAS no seguimento é µ i + e variância σ. Assume-se que a diferença média na PAS entre o seguimento e o início é = µ antes - µ depois. Se = 0 não há diferença Se > 0 OC esta'associado com aumento da PAS Se < 0 OC está associado com decréscimo da PAS. A hipótese que está sendo testada é: H0: = 0 (H0: µ antes = µ depois ) contra H1: 0 (H1: µ antes µ depois ) Exemplo: Pressão sistólica em mmhg em 10 mulheres que não usavam OC (início) e quando usavam OC (seguimento). use C:\data\sist_pareado.dta" pac Antes Depois di (di-d) 1 115 18 13 67.4 11 115 3 3.4 3 107 106-1 33.64 4 119 18 9 17.64 5 115 1 7 4.84 6 138 145 7 4.84 7 16 13 6 1.44 8 105 109 4 0.64 9 104 10-46.4 10 115 117 7.84 Total 1156 104 48 187.6 Media dos desvios = 48/10 = 4,8 Desvio Padrão: s d = 187,6 9 = 0.8444 = 4,566 Classical test of hypotheses Mean comparisson tests paired data Valor de referencia para a dist. T, com 9 (10-1) graus de liberdade t(9) =,6 T p 4,80 0 = = 3,3 4,566 10 T p > t ( 9) =,6
Classical test of hypotheses Mean comparisson tests paired data Testes Não Paramétricos: Obs: signrank: Usa o teste de Wilcoxon para dados pareados neste caso : as distribuições são as mesmas. ttest antes == depois Paired t test Variable Obs Mean Std. Err. Std. Dev. [95% Conf. Interval] antes 10 115.6 3.59857 10.30857 108.57 1.9743 depois 10 10.4 4.18503 13.64 110.9385 19.8615 diff 10-4.8 1.443761 4.56557-8.066013-1.533987 mean(diff) = mean(antes - depois) t = -3.347 Ho: mean(diff) = 0 degrees of freedom = 9 Ha: mean(diff) < 0 Ha: mean(diff)!= 0 Ha: mean(diff) > 0 Pr(T < t) = 0.0044 Pr( T > t ) = 0.0089 Pr(T > t) = 0.9956 signtest: Usa o teste do sinal para dados pareados neste caso calcula as diferenças entre var1 e var e : mediana das diferenças é zero ou se a proporção de valores negativos é igual a proporção de valores positivos ranksum Usa o teste de Wilcoxon soma dos postos e neste caso : as duas amostras independentes são de populações com a mesma distribuição - este teste é equivalente ao teste de Mann-Whitney Análise de Variância de um Fator: use C:\data\ascorvic.dta" opção ONE-WAY analysis of variaance ANOVA & MANOVA One-way analysys of variance Esta opção do Stata permite obter: a tabela contendo as médias, os desvios padrões e o número de observações de cada grupo a tabela de análise de variância o teste de Bartlett para testar a igualdade das variâncias dos grupos o teste de Bonferroni para comparar as medias dos grupos
. oneway aac pm, tabulate bonf Summary of aac pm Mean Std. Dev. Freq. ------------+------------------------------------ 1 17.15149.1307777 7 19.31148.91815799 7 3 3.53 1.9436904 7 ------------+------------------------------------ Total 19.997619 3.1805078 1 Analysis of Variance Source SS df MS F Prob > F ------------------------------------------------------------------------ Between groups 147.34563 73.67816 4.13 0.0000 Within groups 54.9669604 18 3.053700 ------------------------------------------------------------------------ Total 0.31593 0 10.115696 Comparison of aac by pm (Bonferroni) Row Mean- Col Mean 1 --------- ----------------------.16 0.098 3 6.37857 4.1857 0.000 0.001 ***gráfico das médias dos grupos e seus intervalos de confiança elaborar este gráfico executando o comando:. civplot aac, by( pm) 5 é possível Bartlett's test for equal variances: chi() = 3.7858 Prob>chi = 0.151 Mean aac by pm level 0 15 1 1.5.5 3 pm Ensaio Clínico Forma grupos de Tratamento e compara a ocorrência do desfecho Presente Futuro Tratamento A P = Prop. Enjôo =? Variável categórica com amostras independentes Objetivo: Comparar eficácia de dois Tratamentos preventivos contra náusea. Desenho: Ensaio clínico Amostra: 400 marinheiros, dividida aleatoriamente em dois grupos de 00 marinheiros cada. Grupo I: recebeu a pílula A, destes 48 enjoaram. Grupo II: recebeu a pílula B, destes 68 enjoaram. Tratamento B : p A H A : p A = p B p B
Exemplo 6.6: Comparação de Drogas contra náusea Há indicaçõ ções de que a eficácia cia das pílulas p A e B é a mesma? Sejam: p A = Proporção de marinheiros que recebeu a pílula A e que enjoaram p B = Proporção de marinheiros que recebeu a pílula B e que enjoaram Hipóteses Estatísticas: : p A = p B vs. H A : p A p B Grupos A B Amostra toda Proporção de Enjôo 48 pˆ = = 0,4 A 00 68 pˆ = = 0,34 B 00 48 + 68 pˆ = = 0,9 C 400 Tables Two-ways tables with measures of association. use c:\data\enjoo.dta. tab tratamento enjoo, row chi Enjoo? Grupos Nao Sim Total -----------+----------------------+---------- A 15 48 00 76.00 4.00 100.00 -----------+----------------------+---------- B 13 68 00 66.00 34.00 100.00 -----------+----------------------+---------- Total 84 116 400 71.00 9.00 100.00 Pearson chi(1) = 4.8567 Pr = 0.08 Há indicações de que a pílula A oferece maior proteção contra náusea comparada com a pílula B