Resolução dos exemplos da apostila Capítulo 5 - Teste de Hipóteses

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1 Resolução dos exemplos da apostila Capítulo 5 - Teste de Hipóteses Exemplo 5.1 Imagine que seu amigo José lhe diga o seguinte: Possuo em meu bolso do paletó 16 bolas de gude, sendo que 10 bolas são brancas, 4 são verdes e 2 são amarelas. Se a afirmação de João é verdadeira, temos o seguinte conjunto em seu bolso. > bolas <- c(rep("branca", 10), rep("verde", 4), rep("amarela", 2)) > bolas [1] "branca" "branca" "branca" "branca" "branca" "branca" "branca" [8] "branca" "branca" "branca" "verde" "verde" "verde" "verde" [15] "amarela" "amarela" Sorteando uma amostra de tamanho n = 2 do bolso de João. > sample(bolas,2) [1] "verde" "branca" Com base na amostra, testar hipóteses. H0 : João está falando a verdade H1 : João está mentindo Caso H0 seja verdadeira, estas serão todas as amostras possíveis de tamanho 2 > amostras <- combn(bolas, 2) Verifique as chances das amostras. > table(paste(amostras[1, ], amostras[2, ], sep = "-")) amarela-amarela branca-amarela branca-branca branca-verde verde-amarela verde-verde As probabilidades das combinações são: > prop.table(table(paste(amostras[1, ], amostras[2, ], sep = "-"))) amarela-amarela branca-amarela branca-branca branca-verde verde-amarela verde-verde Exemplo 5.2 Sabemos que a variável(x) altura dos alunos da Universidade A, local A, segue uma distribuição normal com altura média de 171cm e desvio-padrão de 9cm. Se recebermos de uma origem desconhecida, local B, numa amostra de 27 alunos, poderíamos decidir se essa amostra foi retirada da universidade A, ou se o local B possui a mesma média do local A? Nessa amostra, a média observada foi Tabela 1: Amostra de alturas de 27 alunos Hipóteses a serem testadas Distribuição Amostral do Estimador O estimador para a média populacional é a média amostral X. A distribuição da média amostral é dada por : > curve(dnorm(x, 171, 9/sqrt(27)), 164, 178, xlab = "xbarra")

2 A estimativa do parâmetro por. > xbarra <- mean(ex5.2$x) > xbarra [1] 167 Fixar um valor para o nível de significância e obter a estatística de teste do Parâmetro por meio da Estatística do Teste Fixando um nível de significância de 1%. > nivsig < > nivsig [1] 0.01 A estatística de teste observada. > zobs <- ( )/(9/sqrt(27)) > zobs [1] Construir a Região Crítica(RC) com base na Hipótese Alternativa e no valor de α e estabelecer a Regra de Decisão(RD) O valor crítico para a estatística de teste. > zcrit <- qnorm(0.01) > zcrit [1] A região crítica é constituída pelo intervalo RC=(-, ). Concluir o Teste: Se a Estimativa do Parâmetro pertencer à Região Crítica, rejeitamos a Hipótese Nula. Caso contrário, não. Então a decisão é não rejeitar a hipótese Nula H 0 : µ = 171 em favor da alternativa H 1 : µ < 171. O Nível Descritivo (P-valor) Qual seria a probabilidade da região crítica determinada por z obs em vez de z crit. > pnorm(zobs) [1]

3 Regra de Decisão(RD) com base na unidade original dos dados (cm). zcrit <- qnorm(0.05) xcrit=171+zcrit*9/ sqrt(27) Exercício: * Refaça o exemplo com os níveis de significância α = 0,1 e α = 0,5. * Refaça o exemplo com a hipótese alternativa H 1 : µ 171 Exemplo 5.3 Uma máquina que enche pacotes de café de uma marca X deve completá-los, em média, com no mínimo 500g. Se coletássemos de uma amostra aleatória de tamanho 16, a fim de verificarmos se a máquina se encontra regulada, e obtivéssemos uma média igual a 495g e desvio padrão de 5g, seria plausível concluirmos que a média é menor que 500g, ou seja, a máquina se encontra regulada? sacas<c(498.8,503.1,497.6,491.6,499.3,491.3,499.8,492.1,498.1,493.2,487.2,489.8,495.8,498.2,498.8,485.7) Estabelecer as Hipóteses Nula e Alternativa Identificar a Distribuição Amostral associada ao Estimador e obter a Estimativa do Parâmetro; Distribuição amostral A estimativa do parâmetro. > xbarra <- mean(sacas) > xbarra [1] A estimativa para a variância que, neste exemplo é desconhecida. > s <- sd(sacas) > s [1] O tamanho da amostra > n <- length(sacas) > n [1] 16 Fixar um valor para o Nível de Significância(α) e obter a estatística de teste do parâmetro por meio da Estatística do Teste > nivsig < A estatística do teste neste caso é : > tcalc <- (xbarra - 500)/(s/sqrt(n)) > tcalc [1] Construir a Região Crítica(RC) com base na hipótese alternativa e no valor de α > tcrit <- qt(nivsig, n - 1) > tcrit [1]

4 A região crítica é constituída pelo intervalo RC=(-, ). Concluir o Teste: Se a Estimativa do Parâmetro pertencer à Região Crítica, rejeitamos a Hipótese Nula. Caso contrário, não. Então a decisão é rejeitar a hipótese Nula H 0 : µ = 500 em favor da alternativa H 1 : µ < 500. Alternativamente: t.test(sacas-500,alternative="less") One Sample t-test data: sacas t = , df = 15, p-value = alternative hypothesis: true mean is less than 0 -Inf mean of x Exemplo 5.4 Neste exemplo vamos comparar o ganho de peso de dois grupos independentes de animais. O primeiro recebeu a ração A, enquanto o segundo recebeu a ração B. A Ração A foi administrada em 8 animais (n A ) e observou-se uma média de 3,12 Kg e uma variância amostral de 0,15 Kg 2. Já na Ração B, obtivemos X B = 3,05 e variância amostral igual a 0,11Kg 2 para n B = 10. Caso 1: n A = 8, x A = 3.12, sa 2 = Caso 2: n B = 10, x B = 3.05, sb 2 = As amostras coletadas retornaram os valores: > xa <- c(3.4, 2.99, 3.21, 3.07, 3.01, 3.27, 3.23, 3.02) > xa [1] >xb <- c(2.82, 3.16, 2.98, 3.04, 3.15, 3.20, 3.00, 3.01, 3.08, 3.06) > xb [1] Neste exemplo, as variâncias dos ganhos de peso são desconhecidas na população. Por isto, vamos testar a hipótese de igualdade entre as variâncias contra a alternativa de que estas são diferentes, ou seja : > var.test(xa, xb, conf.level = 0.95, alternative = "greater") F test to compare two variances data: xa and xb F = , num df = 7, denom df = 9, p-value = alternative hypothesis: true ratio of variances is greater than 1

5 Inf ratio of variances Considerando-se a igualdade das variâncias(σ A 2 = σb 2 ), vamos testar a igualdade entre as médias. Para este teste, o nível de significância será fixado em α = 0,05. > t.test(xa, xb, conf = 0.95, var.equal = T, alternative = "two.sided") Two Sample t-test data: xa and xb t = , df = 16, p-value = alternative hypothesis: true difference in means is not equal to mean of x mean of y Exemplo 5.5 Um experimento com o objetivo de verificar a resistência(kgf) de dois tipos de concreto foi realizado. Os dados são os seguintes: > conc1 <- c(101.2, 102, 100.8, 102.3, 101.6) > conc1 [1] > conc2 <- c(100, 102.8, 101.5, 99, 102) > conc2 [1] Neste teste, o objetivo é comparar a diferença entre as resistências dos concretos. Para entender melhor a direção desta diferença, se porventura existir, vamos calcular algumas estatísticas descritivas. Resistências médias dos diferentes concretos. > mean(conc1) [1] > mean(conc2) [1] Variância das resistências na amostra. > var(conc1) [1] > var(conc2) [1] 2.368

6 Teste para a igualdade entre as variâncias. > var.test(conc2, conc1,alternative="greater") F test to compare two variances data: conc2 and conc1 F = , num df = 4, denom df = 4, p-value = alternative hypothesis: true ratio of variances is greater than Inf ratio of variances Teste para igualdade entre médias, considerando as variâncias diferentes. H µ > µ 1 : Conc1 Conc 2 > t.test(conc1, conc2, alternative = "greater") Welch Two Sample t-test data: conc1 and conc2 t = , df = 5.195, p-value = alternative hypothesis: true difference in means is greater than Inf mean of x mean of y Exemplo 5.6 Um novo medicamento está sendo pesquisado com o intuito de diminuir a pressão sistólica em indivíduos hipertensos. Dez pacientes voluntários submeteram-se ao tratamento que consistia em medir a pressão antes e após 6 meses da administração do medicamento. > antes <- c(179, 200, 161, 170, 181, 190, 202, 220, 195, 165) > depois <- c(160, 180, 161, 180, 165, 170, 196, 216, 170, 160) > t.test(antes - depois) One Sample t-test data: antes - depois t = , df = 9, p-value = alternative hypothesis: true mean is not equal to mean of x 10.5 Alternativamente,

7 > t.test(antes, depois, paired = T) Paired t-test data: antes and depois t = , df = 9, p-value = alternative hypothesis: true difference in means is not equal to mean of the differences 10.5 Comentários Adicionais: As informações exibidas no resultado do teste t de Student podem ser armazenadas para uso posterior. No mesmo teste aplicado neste exemplo, vamos armazenar as informações em um objeto que chamaremos infot. > infot <- t.test(antes, depois, paired = T) Para verificar quais informações estão armazenadas neste objeto, > names(infot) [1] "statistic" "parameter" "p.value" "conf.int" "estimate" [6] "null.value" "alternative" "method" "data.name" Para recuperar uma informação digitamos o nome do objeto de armazenamento seguido de $ e o nome da informação. Por exemplo, se queremos exclusivamente o P-valor, > infot$p.value [1] Exemplo 5.7 Um candidato A a reitor da UFPR afirma que 57% dos professores irão votar nele na próxima eleição. O candidato B, desconfiado deste percentual, resolveu encomendar uma pesquisa de intenção de votos para verificar a autenticidade dessa afirmação. Após a coleta de uma amostra aleatória de n = 200 professores, constatou-se que k = 95 tinham intenção de votar no candidato A. Vamos resumir os dados das intenções de votos dos professores da UFPR. > voto<-c(rep(1,95),rep(0,105)) reitor A: 95 B:105 Hipóteses Distribuição amostral e estatística de teste Distribuição amostral sob uma perspectiva otimista TESTE: t.test(voto-.57) One Sample t-test data: voto t = , df = 199, p-value = alternative hypothesis: true mean is not equal to 0

8 mean of x > pchap <- 95/200 > var.ot <- pchap * (1 - pchap)/200 > var.con <- 0.5 * (0.5)/200 > curve(dnorm(x, 0.57, sqrt(var.ot)), 0.3, 0.8, xlab = "pchapeu") Nível de significância e estatística de teste na amostra Nível de significância. > nivsig < Estatística de teste calculada na amostra. > zcalc = (pchap )/(sqrt(var.ot)) > zcalc [1] Região crítica Limite superior da região crítica. > qnorm(nivsig) [1] A região crítica neste caso é fornecida pelo intervalo RC=(-, ). Conclusão do Teste z calc RC, logo há evidência para rejeitar a afirmação do reitor A. Exemplo 5.10 Renda e número de filhos por família em uma cidade. > zero <- c(15, 8, 25) > um <- c(27, 13, 30) > dois <- c(50, 9, 12) > mais <- c(43, 10, 8) > tab5.13 <- data.frame(zero, um, dois, mais) > tab5.13 zero um dois mais > chisq.test(tab5.13)

9 Pearson's Chi-squared test data: tab5.13 X-squared = , df = 6, p-value = 2.087e-06 P( ,62) = > round(1 - pchisq( , 6)) [1] 0 P = 0,000 < α = 0,05.