O poder da ANOVA e da igualdade de variância

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1 O poder da ANOVA e da igualdade de variância Por Marcelo Rivas Fernandes A ANOVA e o Teste de Iguldade de Variância são tão imprescindíveis para a estatística inferencial, quanto a média e o desvio padrão são para a estatística descritiva! Os cursos de Green Belts e Black Belts que ministro são compostos por entrevistas que tem por objetivo auxiliar aos participantes no desenvolvimento de um Projeto Seis Sigma, seja para conduzí-los à uma correta definição do escopo do projeto ou para identificar algumas ferramentas estatísticas importantes que não estão sendo utilizadas no projeto. Durante as fases de tratamento da coleta de dados amostrais, observamos uma tendência natural de sintetização de informações demonstrando basicamente a média e o desvio padrão das amostras selecionadas dos processos. Isso nos leva a pensar na seguinte pergunta: Qual a finalidade da estatística? Descrever o comportamento dos dados coletados através de um grupo de amostras ou utilizar o resultado do comportamento desses dados amostrais para prever o comportamento do processo global doravante? Não faz sentido desenvolvermos análises de acontecimentos passados ao menos que também utilizemos tais informações para conhecermos o futuro! A estatística descritiva utiliza dados históricos para entregar ao investigador as medidas de posição, dispersão e forma, tais como média, mediana, moda, variância, desvio padrão e o tipo de distribuição dos dados selecionados de uma amostra. Já a estatística inferencial utiliza o conceito de probabilidade onde através de ferramentas poderosas como testes de hipóteses e DOE, atribuem um risco do processo seguir o comportamento resultante da amostra OU NÃO. Esta é a verdadeira finalidade da estatística! Na fase analisar, entre as ferramentas de testes de hipóteses existentes citamos duas consideradas de alto potencial para identificar a igualdade entre médias e a igualdade entre a variância de um processo: A ANOVA e o Teste de Variância. O exemplo abaixo analisado através do MINITAB demonstra o grau de importância dessas ferramentas: Vamos supor que uma empresa engarrafadora de cerveja esteja recebendo muitas reclamações dos seus clientes alegando que o volume contido na garrafa está menor que a especificação. Para isso, uma equipe de projeto decidiu analisar alguns fatores com o objetivo de reduzir essa variabilidade. O processo requer que sejam envazadas garrafas de cerveja de ml com tolerância variando em 5%. [585<>615]. O processo roda com três máquinas engarrafadoras e dois operadores trabalhando em dois turnos. A figura 1 demonstra a formatação para uma amostra com 60 observações.

2 Figura 1 A estatística descritiva dos dados coletados demonstra resumidamente o que está na figura 2. Summary for ml A nderson-darling Normality Test A -Squared 0,72 P-V alue 0,058 Mean 597,88 StDev 17,33 V ariance 300,44 Skew ness 0, Kurtosis -0, N 60 Minimum 564,20 1st Q uartile 586,87 Median 595,67 3rd Q uartile 611,82 Maximum 639,18 95% C onfidence Interv al for Mean 593,40 602,36 95% C onfidence Interv al for Median 593,34 597,56 95% Confidence Intervals 95% C onfidence Interv al for StDev 14,69 21,14 Mean Median Que as 60 observações possuem uma média de envazamento de 597,88 ml com um desvio padrão de 17,33. Existem envazamentos mínimos de 564,20 ml comprovando através da amostra a constatação da reclamação dos clientes. Porém, necessitamos inferir estatísticamente que o processo como um todo, e não apenas um caso isolado, está entregando envazamentos fora da especificação e apurar qual o fator que está impactando nesta baixa performance.

3 Máquinas Temos três fatores importantes que, individualmente ou em conjunto, poderão estar influenciando negativamente neste processo: Máquinas, Turnos e Operadores. Vamos analisar a capacidade do processo, o teste de igualdade de variância e de médias (ANOVA) para cada um dos subgrupos de cada fator objetivando identificar se as variações e médias dos subgrupos são similares ou diferentes: Se o valor de p for maior do que alfa (atribuíndo 0,05 para IC de 95%) diremos que não há diferenças entre variação e média do subgrupo analisado. Se o valor de p for menor do que alfa, existirá um fator importante para ser investigado. A formulação das hipóteses para os testes será então: H0: subgrupo não possui diferença significativa (Hipótese nula) Ha: subgrupo possui diferença significativa (Hipótese alternativa) a) Para o fator Máquina e subgrupo 1,2 e 3 teremos a seguinte capacidade do processo (Figura 3). Process Capability of ml Process Data LSL 585 Target * U SL 615 Sample Mean 597,88 Sample N 60 StDev (Within) 16,457 StDev (O verall) 17,3332 LSL USL Within Overall Potential (Within) C apability Z.Bench 0,34 Z.LSL 0,78 Z.USL 1,04 C pk 0,26 O verall Capability Z.Bench 0,28 Z.LSL 0,74 Z.USL 0,99 Ppk 0,25 C pm * O bserved Performance PPM < LSL ,33 PPM > USL ,00 PPM Total ,33 Exp. Within Performance PPM < LSL ,95 PPM > USL ,23 PPM Total ,18 Exp. O verall Performance PPM < LSL ,19 PPM > USL ,65 PPM Total ,84 Figura 3 Observamos que o desempenho global das máquinas 1,2 e 3 entregam PPM em defeito e que existe(m) alguma(s) máquina(s) entregando PPM em defeito, portanto, menor quantidade de defeitos em relação à(s) outra(s). Há uma oportunidade de melhoria no processo. Mas o quanto ela serásuficiente? Vamos aos testes de hipóteses na figura 4. Test for Equal Variances for ml Máquina 1 Bartlett's Test Test Statistic 1,20 P-Value 0,548 Levene's Test Test Statistic 0,30 P-Value 0,742 Máquina 2 Máquina % Bonferroni Confidence Intervals for StDevs Figura 4

4 ml O teste de variância Bartlett (dados normais) demonstra um valor de p maior que 0,05 nos conduzindo a formulação da hipótese nula mencionada acima (H0: não existe diferença significativa entre as variações da máquina 1,2 e 3) embora observamos, graficamente, que há uma oportunidade de melhoria do processo a ser feita na máquina 1 que tem a maior dispersão. Vamos agora observar se existe diferença entre as médias das máquinas (figuras 5 e 6). Process Capability of ml Process Data LSL 585 Target * U SL 615 Sample Mean 597,88 Sample N 60 StDev (Within) 15,9191 StDev (O verall) 17,3332 LSL USL Figura 6 Within Overall Potential (Within) C apability Z.Bench 0,38 Z.LSL 0,81 Z.USL 1,08 C pk 0,27 O v erall C apability Z.Bench 0,28 Z.LSL 0,74 Z.USL 0,99 Ppk 0,25 C pm * O bserv ed Performance PPM < LSL ,33 PPM > USL ,00 PPM Total ,33 Exp. Within Performance PPM < LSL ,82 PPM > USL ,43 PPM Total ,25 Exp. O v erall Performance PPM < LSL ,19 PPM > USL ,65 PPM Total ,84 Figura 5 Boxplot of ml Máquina 1 Máquina 2 Máquinas Máquina 3 One-way ANOVA: ml versus Máquinas Source DF SS MS F P Máquinas ,51 0,015 Error Total S = 16,38 R-Sq = 13,67% R-Sq(adj) = 10,64% Individual 95% CIs For Mean Based on Pooled StDev Level N Mean StDev Máquina ,10 18,71 ( * ) Máquina ,00 15,20 ( * ) Máquina ,54 14,97 ( * ) ,0 592,0,0 608,0

5 ml Turnos Turnos Como podemos observar no resultado da ANOVA, o valor de p está menor do que 0,05 nos conduzindo a formulação da hipótese alternativa (Ha: Existe diferença significativa entre as médias da máquina 1, 2 e 3), constatando realmente a necessidade de ajustes das médias no subgrupo máquina, o que poderá ser talvez uma calibração de instrumento de nível, principalmente da máquina 2. Vamos analisar o fator Turno: b) Para o fator Turno e subgrupo Manhã e Tarde teremos a seguinte capacidade do processo (Figura 7) Este fator está entregando em um dos turnos PPM em defeitos, uma menor entrega de defeitos, o que poderá não requerer uma melhoria necessária nos subgrupos deste fator. Vamos aos testes de hipóteses (figuras 8, 9 e 10). Test for Equal Variances for ml Manhã Tarde F-Test Test Statistic 0,85 P-Value 0,662 Levene's Test Test Statistic 0,06 P-Value 0, % Bonferroni Confidence Intervals for StDevs 26 Manhã Tarde ml Boxplot of ml Manhã Turnos Tarde One-way ANOVA: ml versus Turnos Source DF SS MS F P Turnos ,28 0,136 Error Total S = 17,15 R-Sq = 3,78% R-Sq(adj) = 2,12% Individual 95% CIs For Mean Based on Pooled StDev Level N Mean StDev Manhã ,22 16,43 ( * ) Tarde ,54 17,84 ( * ) ,0 595,0,0 605,0

6 Operadores Operadores Os resultados dos testes para o fator Turno comprovam valores de p maior do que 0,05 para variâncias = 0,662 e médias = 0,136 dos subgrupos Manhã e Tarde conduzindo à formulação da hipótese nula (H0: Não existe diferença significativa para a variação e média entre os subgrupos manhã e tarde) não havendo necessidade de maiores esforços de melhoria, embora devam ser observados os motivos dos pontos que encontram-se selecionados no Box Plot com envazamentos superiores à tolerância de 615 ml.e para finalizarmos a investigação, vamos analisar o fator Operador: c) Para o fator X1-operador e subgrupo e Antonio teremos a seguinte capacidade do processo (figura11). Process Capability of ml Process Data LSL 585 Target * U SL 615 Sample Mean 597,88 Sample N 60 StDev (Within) 16,315 StDev (O v erall) 17,3332 LSL USL Within Overall Potential (Within) C apability Z.Bench 0,35 Z.LSL 0,79 Z.USL 1,05 C pk 0,26 O v erall C apability Z.Bench 0,28 Z.LSL 0,74 Z.USL 0,99 Ppk 0,25 C pm * O bserv ed Performance PPM < LSL ,33 PPM > USL ,00 PPM Total ,33 Exp. Within Performance PPM < LSL ,45 PPM > USL ,31 PPM Total ,75 Exp. O v erall Performance PPM < LSL ,19 PPM > USL ,65 PPM Total ,84 Test for Equal Variances for ml Antonio Figura 11 F-Test Test Statistic 0,46 P-Value 0,040 Levene's Test Test Statistic 6,58 P-Value 0, % Bonferroni Confidence Intervals for StDevs 30 Antonio ml Este fator entrega PPM para um ou mais operadores em relação ao total do subgrupo PPM. Vamos aos testes de hipóteses (figura 12). Para o fator operador, observamos a necessidade de melhoria do processo com relação a variação do subgrupo, pois o teste resultou um valor de p menor que 0,05. Já, em relação as médias dos operadores, não existem diferenças entre Antonio e, pois ambos estão trabalhando próximo aos ml (figuras 13 e14).

7 ml One-way ANOVA: ml versus Operadores Source DF SS MS F P Operadores ,03 Boxplot 0,160 of ml Error Total S = 17, R-Sq = 3,37% R-Sq(adj) = 1,71% Individual 95% CIs For Mean Based on Pooled StDev Level 610 N Mean StDev Antonio ,72 13,63 ( * ) ,04 20,12 ( * ) ,0 595,0,0 605,0 570 Antonio Operadores Figura 13 Concluímos o estudo elencando as ações de melhorias, as quais deveremos focar: 1- Reduzir a dispersão da máquina 1 2- Ajustar a média da máquina 2 3- Analisar os eventos além da tolerância no turno da tarde 4- Reduzir a dispersão do operador Cada uma das ações acima poderá demandar um novo projeto a depender do nível de complexidade e aprofundamento da causa raíz Marcelo Rivas Fernandes é Master Black Belt formado pela Six Sigma Academy - USA, Lean Especialista formado pela Lean Value Solutions - USA, Pós Graduado em Engenharia Econômica formado pela Universidade Estácio de Sá RJ, Espacializado em Didática do Ensino Superior pela Faculdade Jorge Amado Salvador/Ba. Foi palestrante da Seis Sigma Summit 2007 e já ministrou vários cursos de formação de Black e Green Belts para mais de 300 pessoas. Tem vasta experiência no desenvolvimento de projetos Seis Sigma - [email protected]