O TEOREMA DE FUBINI, LEIS CONJUNTAS E A CONSTRUÇÃO DE SUCESSÕES DE VARIÁVEIS ALEATÓRIAS INDEPENDENTES

O TEOREMA DE FUBINI, LEIS CONJUNTAS E A CONSTRUÇÃO DE SUCESSÕES DE VARIÁVEIS ALEATÓRIAS INDEPENDENTES MLE 1. Introdução A teoria dos processos estocásticos nasceu, na sua sofisticada forma actual, com Kolmogorov aquando da publicação do texto Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitrechnung 1. Nesta obra que éummarco fundamental da moderna teoria das probabilidades, épossível encontrar o teorema que garante a existência de processos estocásticos gerais. No caso dos processos estocásticos a tempo discreto, isto é quando o conjunto dos índices éumsubconjunto dos inteiros, épossível uma aproximação mais simples que a que é exigida para o teorema de Kolmogorov. Nestas notas temos como um dos principais objectivos mostrar que se pode garantir a existência de uma sucessão de variáveis aleatórias independentes com leis dadas a priori. Para esse efeito usamos, naturalmente, a noção de espaço produto. Neste contexto um resultado fundamental éoteorema de Fubini que nos esclarece sob que condições épossível trocar a ordem de integração em integrais múltiplos. 2. A construção dos espaços produto e o teorema de Fubini Inicialmente iremos construir uma estrutura de espaço mensurável sobre o produto cartesiano de dois (ou mais conjuntos a partir de estruturas semelhantes dadas sobre os espaços factores. Considere-se (, A, P e(, A, P dois espaços de probabilidade. Tem-se que o produto cartesiano de por é dado por: Considere-se agora por definição: = {(ω, ω :ω,ω }. S := {A A : A A,A A }. Dado que A e A são semi-anéis, S é também um semi-anel 2. Seja agora C(S a álgebra gerada por S e considere-se por definição a álgebra-σ sobre definida por: A A := σ(c(s = σ(s. Date: 14 de Março de 25. 1 Originalmente publicada em língua alemã em1933 mas disponível em língua Inglesa com o título Foundations of the Theory of Probability (veja-se [Kolmogorov 6]. 2 Ver Construção das Medidas de Lebesgue-Stieltjes, Medida e Probabilidade 24-25. 1

2 MLE Por definição, A A,éaálgebra-σ produto de A por A.Falta-nos apenas iniciar a definição da medida de probabilidade produto. Para S S Sisto é tal que S A e S A seja por definição: (1 P P [S S ]:=P[S] P [S ]. Definimos assim a medida produto sobre o semi-anel S. É uma aproximação natural que se pode justificar heuristicamente com o exemplo seguinte. Este exemplo deve ser encarado neste ponto de forma intuitiva e irá ser plenamente justificado adiante. Exemplo 1. : Considere-se (, A, P =([, 1], B([, 1],λ=(, A, P. Então naturalmente deveremos ter que =[, 1] 2 B([, 1] B([, 1] = B([, 1] 2 λ λ(a B = área (A B Esta é uma aproximação natural para a construção da noção de área em R 2. Observação 1. Para melhor se compreender o que vai seguir-se é útil conservar presente este exemplo. A proposição seguinte descreve uma propriedade de integrais iterados simples que é relevante para a definição de medida produto. Proposição 1. Seja S S S. Então ( I S (ω I S (ω dp ( dp(ω = ( = I S (ω I S (ωdp(ω dp(ω =P[S] P [S ]. Demonstração. Como se tem, por exemplo, I S (ω dp (ω =P [S ]. averificação do resultado é imediata. Observação 2. Como convenção para o que vai seguir-se consideramos a seguinte notação para o integral duplo: I S S (ω, ω d(p P (ω, ω :=P P [S S ]. Esta notação faz sentido uma vez que por definição se tem que pela fórmula 1: P P [S S ]=P[S] P[S ] e esta última quantidade é o valor comum aos integrais duplos que naturalmente surgiriam como interpretação do membro à esquerda na igualdade.

ESPAÇOSPRODUTO E APLICAÇÕES 3 Definição 1. Seja (S n S n uma sucessão de elementos em S dois a dois disjuntos. Defina-se [ ] ( P P S n S n = I (ω, Sn S n ω dp (ω dp(ω = (2 ( = I (ω, Sn S n ω dp(ω dp (ω. Observação 3. Esta definição faz sentido uma vez que (ω, ω n N I Sn S n (ω, ω =I Sn (ω I S n (ω e que, dado que os conjuntos são dois a dois disjuntos, (ω, ω I Sn S n (ω, ω = I Sn (ωi S n (ω. Por aplicações sucessivas do teorema da convergência monótona de Lebesgue (veja-se, por exemplo, em (a tem-se que, por exemplo; ( I (ω, Sn S n ω dp(ω dp(ω = ( = I Sn (ω I S n (ω dp(ω = (a (b ( = I Sn (ω I S n (ω dp (ω dp(ω = ( = P [S n] I Sn (ω dp(ω = (a = P [S n] I Sn (ωdp(ω = P [S n] P[S n ]. Note-se que parte da justificação para a igualdade assinalada acima com (b é que para ω fixo, a aplicação de em R + que a ω associa I S n (ω I S n (ω é, obviamente, mensurável positiva. Da mesma forma se poderá concluir que ( I (ω, Sn S n ω dp(ω dp (ω = P[S n ] P [S n]. ficando então justificada a definição. Proposição 2. A função de conjuntos P P definida em S na fórmula 1 e na e na fórmula 2 da definição anterior para reuniões disjuntas de elementos de S é aditiva-σ sobre S.

4 MLE Demonstração. Com efeito pela definição anterior e pela fórmula 1 tem-se que para (S n S n sucessão de elementos de S dois a dois disjuntos. [ ] P P S n S n = P[S n ] P [S n]= P P [S n S n]. Podemos pois sumariar os resultados obtidos até agora na seguinte forma. Teorema 1. Existe P P uma medida de probabilidade única sobre a álgebra-σ produto A A, denominada a medida produto de P por P, tal que: (3 A A A A P P [A A ]=P[A] P [A ]. Demonstração. Existe uma extensão aditiva-σ de P P verificando a fórmula 3 a C(S, por teoremas anteriores e uma extensão a σ(c(s = A A pelo teorema extensão de Carathéodory. Definição 2. : O espaço (, A A, P P assim construído éoespaço de probabilidade produto de (, A, P por(, A, P. Seguidamente, apresentamos sob forma de exercícios alguns resultados úteis que permitirão aprofundar e esclarecer o que atrás foi exposto. Neste primeiro exercício estabelece-se a ligação entre a álgebra-σ produto A A easprojecções. Exercício 1. Considere Π e Π as projecções definidas em respectivamente por: Π: (ω, ω Π(ω, ω =ω e Π : (ω, ω Π(ω, ω =ω 1. Mostre que S = {Π 1 (A (Π 1 (A :A A,A A }. 2. Mostre que A A = σ(π, Π, isto é, que A A éamais pequena álgebra-σ sobre relativamente à qual Π e Π são simultaneamente aplicações mensuráveis. 3. Sejam X e Y variáveis aleatórias tais que X ma e Y ma. Seja Z definida em por (ω, ω Z(ω, ω =X(ω Y (ω. Mostre que Z é mensurável de (, A A em (R, B(R. No exercício seguinte, com uma resolução mais delicada, constrói-se a álgebra-σ produto de espaços topológicos. Exercício 2. Sejam (X 1,τ 1,, (X n,τ n espaços topológicos e para cada i {1,,n} seja B i = σ(τ i aálgebra-σ de Borel para cada um desses espaços. 1. Mostre como definir n i=1 B i aálgebra-σ produto das álgebras σ(b i 1 i n sobre oproduto cartesiano X = X 1 X n.

ESPAÇOSPRODUTO E APLICAÇÕES 5 2. Seja τ = n i=1 τ i a topologia produto sobre X, isto é, a mais pequena topologia sobre X relativamente à qual todas as projecções Π i definidas por Π i : X X i (x 1,...,x n Π i (x 1,...,x n =x i são simultaneamente contínuas. Seja B τ = σ(τ aálgebra-σ gerada por τ. Mostre que n i=1 B i B τ 3. Mostre que se para cada i {1,,n}(X i,τ i for um espaço topológico com base numerável de vizinhanças então n i=1 B i B τ. 3. O Teorema de Fubini O teorema de Fubini esclarece-nos sobre condições suficientes gerais que permitem inverter a ordem de integração em integrais múltiplos. Consideremos para o que vai seguir-se as seguintes notações (, F é um espaço mensurável, L(F é o espaço das funções mensuráveis de (, F em R, B(R que são limitadas. 3..1. O teorema da classe monótona. O teorema seguinte é um resultado essencial na em teoria da medida e das probabilidades. Teorema 2. Seja H um conjunto de funções limitadas de em R tal que: 1. H éumespaço vectorial; 2. I H; 3. ( (f n H N f n,f n f,flimitada f H Então, se para I um dado Π-sistema sobre se verificar que I I I I H, tem-se que L(σ(I H. Observação 4. : Oteorema da classe monótona é essencial para a construção da medida produto e para os resultados de integração nos espaços produto. Para a demonstração, veja-se, por exemplo, [Williams 91, p. 25]. Como primeira aplicação deste resultado considere-se o seguinte. Para que um integral iterado de uma função de duas variáveis Z(ω, ω, por exemplo, ( Z(ω, ω dp (ω dp(ω faça sentido a aplicação ω Z(ω, ω dp (ω deve ser pelo menos mensurável. No exercício seguinte ver-se-á que de facto assim é sob condição suficientemente gerais. Exercício 3. Seja H := {Z m(a A :ω Z(ω, ω dp (ω é mensurável sobre }. 1. Mostre que H verifica as hipóteses do teorema da classe monótona. 2. Mostre que para A A S se tem I A A Heconclua que L(A A H.

6 MLE 3.1. Secções de uma aplicação e o teorema de Fubini. Seja uma dada aplicação definida num espaço produto, isto é, uma função de duas variáveis. Z : R. As secções de uma tal aplicação correspondem a considerar as funções de uma só variável que se obtêm fixando uma das variáveis da função inicialmente dada e fazendo variar a outra variável. Definição 3. Para ω eω arbitrários mas considerados fixos sejam as secções Z ω e Z ω definidas por: e ω Z ω (ω =Z(ω,ω ω Z ω (ω =Z(ω, ω. Dada uma função mensurável Z as secções são naturalmente mensuráveis. Com efeito, Z ω pode sempre escrever-se como Z ψ ω em que ψ ω éaaplicação que a ω associa (ω, ω. Uma vez que para A A S: { ψ 1 A se ω (A A ={ω :(ω, ω ω A A A } = se ω / A, tem-se que a secção Z ω é mensurável. Uma questão natural éadesaber, sob que condições sobre as secções mensuráveis de uma função Z, afunção Z é mensurável. Proposição 3. Seja G a classe das funções de L(A A tais que: ω Z ω ma ω Z ω ma Então G L(A A Demonstração. G verifica as hipóteses do teorema da classe monótona. Sendo S := {A A : A A,A A } tem-se que se S S Sentão I S S = I S I S Gcomo éfácil verificar. Como A A = σ(s, pelo teorema da classe monótona tem-se que L(α α G. Exercício 4. Mostre que G verifica as hipóteses do teorema da classe monótona. Finalmente, o teorema que constitui o objecto principal desta secção. Teorema 3 (Teorema de Fubini. Seja Z m(a A. Então se uma ou outra das seguintes condições se verifica: 1. Z ou

2. ESPAÇOSPRODUTO E APLICAÇÕES 7 ( Z dp dp < + ou ( Z dp dp < + ou ainda Z d(p P < + tem-se que: ( ( Zd(P P = ZdP dp = ZdP dp. Demonstração. Seja K a classe das funções Z L(A A que verificam: 1. ω ω Z ω ma, Z ω ma 2. ( dp = ( ZdP ZdP dp Então K verifica as hipóteses do teorema da classe monótona. É imediato verificar que para A A, A A se tem que I A A K. Como S = {A A : A A,A A } é tal que σ(s =A A tem-se, pelo teorema da classe monótona que L(A A K e logo L(A A K. As condições de definição de K valem agora para as funções simples mensuráveis positivas de A A em R uma vez que estas são elementos de L(K K. Pelo teorema de aproximação usual e pelo teorema da convergência monótona de Lebesgue, as condições valem para as funções mensuráveis positivas quaisquer pelo que a conclusão do teorema também. Considerando a parte positiva eaparte negativa de Z easegunda hipótese do teorema, a conclusão do teorema verifica-se para as funções com sinal qualquer mensuráveis sobre A A e satisfazendo essa segunda hipótese. Exercício 5. Mostre que K verifica as hipóteses do teorema da classe monótona. Exercício 6. Seja ( i, A i, P i para i =1, 2, 3 espaço de probabilidade, = 3 i=1 i = 1 2 3 oproduto cartesiano usual e Π i, i =1, 2, 3 aprojecção de sobre i. Seja por definição A := 3 i=1 A i = A 1 A 2 A 3 = σ ((Π i 1 i 3 1. Mostre que A = σ ({Π 3 1=1A i : A i A i }. 2. Mostre que (P 1 P 2 P 3 P 1 (P 2 P 3 econclua que se pode definir sem ambiguidade o espaço produto ( 3 i=1 i, 3 i=1 A i, 3 i=1 P i. Como primeira aplicação imediata do teorema de Fubini vamos justificar um processo de cálculo dos momentos de uma variável aleatória usando a função de distribuição dessa variável aleatória. Proposição 4. No espaço de probabilidade (, A, P seja uma variável aleatória X. 1. Para qualquer s>: (4 E[ X s ]=s + x s 1 P[ X x] dx = s 2. Em consequência verifica-se ainda que: + P[ X n] E[ X ] 1+ n=1 + + n=1 x s 1 P[ X > x] dx. P[ X n]

8 MLE Demonstração. Sem perda de generalidade podemos supor que X énão negativa. Os dois integrais à direita na fórmula 4 são iguais uma vez que: #{x R : P[X = x] > } ℵ. isto é, P[X = x] nomáximo para uma infinidade numerável de pontos x R. Temos então, se representarmos por L X a lei da variável X epor uma aplicação do teorema de Fubini em (a que: ( + + + E[X s ]= X s P = x s dl X (x = + ( + = (a I [,x] (y dl X (x sy s 1 dy = = + sy s 1 P[ X y] dy. sy s 1 I [,x] (y dy dl X (x = (a ( I {y X} dp sy s 1 dy = + Para obtermos a segunda afirmação da proposição basta observar que aplicando a fórmula que acabámos de demonstrar para s =1: E[X] + n n=1 n 1 Para a desigualdade no outro sentido: E[X] + n n=1 n 1 ficando assim concluída a demonstração. P[X n] dx = + n=1 P[X n 1] dx =1+ P[X n]. + n=1 P[X n], 4. Lei Conjunta de um Par de Variáveis Aleatórias Seja (, A, P umespaço de probabilidade e X, Y variáveis aleatórias de (, A em (R, B(R. É sabido que o par (X, Y pode ser considerado como variável aleatória de (, A em(r 2, B(R 2 uma vez que pelo exercício 2 se verifica: R 2 = R R e B(R B(R =B(R 2. Dado que σ ({A B : A B(R,B B(R} =B(R 2 alei do par (X, Y éa única medida de probabilidade sobre (R 2, B(R 2 que verifica, por definição, A, B B(R 2 L (X,Y (A B :=P [ (X, Y 1 (A B ] = P [ X 1 (A Y 1 (B ] Se X e Y forem independentes, isto é, se as álgebras-σ σ(x eσ(y forem independentes, então: P [ X 1 (A Y 1 (B ] = P [ X 1 (A ] P [ Y 1 (B ] = L X (A L Y (B. Conclui-se assim, no caso de variáveis aleatórias independentes, X e Y que L (X,Y = L X L Y. Exercício 7. Justifique a afirmação anterior.

ESPAÇOSPRODUTO E APLICAÇÕES 9 O exercício seguinte caracteriza a lei conjunta de um par de variáveis aleatórias em função das leis marginais. Exercício 8. Considere as notações definidas acima. 1. Mostre que a lei marginal de X (respectivamente Y que representamos por L X, (respectivamente L Y é dada por: respectivamente, A B(R L X (A =L (X,Y (A R B B(R L Y (B =L (X,Y (R B. 2. Seja f (X,Y mb(r 2 uma densidade do par (X, Y. Isto é f (X,Y e verifica C B(R 2 L (X,Y (C = f (X,Y (x, y d(λ λ(x, y C em que λ éamedida de Lebesgue sobre (R, B(R. Mostre que f X definida λ quase certamente por f X (x = f (X,Y (x, y dλ(y R é uma densidade de lei marginal correspondente a X. 3. Mostre que X e Y são independentes sse ocorre uma das seguintes condições. (a L (X,Y L X L Y (b F (X,Y F X F Y (c f (X,Y f X f Y, com as hipóteses adequadas, por exemplo, para garantir a existência das densidades marginais. No exercício seguinte faz-se a construção de uma sequência (família finita de variáveis aleatórias independentes com leis dadas. Este resultado irá ser generalizado no teorema 4 para sucessões (família infinita numeráveis, Exercício 9. Considere, para N N, medidas de probabilidade sobre (R, B(R denotadas por µ 1,...,µ N. 1. Defina a medida produto N i=1 µ i sobre (R N, B(R N. 2. Considere para i =1,,N, Π i ai-ésima projecção de R N sobre R isto é tal que (x 1,...,x N R N Π i (x 1,...,x N =x i. Mostre que Π 1,...,Π N é uma sequência de variáveis aleatórias independentes sobre (, A :=(R N, B(R N tais que: i {1,...,N} L Πi = µ i. Observação 5. Os espaços produto permitem desta forma construir naturalmente sequências de variáveis aleatórias com leis pré-estabelecidas.

1 MLE 5. Construção de uma sucessão de variáveis aleatórias independentes com leis dadas O teorema seguinte é uma generalização do resultado obtido no exercício anterior. Teorema 4. Seja (µ n uma sucessão de medidas de probabilidade em (R, B(R. Seja =R N = R := {(ω n : n N ω n R} eparam N Π n an-ésima projecção de em R isto é: (ω n Π n (ω 1,ω 2,...,ω n, =ω n. Seja por definição A = σ(π n : n N, isto é, a álgebra-σ gerada pelas projecções. Então: existe P = µ n uma medida de probabilidade única sobre (, A verificando para r N e B 1,...,B r B(R : [ r P B k ] r R = µ k (B k k=1 k>r k=1 A sucessão (Π n é uma sucessão de variáveis aleatórias independentes sobre (, A, P tais que n N L Πn = µ n. Demonstração. A demonstração deste resultado é tecnicamente mais exigente e pode ser relegada para uma segunda leitura. Veja-se [Williams 91, p. 214 216]. 6. Resoluções As resoluções nesta secção só devem ser consultadas após tentativas esforçadas para a resolução dos exercícios. Resolução:Exercício 2 Este exercício requer uma pequena revisão sobre alguns conceitos topológicos simples. 1. Tal como no caso do produto de dois espaços mensuráveis há, pelo menos, duas formas de definir n i=1 B i. (a Tal como no exercício 2 pode-se definir directamente n B i = σ(π 1,, Π n, (5 i=1 em que Π i éai-ésima projecção, ou (b alternativamente pode-se definir S = {S i S n : S i B i } e depois n i=1 B i = σ(s. Naturalmente, estes dois processos devem conduzir à mesma álgebra-σ. Para proceder àverificação deste facto importa notar que: Π 1 1 (S i Π 1 n (S n =S 1 S n.

(6 ESPAÇOSPRODUTO E APLICAÇÕES 11 Esta igualdade mostra que S σ(π 1,...,Π n pelo que σ(s σ(π 1,...,Π n. Esta igualdade mostra ainda que Π 1 i (S i =X 1 X i 1 S i X i+1 X n S σ(s logo Π i m(b i,σ(s o que implica que σ(s σ(π 1,...,Π n pela definição desta álgebra-σ. 2. Π i sendo contínua de (X, τ em(x i,τ i é mensurável de (X, B τ em(x i, B i. A fórmula5 mostra agora que B ik B k B i1 B in =Π 1 1 (B i1 Π 1 n (B in B τ logo S B τ e assim, σ(s = n i=1 B i B τ. 3. Podemos relembrar a seguinte definição. Definição 4. : (E,Θ espaço topológico tem uma base numerável de vizinhanças sse: (B n Θ N ω τ x ω n x N x B nx ω. Exemplo 2. Sendo (r n é uma enumeração dos racionais, a família (] r n 1 m +1,r n + 1 [ m +1 (n,m N 2 é uma base numerável de vizinhanças da topologia usual de R. Exemplo 3. Analogamente se verifica que: ( (B a r, 1 m +1 r Q n,m N é uma base numerável de vizinhanças de topologia usual de R n. Seja agora ω τ qualquer e x ω Admita-se que: ω 1 τ 1,...,ω n τ n tais que x ω 1 ω n ω Aplicando a hipótese a cada um dos espaços topológicos (X i,τ i seja i {1,...n} (Bn i τi N uma base numerável. Logo virá que para x =(x 1,...,x n ω 1 ω n isto é, tal que x i ω i temos: Bp i i,x tal que x i Bp i i,x ω i. Logo ω = n ω{x} B p1,x B pn,x ω 1 ω n ω p 1,x,...,p n,x I 1 I n N n e, em consequência ω = B p1,x B pn,x σ(s p 1,x,...,p n,x I 1 I n N n Pode-se concluir que τ σ(s pelo que B τ n i=1 B i e, em conclusão final usando o resultado anterior que, n i=1 B i B τ.

12 MLE A hipótese que fizemos na fórmula 6 leva-nos a esclarecer melhor o que é, de facto, a topologia produto τ sobre X 1 X n = X. Seja T = {ω 1 ω n : ω i λ i } e { Θ= ω P(X : (θ i i I T I tq. ω = } θ i, i I isto éθéafamília das partes de X que se podem representar como uniões (arbitrárias de elementos de T.Então temos que: 1. Θ é uma topologia sobre X (evidente; 2. T ΘeΘéamais pequena topologia com esta propriedade. 3. λ Θ. Note-se que a primeira propriedade édeverificação imediata; a segunda resulta de toda a topologia ser fechada para as uniões arbitrárias e a terceira resulta, mais uma vez, da fórmula (7 ω 1 ω n Π 1 1 (ω 1 Π 1 n (ω n. Com efeito: as projecções são contínuas relativamente a Θ visto que Π 1 i (ω i =X 1 X i 1 ω i X i+1 X n T Θ. Logo τ Θ visto que τ éamais pequena topologia relativamente à qual as projecções são contínuas; pela fórmula 7, T τ e logo por definição de Θ;Θ τ. Para finalizar seja ω τ e x ω como τ Θ tem-se por definição deste que (θ i i I T I ω = θ i i I como x ω tem-se que existe i x I tal que x θ ix e, como θ in T tem-se que existem ω 1 τ 1, dots, ω n τ n tais que x ω 1 ω n = θ ix ω. Referências [Kolmogorov 6] A. N. Kolmogorov, Foundations of the Theory of Probability, Chelsea Pub. Co. second edition 196. [Williams 91] D. Williams, Probability with Martingales, Cambridge University Press, 1991.