Capacitância Na figura abaixo, como exemplo, tem-se duas placas paralelas, feitas de um material condutor e separadas por um espaço vazio. Essas placas estão ligadas a uma fonte de tensão contínua através de uma resistência e uma chave. Se as placas estão inicialmente descarregadas, e chave permanecer aberta, elas permanecerão descarregadas. No momento em que a chave é fechada, cargas positivas começam a se acumular na placa superior, enquanto cargas negativas se acumulam na placa inferior, devido à diferença de potencial fornecida pela bateria. O deslocamento das cargas da bateria para as placas gera uma corrente inicialmente elevada, limitada somente pela resistência. Com o tempo, porém, a corrente diminui. Essa transferência de cargas continua até que a tensão entre as placas seja igual a da fonte. O resultado final é um acúmulo de cargas positivas em um placa e de cargas negativas na outra. Esse elemento constituído pelas placas paralelas isoladas, é chamado capacitor. A quantidade de carga que um capacitor pode armazenar (acumular), a partir de uma tensão aplicada entre as duas placas, é chamada de capacitância. Por definição, o acúmulo de 1 coulomb de carga para 1 volt de tensão aplicada, corresponde a 1 faraday de capacitância, em homenagem ao físico inglês do século XIX Michael Faraday. Assim, a definição matemática de capacitância é: C = Q / V [F]
Como a aplicação de tensão entre as placas faz com que haja um acúmulo de cargas nelas, haverá entre elas, um campo elétrico. Sendo as placas paralelas, esse campo elétrico no interior do capacitor é uniforme. A partir da definição matemática de campo elétrico e potencial elétrico, se uma tensão V é aplicada entre duas placas paralelas separadas por uma distância d, temos: E = V / d onde d é a distância entre as placas paralelas e E é o módulo do campo elétrico. Por esse motivo, o campo elétrico também pode ser expresso na unidade [V/m], também aceito no SI. Diferentes valores de capacitância podem ser obtidos para o mesmo par de placas paralelas submetidas à mesma tensão. Isso é feito inserindo materiais isolantes entre as placas. Esses materiais possuem uma maior rigidez dielétrica, tensão elétrica necessária para romper a característica isolante do meio. Esses meios isolantes são geralmente chamados de dielétricos. A quantificação dessa capacidade isolante de cada material é chamada permissividade elétrica, e tem como definição a razão entre a densidade de fluxo (D = Φ/A) pelo campo elétrico (E), logo: ε = D / E Aplicando a Lei de Gauss na equação acima: ε= D E = Φ/ A V /d = Q/ A V /d = CA d ou seja:
C=ε A d A permissividade elétrica do vácuo (representada por ε 0 ) é 8,85x10-12 F/m. Para outros materiais, é comum expressar a permissividade relativa ε r = ε/ε 0. Alguns valores típicos de permissividade e de rigidez dielétrica para materiais conhecidos é: onde Mil = 0,001 polegada. Exemplo: para o capacitor da figura abaixo, calcule (a) a capacitância, (b) a intensidade do campo elétrico quando submetido a uma tensão de 450 V e (c) a carga resultante acumulada nas placas. Por ser um componente típico de circuitos elétricos, os capacitores possuem um símbolo para representá-los em diagramas de circuitos:
Quando o capacitor está carregado, uma corrente causada por elétrons livres, flui de uma placa para outra. Normalmente essa corrente é tão pequena que pode ser ignorada em aplicações práticas. Há alguns capacitores, entretanto, que permitem a passagem de correntes de fuga consideravelmente altas, como os capacitores eletrolíticos, que se descarregam em poucos segundos, mesmo desconectados de um circuito elétrico. Circuitos capacitivos Examinando de perto o processo de carregamento do capacitor, é interessante saber como a carga q do capacitor, a tensão em seus terminais e a corrente enquanto ele está sendo carregado variam com o tempo. Examinando o circuito acima, quando posicionamos a chave na posição 1, pode-se a aplicar a LTK no sentido horário: E Ri V C =0 E Ri q C =0 Sabendo-se que i = dq/dt: R dq dt + q C =E dq dt + q = E R que resulta em uma equação diferencial de primeira ordem que descreve a variação da carga no capacitor com relação ao tempo. Para resolvê-la, é preciso achar q(t) que satisfaz a equação, considerando que o capacitor estava inicialmente descarregado (q = 0 para t = 0).
A solução geral dessa equação (a ser demonstrada na disciplina Equações Diferenciais e Ordinárias) é da forma: q=q p +K e at onde q p é uma solução particular da equação diferencial, K é uma constante a ser determinada a partir das condições iniciais e a = 1/ é o coeficiente de q na EDO anterior. Fazendo dq/dt = 0 na EDO (solução final de equilíbrio), tem-se q p = CE. Para obter K, usa-se a condição inicial do problema q = 0 para t = 0 na equação anterior: 0 = CE + K logo K = -CE Substituindo os valores de q p, K e a: q=ce CE e t q=ce(1 e t ) que satisfaz as condições inicial (t = 0) e final (t ). Derivando a equação acima com relação ao tempo: dq dt =CE d(1 e t ) dt t e i= CE i= E R e t O fator é chamado de constante de tempo do sistema: = ( V I )( Q V ) = ( 1 Q/t )( Q 1 ) =t
Para circuitos, essa constante é geralmente simbolizada com a letra grega τ (τ = ) com unidade em segundos. Analisando a expressão para a corrente em termos práticos, a corrente contínua no capacitor é praticamente zero (menos de 1% do valor inicial) para 5 constantes de tempo (5τ). Manipulando a solução da EDO para se obter a expressão da tensão, temos: q=ce(1 e t ) CV C =CE(1 e t ) V C =E (1 e t ) Comparando com a expressão da corrente, percebe-se que essa função é crescente, com valor inicial zero e valor final E. Traçando os gráficos da corrente e tensão em função da constante de tempo: Exemplo: Encontre as expressões matemáticas para os valores de V C, i C e V R em função do tempo no circuito da figura abaixo quando a chave é colocada na posição 1. Quanto tempo deve-se passar para que a corrente possa ser considerada nula (5τ)?
Para o primeiro circuito apresentado, depois da fase de carga do capacitor (i = 0), quando posicionamos a chave na posição 2 temos um circuito formado apenas pelo capacitor e o resistor. Nesse instante, o capacitor irá se descarregar com a mesma constante de tempo τ =. A tensão nos terminais do capacitor, aplicadas ao resistor, dará origem a uma corrente elétrica. Se a tensão armazenada no capacitor for igual a da bateria, a expressão para a tensão no capacitor para a chave na posição 2 será: V C =E e t Essa função tem uma curva semelhante à da corrente na fase de carga. Durante a fase de descarga, a corrente i C também diminui com o tempo, de acordo com a seguinte equação: i C = E R e t Como as equações acima possuem a mesma constante de tempo, o capacitor pode, em termos prático, ser considerado descarregado depois de 5τ segundos. Se a chave do circuitos for colocada nas posições 1 e 2 sucessivamente a cada 5τ segundos, temos as curvas:
Exemplo: Para o circuito da figura abaixo, (a) encontre a expressão matemática para a tensão nos terminais do capacitor se a chave for colocada na posição 1 em t = 0s. (b) Repita o item para i C. (c) Encontre as expressões matemáticas para v C e i C se a chave for colocada na posição 2 depois de 30 ms (suponha que não há corrente de fuga). (d) Encontre as expressões matemáticas para a tensão v C e a corrente i C se a chave for colocada na posição 3 em t = 48 ms. (e) Represente graficamente as expressões obtidas nos itens anteriores em função do tempo. (a) τ = R 1 C = 5 ms
V C =E (1 e t τ )=10(1 e 5 x10 3 ) [V] t (b) i C = E R e t τ =10 4 e t 5 x10 3 [A] (c) v C = 10 V e i C = 0 A (d) τ = R 2 C = 10 ms V C =E e t τ =10 e 10 x 10 3 [V] i C = E R 2 e t τ = (0,05 x 10 3 )e t t 10 x10 3 [A] (e) i Se um capacitor já possui uma tensão inicial (ou uma carga inicial) no momento em que ele é ligado a uma fonte de tensão, essa tensão deve ser levada em consideração na expressão da tensão durante o carregamento do capacitor. V C =V i +(V f V i )(1 e t τ )=V f +(V i V f )e t τ
Para esse caso mais genérico, cada uma das fases da tensão do capacitor recebe um nome: A corrente i C. A partir da expressão da capacitância com relação à tensão e carga no capacitor: C=Q/V Q=CV Derivando ambos os lados da equação em relação ao tempo: dq dt = d dt (CV ) i C =C dv dt A equação acima mostra que a corrente no capacitor é proporcional à variação da tensão em seus terminais. Quando a tensão é constante (regime permanente para tensão contínua) a corrente é nula. Essa expressão é de grande importância quando os circuitos forem alimentados por tensões alternadas. A energia armazenada por um capacitor é dada por: W C = P dt= Vi dt= 1 2 CV 2 [J] Que pode ser escrita em termos da carga acumulada em suas placas:
W C = 1 2 CV 2 = 1 2 C (Q/C)2 = Q2 2 C [J] Que é a energia acumulada pelo capacitor em seu campo elétrico. Associação de capacitores Através de uma análise simples das expressões da capacitância, envolvendo as tensões e cargas dos capacitores, além de usar as leis de Kirchhoff, é possível determinar o valor de uma capacitância equivalente para uma associação em série e paralelo de capacitores. Para capacitâncias em série, a associação equivale a uma única capacitância cujo inverso do valor é a soma dos inversos das capacitâncias individuais: 1 C T = 1 C 1 + 1 C 2 + + 1 C n Para capacitores em paralelo, a capacitância equivalente será a soma das capacitâncias: C T =C 1 +C 2 + +C n Tipos de capacitores Alguns dos tipos mais comuns de capacitores são os de mica, cerâmica, eletrolítico, de tântalo e de filme de poliéster. Mica É constituído basicamente por placas de mica separadas por folhas de metal (placas metálicas paralelas). A área total do capacitor é a área de uma das lâminas metálicas multiplicada pelo número de lâminas. Sua rigidez dielétrica é da ordem de 5.000 V/mil e uma corrente de fuga extremamente baixa. Seus valores típicos variam de alguns pf a 0,2 μf e tensões de trabalho de 100 V ou mais. Devido a sua estabilidade, mesmo quando submetidos a grande variação de temperatura e altas tensões, esse
tipo de capacitor é geralmente utilizado em aplicações de altas frequências, tais como instrumentação e transmissão. Cerâmica Existem várias formas e tamanhos diferentes de capacitor de cerâmica, porém, sua estrutura básica é praticamente a mesma para todos eles: camadas metálicas de cobre ou prata são depositadas nos dois lados de uma base de cerâmica. Eles também possuem uma corrente de fuga muito baixa e podem ser usados em circuitos de corrente alternada ou contínua. Eles podem ser encontrados com valores que vão de alguns poucos picofarads até cerca de 2 μf, e com tensões de trabalho extremamente altas, como 5.000 V ou mais. Monolíticos Com a miniaturização dos circuitos eletrônicos, surgiu a necessidade de capacitores muito pequenos, os capacitores monolíticos. Eles têm sempre o mesmo tamanho e têm a capacitância controlada pelo tipo de cerâmica utilizada como dielétrico. Seus valores são geralmente muito pequenos, não passando de alguns nanofarads. Eletrolíticos São frequentemente usados em situações que exigem alta capacitância, na ordem de milifarads. Esse capacitor é normalmente empregado em circuitos de corrente contínua, porque apresenta boas características de isolamento quando a tensão é aplicada com uma certa polaridade, mas se comporta como um curto quando a tensão é aplicada com a polaridade invertida. A estrutura básica de um capacitor eletrolítico consistem em um rolo de folha de alumínio com uma face coberta por óxido de alumínio. O alumínio é a placa positiva e o óxido é o dielétrico. Outra folha de alumínio, sem a cobertura de óxido, é colocada sobre a camada para formar a placa negativa. Devido a necessidade de se conhecer a polaridade do capacitor eletrolítico, o símbolo desse capacitor é diferenciado (como mostrado anteriormente).
Esses capacitores costumam apresentar baixa tensão de ruptura e correntes de fuga relativamente altas. Tântalo Formado por pó de tântalo (Ta) de alta pureza compactado. Devido ao processo de fabricação e das características do tântalo, o resultado é um capacitor com polaridade, com baixa corrente de fuga baixa tensão de ruptura. Suas principais aplicações envolvem sinais elétricos com alta frequência, sendo usado em filtros de alta frequência.