Primitva Denição. 1 Uma função F (x) é chamada uma primitiva da função f(x) em um intervalo I (ou simplesmente uma primitiva de f(x), se para todo x I, temos F (x) = f(x). Exemplo. 1 1. emos que cos(x) é uma primitiva de sen(x), pois [ cos(x)] = sen(x). 2. emos que cos(x) + 5 é uma primitiva de sen(x), pois [ cos(x) + 5] = sen(x). 3 emos que x3 3 é uma primitiva de x2, pois Integral Indenida [ ] x 3 = x 2. 3 Denição. 2 Se F (x) é uma primitova de f(x), a expressão F (x) + c é chamada integral indenida da função f(x) e é denotada por f(x)dx = F (x) + c. Observação: F (x) + c é um conjunto, o conjunto de todas as primitivas de f(x), isto é, F (x) + c = {F (x) + c; c } 1. kdx = k + c, onde k uma constante 2. x n dx = xn+1 n+1 + c, se n 1 3. 1 xdx = ln x + c 4. sen(x)dx = cos(x) + c 5. cos(x)dx = sen(x) + c 5. e x dx = e x + c 6. a x dx = ax lna + c 7. sec(x).tg(x)dx = sec(x) + c 8. cosec(x).cotg(x)dx = cosec(x) + c 9. sec 2 (x)dx = tg(x) + c 1. cosec 2 (x)dx = cotg(x) + c 1
Proposição 1 Sejam f e g funções integráveis e k uma constante qualquer, então Observação: 1. f(x) + g(x)dx = f(x)dx + g(x)dx 2. k.f(x)dx = k. f(x)dx Exemplo. 2 i. [sen(x) + x] dx = sen(x)dx + x dx = cos(x) + x 2 2 + c ii. 5.2 x dx = 5. 2 x dx = 5. 2x ln2 + c Exemplo. 3 1. Encontre uma primitiva G(x) de f(x) = cos(x), tal que F ( π 2 ) = 5. Utilizando o exemplo 1 acima, temos que o conjunto de todas as primitivas de f(x) = cos(x) é o conjunto sen(x) + c, logo, G(x) = sen(x) + c 1, para algum c 1. E como F ( π 2 ) = 5, temos que Portanto, G(x) = sen (x) + 4. Método da Substituição sen ( π 2 ) + c1 = 5 1 + c 1 = 5 c 1 = 4 Sejam F (x) e f(x), onde F (x) é uma primitva de f(x). g(x) uma função derivável, então [f (g(x)).g (x) ] dx = F (g(x)) + c Suponhamos que Exemplo. 4 Calcule a (2x + 3).(x 2 + 3x) 1 dx. esolução: Neste caso comparando a integral (2x + 3).(x 2 + 3x) 1 dx 2
com o primeiro membro da fórmula do método da substituição, [f (g(x)).g (x) ] dx, observamos que g(x) = x 2 + 3x e f(x) = x 1. E como F (x) = x11 é uma primitiva de f(x), segue pelo método da substituição que 11 (2x + 3).(x 2 + 3x) 1 dx = F (g(x)) = (x2 + 3x) 11 + c 11 Integração por Partes Sejam f(x) e g(x) funções deriváveis no intervalo I. Então, temos que [f(x).g (x) ] [g(x).f dx = (x) ] dx (1) Denotando u = f(x) e v = (g(x), obtemos que du = f (x)dx e dv = g (x)dx.logo, substituindo na equação (1), obtemos a seguinte fórmula u dv = uv v du, que é a fórmula de integração por partes. Exemplo. 5 Calcule x.sen(x) dx. esolução: Iniciamos comparando x.sen(x) dx com u dv. Daí segue que du u = x dx = 1 du = dx e dv = senx dx dv = sen(x) dx v = cos(x) Logo, temos que x.sen(x) dx = uv v du x.sen(x) dx = x.( cos(x)) cos(x) dx x.sen(x) dx = x.cos(x) + cos(x) dx x.sen(x) dx = x.cos(x) + sen(x) + c 3
INEGAL DEFINIDA Denição. 3 Dada uma função f(x) contínua em um intervalo [a, b] e P = {x = a, x 1, x 2,..., x n = b} uma partição qualquer do intervalo [a, b] denimos a integral denida, que denotaremos por b a f(x)dx, por b a f(x)dx = lim max xi f(ci ). xi, desde que o limite exista, onde xi é o comprimento do i-ésimo intervalo e c i um elemento qualquer deste intervalo. eorema Fundamental do Cálculo eorema. 1 Sejam f(x) uma função real contínua no intervalo [a, b] e F (x) uma primitiva de f(x) no intervalo [a, b] e F (x), então b a f(x) dx = F (b) F (a) Notação: Quando conveniente escrevemos F (x) b a = F (b) F (a). Exemplo. 6 1. Calcule 1 x2 + x dx. Solução: 1 x 2 + x dx = ( x3 3 + x2 2 ) 1 = ( 13 3 + 12 2 ) (3 3 + 2 2 ) = 5 6 2. Calcule 1 (2x + 1).(x2 + x) 4 dx. Solução: Fazendo u = (x 2 + x), obtemos du = (2x + 1), logo, 1 (2x + 1).(x 2 + x) 4 dx = 2 ( ) u u 4 5 du = 2 = 25 5 5 5 5 = 32 5. 4
INEGAL DUPLA Seja z = f(x, y) uma função contínua denida em uma região limitada e fechada do plano xy. raçando retas paralelas aos eixos x e y, recobrimos a região por pequenos retângulos. Considerando apenas os retângulos k que estão inteiramente contidos em, numerando-os de 1 até n, e escolhendo em cada retângulo k um ponto (x k, y k ) formamos a soma n f(x k, y k ) xk. yk, k=1 onde xk. yk é a área do retângulo k. Denição. 4 Seja f(x, y) uma função contínua denida em uma região limitada e fechada do plano xy, denimos a integral dupla sobre a região, que denotaremos por pelo limite f(x, y)da ou f(x, y)dxdy, caso exista. f(x, y)da = lim mx xk. yk f(xk, y k ) xk. yk, 5
Interpretação Geométrica Se Seja f(x, y) é uma função contínua e positiva em uma região limitada e fechada.consideremos o sólido compreendido superiormente pelo gráco da função, inferiormente pela região, então o volume do sólido é igual a V = f(x, y)da Propriedades Sejam f e g funções contínuas em limitado e fechado e k um número real, então 1. f(x, y) + g(x, y)da = f(x, y)da + g(x, y)da 2. k.f(x, y)da = k. f(x, y)da 3. Se é a união de duas regiões 1 e 2 limitadas e fechadas, que não tem ponto em comum, exceto posivelmente os pontos de suas fronteiras, então f(x, y)da = f(x, y)da + 1 f(x, y)da. 2 Iremos inicialemte calcular integrais duplas em regiões dos seguintes tipos: ipo 1. f 1 (x) y f 2 (x) a x x b, onde f 1 e f 2 são contínuas. ipo 2. g 1 (y) x f 2 (y) c y d onde g 1 e g 2 são contínuas. 6
Se é do tipo 1, então Se é do tipo 2, então Mudança de Variáveis f(x, y)da = f(x, y)da = b a d c ( ) f2 (x) f(x, y)dy dx f 1 (x) ( ) g2 (y) f(x, y)dx dy g 1 (y) Sejam e ' regiões limitadas e fechadas, e f(x, y) denida sobre. Suponhamos que exista uma transformação (u(x, y), v(x, y)) : e que (x(u, v), y(u, v)) seja a transformação inversa, com u, v, u 1 e v 1 funções contínuas e com derivadas parciais contínuas, neste caso temos f(x, y)dxdy = f(x(u, v), y(u, y)) (x, y) (u, v) dudv, onde (x,y) (u,v) é chamado de determinante jacobiano de x e y em relação a u e v, denido por (x, y) (u, v) = x x u v y y u v Coordenadas Polares As equações x = r.cos(θ) e y = r.sen(θ), que nos dão as coordenadas cartesianas de um ponto P em termos de suas coordenadas polares, podendo ser vistas como uma transformação que leva (r, θ) do plano rθ a pontos (x, y) do plano xy. Neste caso temos, (x, y) (θ, v) = x r y r x θ y θ = cos(θ) sen(θ) 7 r.sen(θ) r.cos(θ) = r,
logo f(x, y)dxdy = f (r.cos(θ), rsen(θ)).r drdθ. Exemplo. 7 Calcule x 2 + y 2 da, onde é o círculo centrado na origem de raio 1. esolução: Neste caso, temos que f(x, y) = x 2 + y 2. Logo, f(rcos(θ), rsen(θ)) = (rcos(θ)) 2 + (rsen(θ)) 2 = r 2 = r. Além disso, temos que a nova região de integração será : r 1 e θ 2π. Daí segue que 2π x 2 + y 2 dxdy = r.r drdθ = 2π ( 1 3 3 ) dθ = 1 3. [θ]2π = 2π 3. INEGAL IPLA ( ) 1 r2 dr dθ = 2π [ ] r 3 1 3 dθ = Seja w = f(x, y, w) uma função contínua denida em uma região limitada e fechada do espaço xyz. raçando planos paralelas aos planos cartesianos, recobrimos a região por pequenos paralelepípedos. Considerando apenas os paralelepípedos k que estão inteiramente contidos em, numerando-os de 1 até n, e escolhendo em cada retângulo k um ponto (x k, y k, z k ) formamos a soma n f(x k, y k, z k ) xk. yk. zk, k=1 onde xk. yk. zk = V k é o volume do paralelepípedo k. 8
Denição. 5 Seja f(x, y) uma função contínua denida em uma região limitada e fechada do plano xy, denimos a integral tripla sobre o sólido, que denotaremos por pelo limite caso exista. f(x, y, z)dv ou f(x, y, z)dxdydz, f(x, y, z)dv = lim max Vk f(xk, y k, z k ) V k, Propriedades Sejam f e g funções contínuas em limitado e fechado e k um número real, então 1. f(x, y, z) + g(x, y, z)dv = f(x, y, z)dv + g(x, y, z)dv 2. k.f(x, y, z)dv = k. f(x, y, z)dv 3. Se é a união de duas regiões 1 e 2 em 3 limitadas e fechadas, que não tem ponto em comum, exceto posivelmente os pontos de suas fronteiras, então f(x, y, z)dv = f(x, y, z)dv + 1 f(x, y, z)dv. 2 Cálculo Integral ripla Iremos calcular integrais triplas inicialemte para regiões de três tipos. ipo 1 A região é limitada inferiormente pelo gráco da função z = h 1 (x, y) e superiormente pelo gráco de z = h 2 (x, y), onde h 1 e h 2 são funções contínuas sobre a região do plano xy. Neste caso, temos 9
f(x, y, z)dv = [ ] h2 (x,y) f(x, y, z)dz da. h 1 (x,y) ipo 2 A região é limitada à esquerda pelo gráco da função y = p 1 (x, z) e pela a direita pelo gráco de y = p 2 (x, z), onde p 1 e p 2 são funções contínuas sobre a região do plano xz. Neste caso, temos f(x, y, z)dv = [ ] p2 (x,z) f(x, y, z)dy da. p 1 (x,z) ipo 3 A região é limitada na parte de trás pelo gráco da função x = q 1 (y, z) e ná frente pelo gráco de x = q 2 (y, z), onde q 1 e q 2 são funções contínuas sobre a região do plano xz. 1
Neste caso, temos f(x, y, z)dv = [ ] q2 (x,y) f(x, y, z)dx da. q 1 (y,z) Exercícios: 1. Calcule x.y.zdv, onde é um paralelepípedo de vértices (,, ), (2,, ), (2, 2, ), (, 2, ), (, e (, 2, 3). 2. x.y.zdv, onde é um teraedro de vértices (,, ), (2,, ), (, 2, ) e (,, 4). 3. Calcule x.y.zdv, onde é limitado pelos planos xy, y=, y=4 e pela equação z x 2 + 4 =. 4. Calcule xdv, onde é o sólido limitado pelo cilindro x2 + y 2 = 25 e pelos planos xy e x + y + z = 8. 5. Calcule (x 1) dv, onde é a região do espaço delimitado pelos planos y=, z=, y+z=5 e pelo cilindro parabólico z = 4 x 2. Mudança de Variáveis Sejam e ' regiões limitadas e fechadas, e f(x, y, z) denida sobre. Suponhamos que exista uma transformação (u(x, y, z), v(x, y, z), w(x, y, z)) : e que (x(u, v, w), y(u, v, w), z(u, v, w)) : seja a transformação inversa, com u, v, w, u 1, v 1 e w 1 funções contínuas e com derivadas parciais contínuas, neste caso temos f(x, y, z)dxdydz = f(x(u, v, w), y(u, v, w), z(u, v, w)) (x,y,z) (u,v,w) dudvdw, onde (x,y,z) (u,v,w) é chamado de determinante jacobiano de x, y e z em relação a u, v e w, denido por (x, y, z) (u, v, w) = x u y u z u x v y v z v Mudança Para Coordenadas Cilíndricas x w y w z w Se P = (x, y, z) é um ponto no espaço xyz, suas coordenadas cilíndricas são (r, θ, z), onde (r, θ) são as coordenadas polares da projeção de P no plano xy e são denidas por: 11
x = rcos(θ) y = rsen(θ) z = z E neste caso teremos que f(x, y, z)dxdydz = [f(rcos(x), rsen(x), z)r] drdθdz. Para Coordenadas Esféricas Seja P = (x, y, z) um ponto no espaço xyz. Suas coordenadas esféricas são (ρ, θ, φ) onde ρ é a distância do ponto P à origem, θ é o ângulo formado pelo eixo positivo dos x e o segmento de reta que liga (,, ) a (x, y, ) e ϕ é o ângulo formado pelo eixo positivo dos z e o segmento de reta que liga P à origem: x = ρsen(θ)cos(φ) y = ρsen(θ)sen(φ) z = ρcos(θ), onde ρ = x 2 + y 2 + z 2, θ 2π e φ π, o que dene uma região no espaço ρθφ. Neste caso, temos f(x, y, z)dxdydz = [ f(ρsen(φ)cos(θ), ρsen(φ)sen(θ), ρcos(φ))ρ 2 sen(φ) ] dρdφdθ. 12
13