ARTEFATOS Experiências com o baricentro Deborah Raphael IME - USP No acervo da Matemateca do Instituto de Matemática e Estatística da USP, temos várias peças que exploram o centro de massa, do ponto de vista físico e matemático. Algumas experiências são muito fáceis de serem reproduzidas em sala de aula e o material necessário é mínimo. Sugerimos aqui atividades a serem realizadas quando o professor estiver apresentando o baricentro de um triângulo. A proposta é motivar o aluno, mostrando várias propriedades físicas para então explorar a matemática envolvida. Os conceitos A palavra de origem grega baricentro (barus = peso) designa inicialmente o centro dos pesos. Arquimedes foi o primeiro a estudar o baricentro de dois pontos de massas m 1 e m 2. Definimos aqui o baricentro como o ponto O tal que moa+ m OB=. 1 2 0 Em Matemática essa noção foi generalizada para um sistema com n pontos e também para o caso de o número de pontos ser infinito (uma curva, uma superfície, um sólido, etc.). A idéia de fazer a média das massas ponderadas é a mesma; na generalização, uma integral substitui a somatória e uma função densidade substitui a massa de cada ponto. O baricentro assim definido é também chamado centro de massa. Observamos que o que é usualmente designado por centro de gravidade não é o mesmo que centro de massa. Na definição de centro de gravidade leva-se em consideração o campo gravitacional em cada ponto. Se o campo for constante, o centro de massa coincide com o centro de gravidade. REVISTA DO PROFESSOR DE MATEMÁTICA 63, 2007 33
Imaginamos que as atividades a seguir serão desenvolvidas no planeta Terra e com objetos muito pequenos em relação às dimensões do planeta. Assim, é muito sensato supor o campo gravitacional constante, permitindo a identificação entre centro de massa e centro de gravidade. Atividade Material necessário Caixas de papelão (grosso), régua, tesoura, barbante, um prego na parede, uma chave de fenda. Descrição da atividade 1. O problema a ser apresentado é o de encontrar o centro de massa de figuras planas (polígonos). Pode-se começar com uma régua (retangular), desafiando os alunos a equilibrarem a régua na ponta de um dedo e explicando que o ponto onde se coloca o dedo é o centro de massa. Como achar esse ponto numa placa poligonal qualquer? 2. Os alunos, divididos em grupos, devem cortar as placas de papelão. Várias figuras serão cortadas no papelão; sugerimos, para cada grupo, ao menos um retângulo, triângulos variados (ao menos um isósceles e um escaleno), um polígono irregular de quatro ou cinco lados. As figuras não devem ter menos que 200 centímetros quadrados. É interessante que os grupos tenham figuras diferentes, sobretudo o polígono irregular. 3. São propostas duas maneiras de achar o centro de massa de uma placa, usando propriedades físicas. i) Pendurando a placa em um prego, o centro de massa está na reta perpendicular ao solo que passa pelo prego. Fazendo um pequeno furo perto da borda da figura plana, pode-se pendurá-la no prego (ela deve ficar solta, girando livremente em torno do prego). Amarra-se em seguida um peso ao barbante (um fio de prumo). Fazendo uma argolinha na ponta livre do barbante e pendurando no prego, o barbante fica esticado em frente à placa. O centro de massa está na reta indicada pelo barbante (marcar na figura essa reta). 34 SOCIEDADE BRASILEIRA DE MATEMÁTICA
Fazendo outro furinho na figura e repetindo o procedimento, encontramos outra reta. O centro de massa é a intersecção das duas retas. ii) A placa fica em equilíbrio sobre uma reta se o centro de massa da placa estiver sobre a reta. Pode-se utilizar um batente de janela ou uma ripa de madeira ou ainda um perfil de metal: a idéia é ter uma régua em cima da qual vamos equilibrar a placa (a face na qual a placa se equilibra deve ter não mais que 3 mm). Colocando a placa sobre a régua, o equilíbrio é alcançado quando o centro de massa da placa estiver sobre a reta. Traçamos na placa a reta e repetimos o procedimento buscando outra reta. A intersecção das duas retas novamente é o centro de massa. 4. Cada grupo escolhe uma placa, determina o centro de massa e o marca. Faz também outras marcas (usando cores diferentes) para confundir a outra equipe. As placas são trocadas e o objetivo é descobrir qual das marcas está sobre o centro de massa. Para isso sugerimos utilizar duas propriedades físicas. a) Se fizermos a placa girar sobre a mesa, ela sempre tenta girar em torno do seu centro de massa. b) Fazendo um furo na marca onde deve estar o centro de massa e inserindo a chave de fenda no furo, seguramos a chave e giramos a placa (mantendo a placa perpendicular ao solo). Se o furo estiver realmente no centro de massa, a placa gira livremente, sem solavanco (colocando a chave fora do centro de massa e fazendo girar, dá para sentir a diferença). Um desafio interessante é pedir aos alunos que construam uma placa cujo centro de massa esteja fora da figura. Num primeiro momento podem achar isso impossível. Formatos como lua crescente ou um bumerangue têm essa propriedade. Tendo feito essas experiências, é mais fácil entender por que o baricentro é importante. Fica mais claro que esse ponto é fundamental no estudo do equilíbrio e do movimento. É natural que os matemáticos tentem determiná-lo! REVISTA DO PROFESSOR DE MATEMÁTICA 63, 2007 35
Explorando a Matemática Neste ponto é interessante introduzir a definição do baricentro de um triângulo. Estamos procurando um ponto no qual o triângulo fique equilibrado. Dado um triângulo ABC qualquer, traçamos a mediana relativa ao lado AB pelo ponto médio O. Repare que todo segmento paralelo ao lado AB é cortado pela mediana em duas partes iguais e, portanto, o centro de massa de cada um desses segmentos está na mediana. Pensando no triângulo como a união desses segmentos, esperamos que o centro de massa do triângulo também esteja nessa mediana. O mesmo raciocínio se aplica a todas as medianas e, portanto, parece razoável definir o baricentro do triângulo como sendo o encontro das medianas. Os alunos podem agora tomar uma placa triangular, marcar o encontro das medianas e repetir os experimentos para verificar que, de fato, sempre encontramos o mesmo ponto. Será que, sabendo achar o baricentro de um triângulo, é possível determinar o baricentro de qualquer polígono? A resposta é sim e há vários procedimentos possíveis. Vamos começar com um polígono irregular de quatro lados. Será que o centro de massa estará no encontro das diagonais? Experimentando com as placas, os alunos percebem que isso nem sempre é verdade. Então, como proceder? Temos duas sugestões que podem ser exploradas. 1) Traçando uma das diagonais obtemos dois triângulos e, como já se sabe achar o baricentro de um triângulo, achamos os dois baricentros: B 1 e. E agora? Traçamos uma reta ligando os dois baricentros. O baricentro do polígono deve estar nessa reta. Dá para perceber isso usando o experimento ii) cada um dos triângulos pode ser equilibrado sobre essa reta; logo, juntando os dois triângulos, o equilíbrio se mantém. 36 SOCIEDADE BRASILEIRA DE MATEMÁTICA
Encontramos então uma reta na qual está o centro de massa. Se repetirmos o procedimento utilizando a outra diagonal, encontramos outra reta na qual está o centro de massa. A intersecção das retas é o centro de massa. 2) Este segundo procedimento envolve cálculo de áreas e proporções. Novamente X vamos tomar um polígono irregular de 4 lados, XYZW, e dividi-lo em dois triângulos Y B T 1 (XYW) e T 2 (YWZ) com baricentros 1 C B 1 e, respectivamente. Já sabemos que o segmento B 1 contém o centro de massa C. Além disso, temos também: W Z Área T 1 x B 1 C = Área T 2 x C. Calculando as áreas dos triângulos, obtemos o centro de massa do polígono. Ambos os procedimentos podem ser generalizados para polígonos com qualquer número de lados. Por exemplo, no caso de um pentágono, ligando dois vértices não adjacentes, obtemos um triângulo e um quadrilátero. Encontramos os centros de massa de cada um desses polígonos e procedemos de forma análoga ao descrito anteriormente em 1) e 2). A autora Deborah Raphael faz parte do grupo de professores responsáveis pela Matemateca/IME/USP http://matemateca.incubadora.fapesp.br matemateca@ime.usp.br REVISTA DO PROFESSOR DE MATEMÁTICA 63, 2007 37