Faculdade de Economia da Universidade ova de Lisboa 1304 Análise de Dados e Probabilidade B 1º Semestre 2009/2010 Fernando Brito Soares Graça Silva Erica Marujo António Rua º: ome: Data: 23 de Outubro de 2009, 1.30 Duração: 1h30 horas ota: A utilização de máquinas científicas e gráficas só será permitida depois de feito o respectivo reset. Atenção: Responda a todos os grupos no enunciado. ão desagrafe nenhuma folha. Apresente todos os cálculos e/ou justificações para as suas respostas. I (40%) Um estudo realizado no colégio ova Campolide permitiu obter alguns dados relativos aos alunos que entraram para o primeiro ano em 2008/2009. Duas das variáveis estudadas foram: T tempo gasto (em minutos) pelo aluno a almoçar e Z número de visitas de estudo em que o aluno participou. as tabelas seguintes apresentam se os resultados obtidos: Tempo gasto a almoçar (min) úmero de alunos úmero de visitas de estudo úmero de alunos ];1] 0 6 ]1;20] 30 1 ]20;30] 2 40 ]30;4] 8 3 4 ]4;60] 12 4 40 a) (10%) Construa a função cumulativa de frequências absolutas da variável Z e represente a graficamente. b) (10%) Calcule a moda e a mediana para cada uma das variáveis. Interprete os resultados obtidos. c) (10%) Calcule o desvio absoluto médio para a variável Z. Sem efectuar cálculos, diga justificando se o desvio padrão de Z é igual, superior ou inferior ao valor encontrado. 1
d) (10%) Suponha que no ano 2008/2009 foram constituídas 4 turmas do 1º ano. O tempo médio de estudo (em minutos), por dia, bem como o desvio padrão, obtidos para cada uma das turmas foram os seguintes: Turma 1 Turma 2 Turma 3 Turma 4 1 = 30 2= 30 3 = 40 4 = 0 x 1 =42 x 2 =? x 3 =4 x 4 =30 s 1 2 =36 s 2 2 =16 s 3 2 =16 s 2 =2 Comente a seguinte afirmação: A dispersão do tempo de estudo é maior na turma 4 do que na turma 1. II (30%) A companhia aérea Angel Wings efectuou recentemente um estudo sobre a distribuição salarial dos seus funcionários. Desse estudo foi retirado o seguinte quadro, onde os salários mensais são medidos em euros: Salários Mensais Funcionários em % do total Salários em % do total 0 00 3 00 1000 32 10 1000 2000 23 2 2000 000 7 30 000 10000 3 30 a) (1%) O Presidente da Devil Air Aces, uma companhia aérea rival, afirmou: esta empresa existe uma má gestão na política salarial, uma vez que uma elevada percentagem dos salários está concentrada numa reduzida percentagem de funcionários, nomeadamente, nos pilotos da companhia. Há, portanto, um bom motivo para os seus funcionários avançarem para a greve. Comente a afirmação, justificando e quantificando a sua resposta. b) (1%) Após uma análise dos resultados deste estudo, a administração da Angel Wings decidiu que a média dos salários devia aumentar para 1371 euros, e este aumento deveria ser realizado de tal forma que todos os funcionários tivessem o mesmo aumento relativo. Sabendo que este estudo incidiu sobre 600 funcionários da Angel Wings, qual o aumento, em percentagem, da massa salarial desta companhia? Justifique algebricamente a sua resposta. 2
III (30%) Uma empresa multinacional é constituída pela empresa mãe sediada em Portugal e 3 filiais localizadas em países da área do euro, nomeadamente Espanha, França e Itália, empregando ao todo 00 funcionários. a empresa mãe, onde trabalham 10 pessoas, o salário médio mensal é de 1100 euros com um desvio padrão de 200 euros. a filial localizada em Espanha, trabalham 10 pessoas com um salário médio mensal de 110 euros em que a variância dos salários é de 10000. Em França, a filial emprega 100 pessoas com um salário médio mensal de 120 euros com um desvio padrão de 10 euros. Por sua vez, na filial italiana o montante gasto em salários por mês é de 130000 euros e a variância dos salários mensais é de 200. a) (%) Calcule o salário médio auferido na empresa multinacional. b) (10%) Calcule o desvio padrão dos salários auferidos na empresa multinacional. c) (%) Imagine que devido ao bom desempenho da empresa se está a pensar dar um bónus mensal de 12 euros a todos os funcionários. Qual será o impacto no salário médio mensal e no respectivo desvio padrão? Justifique. d) (10%) o âmbito da negociação salarial, vai se proceder à actualização dos salários em 2010 com base na previsão de inflação para esse ano. Imagine que se pretende aumentar os salários em 1. por cento. Qual será o impacto no salário médio mensal e no respectivo desvio padrão? Justifique. 3
Correcção I (40%) Um estudo realizado no colégio ova Campolide permitiu obter alguns dados relativos aos alunos que entraram para o primeiro ano em 2008/2009. Duas das variáveis estudadas foram: T tempo gasto (em minutos) pelo aluno a almoçar e Z número de visitas de estudo em que o aluno participou. as tabelas seguintes apresentam se os resultados obtidos: Tempo gasto a almoçar (min) úmero de alunos úmero de visitas de estudo úmero de alunos ];1] 0 6 ]1;20] 30 1 ]20;30] 2 40 ]30;4] 8 3 4 ]4;60] 12 4 40 F(Z)= a) (10%) Construa a função cumulativa de frequências absolutas da variável Z e represente a graficamente. 0 Z < 0 6 0 Z <1 16 1 Z <2 6 2 Z <3 110 3 Z <4 10 Z 4 4
b) (10%) Calcule a moda e a mediana para cada uma das variáveis. Interprete os resultados obtidos. Tempo gasto a almoçar (min) úmero de alunos = nj hj Sj f j F j dj ];1] ]1;20] ]20;30] ]30;4] ]4;60] 10 0,0313 0,0313 0,00313 30 3 0,187 0,2188 0,037 10 90 0,3438 0,626 0,03438 48 1 148 0,362 0,921 0,02417 12 1 160 0,07 1,0 0,00 Variável T: Moda: Classe modal: ]1;20] (classe com maior densidade) 0,03438 mod x 1 19,83 min 0,03438 0,00313 A maioria dos alunos demora 19,83 minutos a almoçar. Mediana: F(x ) = 0, Classe mediana: ]20;30] F 30 F 20 30 20 F x F 20 x 20 0,626 0,2188 10 0, 0,2188 x 28,179 min x 20
0% dos alunos demoram 28,179 minutos ou menos a almoçar. Variável Z: úmero de visitas de estudo úmero de alunos Sj fj Fj 0 6 6 0,0414 0,0414 1 10 11 0,034 0,079 2 40 1 0,279 0,318 3 4 10 0,3724 0,7242 4 40 14 0,279 1 Moda = 3 A maioria dos alunos realizou 3 visitas de estudo. Mediana: é par 2k 1 14 2k 1 k 72 x Z k 1 Z 3 0% dos alunos realizaram 3 ou menos visitas de estudo. c) (10%) Calcule o desvio absoluto médio para a variável Z. Sem efectuar cálculos, diga justificando se o desvio padrão de Z é igual, superior ou inferior ao valor encontrado. Z d n j Zi Z i Z 6 0 40 4 14 2,81 visitas 6 0 2,81 40 4 2,81 0,80 visitas 14 Pela segunda propriedade do desvio médio demonstra se que o desvio médio é sempre inferior ao desvio padrão. 6
d) (10%) Suponha que no ano 2008/2009 foram constituídas 4 turmas do 1º ano. O tempo médio de estudo (em minutos), por dia, bem como o desvio padrão, obtidos para cada uma das turmas foram os seguintes: Turma 1 Turma 2 Turma 3 Turma 4 1 = 30 2= 30 3 = 40 4 = 0 x 1 =42 x 2 =? x 3 =4 x 4 =30 s 1 2 =36 s 2 2 =16 s 3 2 =16 s 2 =2 Comente a seguinte afirmação: A dispersão do tempo de estudo é maior na turma 4 do que na turma 1. C V1 S 1 36 x 1 42 0,1429 e C V 4 S 4 2 x 4 30 0,1667 A afirmação é verdadeira. A dispersão é maior na turma 4 dado que esta tem um maior coeficiente de variação. II (30%) A companhia aérea Angel Wings efectuou recentemente um estudo sobre a distribuição salarial dos seus funcionários. Desse estudo foi retirado o seguinte quadro, onde os salários mensais são medidos em euros: Salários Mensais Funcionários em % do total Salários em % do total 0 00 3 00 1000 32 10 1000 2000 23 2 2000 000 7 30 000 10000 3 30 a) (1%) O Presidente da Devil Air Aces, uma companhia aérea rival, afirmou: esta empresa existe uma má gestão na política salarial, uma vez que uma elevada percentagem dos salários está concentrada numa reduzida percentagem de funcionários, nomeadamente, nos pilotos da companhia. Há, portanto, um bom motivo para os seus funcionários avançarem para a greve. Comente a afirmação, justificando e quantificando a sua resposta. Para vermos se de facto o Presiente da Devil Air Aces tem ou não razão, temos que calcular o índice de Gini, que mede a concentração da distribuição. O índice de Gini é dado pela seguinte expressão: 7
G m 1 p j q j m 1 1 p j m 1 q j m 1 p j Onde p j, a proporção de funcionários que auferem o mesmo nível de salário mensal até o limite superior da j ésima classe, e q j, a proporção da massa salarial desta companhia possuíd a pelos mesmos funcionários até à j ésima classe são dadas por: j s=1 p j =F j* = f s q j = j s=1 m s=1 t s = t t s r s j s=1 (1) (2) (3) o enunciado temos dados relativos à variável em estudo x j, que representa o valor do salário mensal que cada um das funcionários da Angel Wings aufere actualmente; temos também dados relativos aos funcionários em percentagem do total, que correspondem às frequências relativas da distribuição, f j, ou seja, às frequências relativas dos elementos; e temos também informação acerca dos salários em percentagem do total, que correspondem ao valor das frequências relativas do atributo, ou seja, aos t j r. Assim, para calcularmos os valores de p j e q j, apenas precisamos acumular o valor de f j e t j r, respectivamente, tal como as equações (2) e (3) nos indicam: x j f j F j p j r t j q j 0 00 0,3 0,3 0,0 0,0 00 1000 0,32 0,67 0,1 0,1 1000 2000 0,23 0,9 0,2 0,4 2000 000 0,07 0,97 0,3 0,7 000 10000 0,03 1 0,3 1 Σ 1 1 Assim send o, torna se muito fácil c alcular o valor do índice de Gini: G 4 p j q j 4 1 p j 4 q j 4 p j 0,0 0,1 0,4 0,7 1 0,3 0,67 0,9 0,97 1 1,3 2,89 0,02 Logo, sabendo que o grau de concentração aumenta com o valor do índice de Gini e que este varia sempre entre 0 (grau de concentração mínima) e 1 (grau de concentração máxima), podemos concluir que o Presidente da Devil Air Races tem razão, uma vez que um índice de Gini de 0,02 já indica um grau de concentração elevado desta distribuição, ou seja, indicanos que uma elevada percentagem da massa salarial da Angel Wings está distribuída por um número relativamente reduzido de funcionários. Conclui se, portanto, que a concentração efectivamente existe e é elevada, o que pode justificar uma greve por parte dos funcionários que auferem salários mais baixos. 8
b) (1%) Após uma análise dos resultados deste estudo, a administração da Angel Wings decidiu que a média dos salários devia aumentar para 1371 euros, e este aumento deveria ser realizado de tal forma que todos os funcionários tivessem o mesmo aumento relativo. Sabendo que este estudo incidiu sobre 600 funcionários da Angel Wings, qual o aumento, em percentagem, da massa salarial desta companhia? Justifique algebricamente a sua resposta. A média inicial dos salários é dada por: x n j x ' j f x j j ' 0,3 20 0,32 70 0,23 100 0,07 300 0,03 700 1142, Logo, se sabemos que 600, a massa salarial inicial pode ser obtida como : MS Massa Salarial n j x ' j x ' n j x ' j 1142, 600 6800 Após o aumento relativo igual para todos os funcionários, o novo valor da média é de 1371 euros, pelo que o novo val or da massa salarial é o seguinte: MS' Massa Salarial' n j x ' j x ' n j x ' j 1371 600 822600, Onde MS representa a massa salarial após o aumento relativo. Logo, a variação na massa salarial, em percentagem, é dada por: Δ%MS MS' MS 100 822600 6800 100 20% MS 6800 Alternativamente, podíamos ter determinado primeiramente o valor do aumento relativo, através de uma das propriedades da média aritmética: x ' 1 α x 1371 1 α 1142, 1 α 1,2 α 0,2 Aumento Relativo 20% Este aumento relativo também corresponde ao aumento relativo verificado na massa salarial, uma ve z que esta é directamente proporcional ao valor da média: x ' 1 α x n j x ' j ' 1 α n j x ' j n j x ' j ' 1 α n j x ' j MS' 1 α MS 9
III (30%) Uma empresa multinacional é constituída pela empresa mãe sediada em Portugal e 3 filiais localizadas em países da área do euro, nomeadamente Espanha, França e Itália, empregando ao todo 00 funcionários. a empresa mãe, onde trabalham 10 pessoas, o salário médio mensal é de 1100 euros com um desvio padrão de 200 euros. a filial localizada em Espanha, trabalham 10 pessoas com um salário médio mensal de 110 euros em que a variância dos salários é de 10000. Em França, a filial emprega 100 pessoas com um salário médio mensal de 120 euros com um desvio padrão de 10 euros. Por sua vez, na filial italiana o montante gasto em salários por mês é de 130000 euros e a variância dos salários mensais é de 200. a) (%) Calcule o salário médio auferido na empresa multinacional. O salário médio auferido na empresa multinacional é dado por x Px P E x E F x F I x I Sabe se que: 00 P 10 e x P 1100 E 10 e x E 110 F 100 e x F 120 Como 00, então I P E F 00 10 10 100 100 Logo: x I 1300 Assim: 10 1100 10 110 100 120 100 1300 x 118 00 b) (10%) Calcule o desvio padrão dos salários auferidos na empresa multinacional. Sabe se que: k s 2 j s j 2 j x j x 2 k este caso: s 2 P s 2 P E s 2 E F s 2 F I s 2 I P x P x 2 E x E x 2 F x F x 2 I x I x 2 Da do que: s 2 P 200 40000 10
2 s E 10000 s 2 F 10 2200 s 2 I 200 Então: 00 10 s 2 2602 40000 10 10000 100 2200 100 200 10 1100 118 10 110 118 100 1300 118 2 100 1300 118 2 Logo o desvio padrão é dado por 2602 161,32. c) (%) Imagine que devido ao bom desempenho da empresa se está a pensar dar um bónus mensal de 12 euros a todos os funcionários. Qual será o impacto no salário médio mensal e no respectivo desvio padrão? Justifique. O salário médio auferido na empresa multinacional vai aumentar 12 euros e o desviopadrão fica inalterado. O novo salário médio é dado por: Px P' Ex E ' F x F ' I x I x ' P x P 12 E x E 12 F x F 12 I x I 12 x 12 Relativamente ao desvio padrão: s 2 2 ' E Is 2 I ' P x 2 E x E x 2 F x F x 2 I x I x 2 P s 2 P ' s E ' F s 2 F ' P x 2 Como s ' 2 j s j e x ' j x ' x j x, então s 2 ' s 2. d) (10%) o âmbito da negociação salarial, vai se proceder à actualização dos salários em 2010 com base na previsão de inflação para esse ano. Imagine que se pretende aumentar os salários em 1. por cento. Qual será o impacto no salário médio mensal e no respectivo desvio padrão? Justifique. Quer o salário médio quer o desvio padrão vão aumentar 1,%. O novo sa lário médio é dado por: Px P ' E x E ' F x F ' I x I x ' P 1,01 x P E 1,01 x E F 1,01 x F I 1,01 x I 1,01 x 11
Relativamente ao desvio padrão: s 2 2 ' Fs 2 E x 2 P s 2 P ' E s E ' 2 F ' I s 2 I ' P x P x x E x 2 F x F I x I x 2 Como s j 2 ' 1,01 s j 2 e x j ' x ' 1,01 x j x, então s 2 ' 1,01 s 2, logo s ' 1,01 s. 12