UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA JULIO DE MESQUITA FILHO FACULDADE DE ENGENHARIA DE GUARATINGUETA ESPIRAIS Adriana Nascimento Figueira <man06101@feg.unesp.br> Marisa M. F. Lima Arezo e Silva <man06114@feg.unesp.br> Guaratinguetá / SP 2007 Palavras-chave: Espiral; Espiral Logarítmica; Fibonacci. Artigo apresentado na disciplina de Cálculo Diferencial e Integral II, do Curso de Licenciatura em Matemática. Prof. Dr. José Ricardo de Rezende Zeni
ÍNDICE Introdução A Matemática da Beleza...03-04 Espiral...05 Espiral de Arquimedes...05-06 Espiral Logarítmica...07-09 Espirais de Fibonacci...10 As espirais de Fibonacci nas sementes de flores...10 Os girassóis de Fibonacci...10-11 Conclusão...12 Referências Bibliográficas...13 2
A Matemática da Beleza O Belo segue princípios que o artista aprende olhando o mundo. (Marcelo Gleiser) O que conchas de caracóis (fig. 01), galáxias, furacões, os chifres de um bode (fig. 02) e a curva do seu lábio superior (fig. 03) têm em comum? Todos seguem a mesma curva fundamental, a espiral logarítmica. Não, seus lábios não são uma espiral, mas parte dela. Todas essas formas, além de revelarem uma elegância única, atestam também uma unidade nos processos criativos que existem no mundo natural. No caso da espiral, ela surge quando a parte externa de um objeto cresce mais rapidamente do que a interna. (Figura 01 a) (Ffigura 01 b) (Figura 02) (Figura 03) 3
Os gráficos das espirais logarítmicas vistas nos exemplos anteriores foram feitos no programa Winplot através dos ajustes de a e K na equação polar r = a.exp(k.t). Vejamos como ficaram as equações dessas curvas: Figura 01 a: r = - exp(t/9) t mínimo = 0 ; t máximo = 18.85 Figura 01 b: r = 3.exp(2t/7) t mínimo = 0 ; t máximo = 14.5 Figura 02: r = - exp(2t/7) t mínimo = 0 ; t máximo = 5 Figura 03: r = exp(3t) e r = - exp(3t) t mínimo = 0 ; t máximo = 2 4
Espiral Na matemática define-se a espiral como uma curva plana gerada por um ponto P de uma reta que passa sempre por um ponto fixo O denominado pólo e que gira uniformemente em torno de O; o ponto P se desloca continuamente ao longo da reta OP com alguma lei, resultando diferentes tipos de espiral de acordo com essa lei de deslocamento. São usualmente definidas usando coordenadas polares, r e θ. Espiral de Arquimedes Se a distância ρ = OP, chamada raio vetor, que define a posição do ponto P na reta, varia proporcionalmente ao ângulo θ de rotação da reta, medido a partir de um eixo de referência Ox, chamado eixo polar, com a lei ρ = k.θ, resulta uma espiral particular conhecida por espiral de Arquimedes (ou espiral uniforme ). Resulta dessa lei que a distância entre espiras se mantém uniforme, motivo da segunda denominação. Como ρ(θ): ρ 1 = k.θ 1 ; ρ 2 = k.θ 2 = k.(θ 1 + 2π) ; ρ 3 = k.θ 3 = k.(θ 2 + 2π) ; ρ 4 = k.θ 4 = k.(θ 3 + 2π); 5
Distância d entre espirais consecutivas: ρ 2 - ρ 1 = ρ 3 - ρ 2 = ρ 4 - ρ 3 = 2π.k O nome espiral de Arquimedes provém do fato de ter sido Arquimedes o primeiro a chamar atenção para essa curva e a estudá-la. Quando o raio vetor, a partir de qualquer posição, gira uma volta completa (2π) o raio vetor aumenta de 2π.k. Resulta daí o significado geométrico (e também físico) da constante k. Se k é muito pequeno, a distância entre espiras é pequena. Gráfico da Espiral de Arquimedes: Sua equação em coordenadas polares: Considere r o raio vetor, k uma constante e θ o ângulo polar; Sua equação em coordenadas retangulares: 6
Espiral Logarítmica Outra lei de variação do raio é a seguinte: ρ = ρ 0.e k.θ onde ρ 0 representa o valor inicial do raio vetor (para θ = 0) e k, uma constante relacionada com a inclinação da espiral em relação ao raio vetor. Tomando os logaritmos de ambos os membros da expressão acima, encontra-se o significado da constante k: log (ρ/ρ 0 ) = k.θ resultando que k é o logaritmo da relação entre o raio vetor ρ para um giro θ de 1 radiano e o raio vetor inicial (para θ = 0). Daí o nome de espiral logarítmica atribuído a essa curva. Gráfico da Espiral Logarítmica: Sua equação em coordenadas polares: Considere r o raio, a o raio inicial, k uma constante e θ o ângulo polar; Sua equação em coordenadas retangulares: Obs.: x e y são as projeções do raio r nos eixos horizontal e vertical, respectivamente. 7
As espirais têm versões destras e canhotas que envolvem em direções opostas, dependendo das restrições sobre o ângulo polar e o sinal da constante. Uma outra representação geométrica da constante k é obtida derivando em relação à θ a equação para ρ: ρ = ρ 0.k.e k.θ. Assim, segue que ρ /ρ = (ρ 0.e k.θ ) / (ρ 0.k.e k.θ ) = k. Isso significa que o ângulo α entre a perpendicular ao raio vetor e a tangente à espiral é a constante k, assim como indica o gráfico abaixo. Resulta daí o outro nome pelo qual também se conhece esta curva: espiral eqüiangular. Diversos outros nomes foram atribuídos a essa curva, entre eles espiral geométrica, porque para uma mesma direção os diversos raios vetores estão distribuídos segundo uma progressão geométrica. Halley, celebrizado pelo cometa que leva seu nome, batizou-a de espiral proporcional porque as partes de um mesmo raio, subdividido pelas diversas voltas, estão numa proporção contínua. Para uma mesma direção os ângulos 0, 1, 2,..., n, relacionados por n = 0 + 2πn. Vamos agora mostrar que os raios ρ( 0 ), ρ( 1 ) e ρ( 2 ) seguem uma progressão geométrica de razão e 2πk. Sendo n = 0 + 2πn, pela fórmula que define a espiral logarítmica, ρ = ρ 0.e k.θ : ρ( 1 ) = ρ 0 * e k.1, mas 1 = 0 + 2π*1 = 0 + 2π, logo, 8
ρ( 1 ) = ρ 0 * e k.(0+2π) = ρ 0 * e k.0 * e k.2π = ρ( 0 ) * e 2π.k ; Desta forma obtemos ρ( 2 ) = ρ( 1 ) * e 2π.k ; ρ( 3 ) = ρ( 2 ) * e 2π.k ;... ρ( n ) = ρ( n -1 ) * e 2π.k ; Vejamos agora o que isso representa geometricamente: 9
Espirais de Fibonacci, um caso particular da espiral logarítmica Por trás de algumas dessas espirais, existe um número mágico, a razão áurea ou proporção divina. A razão áurea é usualmente indicada por φ (letra grega fi ). É um irracional, φ = 1,618... O número aparece na famosa série de Fibonacci, o italiano que em 1202 escreveu um manual de matemática chamado Livro do Ábaco. Nele, Fibonacci examinou a série de números obtidos ao somarmos os dois anteriores: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34,... Quando dividimos um número pelo seu antecessor, a série converge para a seção áurea. A seção áurea define as proporções do retângulo áureo (o lado maior é 1.618... vezes maior do que o menor). A espiral logarítmica cabe dentro desse retângulo áureo. As Espirais de Fibonacci nas Sementes de Flores Os números de Fibonacci também podem ser vistos na organização das sementes na coroa das flores. À esquerda, encontra-se o diagrama de como o girassol ou uma margarida podem parecer quando aumentados. O centro é marcado com um ponto preto. Pode ver que as sementes parecem formar espirais a curvar tanto para a direita como para a esquerda. A razão, parece estar na forma da distribuição ótima das sementes, não importando o seu tamanho, mas sim a sua distribuição uniforme, desde que não estejam acumuladas no centro nem demasiado afastadas da margem. Se contar as espirais perto do centro nas duas direções, serão ambos números de Fibonacci. Os girassóis de Fibonacci Talvez o caso mais notável do aparecimento dos números de Fibonacci nas plantas esteja relacionado com a família Compositae e em particular no girassol. Ao analisarmos as variedades mais comuns, observamos que nos discos das flores encontram-se sementes que formam dois conjuntos de espirais logarítmicas. 10
Um dos conjuntos está disposto no sentido dos ponteiros do relógio (sentido negativo) e o outro, no sentido positivo. O número de espirais logarítmicas de cada conjunto é diferente, mas são dois números consecutivos de Fibonacci. Usualmente, nos girassóis mais comuns têm-se 34 e 55 espirais. Contudo, nos gigantes, esses números elevam-se a 89 e 144. Girassol gigante com 55 espirais no sentido positivo e 89 no sentido negativo.verifique. 11
CONCLUSÃO As espirais ultrapassam o campo do cálculo matemático chegando até a natureza, em uma de suas diversas formas de manifestação. Neste trabalho enfatizamos as que seguem um crescimento logarítmico. Ao ajustarmos suas equações, podemos obter diversas formas de espirais, como as vistas anteriormente: conchas de caracóis, chifres de bode, lábio superior, sementes do girassol. Sua presença é de suma importância como vimos, na organização e distribuição das sementes nos miolos de algumas espécies de flores. As informações neste trabalho, permite-nos sair dos cadernos e livros e irmos para a prática aplicar os conceitos matemáticos estudados, observando assim que da lei que rege os cálculos ela passa à lei que rege a vida. Dentre muitos outros exemplos de como a matemática apresenta-se em nossas vidas e nosso cotidiano, este é um. Observar e apreciar a beleza das espirais equivale a olhar para o mundo com os olhos de um artista e de um matemático ao mesmo tempo. (Marcelo Gleiser) 12
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS Cálculo um novo horizonte Howard Anton Editora Bookman Ano 2000 6ª edição Estruturas da Natureza Um estudo da interface entre Biologia e Engenharia Augusto Carlos de Vasconcelos Editora Studio Nobel Ano 2000 A matemática da beleza Artigo de Marcelo Gleiser Jornal da Ciência de 19 de Março de 2007 http://www.jornaldaciencia.org.br/detalhe.jsp?id=45426 O número de Ouro na natureza Faculdade de Ciências Universidade de Lisboa www.educ.fc.ul.pt/icm/icm99/icm17/curiosidouro.htm A natureza e Fibonacci Isabel Neves, Maria João Silva, Rita Liberato www.educ.fc.ul.pt/icm/icm99/icm41/natureza.htm Fibonacci e as Sucessões Recorrentes À descoberta do mundo dos Números de Fibonacci www.lmc.fc.ul.pt/~albuquer/fibonacci/trabalho/girassol.htm Enciclopédia online Wikipédia www.pt.wikipedia.org Nota: O site abaixo contém informações e animações sobre o assunto aqui tratado. Sugerimos a quem se interessar pelo assunto, ou para um melhor esclarecimento do mesmo. Um número muito especial XI: Mais plantas e um animal C Fórum PCs Coluna 04 de junho de 2007, por B. Piropo www.forumpcs.com.br/coluna.php?b=210675 13