1. (Ufrj 2003) Seja f a função real dada por f(x) = ax + bx + c, com a > 0. Determine a, b e c sabendo que as raízes da equação f (x) = 12 são -2, 1, 2 e 5. Justifique. 2. (Fuvest 2004) Seja m µ 0 um número real e sejam f e g funções reais definidas por f(x) = x - 2 x + 1 e g(x) = mx + 2m. a) Esboçar, no plano cartesiano representado a seguir, os gráficos de f e de g quando m = 1/4 e m = 1. b) Determinar as raízes de f(x) = g(x) quando m = 1/2. c) Determinar, em função de m, o número de raízes da equação f(x) = g(x). 3. (Uerj 2001) O volume de água em um tanque varia com o tempo de acordo com a seguinte equação: V = 10-4 - 2t - 2t - 6, t Æ IRø Nela, V é o volume medido em m após t horas, contadas a partir de 8h de uma manhã. Determine os horários inicial e final dessa manhã em que o volume permanece constante. 4. (Ufc 2000) Esboce o gráfico da seguinte função real de variável real: f(x) = þ ý2x + x - 3, para x -1 ou x µ 1 ÿë(1 - x ) para -1 < x <1 5. (Ufes 2000) Sejam f e g as funções definidas para todo x Æ IR por f(x)=x -4x+4 e g(x)= x-1. a) Calcule f(g(x)) e g(f(x)). b) Esboce os gráficos das funções compostas fog e gof. pag.1
6. (Ufv 2004) Uma indústria pode produzir, por dia, até 20 unidades de um determinado produto. O custo C (em R$) de produção de x unidades desse produto é dado por: a) Se, em um dia, foram produzidas 9 unidades e, no dia seguinte, 15 unidades, calcule o custo de produção das 24 unidades. b) Determine a produção que corresponde a um custo máximo. 7. (Ita 2003) Mostre que toda função f: IR / {0} ë IR, satisfazendo f(xy) = f(x) + f(y) em todo seu domínio, é par. 8. (Ita 2006) Seja f: [0, 1) ë R definida por ý2x, 0 x < 1/2 f(x) = þ. ÿ2x - 1, 1/2 x < 1 Seja g: (- 1/2, 1/2) ë R dada por ýf[x + (1/2)], - 1/2 < x < 0 g(x) = þ ÿ1 - f[x + (1/2)], 0 x < 1/2, com f definida acima. Justificando a resposta, determine se g é par, ímpar ou nem par nem ímpar. pag.2
9. (Ufc 2002) Sejam f: IRëIR e g: IRëIR, sendo IR o conjunto dos números reais, funções tais que: i) f é uma função par e g é uma função ímpar; ii) f(x) + g(x) = 2Ñ. Determine f(log 3) - g(2). 10. (Fuvest 97) Considere a função f dada por f(x) = {(x + 5) - [12/(x + 1)]/[(x + 9) / (x +1)] - 5/x} a) Determine o domínio de f b) Resolva a inequação f(x) > 0. 11. Uma função tem domínio D = { 3, 7, 10 } e associa cada elemento do domínio ao dobro do valor dele. Qual é a imagem dessa função? 12. Dada a função definida por f (x) = x - x, determine: a) f (-2) b) f (0) 13. (Ime 96) Seja f uma função real tal que x, a Æ IR f é periódica? Justifique. pag.3
14. (Uerj 98) Geraldo contraiu uma dívida que deveria ser paga em prestações mensais e iguais de R$500,00 cada uma, sem incidência de juros ou qualquer outro tipo de correção monetária. Um mês após contrair essa dívida, Geraldo pagou a 1 prestação e decidiu que o valor de cada uma das demais prestações seria sempre igual ao da anterior, acrescido de uma parcela constante de K reais, sendo K um número natural. Assim a dívida poderia ser liquidada na metade do tempo inicialmente previsto. a) Considerando t o tempo, em meses, inicialmente previsto, t>2 e t-2 como divisor par de 2000, demonstre que k=2000/(t-2). b) Se a dívida de Geraldo foi igual a R$9000,00, calcule o valor da constante K. 15. (Ufpe 96) A função f : IR ë IR é tal que f(x+y)=f(x)+f(y), para todo x e y. Calcule f(0)+1. 16. (Fgv 97) Um arquiteto tem dois projetos para construção de uma piscina retangular com 1m de profundidade: Projeto 1: dimensões do retângulo: 16m 25m Projeto 2: dimensões do retângulo: 10m 40m Sabendo-se que as paredes laterais e o fundo são revestidos de azulejos cujo preço é R$10,00 por m : a) Qual a despesa com azulejos em cada projeto? b) Se a área do retângulo for de 400m, e x for uma de suas dimensões, expresse o custo dos azulejos em função de x. pag.4
17. (Ufrj 2004) Uma piscina de borda retangular e paredes laterais verticais está completamente vazia. Para enchê-la será usada uma mangueira que despeja água a uma vazão constante. A piscina ficará cheia até a borda 30 minutos após o início do processo. A figura a seguir mostra uma seção transversal da piscina por um plano vertical paralelo a um par de lados da borda. São idênticas todas as seções transversais do interior da piscina paralelas à seção mostrada na figura, onde também estão assinalados os ângulos retos. a) Determine o tempo necessário para que o nível h de água na piscina atinja 1 metro de profundidade. b) Se t representa o tempo contado a partir do momento em que se começa a encher a piscina, 0 t 30, expresse t como função da altura h da água na piscina. 18. (Ufpe 2005) Sejam x e y números reais tais que x > y e x(x - y) = 0. Analise a veracidade das afirmações abaixo. ( ) x = 0 ( ) y < 0 ( ) x - y < 0 ( ) x > y ( ) x - y > 0 pag.5
19. (Faap 96) No videogame da figura a seguir, os aviões voam da esquerda para a direita segundo a trajetória y=(1/x) +1, e podem disparar suas balas na direção da tangente contra as pessoas ao longo do eixo x, em x=1, 2, 3, 4 e 5. Determine em que ponto do eixo x, alguém seria atingido, se o avião disparar um projétil quando estiver em P(3/2, 5/3), sabendo-se que a declividade da reta tangente é igual a -4/9. a) 5/2 b) 11/4 c) 9/4 d) 5/6 e) impossível de ser determinado pag.6
20. (Unb 96) Uma sala tem 5 lâmpadas, Ø, Ø, ؃, Ø e Ø, que podem estar acesas ou apagadas, independentemente uma das outras. Existem, assim, várias combinações possíveis de lâmpadas acesas. Cada uma dessas combinações é identificada com um conjunto S diferente. Por exemplo, S = {؃, Ø } corresponde ao caso em que apenas ؃ e Ø estão acesas e S=¹, quando nenhuma lâmpada está acesa. Considere P o conjunto formado por todos os possíveis conjuntos de lâmpadas acesas. Define-se, então, no conjunto P, a seguinte função: f(s) = nn nƒn n, em que n = 1, se Ø Æ S, e n = 0, se Ø È S. Com relação à situação apresentada, julgue os itens adiante. (0) Se S = {؃, Ø }, então f(s) = 00101. (1) f (¹) = 00001 (2) Se f (S) = 10011, então S = {Ø, Ø, Ø }. (3) A função f estabelece uma correspondência biunívoca entre P e um conjunto com 32 elementos. pag.7
GABARITO 1. 9. Temos duas equações: (i) ax + bx + c = 12 e (ii) ax + bx + c = - 12. Em ambos os casos, a soma das raízes é - b/a. Na equação ( i ), o produto das raízes é (c - 12)/a; na ( ii ), o produto é (c + 12)/a > (c - 12)/a. Logo, a equação ( i ) tem raízes - 2 e 5 e a ( ii ) tem raízes 1 e 2. Portanto: -b/a = 3, (c - 12)/a = -10, (c + 12)/a = 2. R.: a = 2, b = - 6, c = - 8 2. a) Observe a figura: b) -3/2; 0 e 5/2 c) m = 0 ë 2 raízes distintas 0 < m <1/2 ë 4 raízes distintas m = 1/2 ë 3 raízes distintas m > 1/2 ë 2 raízes distintas 3. Entre 10h e 11h. 4. Observe o gráfico a seguir: pag.8
5. a) f(g(x)) = x-1-4 x-1 + 4 g(f(x)) = x - 4x + 3 b) gráficos: 6. a) C(9) + C(15) = 32 + 17,5 = R$ 47,50. b) x = 6 unidades 7. 1) x = z e y = z ë f(z ) = f(z) + f(z) ë f(z ) = 2f(z) 2) x = - z e y = - z ë f(z ) = f(- z) + f(- z) ë f(z ) = 2f(-z) Logo, f(z ) = 2 f(z) = 2 f(-z), z Æ IR / {0} ë f(-z) = f(z), z Æ IR / {0} ë f é par, z Æ IR / {0} 8. ý 2x, 0 x <1/2 f(x) = þ ÿ 2x - 1, 1/2 x < 1 ý 2x + 1, -1/2 x < 0 f[x + (1/2 )] = þ ÿ 2x, 0 x <1/2 Temos que ý f(x +1/2 ), -1/2 < x < 0 g(x) = þ Ì ÿ1 - f[x + (1/2 )], se 0 x <1/2 g(x) = þ ý 2x + 1, -1/2 < x < 0 ÿ - 2x + 1, se 0 x <1/2 pag.9
E como g(x) = g(-x) x Æ (-1/2, 1/2), g é par. 9. - 5/24 10. a) IR - { -5, -1, 0, 1} b) {x Æ IR / -7 < x < -5 ou x > 0 e x 1} 11. { 6, 14, 20 } 12. a) 6 b) 0 13. É periódica. Para a = 0 f(x) = 1/2 + Ë{f(x) - [f(x)] } e f(x + a) = 1/2 + Ë{f(x) - [f(x)] } 14. a) Dívida original em t prestações ë valor total=500t Com a mudança em t/2 prestações ë valor total=500+500+k+500+2k+500+3k+...+(t/2-1)k = {250+[(t-2)K/8]}.t Igualando os totais, obtemos: K = 2000/(t-2) b) K = 125 15. 1 16. a) projeto 1: R$ 4.820,00 projeto 2: R$ 5.000,00 b) custo = R$ 20,00 [(x +200x+400)/x] 17. a) 10 min b) ý 2h(4+ h), se 0 h 1 t(h) = þ ÿ 20h - 10, se 1 < h 2 18. V V F F V 19. Cancelada pela FAAP. 20. V F V V pag.10