4. COMBINATÓRIA BÁSICA Introdução Regra da soma e do produto 1o. modelo de contagem: amostragem 2o. modelo de contagem: distriuição 3o. modelo de contagem: equação Exemplos e aplicações Partições Identidades cominatórias Cominatória ásica Introdução INTRODUÇÃO Cominatória: ramo da matemática que trata de arranjos de ojetos (configurações satisfazendo propriedades específicas. Prolemas relacionados a arranjos de ojetos: existência construção enumeração contagem arte de contar sem contar otimização verificação de propriedades 125 126 Cominatória ásica Introdução Cominatória ásica Introdução Exemplo 4.1 Exemplos de prolemas cominatórios: Quantas possiilidades existem para escolha de uma senha válida (password em certo sistema de computação? Qual é a proailidade de se acertar a sena na megasena? E a quina? E a quadra? É possível dispor 4 casais em volta de uma mesa circular tal que não haja 2 homens, 2 mulheres ou um casal lado a lado? De quantas maneiras? Listar configurações. Quantas comparações um certo algoritmo de ordenação pode fazer, no máximo? Qual é o menor percurso entre duas cidades utilizando um certo sistema de transporte? Soma 5 no lançamento de dois dados distintos. Casos possíveis: (1,1 (1,2 (1,3 (1,4 (1,5 (1,6 (2,1 (2,2 (2,3 (2,4 (2,5 (2,6... (6,1 (6,2 (6,3 (6,4 (6,5 (6,6 Casos de interesse: (1,4 (2,3 (3,2 (4,1 Número de casos com soma 5: 4 queremos contar sem listar! 127 128
Cominatória ásica Regra da soma e do produto REGRA DA SOMA E DO PRODUTO Cominatória ásica Regra da soma e do produto Exemplo 4.2 Idéia: Dividir prolema de contagem em partes independentes. Regra da soma: A e B eventos disjuntos; A: p casos possíveis; B: q casos possíveis; evento A ou B: p + q casos possíveis. Regra do produto: Estudante X tem as seguintes opções de ida e volta da escola: a ida: 2 ônius ou 3 caronas até a escola; volta: 3 caronas até o centro e daí 2 ônius até a casa. Número de opções: a ida: N 1 2 + 3 5 (regra da soma volta: N 2 3 2 6 (regra do produto Evento C decomposto em etapas sucessivas A e B, resultados da composição todos distintos; A: p casos possíveis; B: q casos possíveis, independente de A. evento C: p q casos possíveis. 129 130 Cominatória ásica Regra da soma e do produto Exemplo 4.3 Cominatória ásica Regra da soma e do produto Exemplo 4.4 Número de maneiras de oter Q ou K de um aralho. evento A: um Q 4 maneiras evento B: um K 4 maneiras A ou B: 4 + 4 8 maneiras. Número de maneiras de oter Q ou carta vermelha de um aralho. Solução 1: evento A: um Q 4 maneiras evento B: carta vermelha 26 maneiras A e B não disjuntos; número de elementos em A e B 2 Q ou carta vermelha: 4 + 26 2 28 maneiras. compensação princípio de inclusão e exclusão Solução 2: evento A: um Q preto 2 maneiras evento B: carta vermelha 26 maneiras A e B disjuntos evento A ou B: 2 + 26 28 maneiras. diferentes maneiras de resolver o mesmo prolema 131 132
Cominatória ásica Regra da soma e do produto Exemplo 4.5 Cominatória ásica Regra da soma e do produto Conjunto das cartas com figura de um aralho (J, Q, K; 4 naipes de cada. a seleção de um J e depois um K; seleção de um J e depois uma carta preta; c seleção de duas cartas com exatamente um J; d seleção de duas cartas com pelo menos um J. Conjunto das figuras de um aralho (J, Q, K; 4 naipes de cada. a seleção de um J e depois um K: N ( 4 1( 4 1 4 4 16 133 134 Cominatória ásica Regra da soma e do produto Cominatória ásica Regra da soma e do produto Conjunto das figuras de um aralho (J, Q, K; 4 naipes de cada. seleção de um J e depois uma carta preta: Tentativa 1: (incorreta N ( 4 1( 6 1 4 6 24 Conjunto das figuras de um aralho (J, Q, K; 4 naipes de cada. c seleção de duas cartas com exatamente um J: N ( 4 1( 8 1 4 8 32 prolema: etapas dependentes: 1a. etapa: J vermelho 2a. etapa: 6 possiilidades de carta preta 1a. etapa: J preto 2a. etapa: 5 possiilidades de carta preta Solução correta: separar seleção de J vermelho e J preto; N ( 2 1( 6 1 + ( 2 1( 5 1 2 6 + 2 5 22 135 136
Cominatória ásica Regra da soma e do produto Cominatória ásica Regra da soma e do produto Exemplo 4.6 Conjunto das figuras de um aralho (J, Q, K; 4 naipes de cada. d seleção de duas cartas com pelo menos um J: Tentativa 1 (incorreta: N ( 4( 11 1 1 4 11 44 (selecionar um J e das cartas restantes selecionar uma. prolema: repetição de resultados da composição: exemplo: J ouros J copas e J copas J ouros Solução correta: separar seleção de um J e de dois Js. N ( 4 1( 8 1 + ( 4 2( 8 0 4 8 + 6 1 38 Solução alternativa: do total de seleções excluir as de nenhum J. N ( 12 ( 2 8 2 66 28 38 Lançamento de dois dados distintos. 1 resultados possíveis: evento A: primeiro dado 6 casos evento B: segundo dado 6 casos eventos A e B: 6 6 36 casos. 2 resultados sem repetição: evento A: primeiro dado 6 casos evento B: segundo dado primeiro dado 5 casos eventos A e B: 6 5 30 casos. (eliminando repetições: 36 6 30 casos 137 138 Cominatória ásica Regra da soma e do produto Exemplo 4.7 Cominatória ásica Regra da soma e do produto Exemplo 4.8 Número de sequências inárias de n dígitos. dígito i: 2 possiilidades n dígitos: N 2 2... 2 2 n Número de inteiros de 3 dígitos divisíveis por 5. Solução 1: números divisíveis por 5: d 1 d 2 d 3 1 d 1 9, 0 d 2 9, d 3 0 ou 5 total de números: N 9 10 2 180 Solução 2: números divisíveis por 5: resto(n, 5 0 contar quocientes 100 5 20; 105 5 21;... 995 5 199. total de números: N (199 20 + 1 180 139 140
Cominatória ásica 1o. modelo de contagem: amostragem 1o. MODELO DE CONTAGEM: AMOSTRAGEM Cominatória ásica 1o. modelo de contagem: amostragem Amostras de r ojetos extraídas de um conjunto de n ojetos distintos. Aspectos a serem considerados: Ordem: sim/não Repetição: sim/não permutação (ou arranjo: ordem é importante. seleção (ou cominação: ordem não importa. amostras de 2 ojetos de {x 1, x 2, x 3 } (n 3, r 2 com repetição sem repetição x 1 x 1 x 1 x 2 x 1 x 2 x 1 x 3 x 1 x 3 x 2 x 1 arranjo x 2 x 1 seqüência x 2 x 3 permutação (ordem importante x 2 x 2 x 3 x 1 x 2 x 3 x 3 x 2 x 3 x 1 x 3 x 2 x 3 x 3 {x 1, x 1 } {x 1, x 2 } {x 1, x 2 } {x 1, x 3 } seleção {x 1, x 3 } multiconjunto {x 2, x 3 } cominação (sem ordem {x 2, x 2 } {x 2, x 3 } {x 3, x 3 } 141 142 Cominatória ásica 1o. modelo de contagem: amostragem Cominatória ásica 1o. modelo de contagem: amostragem 1 Número de sequências de tamanho r: número de sequências n n... n n r 2 Número de permutações: P(n, n n(n 1... 2.1 n! P(n, r n(n 1... (n r + 1 n! (n r! r n Outra demonstração: processo para permutar n ojetos: permutar r primeiros e depois permutar (n-r restantes. no. permutações n ojetos no. permutações r primeiros no. permutações (n-r restantes P(n, n P(n, r P(n r, n r P(n, r P(n,n P(n r,n r n! (n r! 143 144
Cominatória ásica 1o. modelo de contagem: amostragem Cominatória ásica 1o. modelo de contagem: amostragem 3 Número de cominações de tamanho r: ( n r C(n, r n! r n r!(n r! Demonstração: processo para permutar r ojetos dentre n ojetos: selecionar r ojetos e depois permutá-los. no. permutações r ojetos no. seleções r ojetos no. permutações dos r selecionados P(n, r C(n, r P(r, r C(n, r P(n,r P(r,r n! r!(n r! 4 Número de multiconjuntos (seleções com repetição de tamanho r: (( n ( r n 1+r (n 1+r! r C(n 1 + r, r r!(n 1! Demonstração: exemplo de seleção para n 3, r 4 ojetos: a,,c seleção: accc (1a, 0, 3c a c x//xxx 4 x, 2 / x xxx no. seleções no. posições para / (2 no. posições para x (4 ( 2+4 ( 2 2+4 4 15 no. seleções no. posições para / (n-1 no. posições para x (r (( n ( r n 1+r ( n 1 n 1+r (n 1+r! r r!(n 1! 145 146 Cominatória ásica 1o. modelo de contagem: amostragem Cominatória ásica 1o. modelo de contagem: amostragem amostras de 2 ojetos de {x 1, x 2, x 3 } (n 3, r 2 Amostras de r ojetos extraídas de conjunto de n ojetos distintos com repetição sem repetição x 1 x 1 x 1 x 2 x 1 x 2 x 1 x 3 x 1 x 3 x 2 x 1 arranjo x 2 x 1 3 2 9 x 2 x 3 P(3, 2 6 (ordem importante x 2 x 2 x 3 x 1 x 2 x 3 x 3 x 2 x 3 x 1 x 3 x 2 x 3 x 3 {x 1, x 1 } {x 1, x 2 } {x 1, x 2 } {x 1, x 3 } seleção {x 1, x 3 } ( ( 3 ( 2 3 1+2 2 6 {x2, x 3 } C(3, 2 3 (sem ordem {x 2, x 2 } {x 2, x 3 } {x 3, x 3 } arranjo (com ordem seleção (sem ordem com repetição sem repetição n r P(n, r n! (n r! (( n ( r n 1+r ( r C(n, r n r n! r!(n r! 147 148
Cominatória ásica 1o. modelo de contagem: amostragem Cominatória ásica 1o. modelo de contagem: amostragem Exemplos Número de sequências de tamanho r: número de sequências n r Número de permutações: P(n, n n! P(n, r n! (n r! Número de cominações de tamanho r: ( n r C(n, r n! r!(n r! Número de multiconjuntos de tamanho r: (( n r ( n 1+r r ( n 1+r n 1 (n 1+r! r!(n 1! Número de resultados possíveis no lançamento de 3 dados: N 1 6 3 216 Número de arranjos das cartas de um aralho: N 2 P(52, 52 52! 7, 96 10 67 Número de mãos de 5 cartas, no aralho: N 3 ( 52 5 2.598.960 Número de dominós: N 4 ( ( 7 ( 2 7 1+2 ( 2 8 ( 2 8 6 28 149 150 Cominatória ásica 1o. modelo de contagem: amostragem Cominatória ásica 1o. modelo de contagem: amostragem Exemplo 4.9 Oservações: ( n ( r n n r n! 2πn ( n e n (Stirling Número de senhas de 4 dígitos decimais. sem repetição: N 1 P(10, 4 10! 6! 5040 com repetição: N 2 10 4 10.000 151 152
Cominatória ásica 1o. modelo de contagem: amostragem Exemplo 4.10 Cominatória ásica 1o. modelo de contagem: amostragem Permutação com ojetos idênticos Pôquer: proailidade de ocorrer um flush (5 cartas do mesmo naipe. p(flush no. flushes no. mãos de 5 cartas 4 C(13,5 0, 00198 C(52,5 Exemplo: número de permutações com as letras, a, n, a, n, a. Solução 1: 3 posições para a: N a C(6, 3 20 2 posições para n: N n C(3, 2 3 1 posição para : N C(1, 1 1 no. permutações N a N n N 20 3 1 60 Solução 2: 1 posição para : N C(6, 1 6 3 posições para a: N a C(5, 3 10 2 posições para n: N n C(2, 2 1 no. permutações N N a N n 6 10 1 60 153 154 Cominatória ásica 1o. modelo de contagem: amostragem Permutação com ojetos idênticos Cominatória ásica 1o. modelo de contagem: amostragem Permutação com ojetos idênticos n ojetos, r k do tipo k r 1 + r 2 +... + r m n P(n; r 1, r 2,..., r m C(n; ( ( r 1, r 2,..., r m ( n n r1 n r1 r 2... r m 1... r 1 n! r 2 r 1!r 2!... r m! n! P(n; r 1, r 2,..., r m r 1!r 2!... r m! r 1 + r 2 +... + r m n r m n! P(n; r 1, r 2,..., r m r 1 + r 2 +... + r m n r 1!r 2!... r m! Outra demonstração: processo para permutar n ojetos distintos: 1 considerar grupos de ojetos idênticos: permutar grupos; 2 considerar ojetos distintos nos grupos: permutar ojetos nos grupos. total de permutações no. permutações dos grupos no. permutações em cada grupo n! P(n; r 1, r 2,..., r m r 1!r 2!... r m! 155 P(n; r 1, r 2,..., r m n! r 1!r 2!...r m! 156
Cominatória ásica 1o. modelo de contagem: amostragem Permutação com ojetos idênticos Cominatória ásica 1o. modelo de contagem: amostragem Permutação com ojetos idênticos Exemplo: número de permutações com as letras, a, n, a, n, a. n ojetos, r k do tipo k r 1 + r 2 +... + r m n Solução 3: no. permutações P(6; 3, 2, 1 6! 3!2!1! 60 P(n; r 1, r 2,..., r m C(n; ( ( r 1, r 2,..., r m ( n n r1 n r1 r 2... r m 1... r 1 n! r 2 r 1!r 2!... r m! r m se m 2 então r 1 + r 2 n ( ( n n P(n; r 1, r 2 C(n; r 1, r 2 r 1 r 2 n! r 1!r 2 157 158 Cominatória ásica 2o. modelo de contagem: distriuição 2o. MODELO DE CONTAGEM: DISTRIBUIÇÃO Cominatória ásica 2o. modelo de contagem: distriuição Distriuição de 2 olas em 3 caixas distintas Distriuição de r olas em n caixas distintas. Aspectos a serem considerados: olas distintas/idênticas ocupação: exclusiva: máximo de uma ola por caixa não exclusiva: qualquer número de olas por caixa olas distintas ocupação não exclusiva ocupação exclusiva 1 2 1 2 1 2 2 1 1 2 1 2 2 1 2 1 1 2 1 2 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 olas idênticas 159 160
Cominatória ásica 2o. modelo de contagem: distriuição Cominatória ásica 2o. modelo de contagem: distriuição Distriuição de 2 olas em 3 caixas distintas 1. r olas distintas em n caixas (caixas distintas atriuição de número de 1 a n a cada ola no. maneiras n r 2. r olas distintas em n caixas, máximo de 1 ola por caixa escolha ordenada de r caixas para as olas no. maneiras P(n, r 3. r olas idênticas em n caixas seleção de r caixas com repetição no. maneiras (( n r 4. r olas idênticas em n caixas, máximo de 1 ola por caixa seleção de r caixas no. maneiras C(n, r ( n r olas distintas olas idênticas ocupação não exclusiva 1 2 1 2 1 2 2 1 1 2 1 2 2 1 2 1 1 2 3 2 9 ocupação exclusiva 1 2 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 ( ( 3 2 6 P(3, 2 6 C(3, 2 3 161 162 Cominatória ásica 2o. modelo de contagem: distriuição Exemplo 4.11 Cominatória ásica 3o. modelo de contagem: equação 3o. MODELO DE CONTAGEM: EQUAÇÃO Distriuição de r olas idênticas em n caixas, pelo menos uma ola em cada caixa. colocar uma ola em cada caixa e distriuir (r n restantes. no. maneiras ( ( n r n Exemplo: número de soluções inteiras para Solução por enumeração expĺıcita: x 1 x 2 x 3 2 0 0 1 1 0 1 0 1 0 2 0 0 1 1 0 0 2 x 1 + x 2 + x 3 2 x i 0 Número de soluções 6 ( ( 3 2 163 164
Cominatória ásica 3o. modelo de contagem: equação Cominatória ásica 3o. modelo de contagem: equação Seleção com repetição: equivalências Prolemas equivalentes: Número de soluções inteiras para x 1 + x 2 +... + x n r x i 0 Número de maneiras de distriuir r olas idênticas em n caixas distintas, com qualquer número de olas por caixa. Número de maneiras de selecionar r ojetos dentre n ojetos, com repetições permitidas. amostra de 2 ojetos distriuição de 2 olas idênticas no. de soluções inteiras de {x 1, x 2, x 3 } em 3 caixas distintas x 1 + x 2 + x 3 2, x i 0 x 1 x 2 x 3 x 1 x 1 2 0 0 x 1 x 2 1 1 0 x 1 x 3 1 0 1 x 2 x 2 0 2 0 x 2 x 3 0 1 1 x 3 x 3 0 0 2 165 166 Cominatória ásica 3o. modelo de contagem: equação Exemplo 4.12 Cominatória ásica 3o. modelo de contagem: equação Exemplo 4.13 Número de maneiras de distriuir 5 alas (idênticas a 3 crianças: a sem restrições; cada criança recee pelo menos uma ala. a x 1 + x 2 + x 3 5, x i 0 no. soluções ( ( 3 5 21 dar uma ala a cada criança e distriuir o resto; x 1 + x 2 + x 3 (5 3 1 2, x i 0 Número de soluções inteiras para x 1 + x 2 + x 3 10, x i 2 y i x i 2 y i 0 (y 1 + 2 + (y 2 + 2 + (y 3 + 2 10 y 1 + y 2 + y 3 (10 6 4 y i 0 no. soluções ( ( 3 4 15 no. soluções ( ( 3 2 6 167 168
Cominatória ásica 3o. modelo de contagem: equação Exemplo 4.14 Cominatória ásica 3o. modelo de contagem: equação Exemplo 4.15 Número de soluções inteiras para x 1 + x 2 + x 3 + x 4 10, x i 0 Solução 1: no. total de soluções no. de soluções para: x 1 + x 2 + x 3 + x 4 0 x 1 + x 2 + x 3 + x 4 1. x 1 + x 2 + x 3 + x 4 10 Solução 2: no. total de soluções no. soluções para: x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 10 x i 0 no. total de soluções ( ( 5 10 Número de soluções inteiras para 2x 1 + x 2 + x 3 4, x i 0 y 1 2x 1, y 2 x 2, y 3 x 3 y 1 + y 2 + y 3 4 y 1 0, 2, 4,..., y 2 0 y 3 0 a y 1 0 y 2 + y 3 4 y i 0 N 1 ( ( 2 4 5 y 1 2 y 2 + y 3 2 y i 0 N 2 ( ( 2 2 3 c y 1 4 y 2 + y 3 0 y i 0 N 3 ( ( 2 0 1 no. soluções N 1 + N 2 + N 3 9 169 170 Cominatória ásica 3o. modelo de contagem: equação Cominatória ásica Exemplos e aplicações EXEMPLOS E APLICAÇÕES Prolemas equivalentes: Número de maneiras de selecionar r ojetos dentre n ojetos, sem repetição. Número de maneiras de distriuir r olas idênticas em n caixas distintas, máximo de uma ola por caixa. Número de soluções inteiras para x 1 + x 2 +... + x n r x i 0, 1 Modelos de contagem amostragem distriuição equação Permutação (ou cominação com ojetos idênticos 171 172
Cominatória ásica Exemplos e aplicações Exemplo 4.16 Cominatória ásica Exemplos e aplicações Exemplo 4.17 Mega-sena: - números de 1 a 60; sorteio: 6 números; aposta simples: 6 números. - premiação: sena, quina, quadra (6, 5, 4 números sorteados. espaço amostral S: N(S ( 60 6 eventos de interesse em S: 6, 5 ou 4 números entre os sorteados. pro(sena 1 ( 60 6 pro(quina (6 5 (60 6 1 ( 60 6 pro(quadra (6 4 (60 6 2 ( 60 6 Jogo de pôquer: proailidade de se oter full house (uma trinca e um par. sequência de etapas independentes: - escolher carta da trinca - selecionar trinca - escolher carta do par - selecionar par pro(f ull house ( 13 ( 4 12 ( 4 1 3( 1 ( 2 52 0.0014... 5 173 174 Cominatória ásica Exemplos e aplicações Exemplo 4.18 Cominatória ásica Exemplos e aplicações Exemplo 4.19 Número de maneiras de distriuir as 52 cartas do aralho entre 4 jogadores, se cada um recee 13 cartas. Solução 1: distriuição por etapas: primeiro, segundo, terceiro e quarto jogadores: no. maneiras ( 52( 39 ( 26 ( 13 13 13 13 13 Solução 2: - alinhar cartas; - permutar 13 4 fichas com nomes dos jogadores: no. maneiras P(52; 13, 13, 13, 13 52! 13!13!13!13! Número de maneiras de alocar 100 parentes em 5 ministérios: a sem restrições; 20 parentes em cada ministério. alinhar parentes e atriuir ministério a cada um. a N 1 5 100 maneiras. (permutar 20 5 fichas com nome do ministério N 2 P(100; 20, 20, 20, 20, 20 100! (20! 5 maneiras. 175 176
Cominatória ásica Exemplos e aplicações Exemplo 4.20 Cominatória ásica Exemplos e aplicações Exemplo 4.21 Número de arranjos das letras de JARDIM, com vogais em ordem alfaética. Estratégia: - seleção das posições das vogais: N 1 ( 6 2 - restrição de ordem para A e I: N 2 1 - arranjo das consoantes: N 3 P(4, 4 Número de arranjos das letras de JARDIM, com vogais consecutivas. Estratégia: - construção de supervogais AI e IA: N 1 P(2, 2 - arranjo das consoantes e uma supervogal : N 2 P(5, 5 N N 1 N 2 240 N N 1 N 2 N 3 360 177 178 Cominatória ásica Exemplos e aplicações Exemplo 4.22 Cominatória ásica Exemplos e aplicações Exemplo 4.23 Número de arranjos das letras de JARDIM, sem vogais consecutivas. - supor vogais idênticas e consoantes idênticas (V e C; - arranjar 2 V s e 4 C s sem V s consecutivos; - considerar vogais e consoantes distintas: permutar V s e C s. Alternativa 1: colocar V s, depois C s: V CV N ( ( 3 3 P(4, 4 P(2, 2 480 Alternativa 2: colocar C s, depois V s: C C C C N ( 5 2 P(4, 4 P(2, 2 480 Controle de qualidade: Uma firma produz 10 mil componentes de computador. Toma-se uma amostra de 100 componentes, e verifica-se que 5 estão defeituosos. Qual é a proailidade que isto ocorra se existem k componentes defeituosos? - espaço amostral: N(S C(10.000, 100 - evento: amostra com 5 ítens defeituosos; N(E C(k, 5C(10.000 k, 95 C(k, 5 C(10.000 k, 95 pro(amostra c/ 5 ítens defeituosos C(10.000, 100 179 180
Cominatória ásica Exemplos e aplicações Exemplo 4.24 Cominatória ásica Partições PARTIÇÕES Paradoxo de De Méré: 1. Proailidade de que 4 lançamentos de um dado produza pelo menos um 6. 2. Proailidade de que 24 lançamentos de um par de dados produza pelo menos um par de 6. 1. pro(no mínimo um 6 64 5 4 6 4 0, 5177... 2. pro(no mínimo um par de 6 3624 35 24 36 24 0, 4914... (De Méré achava que estas proailidades deveriam ser iguais, pois 4 corresponde a 2/3 das 6 possiilidades, e 24 corresponde a 2/3 das 36 possiilidades. Partição de um conjunto C em n suconjuntos: conjunto de n suconjuntos não vazios, disjuntos dois a dois, cuja união é C. Exemplo: C { 1, 2, 3, 4 } 3-partição: {{ 1, 2 }, { 3 }, { 4 }} Partição de um número inteiro positivo n: coleção não ordenada de inteiros positivos cuja soma é igual a n. Exemplo: partições do número 4: 4 3, 1 2, 2 2, 1, 1 1, 1, 1, 1 181 182 Cominatória ásica Partições Exemplo 4.25 Cominatória ásica Partições Exemplo 4.26 Número de maneiras de oter r centavos com moedas de 1, 5, 10 e 25 centavos. Número de maneiras de particionar r em inteiros positivos distintos de valor máximo m. Solução 1: número de soluções para x 1 + x 2 + x 3 + x 4 r Solução 2: número de soluções para x 1 0, 1, 2,... x 2 0, 5, 10,... x 3 0, 10, 20,... x 1 0, 25, 50,... y 1 + 5y 2 + 10y 3 + 25y 4 r y 1, y 2, y 3, y 4 0 número de soluções para exemplo: r 4, m 4: x 1 + x 2 +... + x m r 4 3, 1 x i 0, i 183 184
Cominatória ásica Partições Exemplo 4.27 Cominatória ásica Partições Exemplo 4.28 Número de maneiras de particionar r em inteiros positivos de valor máximo m. Número de maneiras de particionar 4 em no máximo 3 inteiros positivos (partições de 4 em no máximo 3 partes. número de soluções para x 1 + x 2 +... + x m r x i 0, i, 2i, 3i,... exemplo: r 4, m 3: 3, 1 2, 2 2, 1, 1 1, 1, 1, 1 4 3, 1 2, 2 2, 1, 1 185 186 Cominatória ásica Partições Cominatória ásica Partições (3,1 (2,2 partições de 4 em partes de tamanho 3 partições de 4 em no máximo 3 partes (2,1,1 (2,2 Prolemas equivalentes: Número de partições de r em no máximo m partes. Número de partições de r em inteiros positivos de valor máximo m. Número de soluções inteiras para x 1 + x 2 +... + x m r x i 0, i, 2i, 3i,... (2,1,1 (3,1 (1,1,1,1 (4 187 188
Cominatória ásica Partições Exemplo 4.29 Cominatória ásica Partições Exemplo 4.30 Número de distriuições de 4 olas distintas em 3 caixas idênticas, com qualquer número de olas por caixa. no. partições de { 1, 2, 3, 4 } em no máximo 3 suconjuntos: { 1, 2, 3, 4 } { 1 }{ 2 }{ 3, 4 } { 1 }{ 2, 3, 4 } { 1 }{ 3 }{ 2, 4 } { 2 }{ 1, 3, 4 } { 1 }{ 4 }{ 2, 3 } { 3 }{ 1, 2, 4 } { 2 }{ 3 }{ 1, 4 } { 4 }{ 1, 2, 3 } { 2 }{ 4 }{ 1, 3 } { 1, 2 }{ 3, 4 } { 3 }{ 4 }{ 1, 2 } { 1, 3 }{ 2, 4 } { 1, 4 }{ 2, 3 } Número de distriuições de 4 olas idênticas em 3 caixas idênticas, com qualquer número de olas por caixa. número de partições do inteiro positivo 4 em no máximo 3 partes. (4 (3,1 (2,2 (2,1,1 189 190 Cominatória ásica Partições Cominatória ásica Identidades cominatórias IDENTIDADES COMBINATÓRIAS Prolemas equivalentes: Número de distriuições de r olas distintas em n caixas idênticas, com qualquer número de olas por caixa. Número de partições do conjunto { 1, 2,..., r } em no máximo n suconjuntos. Prolemas equivalentes: Número de distriuições de r olas idênticas em n caixas idênticas, com qualquer número de olas por caixa. Número de partições do inteiro positivo r em no máximo n partes. Argumentos cominatórios podem ser usados para provar identidades. são usualmente mais simples que indução ou álgera; associam conteúdo à identidade, facilitando sua fixação. Idéia: contar a mesma coisa de duas maneiras diferentes. 191 192
Cominatória ásica Identidades cominatórias Exemplo 4.31 Cominatória ásica Identidades cominatórias Exemplo 4.32 ( ( n n k n k ( ( ( n n 1 n 1 + k k 1 k no. sequências inárias de tamanho n com k 1 s no. sequências inárias de tamanho n com (n k 0 s no. suconjuntos de tamanho k no. suconjuntos onde elemento x aparece + no. suconjuntos onde x não aparece 193 194 Cominatória ásica Identidades cominatórias Exemplo 4.33 Cominatória ásica Identidades cominatórias Exemplo 4.34 n ( n 2 n k k0 no. suconjuntos de conjunto de n elementos no. suconjuntos de 0 elementos + no. suconjuntos de 1 elemento +. no. suconjuntos de n elementos ( ( ( ( n p n n k p k k p k no. grupos de p pessoas com k ĺıderes no. grupos de p pessoas no. suconjuntos de k ĺıderes no. suconjuntos de k ĺıderes no. grupos de (p k não ĺıderes 195 196
Cominatória ásica Identidades cominatórias Exemplo 4.35 Cominatória ásica Identidades cominatórias r ( ( n + i n + r + 1 i r i0 ou r (( (( n + 1 n + 2 i r i0 Outras identidades: ( n n k ( n k + 1 k + 1 k (1 no. multiconjuntos de r elementos de conjunto de n + 2 elementos no. multiconjuntos em que elemento x aparece 0 vezes + no. multiconjuntos em que elemento x aparece 1 vez +. no. multiconjuntos em que elemento x aparece r vezes n ( ( i n + 1 k k + 1 ik n ( n 2 ( 2n i n i0 (2 (3 197 198 Cominatória ásica Identidades cominatórias Exemplo 4.36 Cominatória ásica Identidades cominatórias Coeficientes inomiais Avaliar S 1 2 3 + 2 3 4 +... + (n 2(n 1(n n S (i 2(i 1i i3 n ( i 3! 3 i3 ( n + 1 3! 4 (identidade 2 (a + x 3 (a + x(a + x(a + x aaa + aax + axa + axx + xaa + xax + xxa + xxx a 3 + 3a 2 x + 3ax 2 + x 3 (a + x n : 2 n produtos coeficiente de a n r x r ( n r identidade 2: n ( ( i n + 1 k k + 1 ik 199 200
Cominatória ásica Identidades cominatórias Teorema inomial Cominatória ásica Identidades cominatórias Teorema multinomial n ( n (a + x n a n r x r r r0 (x 1 + + x k n r 1 + +r k n C(n; r 1,..., r k x r 1 1... xr k k se a 1: n ( n (1 + x n x r r r0 Prova: (x 1 + + x k n (x } 1 + + x k {{ (x 1 + + x k } n Cada termo do resultado é da forma x r 1 1... xr k k, r 1 + + r k n. O número de termos desta forma é o número de maneiras de selecionar r 1 x 1 s,..., r k x k s, totalizando um total de n destes ojetos, ou seja, C(n; r 1, r 2,..., r k (igual a P(n; r 1, r 2,..., r k. 201 202 Cominatória ásica Identidades cominatórias Exemplo 4.37 Exemplos de uso do teorema inomial: n r0 ( n r 2 n. Prova: asta fazer a x 1. ( n ( 0 + n ( 2 + n ( 4... n ( 1 + n ( 3 + 5 4... 2 n 1 FIM Prova: asta fazer a 1 e x 1. teorema inomial: n ( n (a + x n a n r x r r r0 203 204