FLUIDOS EM REPOUSO HIDROSTÁTICA

FLUIDOS EM REPOUSO HIDROSTÁTICA A hidrostática 1, também chamada fluidostática, é a parte da Física que estuda as forças exercidas por e sobre fluidos em repouso. Um fluido é uma substância que flui, ou seja, que apresenta a habilidade de tomar a forma dos recipientes que o contém. Como um subconjunto das fases da matéria, os fluidos incluem os líquidos, os gases, os plasmas e, de certa maneira, os sólidos plásticos. Assim sendo, os mesmos se deformam continuamente quando submetidos a uma tensão de cisalhamento, não importando a intensidade desta, de modo que os mesmos compartilham a propriedade de não resistir à deformação. Estas propriedades se devem tipicamente em decorrência da sua incapacidade de suportar uma tensão de cisalhamento em equilíbrio estático. Tensão de Cisalhamento A tensão de cisalhamento (também referida, muitas vezes, como tensão cisalhante, tensão tangencial, tensão de corte ou tensão cortante) é um tipo de tensão gerada por forças aplicadas na mesma direção, em sentidos iguais ou opostos, mas com intensidades diferentes, de forma tangencial sobre o material analisado. Um exemplo é a típica tensão que gera o corte em tesouras. Uma força de corte é a componente tangencial da força que age sobre uma superfície. Quantitativamente, a magnitude dessa força tangencial dividida pela área dessa superfície, fornece a tensão de corte média sobre essa área. Obtém-se a deformação na atuação de uma força tangencial a uma superfície. Densidade (absoluta) e Massa Específica (ρ) A densidade (ρ), também denominada densidade absoluta ou massa específica, de um corpo ou uma substância é a razão entre a massa (m) do corpo ou substância e seu volume (V) correspondente. Assim: m ρ = (1.1) V A unidade S.I. de medida para a densidade é o quilograma por metro cúbico (kg/m³). É muito comum também encontrar o grama por centímetro cúbico (g/cm³), de modo que 1 g/cm³ = 1.000 kg/m³. A Tabela 1.1 abaixo apresenta a densidade, em g/cm³ e em unidades S.I., para algumas substâncias comuns. Tabela 1.1 Massa específica de algumas substâncias Substância ρ (g/cm³) ρ (kg/m³) Água 1 1.000 Gelo 0,92 920 Álcool 0,79 790 Ferro 7,8 7.800 Chumbo 11,2 11.200 Mercúrio 13,6 13.600 Alumínio 2,1 2.100 É comum encontrarmos o termo densidade ou massa específica usados de uma forma ou outra, sempre se referindo à razão entre massa e volume, seja de um corpo ou substância, em geral. No entanto, é mais conveniente, e usual, usar-se o termo densidade para se referir à razão entre a massa e o volume de um objeto sólido, seja este oco ou maciço, enquanto que o termo massa específica reserva-se ao uso para substâncias, sejam estas sólidas, líquidas ou gasosas. 1 O termo hidrostática refere-se à água, que foi o primeiro fluido a ser estudado. Assim, por razões históricas, mantémse o nome. 1

Densidade Relativa (ρ R ) A densidade relativa (ou massa específica relativa), ρ R, de uma substância é a razão entre a densidade (ou massa específica) da mesma com relação à densidade de outra substância, a qual se usa como padrão de referência. Assim: ρ ρ R = (1.2) ρ ( substância padrão) Como se percebe claramente na Eq. (1.2), a densidade relativa é uma grandeza adimensional (isto é, sem unidade de medida; ou seja, um valor numérico apenas), visto que representa a razão entre duas grandezas de mesma natureza. Para substâncias em estado sólido ou líquido, a densidade relativa das mesmas é tomada com referência à densidade da água usualmente. Para os gases, usa-se a densidade do ar como referência normalmente. O Peso (P) O peso (P) é a força gravitacional exercida por um planeta, ou outro corpo de grande massa (M), sobre um corpo de massa m localizado em sua vizinhança. Algumas vezes o peso também é definido como a medida da aceleração que um corpo exerce sobre outro, através da força gravitacional que os atrai. Matematicamente, a intensidade da força peso pode ser descrita como o produto entre a massa m do corpo (pequeno) em questão e a intensidade da aceleração da gravidade local g (devida ao corpo de massa maior M). Assim: P = mg. (1.3) A unidade S.I. de medida de força é o newton (N) e de aceleração é o metro por segundo quadrado (m/s²). Outra unidade de medida de força, não S.I., usada é o quilograma-força (kgf), onde 1 kgf 10 N. Peso Específico (P e ) seja: O peso específico de uma substância corresponde à razão entre o peso e o volume da mesma; ou P P e =, (1.4) V sendo que a unidade do peso específico no S.I. é o newton por metro cúbico (N/m 3 ). Exemplos: 1. Um frasco com capacidade para 80 ml é completamente preenchido com álcool. Assim sendo, determine: a) O volume de álcool, em centímetros cúbicos (cm³), presente no frasco. b) A massa de álcool, em gramas (g), presente no frasco. c) O peso da massa de álcool presente no frasco. d) O peso específico da massa de álcool presente no frasco. 2. São misturados volumes iguais, de valor V, de dois líquidos distintos com massas específicas de 0,5 g/cm³ e 0,9 g/cm³. Assim sendo, determine: 2

a) A massa específica da mistura. b) A massa específica relativa da mistura. 3. Considere um container de formato retangular (ou seja, uma caixa retangular). Quando o mesmo está devidamente fechado, sua altura é de 12 cm e a base do mesmo tem as medidas de 20 cm de comprimento por 6 cm de largura. Sabe-se que todas as paredes do container apresentam a mesma espessura, sendo esta de 2 cm. Além disso, quando o container está completamente vazio, o mesmo tem um peso de 20 N. Com base nessas informações, e considerando-se o container completamente vazio, determine: a) A massa do container. b) O volume do container. c) A densidade do container. d) O volume da substância usada na confecção do container. e) A massa específica da substância usada na confecção do container. Pressão (p) Consideremos uma força F aplicada perpendicularmente a uma superfície de área A, como mostrado na Figura 1.1. Figura 1.1 Força F normal a uma área A. Definimos a pressão (p) produzida pela aplicação desta força sobre a referida área pela seguinte relação: F p =, (1.5) A No caso em que a força aplicada na superfície não é normal à mesma, considera-se, para o cálculo da pressão, a componente vertical da força aplicada na superfície. Assim, percebe-se que a pressão é uma grandeza escalar, tal como a área. Embora a força seja uma grandeza vetorial, o cálculo da pressão envolve somente a magnitude da força normal à superfície considerada, e não sua direção e sentido. A unidade S.I. para medida de pressão é o newton por metro quadrado (N/m²), também conhecida como pascal (Pa). Assim, 1 Pa = 1 N/m². Há também outras unidades, não S.I., para medida de pressão, como o atmosfera (atm), onde 1 atm = 1,013 10 5 Pa corresponde à pressão exercida pela atmosfera terrestre ao nível do mar; e o bar, de forma que 1 bar = 100 kpa. Os manômetros são aparelhos destinados a medir pressões com referência à pressão atmosférica. O aparelho mede a diferença entre a pressão do sistema (também denominada pressão absoluta, ou total, ou real) e a pressão atmosférica. Essa diferença de pressão é denominada pressão manométrica. Normalmente, os manômetros usados em postos de gasolina medem a pressão em libra-força por polegada quadrada (lb/pol 2 ), a qual recebe uma denominação especial: psi (oriunda do arcaico sistema inglês), de forma que 1 psi = 1 lb/pol 2. Uma libra-força por polegada quadrada corresponde, aproximadamente, a sete centésimos de atmosfera, isto é, 1 psi = 1 lb/pol 2 0,07 atm = 7,091 kpa. O aparelho usado para medir a pressão atmosférica é o barômetro. Na medida em que nos elevamos na atmosfera, a pressão do ar se reduz. Sendo o ar atmosférico um gás e, portanto, bastante compressível, o mesmo encontra-se mais comprimido perto da superfície terrestre, ao nível do mar. Isto porque a camada de ar junto à superfície terrestre suporta o peso das camadas superiores da atmosfera. Com um barômetro de 3

bolso de boa qualidade, pode-se detectar a variação da pressão atmosférica (cerca de 0,1%) encontrada ao subir alguns poucos lances de escada. A pressão atmosférica cai aproximadamente à metade do seu valor medido ao nível do mar, a uma altitude de aproximadamente 5,5 km. Evangelista Torricelli (1608-1647) utilizou um barômetro de mercúrio para medir a pressão atmosférica ao nível do mar. Torricelli constatou que a pressão atmosférica ao nível do mar corresponde à pressão referente a uma coluna de mercúrio (Hg) com altura de 76 cm = 760 mm, em um barômetro de mercúrio; ou seja, 1 atm = 76 cmhg = 760 mmhg. Então, a pressão atmosférica também pode ser expressa em termos do comprimento (altura) de uma coluna de mercúrio, em um barômetro de mercúrio. Cada milímetro (mm) de mercúrio, em um barômetro de mercúrio, corresponde a uma unidade de pressão denominada torr, em homenagem à Torricelli, de forma que 1 torr = 1 mmhg. Portanto, pelas discussões anteriores, as unidades pressão analisadas até aqui podem ser relacionadas da seguinte forma: 1 atm = 76 cmhg = 760 mmhg = 760 torr = 101,3 kpa = 1,013 bar = 14,28 psi. Exemplos: 4. Compare a pressão, em pascais (Pa), exercida sobre o solo por uma pessoa com uma massa de 80 kg, apoiada na ponta de um único pé, com a pressão exercida por um elefante, de duas toneladas (2 ton) de massa, apoiado nas quatro patas. Considere a área de contato da ponta do pé da pessoa como sendo de 10 cm², e a área de contato de cada pata do elefante como sendo de 400 cm². O Teorema de Stevin O Teorema de Stevin, ou Lei de Stevin, estabelece que a pressão absoluta (p abs ) também conhecida como pressão à profundidade (ou ainda, pressão do sistema) em um ponto de um líquido homogêneo e incompressível, de massa específica ρ e a uma profundidade h, dentro de um recipiente com sua superfície aberta à atmosfera, será igual à pressão atmosférica (p atm ), exercida sobre a superfície desse líquido, mais a diferença de pressão ( p) devida à camada de líquido acima deste ponto, isto é, p abs = p + p, (1.6) atm onde a diferença de pressão ( p) é também conhecida como pressão efetiva ( p ef ), pressão hidrostática ( p hid ) ou pressão manométrica ( p man ), a qual depende somente da massa específica ρ do fluido, da magnitude da aceleração gravitacional local g (sendo esta suposta constante, em geral) e da profundidade h do ponto em questão (ou, equivalentemente, da altura da coluna de fluido acima do ponto em questão), sendo a mesma ( p) determinada por p = p = p = p = ρgh. (1.7) ef hid A forma do recipiente não influi no resultado a ser determinado pelas Eqs. (1.6-1.7). A Figura 1.2 mostra detalhes referentes às Eqs. (1.6-1.7). man Figura 1.2 Pressão (p abs ) à profundidade (h). Com base no teorema de Stevin, percebe-se que todos os pontos a uma mesma profundidade (isto é, a um mesmo nível de profundidade) apresentarão a mesma pressão. Equivalentemente, todos os pontos ao longo de um mesmo plano horizontal apresentarão a mesma pressão, a uma determinada profundidade. Isto é importante para resolução de problemas envolvendo vasos comunicantes (ou manômetros). 4

Para o caso de líquidos confinados em recipientes fechados a vácuo, tais como enlatados, por exemplo, as Eqs. (1.6-1.7) ainda podem ser usadas. Neste caso, a pressão atmosférica (que é a pressão de referência, ao nível da superfície do fluido, onde h = 0) deve ser negligenciada, visto que no vácuo a pressão é nula (p = 0). Assim, para uma lata (lacrada a vácuo) em repouso sobre uma superfície, a pressão absoluta no fundo da mesma corresponderá a pressão manométrica do fluido contido em seu interior, a qual é dada pela Eq. (1.7). Exemplos: 5. Considere uma piscina com cinco metros de profundidade e completamente cheia de água. Assim sendo, determine: a) A pressão hidrostática a uma profundidade de três metros. b) A pressão absoluta no fundo da piscina. c) A diferença de pressão entre dois pontos separados, verticalmente, de 80 cm entre si, dentro da água. 6. No exemplo anterior, no último item, o resultado obtido para a diferença de pressão entre dois pontos, dentro da água, considerou os mesmos separados verticalmente por 80 cm entre si. Assim sendo, pergunta-se: Poderia ser diferente o resultado obtido para essa diferença de pressão, entre os dois pontos, caso os mesmos não fossem considerados verticalmente, mas que, ainda assim, mantivessem suas respectivas profundidades, cada um deles, conforme sugere a figura abaixo? Justifique sua resposta. Exemplo 5 Exemplo 6 7. Quando dois líquidos que não se misturam são colocados em um mesmo recipiente, aquele com maior densidade se deposita na parte debaixo do recipiente, enquanto o menos denso fica na parte superior. Então, considere três líquidos imiscíveis (não miscíveis) 1, 2 e 3 colocados em um sistema de vasos comunicantes, sendo este um manômetro em forma de U, conforme a figura ao lado. As extremidades do manômetro estão abertas à atmosfera e, assim, sujeitas à pressão exercida pela mesma. Sendo as massas específicas dos líquidos 1 e 2 de 0,5 g/cm 3 e 2,5 g/cm 3, respectivamente, e h 1 = 7 cm, h 2 = 2 cm e h 3 = 5 cm, determine a massa específica do líquido 3. O Princípio de Pascal O princípio de Pascal enuncia que: Uma variação de pressão provocada em um ponto no interior de um fluido em equilíbrio será transmida para todos os demais pontos do fluido e, também, às paredes do recipiente que o contém. Então, para dois pontos distintos no interior de um fluido (pontos 1 e 2, para os quais se tem, respectivamente, as pressões p 1 e p 2 ), tem-se que: p 1 = p 2, (1.8a) 5

ou seja, de acordo com a Eq. (1.5), F 1 F = 2, (1.8b) A 1 Uma aplicação prática do princípio de Pascal, em escala industrial, se encontra em uma prensa hidráulica. Por exemplo, para um êmbolo com área de 1 m², uma força aplicada equivalente a 70 kg será suficiente para levantar em outro êmbolo com 10 m² de área, um veículo que tenha um peso correspondente a 700 kg. Exemplos: 8. Na prensa hidráulica vista na figura ao lado, os diâmetros (referente ao êmbolo) dos pistões 1 e 2 são, respectivamente, de 4 cm e 20 cm. Sendo o peso do carro igual a 1.000 kgf, determine a intensidade da força F, em newtons (N), que deve ser aplicada no pistão 1 para equilibrar o carro. A 2 O Princípio de Arquimedes O princípio de Arquimedes, também conhecido como o princípio da impulsão, enuncia que: Um corpo sólido, imerso em um fluido, sofre a ação de uma força dirigida para cima denominada empuxo (E), a qual apresenta intensidade igual à do peso do fluido deslocado (P fd ), devido à pressão hidrostática no fluido. A Figura 1.3 ilustra aforça de empuxo E atuando sobre um corpo de peso P completamente submerso em um líquido. Matematicamente, tem-se que: Figura 1.3 Empuxo E atuando sobre um corpo de peso P submerso. E = P fd, (1.9a) E = m g, (1.9b) fd m fd ρ fd =, (1.9c) V fd onde o subscrito fd refere-se ao fluido deslocado. No caso de um navio, o seu peso é contrabalançado por uma força de impulsão proporcional ao volume de água que o mesmo desloca, o qual corresponderá ao volume submerso do navio. Se for 6

acrescentada mais carga ao navio, o volume submerso do mesmo aumentará e, consequentemente, o mesmo ocorrerá com a força de impulsão, permitindo ao barco flutuar. A descoberta do princípio da impulsão é atribuída a Arquimedes (287aC 212aC). Quando um corpo mais denso que um líquido é totalmente imerso, observa-se que o valor de seu peso, dentro desse líquido, é aparentemente menor do que fora dele (no ar). A diferença entre o valor do peso real (fora do fluido), P real, e do peso aparente (dentro do fluido), P ap, corresponde ao empuxo exercido pelo líquido. Ou seja, Exemplos: E = P real P ap. (1.9d) 9. Um objeto com massa de 10 kg e volume de 0,002 m³ é colocado totalmente dentro da água. O mesmo afunda até determinada profundidade. Assim sendo, determine: a) Qual é a intensidade do peso do objeto, em newtons (N)? b) Qual é a intensidade da força de empuxo, em newtons (N), que a água exerce no objeto? c) Qual é a intensidade do peso aparente do objeto, em newtons (N)? d) Qual é a intensidade da aceleração, em metros por segundo ao quadrado (m/s 2 ), do objeto dentro da água, desprezando o atrito com a mesma. Flutuação Segundo o princípio de Arquimedes, quando um corpo flutua em um líquido, observamos que seu peso real (isto é, fora do fluido) corresponde ao empuxo exercido pelo líquido; em outras palavras: o peso aparente do corpo flutuante é nulo (ou seja, P ap = 0, de modo que P real = E). Nestas condições, tem-se que: I) O volume do líquido deslocado (V fd ) pelo corpo é menor que o seu volume (V corpo ), isto é, V fd < V corpo. II) A massa específica do líquido (ρ fd ) é maior que a densidade do corpo (ρ corpo ), isto é, ρ fd > ρ corpo. III) A razão entre o volume imerso do corpo (V corpo(im) ) e o seu volume total (V corpo ) corresponde a razão entre a densidade do corpo e a massa específica do líquido, isto é, V corpo( im) V corpo ρ = ρ corpo fd. (2.0) Exemplos: 10. Um bloco cúbico de madeira, com densidade igual a 0,65 g/cm³ e 20 cm de aresta, flutua na água. Determine a altura do bloco, em centímetros (cm), que permanece dentro da água. EXERCÍCIOS PROPOSTOS I) Nos exercícios propostos considere, para fins de resolução (e simplificação), a intensidade da aceleração de gravidade terrestre (aceleração gravitacional) g como sendo de 10 m/s 2. 7

II) Para conversões entre volumes expressos em metros cúbicos (m 3 ) e litros (L), lembre que 1 m 3 = 1000 L e 1 cm 3 = 1 ml. III) Para cálculos do peso específico, considere o peso da substância em questão tomado nas proximidades da superfície terrestre, a menos que seja indicado o contrário. IV) Para detalhes referentes à geometria de algum objeto mencionado em uma determinada questão, sugere-se verificar a última folha do polígrafo. Exercícios: 1. A Terra tem a forma aproximadamente esférica, com raio equatorial médio de 6.370 km e massa de 5,98 10 24 kg. Assumindo que a Terra tenha forma perfeitamente esférica, pede-se: a) Qual é o diâmetro da Terra, em quilômetros? b) Qual é o comprimento da circunferência da Terra, em quilômetros? c) Qual é a área da superfície da Terra, em quilômetros quadrados? d) Qual é o volume da Terra, em quilômetros cúbicos? e) Qual é a densidade média da Terra, em quilogramas por quilômetro cúbico? 2. A massa da Terra é de 5,98 10 24 kg e seu raio equatorial (médio) mede 6.370 km. A Lua, a qual tem forma aproximadamente esférica, apresenta massa cerca de 80 vezes menor que a massa da Terra. Além disso, seu raio equatorial equivale a aproximadamente 27,32% do raio terrestre. Assim sendo, considerando-se a Terra e a Lua como corpos perfeitamente esféricos, pede-se: a) Qual é o diâmetro da Lua, em quilômetros? b) Qual é o comprimento da circunferência da Lua, em quilômetros? c) Qual é a área da superfície da Lua, em quilômetros quadrados? d) Qual é o volume da Lua, em quilômetros cúbicos? e) Qual é a densidade média da Lua, em quilograma por quilômetro cúbico? 3. Misturam-se massas iguais, de valor m, de dois líquidos distintos com massas específicas de 0,4 g/cm³ e 1 g/cm³. Assim sendo, determine: a) A massa específica da mistura. b) A massa específica relativa da mistura. 4. Um determinado frasco é preenchido parcialmente com 75 g de mercúrio. Assim sendo, determine: a) O volume de mercúrio, em centímetros cúbicos (cm³), presente no frasco? b) O volume de mercúrio, em mililitros (ml), presente no frasco? c) O peso da massa de mercúrio presente no frasco. d) O peso específico da massa de mercúrio presente no frasco. 5. Uma esfera oca que pesa 12 N apresenta raios externo e interno, respectivamente, de 10 cm e 9 cm. Com base nessas informações, determine: a) A massa da esfera. b) O volume da esfera. c) A densidade da esfera. d) O volume da substância usada na confecção da esfera. e) A massa específica da substância usada na confecção da esfera. 8

6. Um cubo maciço de alumínio, de 50 cm de aresta, está em repouso sobre uma superfície horizontal. Assim sendo, determine: a) O volume do cubo. b) A massa do cubo. c) A densidade do cubo. d) O peso do cubo. e) O peso específico do material que compõe o cubo. f) A pressão, em pascais (Pa), exercida pelo cubo sobre a superfície. 7. Um recipiente cilíndrico de 40 cm de diâmetro contém um líquido, com massa específica de 0,9 g/cm³, confinado a vácuo. A força exercida pelo líquido no fundo do recipiente, devido ao seu peso, é de 480 N. Assim sendo, determine: a) A pressão total exercida pelo líquido no fundo do recipiente, em quilopascal (kpa). b) A altura do líquido no recipiente, em centímetros (cm). 8. Considere que você esteja tomando refrigerante em um copo com canudinho. Assim sendo, é correto afirmar que o líquido sobe pelo canudinho porque: a) A pressão atmosférica cresce com a altura, ao longo do canudo. b) A pressão no interior da boca é menor que a atmosférica. c) A massa específica do refrigerante é menor que a do ar. d) A pressão hidrostática no copo é a mesma em todos os pontos em um plano horizontal. 9. A figura ao lado mostra um manômetro em forma de U contendo mercúrio (Hg) e outro líquido desconhecido (x). Ambas as extremidades do manômetro estão abertas à atmosfera e, assim, sujeitas à pressão exercida pela mesma. Sabendo-se que as medidas das alturas dos líquidos são h 1 = 5 cm, h 2 = 9 cm e h 3 = 9,5 cm, determine a massa específica do líquido desconhecido. 10. A Figura ao lado mostra um manômetro de tubo aberto à atmosfera (à direita) e com sua extremidade esquerda conectada a um balão contendo um determinado gás. O líquido contido no tubo é o mercúrio (faixa escura). A altura h é de 24 cm. Assim sendo, determine: a) A pressão manométrica do gás confinado, expressa em centímetros de mercúrio (cmhg). b) A pressão total (absoluta) exercida pelo gás confinado, expressa em centímetros de mercúrio (cmhg). 11. Na prensa hidráulica vista na figura ao lado, o diâmetro do pistão em A mede 10 cm e o raio do pistão em B mede cerca de 2,5 cm. Suponha que o sistema se encontre em equilíbrio (isto é: p A = p B ). Sendo a massa do corpo colocado em A igual a 100 kg, determine a massa, em quilogramas (kg), do corpo colocado em B. 9

12. Considere uma prensa hidráulica como aquela da figura no exercício anterior. A área maior, do pistão em A, é vinte e cinco vezes maior que a área menor, do pistão em B. Sabe-se que o peso colocado no pistão em A é equilibrado quando um peso de 30 N é colocado no pistão em B. Assim sendo, determine a massa, em quilogramas (kg), do peso colocado em A. 13. Um objeto com uma massa de três toneladas (3 ton) e volume de 2 m³ é totalmente imerso dentro da água. O mesmo afunda até determinada profundidade. Assim sendo, determine: a) A intensidade do peso do objeto, em quilonewtons (kn). b) A intensidade da força de empuxo, em quilonewtons (kn), que a água exerce no objeto. c) A intensidade do peso aparente do objeto, em quilonewtons (kn)? 14. Um bloco pesa 5 kgf no ar e 4 kgf quando está completamente imerso na água. Assim sendo, determine: a) O volume do bloco. b) A massa do bloco. c) A densidade do bloco. 15. Uma esfera maciça e homogênea flutua na água com 1/4 de seu volume acima do nível da água. Determine a densidade do material com que a esfera é feita, em gramas por centímetro cúbico (g/cm³). 16. Um cubo de madeira, o qual apresenta uma densidade de 0,8 g/cm³, flutua em um líquido com massa específica de 1,2 g/cm³. Assim sendo, determine o valor da razão (divisão) entre a altura emersa e a altura imersa desse cubo de madeira. Respostas dos Exercícios Propostos 1. a) 12.740 km b) 40.023,89 km c) 5,1 10 8 km 2 d) 1,083 10 12 km 3 e) 5,52 10 12 kg/km 3 2. a) 3.480,57 km b) 10.934,53 km c) 3,81 10 7 km 2 d) 2,21 10 10 km 3 e) 3,39 10 12 kg/km 3 3. a) 0,57 g/cm³ b) 0,57 4. a) 5,51 cm³ b) 5,51 ml c) 0,75 N d) 136.000 N/m 3 (= 136 kn/m 3 ) 5. a) 1,2 kg b) 4.188,79 cm 3 (= 4,18879 10 3 m 3 ) c) 0,29 g/cm 3 (= 286,48 kg/m 3 ) d) 1.135,16 cm 3 (= 1,13516 10 3 m 3 ) e) 1,06 g/cm 3 (= 1.057,12 kg/m 3 ) 6. a) 125.000 cm 3 (= 0,125 m 3 ) b) 262.500 g (= 262,5 kg) c) 2.100 kg/m³ (= 2,1 g/cm³) d) 2.625 N (= 2,625 kn) 10

e) 21.000 N/m 3 (= 21 kn/m 3 ) f) 10.500 Pa (= 10,5 kpa) 7. a) 3,82 kpa b) 42,44 cm 8. b 9. 1,36 g/cm³ 10. a) 24,49 cmhg b) 100,49 cmhg 11. 25 kg 12. 75 kg 13. a) 30 kn b) 20 kn c) 10 kn 14. a) 1 10 3 m 3 (= 1.000 cm 3 ) b) 5 kg c) 5.000 kg/m 3 15. 0,75 g/cm³ 16. 1/2 = 0,5 = 50% 11

GEOMETRIA A geometria é um ramo da matemática que estuda as formas geometricas, planas e espaciais, com as suas propriedades. Fórmulas/Relações úteis da geometria: Área = ( Comprimento) ( Comprimento) Volume = ( Área) ( Comprimento) = ( Área de base) ( Altura) Área (A) do Círculo de raio R: Diâmetro (D) do Círculo de raio R: Circunferência (C) do Círculo de raio R e diâmetro D: Área (A) do Retângulo de lado L e altura H: Área (A) do quadrado de lado L: Volume (V) de um cubo de lado L: Área (A) superficial de uma esfera de raio R: Volume (V) de uma esfera de raio R: 2 A = πr D = 2R C = 2πR C = πd A = LH 2 A = L 3 V = L A = 4πR 4πR V = 3 2 3 Nota: nas relações acima, considere que π ( rad ) = 3, 14 aproximadamente. 12