Circuitos Elétricos I EEL420

Universidade Federal do Rio de Janeiro Circuitos Elétricos I EEL420 Conteúdo 3 - Teoremas e análise sistemática de redes...1 3.1 - Revisão de definições...1 3.2 - Teoremas de rede e transformações de fontes...1 3.2.1 - Teorema da Superposição...2 3.2.2 - Teorema de Thévenin-Norton...3 3.2.3 - Transformação (explosão) de fontes...5 3.3 - Análise de nós e malhas...7 3.3.1 - Análise de nós...7 3.3.2 - Análise de malhas...9 3.4 - Grafos de Rede e Teorema de Tellegen...11 3.4.1 - Conceito e definições de grafos...11 3.4.2 - Cortes e lei das correntes de Kirchhoff...13 3.4.3 - Teorema de Tellegen...14 3.5 - Grafos de rede aplicados a análise de nós...14 3.6 - Grafos de rede aplicados a análise de malhas...19 3.7 - Exercícios...21

3 Teoremas e análise sistemática de redes 3.1 Revisão de definições Revisando os conceitos anteriores podemos classificar os circuitos como: Circuitos Lineares: cada elemento do circuito é linear ou uma fonte independente. Circuito Invariante: cada elemento do circuito é invariante ou uma fonte independente. Circuito Linear e Invariante: cada elemento do circuito é linear e invariante ou uma fonte independente. Circuitos Não Lineares ou Variantes: aqueles que não são lineares ou não são invariantes. Nestas definições as fontes independentes precisam ser tratadas separadamente pois elas exercem um papel diferente do das outras variáveis de rede dos outros elementos. Além disto todas as fontes independentes são elementos não lineares (sua característica é uma linha reta que não passa pela origem). 3.2 Teoremas de rede e transformações de fontes Apesar das leis de Kirchhoff se aplicarem a todas as classes de problemas que serão estudados neste disciplina nem sempre seu uso é direto. Algumas vezes é necessário montar sistemas de equações para solucionar um determinado problema. Computacionalmente falando isto não representa um problema porém para análise manual de circuitos a solução de sistemas de equações com ordem superior a três pode se tornar bastante trabalhosa. Adicionalmente, durante o projeto de circuitos estas técnicas podem não ser de muita utilidade. Para nossa sorte, muitas vezes é possível calcular uma determinada variável de rede simplificando a rede original. Isto pode ser realizado utilizando-se alguns teoremas, associações e transformações de elementos. Estas simplificações podem ser aplicadas sem medo desde que a resposta desejada não se encontre junto aos elementos simplificados. Quando as simplificações forem realizadas eliminando ou modificando a resposta desejada deve se ter o cuidado de retornar ao problema original para desfazer as simplificações iniciais. Circuitos Elétricos EEL420 UFRJ 1

3.2.1 Teorema da Superposição Seja uma rede linear, que apresente apenas uma resposta para o conjunto de excitação (conjunto de fontes independentes que excita o circuito), independente dos elementos serem variáveis ou não com o tempo, então a resposta da rede causada por várias fontes independentes é a soma das resposta devidas a cada fonte independente agindo sozinha. Em outras palavras, se desejarmos analisar um circuito que contenha muitas fontes independentes podemos analisar a resposta da rede (circuito) para cada fonte em separado (considerando que as demais fontes tem valor nulo curto circuito para as fontes de tensão e circuito aberto para as fontes de corrente) e depois somar todas as respostas. Exemplo: Calcular V 1 e V 2. Pela LTK temos que v 2 =v s v 1 logo 3 i 2=4 i 1, de onde se obtém i= 2 3 A Então: v 1 = 2 3 V e v 14 2 =2 3 i = 3 V Por superposição temos que v 2 v s, i s =v 2 v s,i s =0 v 2 v s =0,i s e v 1 v s, i s =v 1 v s,i s =0 v 1 v s =0,i s então v 2 =[ v 1 =[ v s R 1 R 2 R 2] [i s R EQ]= 4 3 2 3 2 3 = 14 3 V e v s R 1 R 2 R 1] [ i s R EQ]= 4 3 1 3 2 3 = 2 3 V Circuitos Elétricos EEL420 UFRJ 2

3.2.2 Teorema de Thévenin-Norton Seja uma rede linear ligada a uma carga por dois de seus terminais de forma que a única interação entre rede e carga se dá através destes terminais, então o teorema de Thévenin- Norton afirma que as formas de onda de tensão e corrente nestes terminais não se afetam se a rede for substituída por uma rede Thévenin equivalente ou Norton equivalente. Para se obter esta rede equivalente basta determinar a relação v x i nos terminais da rede. Isto pode ser realizado de forma genérica aplicando-se uma fonte de corrente de valor I nos terminais da rede e determinando a equação da tensão sobre esta fonte. Quando a rede em análise apresenta apenas elementos lineares e fontes independentes podemos obter os equivalentes Thévenin ou Norton da seguinte maneira: 1) A determinação da tensão de Thévenin corresponde a tensão entre os terminais para os quais estamos buscando o equivalente (os terminais devem ser mantidos em circuito aberto). 2) A determinação da corrente de Norton corresponde a corrente que circularia pelos terminais para os quais se deseja determinar o equivalente (curto circuitar os terminais). 3) A resistência pode ser calculada substituindo as fontes independentes pela sua resistência interna ( R=0 para fonte de tensão e R= para fonte de corrente) e determinando a resistência equivalente nos terminais para os quais se deseja determinar o equivalente. Alternativamente a resistência poderia ser obtida pela divisão da tensão de Thévenin pela corrente de Norton. rede abaixo. Exemplo: Determinar os equivalentes Thévenin e Norton entre os terminais A e B da Thévenin terminais A e B mantidos em aberto: V TH =V AB V TH =ix R 4 =ix 3 Circuitos Elétricos EEL420 UFRJ 3

v s R 3 ix 2 ix R 4 ix=0 ix= 15 10 2 3 = 15 11 V TH = 15 11 3= 45 11 V Norton terminais A e B mantidos em curto circuito. Considerando a corrente de Norton como a corrente que circula de A para B: I N =i R5 considerando I T =ix i R5 e G EQ =G 4 G 5 então ix= 1 4 i T e I N = 3 4 i T (divisor de corrente) v s R 3 i T 2 ix R EQ i T =0 v s R 3 i T 2 1 4 i T R EQ i T =0 i T = 15 10 2 4 3 4 = 60 41 I N = 3 4 60 41 = 45 41 A modelos: Com dois pontos da curva v x i podemos calcular facilmente a resistência para os dois R= V TH I N = 41 11 Circuitos Elétricos EEL420 UFRJ 4

3.2.3 Transformação (explosão) de fontes Algumas vezes é interessante transformar uma fonte independente em muitas outras de forma a simplificar a análise do restante do circuito que permanece inalterado. Quando isto é feito chamamos de transformação, ou explosão, de fontes. Uma fonte de tensão independente que tenha um de seus terminais ligados a mais de um elemento de circuito pode ser desmembrada, removendo este nó desde que cada elemento permaneça interligado em série com uma fonte de tensão de mesmo valor e polaridade. A figura abaixo ilustra o fato. Uma fonte v se conecta aos resistores R 1 e R 2. Ela pode ser desmembrada em duas fontes em paralelo de mesmo valor e polaridade e, finalmente, separadas de forma que cada uma fique em série com um dos resistores R 1 ou R 2. Do ponto de vista de circuito as formas de onda de tensão e corrente nos terminais A, B e C permanecem inalteradas. Circuitos Elétricos EEL420 UFRJ 5

Um procedimento semelhante pode ser realizado com as fontes de corrente. Neste caso uma fonte que interligue dois pontos de um circuito pode ser substituída por outras tantas desde que percorram um outro caminho que uma os mesmos dois pontos unidos pela fonte original. A figura abaixo ilustra esta situação. Uma fonte de corrente faz circular uma corrente i1 do nó B para o nó A. Em paralelo com esta fonte há um outro caminho, formado pelos resistores R 1, R 2 e R 3, interligando o nó B ao nó A. Então a fonte de corrente original pode ser removida e outras podem ser colocadas em paralelo com estes resistores. Observe que a corrente i1 movimentada pela fonte em paralelo com R 3 e deslocada pela fonte em paralelo com R 2 e esta corrente é deslocada pela fonte em paralelo com R 1 de forma que toda a corrente que saiu do nó B chegou ao nó A sem alterar o restante do circuito. Exemplo: No circuito abaixo deseja-se calcular o valor da corrente I mas sem montar um sistema de equações pela LCK nem LTK. Mostre uma forma de fazer. Explodindo as fontes V 1 e I 1 e redesenhando o circuito obtemos Circuitos Elétricos EEL420 UFRJ 6

deste ponto em diante basta fazer transformações sucessivas de modelos Thévenin e Norton além de algumas associações de resistores. I =0,332 A 3.3 Análise de nós e malhas Quando a simplificação de circuitos não é possível ou deseja-se resolve-lo com auxilio de ferramentas computacionais a aplicação da LCK e da LTK é a maneira de resolver o problema. Para facilitar a análise é possível sistematizar o equacionamento da LCK e da LTK como segue. 3.3.1 Análise de nós abaixo. Para ilustrar esta técnica de resolução sistemática de circuitos considere a figura Contar os nós essenciais (nós A, B e C). Como as tensões V AC V BC e V AB se relacionam pela lei das tensões de Kirchhoff, apenas duas destas tensões são independentes, a terceira é uma combinação linear das anteriores. Sendo assim é possível escrever duas equações de tensão de nós independentes. Quaisquer duas tensões podem ser utilizadas mas normalmente se escolhem as tensões com relação ao nó referência. Assim chamamos de tensão de nó a Circuitos Elétricos EEL420 UFRJ 7

diferença de tensão entre o potencial de um nó com relação à referência. No exemplo abaixo as tensões de nó serão V A e V B. Assim, para cada n nós essenciais existe n-1 equações de tensões de nó independentes. Resolvendo o problema para as tensões de nó todas as tensões de braço também ficam determinadas. As correntes de braço podem ser especificadas em função das equações de braço impostas por cada elemento. Para escrever as equações de nó precisamos da lei das correntes de Kirchhoff. Assim para o problema da figura acima temos para o nó A i 1 i 2 =is 1 v A 0 v v A B = is R 1 R 1 2 para o nó B i 3 i 4 i 5 =0 v B v A R 2 v B vs 1 R 4 v B 0 R 5 =0 reescrevendo as equações para os nós A e B respectivamente temos v A 1 R 1 1 R 2 v B 1 R 2 = is 1 v A 1 R 2 v B 1 1 R 3 R 4 =vs 1 1 R 4 Desta forma obtemos um sistema de equações com duas incógnitas e duas equações que pode ser resolvido sem maiores problemas. Como solução para o problema obteremos as tensões em cada nó. As correntes de cada ramo ficam definidas pela tensão e pelo valor da resistência, ou pelo valor da fonte de corrente. Circuitos Elétricos EEL420 UFRJ 8

Observe que há uma lei de formação para o sistema de equações obtido, de forma que ele poderia ter sido obtido por inspeção da rede. Para um determinado nó N a equação é obtida da seguinte forma: A tensão do nó N multiplicada pelo somatório das condutâncias que vão do nó N aos nos J. Esta parcela é subtraída das tensões nos nós J multiplicadas pelas condutâncias que interligam os nós J ao nó N. O resultado é igual a soma das fontes de correntes que saem do nó N multiplicadas por 1. v N G NJ v J G JN = i N onde G XY é a condutância que liga o nó X ao nó Y. 3.3.2 Análise de malhas Um outro método de analisar uma rede genérica é o método das malhas. Para ilustrar sua aplicação considere a figura a seguir. Inicialmente contamos o número de malhas essenciais (malhas M1, M2 e M3). Para cada malha estipula-se uma corrente com sentido de referência arbitrário (IM1, IM2 e IM3). A partir do sentido de referência arbitrado os sentidos das tensões de referência também ficam bem definidos. A partir dos sentidos de tensão e utilizando a lei das tensões de Kirchhoff podemos escrever as equações que regem as correntes de cada malha. Em elementos que pertencem a mais de uma malha, a corrente resultante será a soma algébrica das correntes de cada malha, levando-se em conta o sentido de cada corrente. Para o circuito acima temos Circuitos Elétricos EEL420 UFRJ 9

para a malha 1 v R1 v R3 v2 v R2 v1=0 R 1 IM1 R 3 IM1 IM2 v2 R 1 IM1 v1=0 para a malha 2 v R4 v R5 v R6 v2 v R3 =0 R 4 IM2 IM3 IM2 R 5 IM2 R 6 v2 R 3 IM2 IM1 =0 para a malha 3 v R7 v3 v R4 v R2 =0 R 7 IM3 v3 R 4 IM3 IM2 R 2 IM3 IM1 =0 reescrevendo as equações temos IM1 R 1 R 2 R 3 IM2 R 3 IM3 R 2 =v1 v2 IM1 R 3 IM2 R 3 R 4 R 5 R 6 IM3 R 4 =v2 IM1 R 2 IM2 R 4 IM3 R 2 R 4 R 7 =v3 Que resulta num sistema com três equações e três incógnitas que pode ser resolvido de forma simples. As correntes de ramo podem ser determinadas por uma simples relação algébrica entre correntes de malha. i1= IM1 i2=im2 i3= IM3 i4=im1 IM2 i5=im2 IM3 Circuitos Elétricos EEL420 UFRJ 10

As tensões de ramo podem ser obtidas a partir dos valores das fontes de tensão e das quedas de tensão sobre os resistores. A tensão sobre as fontes de corrente deve ser determinada pela lei das tensões de Kirchhoff. Observe que há uma lei de formação para o sistema de equações que determinam as correntes de malha de modo que ele poderia ter sido obtido por simples inspeção da rede. Para uma determinada malha M a equação é obtida da seguinte maneira: A corrente da malha M multiplica o somatório de todas as resistência que compõe a malha. Esta parcela deve ser subtraída das demais correntes de malha multiplicas pelas resistência em comum com a malha M. O resultado é igual ao somatório das fontes de tensão da malha multiplicadas por 1. i M R MJ i J R JM = v M onde R XY é a resistência da malha X que também pertence a malha Y. 3.4 Grafos de Rede e Teorema de Tellegen Toda a análise de nós e malhas pode ser sistematizada ainda mais se for utilizada a teoria e grafos e notação matricial. As próximas secções apresentam esta abordagem como um exemplo de como esta sistematização pode simplificar e muito a análise de redes. Como será visto todos as redes podem ser resolvidas a partir de uma só equação entretanto todo o trabalho de análise passa a ser um problema matemático. Esta abordagem, portanto, se aplica muito bem a simulação e análise computacional de redes. 3.4.1 Conceito e definições de grafos Um grafo é um conjunto de braços e nós com a condição de que cada braço comece e termine em um nó. Circuitos elétricos também são formados por braços e nós e por isso também podem ser representados por grafos. Como as leis de Kirchhoff não fazem exigência quanto a natureza dos elementos da rede, é natural desprezar a influência dessa natureza ao reduzir a rede a um grafo. Idéias teóricas de grafos são então usadas para formular de modo preciso a LTK e LCK. Isto é Circuitos Elétricos EEL420 UFRJ 11

realizado para obter uma forma sistemática de análise de circuitos que sirva para redes de qualquer complexidade e tamanho e possa ser simulada em computadores. A representação de um circuito por um grafo pressupõe a substituição dos elementos de braço por um segmento de reta que pode estar orientado (grafo orientado) e que é chamado de braço (ou ramo). Os nós do circuito são os nós do grafo e também podem ser chamados de vértices ou junções. Os nós delimitam o início e o fim de um braço. A orientação dos braços coincide com a orientação dos sentidos de referência associados de tensão e corrente, adotados pela convenção passiva. Definidos assim, grafos mais simples possuem apenas um nó ou um ramo e um nó. Os grafos também podem ser divididos em subgrafos (subconjunto de elementos do grafo) sendo o menor deles chamado de grafo degenerado (um grafo formado apenas por um nó). A figura abaixo apresenta um exemplo de grafo. 1 1 2 4 3 2 3 5 5 4 Os grafos também podem ser ligados se existir ao menos um braço entre quaisquer dois nós. Um grafo ligado é chamado de uma parte separada, assim os grafos não ligados possuem ao menos duas partes separadas. Um corte é um conjunto de braços que quando removidos do grafo original resultam em um grafo com uma parte separada a mais porém, se um dos braços do conjunto for mantido o grafo resultante continua com o mesmo número de partes separadas do grafo original. Um percurso fechado em um grafo é todo subgrafo ligado onde cada nó deste subgrafo está conectado a apenas dois braços. Circuitos Elétricos EEL420 UFRJ 12

3.4.2 Cortes e lei das correntes de Kirchhoff Usando a nomenclatura de grafos a lei das correntes de Kirchhoff pode ser enunciada como Para qualquer rede de parâmetros concentrados, para qualquer de seus cortes, e a qualquer instante, a soma algébrica de todas as correntes através dos braços do corte é zero. A figura abaixo mostra um grafo ligado onde uma superfície S corta o grafo em duas partes separadas. Os braços 1, 2 e 3 formam este corte. Se ao menos um destes três braços não forem removidos então o grafo continua ligado. S 4 8 7 1 5 2 8 3 1 2 3 Se adotarmos um sentido de referência associado a superfície S podemos aplicar a LCK. Adotaremos a seguinte convenção: positivo são as correntes cujos sentidos são do interior para o exterior da superfície. Neste caso, aplicando a LCK para os braços do corte temos i 1 t i 2 t i 3 t =0 Se fossemos aplicar a LCK a todos os nós dentro da superfície S teriamos Nó 1: i 1 i 5 i 6 =0 Nó 2: i 2 i 5 i 7 i 8 =0 Circuitos Elétricos EEL420 UFRJ 13

Nó 3: i 3 i 8 =0 Nó 4: i 6 i 7 =0 A soma de todas estas equações resulta em i 1 i 2 i 3 =0 Da mesma forma podemos definir lei das tensões de Kirchhoff usando a nomenclatura de grafos: Para qualquer rede de parâmetros concentrados, para qualquer de seus percursos fechados, e a qualquer instante, a soma algébrica das tensões de braço ao longo de qualquer percurso fechado é zero. 3.4.3 Teorema de Tellegen Para uma rede de parâmetros concentrados cujo grafo tenha b braços e n nós. Arbitremos para cada braço do grafo uma tensão de braço v K e uma corrente de braço i K e suponhamos que v K e i K sejam medidos a partir de um sentido de referência associado. Se as tensões e as correntes de braço satisfazes a LTK e a LCK respectivamente então: b v K i K =0 K=1 ou seja, toda a potência fornecida pela rede é consumida na própria rede. Em outras palavras as leis de Kirchhoff implicam em conservação de energia. 3.5 Grafos de rede aplicados a análise de nós Dado um determinado grafo orientado é possível descrevê-lo listando todos os braços e nós e indicando qual braço está entrando e saindo de qual nó. Isto pode ser feito por uma matriz chamada matriz de incidência, onde os elementos a ik desta matriz podem assumir valores +1 se o braço k sai do nó i; 1 se o braço k entra no nó i; 0 se o braço k não é incidente (não se conecta) com o nó i. Assim, para o grafo abaixo Circuitos Elétricos EEL420 UFRJ 14

1 1 2 4 3 2 3 5 5 4 a matriz que o descreve é 1 1 0 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0 0 1 1 0 A=[ ] 0 0 0 0 1 1 0 1 1 0 0 1 onde as colunas representam os braços e as linhas representam os nós. Considerando a matriz incidência reduzida (a matriz A sem a linha correspondente ao nó de referência do circuito) é possível escrever a LCK matricialmente como A j=0 e pela LTK a tensão v em cada braço da rede pode ser obtida matricialmente como v= A T e onde e é um vetor com tensões de cada nó. Para concluir o equacionamento das tensões dos nós de uma rede será definido um braço genérico contendo uma resistência, um modelo Thévenin ou Norton conforme apresentado na figura abaixo. Para a continuidade da análise é imprescindível que haja ao menos uma resistência no ramo mas caso isto não ocorra, deve-se utilizar técnicas de explosão de fontes para que a condição seja satisfeita. Circuitos Elétricos EEL420 UFRJ 15

A corrente no ramo genérico que está sendo definido nesta secção pode ser equacionado como j k = j sk G k v sk G k v k onde o índice k denota o k-ésimo ramo da rede. A mesma equação pode ser reescrita matricialmente para todos os ramos, assim a equação acima pode ser reescrita como j=g v j s G v s Se ambos os lados da equação forem multiplicados por A a esquerda então A j=a G v A j s A G v s 0=A G v A j s A G v s e substituindo v por A T e considerando obtemos 0=A G A T e A j s A G v s, ou A G A T e= A G v s A j s Exemplo: No circuito da figura abaixo foram numerados os nós e os braços sendo arbitrado um sentido para cada ramo. Os ramos foram escolhidos de tal forma que pudessem ser equacionados de acordo com o modelo acima. As fontes não são deixadas em ramos isolados. Circuitos Elétricos EEL420 UFRJ 16

A LCK pode ser escrita como 1] [ j 1 1 0 0 0 j 2 A j=[1 0 1 1 1 0 j 3 0 0 0 0 1 j 4 j 5]=[0 0] e a LTK como 0 0 1 1 0 v= A e=[1 T 0 1 0 0 1 1 0 0 1 ] [e1 e 3] 2 e O equacionamento das correntes em cada ramo é dado por j=g v j s G v s [ j1 j 2 j 3 j 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 v 2 0 0 1 0 0 0 0 0 0 3 0 0 v 3 0 0 0 3 0 0 0 0 0 0 1 0 v 4 0 0 0 0 1 0 0 j 5]=[2 0 0 0 0 1] [v1 v 5] [2 0] [2 0 0 0 0 1] [0 1] e as tensões de nó podem ser obtidas por Circuitos Elétricos EEL420 UFRJ 17

A G A T e= A G v s A j s que pode ser reescrito como Y n e=i s onde Y n = A G A T e i s =A G v s A j s. Assim 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 Y n =[1 0 1 1 1 0 0 0 3 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1] [2 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1] [1 ] 0 0 1 =[ 3 Y n ] i =[ 2 s 0 1 1 0 ] 1 5 1 e 0 1 2 Logo, as equações de nó, que podem ser obtidas diretamente pelas técnicas descritas no capítulo anterior, são [ 3 1 0 1 5 1 0 1 2 0 e 3]=[ 2 ]. 1 ] [e1 e 2 Portanto e= 1 [ 17 ] 25 1 12 Circuitos Elétricos EEL420 UFRJ 18

Com estas informações pode-se calcular as tensões e correntes de cada ramo v= A T e= 1 25 [ 17 16 1 13 12 ] e j=g v j s G v s [ 16 j= 1 16 3 25 13] 3.6 Grafos de rede aplicados a análise de malhas Alternativamente é possível descrever um grafo orientado, ligado, inseparável e planar listando todos os braços e malhas e indicando os braços que pertencem a cada malha. Isto pode ser feito por uma matriz onde os elementos a ik desta matriz podem assumir valores +1 se o braço k pertence a malha e tem o mesmo sentido estabelecido para ela; 1 se o braço k pertence a malha e tem sentido contrário ao estabelecido para a malha; 0 se o braço k não pertence a malha. Assim, para o grafo acima teríamos M =[1 1 1 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1] onde as colunas representam os braços e as linhas representam os nós. Considerando a matriz M reduzida (matriz m sem a inclusão da malha externa apenas com malhas essenciais), podemos escrever a LTK como M v=0 Circuitos Elétricos EEL420 UFRJ 19

e pela LCK as correntes de ramo podem ser obtidas pelas correntes de malha como j=m T i onde i corresponde ao vetor de correntes de malha. Mais uma vez a abordagem que está sendo apresentada requer a definição de um ramo padrão de circuito como apresentado na figura abaixo. A tensão sobre o ramo genérico pode ser equacionado como v k =v sk R k j sk R k j k onde o índice k define o k-ésimo ramo da rede. Esta equação pode ser reescrita para todos os ramos na forma matricial como v=r b j R b j s v s. Multiplicando por M dos dois lados da equação M v=m R b j M R b j s M v s 0=M R b j M R b j s M v s Substituindo j por M T i obtêm-se M R b M T i=m R b j s v s Circuitos Elétricos EEL420 UFRJ 20

3.7 Exercícios 1) Para o circuito abaixo determine a tensão V sobre R 3 (use superposição). 2) A rede abaixo é o circuito equivalente de um amplificador transistorizado com emissor comum ligado a uma carga resistiva não linear. a) Determine a rede Thévenin equivalente do amplificador. b) Determine a tensão de saída sobre a carga. 3) Encontrar Vo em função de V1, V2 e dos resistores. Para os cálculos, redesenhar o circuito substituindo cada amplificador operacional pelo seu modelo ideal. 4) Determine a tensão V sobre o resistor R 2 para as seguintes situações: a) i S =4 A e v S =10V e b) i S =10 A e v S = 10V. É possível resolver este problema por superposição? Circuitos Elétricos EEL420 UFRJ 21

5) Encontre o equivalente Thévenin entre os terminais A e B da rede abaixo. 6) No circuito abaixo, calcular as potências das fontes de corrente. O braço X apresenta uma característica v x =10 i x 5. 7) No circuito abaixo determine a potência dissipada pelo resistor R 6. Para tanto, simplifique o circuito até obter apenas duas malhas. Após, resolva o problema utilizando o método das correntes de malha. Circuitos Elétricos EEL420 UFRJ 22

8) Para o circuito abaixo aplique uma fonte de tensão de V Volts entre os terminais A e B. Equacione o problema utilizando malhas e isole a tensão V em função da corrente pela fonte. Compare com o resultado obtido no exemplo de Thévenin-Norton. Repita o processo com uma fonte de corrente de I Amperes. abaixo. 9) Utilizando análise de nós e malhas calcule as tensões e correntes dos circuitos Circuitos Elétricos EEL420 UFRJ 23

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