UNIVERSIDDE DE SÃO PULO FCULDDE DE ECONOMI, DMINISTRÇÃO E CONTBILIDDE DEPRTMENTO DE DMINISTRÇÃO SÉRIE DE WORKING PPERS WORKING PPER Nº 03/005 UM VRIÇÃO DO MODELO KMV DE CRÉDITO PR O CLCULO D PROBBILIDDE DE DEFULT DE UM EMPRES JOSÉ ROBERTO SECURTO FE-USP Este artigo pode ser obtido no site: www.ead.fea.usp.br/wpapers Os comentários, críticas e sugestões devem ser enviados ao e-mail: securato@usp.br
1 Uma Variação do Modelo KMV de Crédito para o Calculo da Probabilidade de Default de Uma Empresa Resumo Este artigo tem como principal objetivo apresentar uma fórmula para o cálculo da probabilidade de default de uma operação de crédito. fórmula utiliza como dados de entrada coeficientes obtidos a partir das demonstrações contábeis e da evolução dos valores do tivo e Patrimônio Liquido da empresa, além do estado da dívida. Ela foi elaborada a partir de uma variação do modelo de opções reais seguindo a linha do modelo KMV e ainda requer, adaptações para a efetiva aplicação. O centro do artigo é a fórmula obtida para o cálculo da probabilidade de default e a tabela apresentada de probabilidade conforme o percentual da dívida em relação ao valor patrimonial. Trata-se de um artigo exploratório com possibilidades de novos estudos. 1. Introdução Um dos grandes problemas que temos em nossos dias é, com certeza, a questão do crédito. ltman e Suggit (1998:2) observam que: a administração do risco de crédito é talvez o próximo grande desafio na administração de risco das instituições financeiras. ssim temos o estudo cada vez mais acentuado de modelos para análise de crédito e para a avaliação do risco de crédito oriundos das mais distintas vertentes, desde o estudo do demonstrativos contábeis até a aplicação em Redes Neurais ou Teoria do Caos para a análise de crédito. Um dos modelos mais interessantes foi o desenvolvimento na década de 80 por Kealhofer e Vasicek, que mais tarde vão se juntar a McQuown dando origem ao modelo de uso comercial KMV, desenvolvido pela KMV Corporation. Nesse artigo apresentamos uma variação do modelo KMV, que segue as idéias de Merton (1974), para o cálculo de probabilidade de default de uma empresa. 2. Uma Empresa Entendida como Uma Opção e o Modelo KMV Conforme a proposta de Merton (1974) consideremos uma empresa em sua estrutura mais simples, ao longo do tempo, da seguinte forma: a) na data t = 0 (hoje) - a empresa tem um patrimônio liquido indicado por 0, uma divida D 0 e um total de ativos 0. b) na data T (T>0) temos: - a empresa deverá pagar a dívida cujo valor será D T ; - supõe-se que caso a dívida não seja paga os credores assumem a empresa nada pagando aos acionistas; - e supõe-se que durante o período t = 0 a t = T, a empresa não assume novas dívidas e nem paga dividendos ao proprietários.
2 Com estas hipóteses traçadas podemos considerar que um pessoa poderia pagar a quantia 0 na data t = 0 e com isso adquirir o direito de ficar com a empresa, ou não, dependendo do valor que os ativos assumirem na data t = T, de vencimento da dívida. - Em t = 0 os ativos da empresa valem 0 e irão variar ao longo do tempo até a data t = T. Indicando por T o valor do ativo, no vencimento da dívida, teremos duas possibilidades: - Se T D T então, nesse caso, será paga a dívida D T. Como resultado da operação obtêm-se o valor ( T - D - T ), onde T corresponde ao valor 0, que foi gasto para entrar na operação, corrigido para a data de vencimento da dívida. - Se T < D T então se entrega a empresa aos credores perdendo-se o valor 0 pago no início da operação. Do exposto temos um caso típico de uma CLL, opção de compra, onde: - Paga-se prêmio C = 0 - para se ter o direito de comprar um ativo, em uma data T, por um valor de exercício X = D T ; - Direito esse que será exercido se o preço do ativo 0, em t = 0, evoluir para um preço T D T, no vencimento em t = T. Então pela fórmula de Black e Scholes podemos calcular o valor de 0, ou seja, o prêmio da CLL opção de compra, como segue: itxt ( ) D e.n( ) 0 = 0.N d1 T d2 com, d 1 = i F e ln 0 DT. T xt 1 +. 2. T e d = d T ; 2 1 onde é a volatilidade da taxa de variação do ativo, N (. ) é a probabilidade com base na distribuição normal e as demais variáveis já foram explicadas. É interessante notar que esse modelo pode ser ampliado para o caso de distribuição de dividendos ao longo do período 0;T. [ ] partir da visão da empresa como uma opção de compra, o Modelo KMV procura calcular a probabilidade de default, ou seja, de não pagamento da dívida em um prazo fixado t = T. Conforme Crocchy (2000: 88-90), essa probabilidade de default PD, é calculada a partir da distância de default DD, calculada pela diferença entre o valor esperado do valor dos ativos E [ ] - e o valor das dividas de curto prazo somada à metade das de longo prazo; como segue:
3 DD = [ ] E t DL DC + 2 onde DC: dívida de curto prazo DL: dívida de longo prazo DD: distância de default dada em número de desvios padrões Daí obtém-se a probabilidade de default empírica, dada por: PD = número de firmas que deram default em um ano com, valores de ativos de K distância de default no início do ano Total de firmas com valores de ativos de K de distância de default Conforme comenta Saunders (1999:29) a vantagem do KMV é a construção de uma base de dados mundial de firmas que lhe permite produzir estas probabilidades de default empíricas. Claro que o problema surge quando não dispomos dessa base e, nessas condições, precisamos de outras soluções para a determinação do cálculo da probabilidade de default, como a que passamos a apresentar. 3. Uma Variação do Modelo KMV para Calculo da Probabilidade de Default partir da fórmula de Black-Scholes devemos lembrar que N (d 2 ) representa a probabilidade de ocorrência de exercício da opção; o que pode ser visto em BRIYS et al. (1998:64-68), quando trata da solução da equação diferencial que dá origem a fórmula de Black-Scholes. Nestas condições, para o vencimento da opção em t = T, a probabilidade de default será dada por : PD = 1 N (d 2 ). Substituindo N (d 2 ) a partir da fórmula de Black-Scholes virá que: PD 1.N. ( d ) 0 1 0 =. i D Fxt Te Por outro lado, se calcularmos a derivada do prêmio da opção em relação ao preço do ativo objeto obtemos o conhecido resultado, que para nosso caso, será dado por: que na forma discreta nos dará: = t N( d 1 t ) =.N ; ( d ) 1
4 Se considerarmos que a variação de uma variável possa ser captada como um percentual de seu valor e que possamos tomar para tal o desvio padrão das taxas de variação da variável, conforme Crosbie (1999:15), teremos: ou mais genericamente =. e =. = k.. e = k.., 1 onde k 1 e k 2 são constantes a serem determinados. 2 Substituindo em nossa última equação nos dará a seguinte relação: k ( ) 2..t = k1. t.n d1 Tomando essa relação para t = 0 e substituindo o produto 0 x N (d 1 ) na fórmula da probabilidade de default, teremos: Probabilid ade (. Pl 2 0 0 k1 T < DT ) = PD = 1-. i Fxt DTe Indicando k 1 /k 2 pelo coeficiente k de calibração do modelo teremos: k P ( T i Fxt 0.e < DT) = PD = 1-. k. 1 DT onde PD: probabilidade de default no vencimento T D T : valor da divida na data T 0 : valor do patrimônio liquido em t = 0 i F : taxa livre de risco : volatilidade da taxa de variação do : volatilidade da taxa de variação dos ativos da empresa k: coeficiente de calibragem do modelo. Se consideramos que i c é a taxa de crédito a vigorar para a dívida no período T, podemos considerar que D T = D 0 x e ict. Daí a fórmula será: PD = 1 D 0 ( i i ) xe.t k. 1 0 F c ;
5 com algumas condições naturais para aplicação: i F < i c e k. >1 4. Testando o Modelo Para termos idéia do comportamento do modelo em relação a sua aplicação prática constatamos que os resultados dependem de uma boa calibragem do modelo. Com relação ao quociente / calculamos a volatilidade do tivo e do Patrimônio Liquido de uma amostra de 15 empresas a partir de dados de balanços coletados na ECONOMÁTIC, do período 1995 à 2001, encontrando uma média de 1,43 com desvio de 0,37. tabela seguinte apresenta as probabilidades de default para T = 1 ano, k = 1 e spread em relação a taxa livre de risco i c -i F = 20% a.a., para diferentes percentuais de passivos em relação ao patrimônio liquido e diferentes quocientes de volatilidades no intervalo [1,06;1,80]; como pode ser visto.
6 5. Considerações Finais Observando a tabela de probabilidades de default contatamos que aumentando o percentual do endividamento a probabilidade aumenta significativamente enquanto que aumentando o quociente / a probabilidade de default diminui mostrando que quanto maior for a taxa de variação do patrimônio em relação a taxa de variação do ativo diminui o risco da empresa. tabela foi elaborada para k = 1 e acreditamos que o tamanho da empresa e tipo de negócio devem ter uma calibragem especial; com especial atenção para os bancos. Desta forma o modelo apresentado requer, ainda, estudos que possam referendá-lo, ou não, para as aplicações práticas. creditamos que estudos com relação a calibragem possam nos levar a algum sucesso do modelo. Bibliografia LTMN, Edward I; SUGGIT, Heather J. Default Rates In The Sindicates Bank Loan Market: Mortality nalysis. Conference on Credit Risk Modeling and Regulatory Implications. London September, 1998. MERTON, R.C. On the princing of corporate debt: the risk structure of interent rates. The Journal of Finance, 1974, Vol. 29, pp 449-470 CROUHY, M; GLI, D; MRK, R. Comparative nalysis Of Current Credit Risk Models. Journal of Banking & Finance; 2000, Vol. 24, pp. 59-117. SUDERS, ntony. Credit Risk Measurement. John Wiley, New York, 1999 BRIYS, Eric; BELLLH, Mondher; MI, Huuminh, e VRENNE, François de. Options, Futures nd Exotic Derivatives. John Wiley, New York, 1998. CROSBIE, P.J. Modeling Default Risk, www.kml.com.