Exercício de aplicação 1. A altura média do tronco de certa espécie de árvore, que se destina a produção de madeira, evolui, desde que é plantada,segundo o seguinte modelo matemático: h(t) = 1,5 + log 3 (t+1) com h(t) em metros e t em anos. Se uma dessas árvores foi cortada quando seu tronco atingiu 3,5 m de altura, o tempo (em anos) transcorrido do momento da plantação até o do corte foi de: a) 9 b) 8 c) 7 d) 4 e) 2 Questões da teoria 0.1. A figura representa o gráfico da função f definida por f(x)= log 2 x. A medida do segmento PQ é igual a: a) 6 b) 5 c) log25 d) 2 e) log 2 2. Se 2 3 4 logx logx logx logx 20, o valor de x é: a) 10 b) 0,1 c) 100 d) 0,01 e) 1 3. Se log a = 1,7, log b = 2,2 e log c = 2,7, então a, b, c, nesta ordem, formam uma a) progressão geométrica de razão 10. b) progressão geométrica de razão 10. c) progressão geométrica de razão 0,5. d) progressão aritmética de razão 0,5. e) progressão aritmética de razão 10. 4. A soma log 2/3 + log 3/4 + log 4/5 +... + log 19/20 é igual a a) -log20. b) -1. c) log2. d) 1. e) 2. 5. Se log8x - log8y = 1/3, então a relação entre x e y é a) x = 3y b) 2x - y = 0 c) x/y = 1/3 d) y = 8x e) x = 2y
Questões vídeos: 1 Para se calcular a intensidade luminosa L, medida em lumens, a uma profundidade de x centímetros num determinado lago, utiliza-se a lei de Beer-Lambert, dada pela seguinte fórmula: L log 0,08x 15 Qual a intensidade luminosa L a uma profundidade de 12,5 cm? a) 150 lumens. b) 15 lumens. c) 10 lumens. d) 1,5 lumens. e) 1 lúmen. 2. Para combater um incêndio numa floresta, um avião a sobrevoa acima da fumaça e solta blocos de gelo de uma tonelada. Ao cair, cada bloco se distancia da altitude em que foi solto pelo 2 avião de acordo com a lei d 10t, em que t é o tempo em segundos. A massa M do bloco (em quilogramas) varia, em função dessa distância de queda d (em metros), conforme a expressão M 1000 250log d. Se o bloco deve chegar ao chão totalmente derretido, a altitude mínima em que o avião deve soltá-lo e o tempo de queda nesse caso devem ser a) 10.000 metros e 32 segundos. b) 10.000 metros e 10 segundos. c) 1.000 metros e 32 segundos. d) 2.000 metros e 10 segundos. e) 1.000 metros e 10 segundos. 3 Numa plantação de certa espécie de árvore, as medidas aproximadas da altura e do diâmetro do tronco, desde o instante em que as árvores são plantadas até completarem 10 anos, são dadas respectivamente pelas funções: a) Determine as medidas aproximadas da altura, em metros, e do diâmetro do tronco, em centímetros, das árvores no momento em que são plantadas. b) A altura de uma árvore é 3,4 m. Determine o diâmetro aproximado do tronco dessa árvore, em centímetros. 4. Na década de 30 do século passado, Charles F. Richter desenvolveu uma escala de magnitude de terremotos - conhecida hoje em dia por escala Richter -, para quantificar a energia, em Joules, liberada pelo movimento tectônico. Se a energia liberada nesse movimento é representada por E e a magnitude medida em grau Richter é representada por M, a equação que relaciona as duas grandezas é dada pela seguinte equação logarítmica: log10 E = 1,44 + 1,5 M Comparando o terremoto de maior magnitude ocorrido no Chile em 1960, que atingiu 9.0 na escala Richter, com o terremoto ocorrido em San Francisco, nos EUA, em 1906, que atingiu 8.0, podemos afirmar que a energia liberada no terremoto do Chile é aproximadamente a) 10 vezes maior que a energia liberada no terremoto dos EUA. b) 15 vezes maior que a energia liberada no terremoto dos EUA.
c) 21 vezes maior que a energia liberada no terremoto dos EUA. d) 31 vezes maior que a energia liberada no terremoto dos EUA. 5. A Escala de Magnitude de Momento (abreviada como MMS e denotada como M W ), introduzida em 1979 por Thomas Haks e Hiroo Kanamori, substituiu a Escala de Richter para medir a magnitude dos terremotos em termos de energia liberada. Menos conhecida pelo público, a MMS é, no entanto, a escala usada para estimar as magnitudes de todos os grandes terremotos da atualidade. Assim como a escala Richter, a MMS é uma escala logarítmica. MW e M 0 se relacionam pela fórmula: 2 MW 10,7 log 10 (M 0) 3 Onde M 0 é o momento sísmico (usualmente estimado a partir dos registros de movimento da superfície, através dos sismogramas), cuja unidade é o dina.cm. O terremoto de Kobe, acontecido no dia 17 de janeiro de 1995, foi um dos terremotos que causaram maior impacto no Japão e na comunidade científica internacional. Teve magnitude M 7,3. W U.S. GEOLOGICAL SURVEY, Historic Earthquakes. Disponível em: http://earthquake.usgs.gov. Acesso em: 1 maio 2010 (adaptado). U.S. GEOLOGICAL SURVEY. USGS Earthquake Magnitude Policy. Disponível em: http://earthquake.usgs.gov. Acesso em: 1 maio 2010 (adaptado). Mostrando que é possível determinar a medida por meio de conhecimentos matemáticos, qual foi o momento sísmico M0 do terremoto de Kobe (em dina.cm)? a) 5,10 10 b) 0,73 10 c) 12,00 10 d) 21,65 10 e) 27,00 10 6. Explosão de Bits A velocidade dos computadores cresce de forma exponencial e, por isso, dentro de alguns anos teremos uma evolução aceleradíssima. Para o inventor Ray Kurzweil, um computador de mil dólares tem hoje a mesma inteligência de um inseto. No futuro, ele se igualará à capacidade de um rato, de um homem e, finalmente, de toda a humanidade. Revista Superinteressante, ago. 2003 (adaptado). Considerando as informações apresentadas no gráfico acima, que estima a capacidade de processamento (por segundo) de um computador (C) em função do ano (a), de acordo com os dados do texto, pode-se afirmar que:
a 1984 a) C = log10 (10a + 8) b) C = log10 2 log 10 C d) a = 10-8 e) a = 1984 + log10(c) 2 c) a = 1992 + log10c 7. Observa-se empiricamente, em diversas séries estatísticas quantitativas, que é muito maior a frequência de dados cujo primeiro dígito (à esquerda) é 1 do que a frequência de dados cujo primeiro dígito é 9. Por exemplo, na série de população dos 5.565 municípios brasileiros publicada pelo IBGE em 2009, existem 1.619 municípios cuja população é expressa por um número iniciado por 1 (por exemplo: Goiânia, 1.281.975 habitantes), enquanto em apenas 209 municípios a população é expressa por um número iniciado por 9 (por exemplo: Itumbiara, 92.832 habitantes). Esse fato é conhecido como lei de Benford, e é expresso da seguinte maneira: em um conjunto de observações numéricas satisfazendo essa lei, a probabilidade de que o primeiro 1 dígito seja D, em que D pode assumir os valores inteiros de 1 a 9, é dada por: PD log1 D De acordo com essas informações, para uma série de dados que satisfaz a lei de Benford, extraindo um dado ao acaso, qual é a probabilidade de se ter o primeiro dígito menor do que 5? Use log2 = 0,3 8. Define-se o nível sonoro N de um som, medido em decibel (db), pela relação N = 10. log10 [I/I0] em que I é a intensidade do som correspondente ao nível sonoro â, medida em watt por metro quadrado (W/m 2 ), e I0 é uma constante, que representa a menor intensidade de som audível (geralmente 10-12 W/m 2 ). Se a intensidade de um som duplicar, o seu nível sonoro aumenta em: (Adote: log10 2 = 0,3) a) 0,03 db. b) 0,3 db. c) 3 db. d) 30 db. e) 300 db. 9. O ph de uma solução aquosa é definido pela expressão: ph = - log [H + ], em que [H + ] indica a concentração, em mol/l, de íons de Hidrogênio na solução e log, o logaritmo na base 10. Ao analisar uma determinada solução, um pesquisador verificou que, nela, a concentração de íons de Hidrogênio era [H + ] = 5,4. 10-8 mol/l. Para calcular o ph dessa solução, ele usou os valores aproximados de 0,30, para log 2, e de 0,48, para log 3. Então, o valor que o pesquisador obteve para o ph dessa solução foi a) 7,26 b) 7,32 c) 7,58 d) 7,74 10. Em um experimento hipotético com cinco espécies de bactérias em meio de cultura, cada uma com população inicial de 10 células, registraram-se as populações apresentadas na tabela a seguir, uma hora após o início do experimento. Bactéria Número de células uma hora após o início Chlamydia trachomatis 160 Escherichia coli 50 Leptospira interrogans 40
Streptococcus pneumoniae 100 Vibrio cholerae 80 Considerando-se que o número de bactérias duplica a cada geração, define-se o número de geração, n, quando a população chega a N células, pela fórmula: N = N0 2 n, em que N0 é o número inicial de células. O tempo de geração é definido como o tempo necessário para a população dobrar de tamanho, e pode ser obtido dividindo-se o tempo decorrido para a população passar de N0 a N pelo número de geração correspondente. O bacilo, nesse experimento, causa diarreia e seu tempo de geração, em minutos, foi de: Dado: log 2 = 0,3 a) 30 b) 26 c) 20 d) 18 11. Para melhor estudar o Sol, os astrônomos utilizam filtros de luz em seus instrumentos de observação. Admita um filtro que deixe passar 4 da intensidade da luz que nele incide. Para 5 reduzir essa intensidade a menos de 10% da original, foi necessário utilizar n filtros. Considerando log 2 = 0,301, o menor valor de n é igual a: a) 9 b) 10 c) 11 d) 12 e) 15 12 Um método para se estimar a ordem de grandeza de um número positivo N é usar uma pequena variação do conceito de notação científica. O método consiste em determinar o valor x que satisfaz a equação 10 x = N e usar propriedades dos logaritmos para saber o número de casas decimais desse número. Dados log 2 = 0,30 e log 3 = 0,47 use esse método para decidir qual dos números abaixo mais se aproxima de N = 2 120 3 30 a) 10 45 b) 10 50 c) 10 55 d) 10 60 e) 10 60 13. A temperatura média da Terra começou a ser medida por volta de 1870 e em 1880 já apareceu uma diferença: estava (0,01) C (graus Celsius) acima daquela registrada em 1870 (10 anos antes). A função com t(x) em C e x em anos, fornece uma estimativa para o aumento da temperatura média da Terra (em relação àquela registrada em 1870) no ano (1880 + x), x 0. Com base na função, determine em que ano a temperatura média da Terra terá aumentado 3 C. (Use as aproximações log2(3) = 1,6 e log2(5) = 2,3) 14. Um capital de R$12.000,00 é aplicado a uma taxa anual de 8%, com juros capitalizados anualmente. Considerando que não foram feitas novas aplicações ou retiradas, encontre: a) O capital acumulado após 2 anos. b) O número inteiro mínimo de anos necessários para que o capital acumulado seja maior que o dobro do capital inicial. [Se necessário, use log10 2 = 0,301 e log103 = 0,477]. 15. Os biólogos dizem que há uma alometria entre duas variáveis, x e y, quando é possível determinar duas constantes, c e n, de maneira que y = c.x n. Nos casos de alometria, pode ser
conveniente determinar c e n por meio de dados experimentais. Consideremos uma experiência hipotética na qual se obtiveram os dados da tabela a seguir. Supondo que haja uma relação de alometria entre x e y e considerando log 2 = 0,301, determine o valor de n. 16. Em setembro de 1987, Goiânia foi palco do maior acidente radioativo ocorrido no Brasil, quando uma amostra de césio-137, removida de um aparelho de radioterapia abandonado, foi manipulada inadvertidamente por parte da população. A meia-vida de um material radioativo é o tempo necessário para que a massa desse material se reduza à metade. A meia-vida do césio- 137 é 30 anos e a quantidade restante de massa de um material radioativo, após t anos, é kt calculada pela expressão M(t) A (2,7), onde A é a massa inicial e k é uma constante negativa. Considere 0,3 como aproximação para log10 2. Qual o tempo necessário, em anos, para que uma quantidade de massa do césio-137 se reduza a 10% da quantidade inicial? a) 27 b) 36 c) 50 d) 54 e) 100 17. Ao se ligar a chave S do circuito RC, representado na figura a seguir, a intensidade da corrente i que percorre o circuito é dada pela equação i 5 e 2, i, em miliamperes; t, em milissegundos, t 0. t Ao se ligar a chave do circuito, pode-se concluir que a intensidade da corrente i ficará reduzida à metade do seu valor inicial em a) ln2 milissegundo. b) ln4 milissegundo. c) 1 milissegundo. d) 1,5 milissegundo. e) 2 milissegundos. 18. A descoberta da radioatividade foi um dos grandes feitos científicos dos tempos modernos. Ela causou tamanho impacto na ciência e na tecnologia que a cientista polonesa Marie Curie foi a primeira pessoa a ganhar dois prêmios Nobel. Uma importante aplicação do trabalho dessa cientista, o decaimento radioativo dos núcleos atômicos, é a datação de fósseis e artefatos feitos de matéria orgânica. Os seres vivos são essencialmente feitos de carbono e, enquanto vivos,
carregam em si quantidades de carbono radioativo ( 14C ) e carbono estável ( 12C ), numa proporção fixa. Quando um animal ou planta morre, o 14C começa a decair em 12C, fazendo a proporção entre os dois isótopos variar ao longo do tempo. A equação que governa esse processo, juntamente com alguns dados numéricos, são mostrados no quadro abaixo. Em uma determinada amostra de um tecido de linho, foi usada uma técnica que permitiu verificar que existe, hoje, 92% do 14C que deveria existir quando a fibra de linho foi colhida e usada para fazer o lençol. Usando essas informações, pode-se afirmar que esse tecido tem aproximadamente: a) 2240 anos. b) 1800 anos c) 1360 anos. d) 1050 anos e) 700 anos. 19. Analisando o comportamento das vendas de determinado produto em diferentes cidades, durante um ano, um economista estimou que a quantidade vendida desse produto em um mês (Q), em milhares de unidades, depende do seu preço (P), em reais, de acordo com a relação 2P Q 1 4 (0,8). No entanto, em Economia, é mais usual, nesse tipo de relação, escrever o preço P em função da quantidade Q. Dessa forma, isolando a variável P na relação fornecida acima, o economista obteve Q1 b) P log 0,8. 8 Q1 a) P log 0,8. 4 d) 0,8 Q P 1 Q. e) P 0,5 log0,8 1. 8 4 c) 0,8 Q P 0,5 1. 4 20. Os habitantes de um certo país são apreciadores dos logaritmos em bases potência de dois. Nesse país, o "Banco ZIG" oferece empréstimos com a taxa (mensal) de juros T=log8225, enquanto o "Banco ZAG" trabalha com a taxa (mensal) S=log215. Com base nessas informações, a) estabeleça uma relação entre T e S; b) responda em qual dos bancos um cidadão desse país, buscando a menor taxa de juros, deverá fazer empréstimo. Justifique. 21. Uma indústria do Rio de Janeiro libera poluentes na baía de Guanabara. Foi feito um estudo para controlar essa poluição ambiental, cujos resultados são a seguir relatados.
Do ponto de vista da comissão que efetuou o estudo, essa indústria deveria reduzir sua liberação de rejeitos até o nível onde se encontra P, admitindo-se que o custo total ideal é o resultado da 1 adição do custo de poluição y=2 x -1, ao custo de controle da poluição y=6 2. Para que se consiga o custo ideal, a quantidade de poluentes emitidos, em kg, deve ser aproximadamente: Considere log 2 = 0,3; log 3 = 0,4 a) 1333 b) 2333 c) 3333 d) 4333 e) 5333 x