RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II CARREGAMENTO AXIAL PARTE I Prof. Dr. Daniel Caetano 2012-2
Objetivos Conhecer o princípio de Saint- Venant Conhecer o princípio da superposição Calcular deformações em elementos submetidos a esforço normal Calcular reações em problemas estaticamente indeterminados simples
Material de Estudo Material Notas de Aula - Acesso ao Material Apresentação Material Didático - http://www.caetano.eng.br/ (Aula 3) Resistência dos Materiais (Hibbeler) Biblioteca Virtual, páginas 85 a 106.
RELEMBRANDO: FORMA X DEFORMAÇÃO
Características das Figuras Planas Perímetro, Área... Momento Estático cálculo do centróide Momento de Inércia resiste à variação ω Mas o que tem a ver isso com resistência? Módulo de Rigidez... Tem a ver com o Módulo de Elasticidade σ = E ε F = k x
O PRINCÍPIO DE SAINT-VENANT
Princípio de Saint-Venant Distorção na deformação: próxima à carga Distorção próxima à carga Distorção próxima ao apoio (reação!)
Princípio de Saint-Venant Distorção na deformação: próxima à carga Distorção próxima à carga Longe das cargas e apoio... Permanecem paralelas Distorção próxima ao apoio (reação!)
Princípio de Saint-Venant Com o distanciamento da carga... A tensão se uniformiza... a-a b-b c-c σ méd = P A
Princípio de Saint-Venant Uniformização independe da distribuição da carga! Depende da resultante! c-c c-c σ méd = P A σ méd = P A
Princípio de Saint-Venant Quão longe da aplicação deve estar a medida?
DEFORMAÇÃO ELÁSTICA DE CORPO EM CARGA AXIAL
Deformação por Carga Axial Consideremos a viga genérica sob carga axial Carga varia ao longo de x P(x) Área varia ao longo de x A(x) Considerar tensão uniforme (Saint-Venant)
Deformação por Carga Axial Consideremos a viga genérica sob carga axial Vamos calcular a deformação no elemento dx
Deformação por Carga Axial Cálculo da Deformação σ = P(x) A(x) ε = dδ dx σ = E ε P(x) A(x) = E dδ dx dδ = P(x) dx E A(x)
Deformação por Carga Axial Cálculo da Deformação dδ = P(x) dx E A(x) δ = 0 L P(x) dx E A(x)
Deformação por Carga Axial Deform. em Viga de Seção/Carga Constante δ = 0 L P(x) dx E A(x) = 0 L P dx E A δ = P L E A
Deformação por Carga Axial Barras compostas de várias seções constantes P δ = P L E A
Deformação por Carga Axial Convenção de Sinais Trações Alongamentos + Compressões Contrações - 8kN 4kN 7kN
Deformação por Carga Axial R 8kN 4kN 7kN x A reação de apoio é... F x = 0 R + 8 + 4 7 = 0 R = 5kN
Deformação por Carga Axial 5kN 8kN 4kN 7kN 1 2 3 x O alongamento é... δ = P L E A δ = P 1 L 1 E 1 A 1 + P 2 L 2 E 2 A 2 + P 3 L 3 E 3 A 3
Deformação por Carga Axial 5kN 8kN 4kN 1 2 3 x 7kN δ = P 1 L 1 E 1 A 1 + P 2 L 2 E 2 A 2 + P 3 L 3 E 3 A 3 5kN 3kN 7kN 1 2 3 5kN 3kN 7kN P1 = +5kN P2 = -3kN P3 = -7kN
Exemplo Def. por Carga Axial Tubo de alumínio (E = 70GPa) AB (A = 400mm 2 ). Barra de aço (E = 200GPa) BC (φ = 10mm). Tensão de 80kN em C Faz C deslocar de quanto com relação a A?
Exemplo Def. por Carga Axial E al =70GPa, E aço =200GPa A al =400mm 2, φ aço =10mm Encurtamento AB 80kN B A 80kN Move B para direita (considerando A fixo) Alongamento de BC 80kN B C 80kN Move C para direita (considerando B fixo)
Exemplo Def. por Carga Axial E al =70GPa, E aço =200GPa A al =400mm 2, φ aço =10mm Encurtamento AB 80kN B A 80kN δ BA = P L E A δ BA = 80 103 0,4 = 80 103 4 10 1 70 10 9 0,0004 70 10 9 4 10 4 δ BA = 0,001143m
Exemplo Def. por Carga Axial E al =70GPa, E aço =200GPa A al =400mm 2, φ aço =10mm Alongamento BC 80kN B C 80kN δ BC = P L E A δ BC = 80 103 0,6 = 80 103 6 10 1 200 10 9 0,005 200 10 9 5 10 3 δ BC = 0,003056m
Exemplo Def. por Carga Axial E al =70GPa, E aço =200GPa A al =400mm 2, φ aço =10mm Logo... δ CA = δ BA + δ BC δ CA = 0,001143m + 0,003056m δ CA = 0,00420m
Exemplo Def. por Carga Axial r(y) Peso específico: γ Mód. Elasticidade: E Qual a distenção por peso próprio? y δ = 0 L P(y) dy E A(y) r(y) =?
Exemplo Def. por Carga Axial r(y) y Peso específico: γ Mód. Elasticidade: E Qual a distenção por peso próprio? r(y) y = r 0 L r(y) = r 0 y L
Exemplo Def. por Carga Axial F peso = W(y) = P(y) = V γ P y = y 3 π r y 2 γ Mas... Logo... r y = r 0 y L P y = y3 π r 0 2 3 L 2 γ
Exemplo Def. por Carga Axial Além disso... Mas... Logo... A(y) = π r(y) 2 r y = r 0 y L A y = π r 0 2 y 2 L 2
Exemplo Def. por Carga Axial Juntando... δ = P y = y3 π r 0 2 3 L 2 γ 0 L A y = π r 0 2 y 2 δ = 0 L L 2 P(y) dy E A(y) y 3 π r 0 2 γ 3 L 2 E L 2 dy π r 0 2 y 2
Exemplo Def. por Carga Axial Juntando... δ = 0 L y 3 π r 0 2 γ 3 L 2 E L 2 dy π r 0 2 y 2 δ = 0 L y γ 3 E dy δ = γ 3 E δ = L y dy 0 γ L2 6 E
SUPERPOSIÇÃO DE EFEITOS
Superposição de Efeitos Princípio da Superposição de Efeitos Subdividir o carregamento em componentes Calcular os efeitos em separado Somar os resultados Carga relacionada linearmente com σ ou δ Ex.: σ = P/A ou δ = PL/EA Carga não deve provocar grande mudança na geometria do elemento
Superposição de Efeitos
Superposição de Efeitos
Superposição de Efeitos Neste curso... Pouca deformação Cargas proporcionais a σ ou δ A menos que especificado diferentemente! Em geral, valerá a superposição!
ELEMENTOS ESTATICAMENTE INDETERMINADOS SOB CARGA AXIAL
Elem. Estaticamente Indeterminados Considere a viga abaixo R A A P C Reações R A e R B...? F x = 0 L L AC L CB R B B x R A + P R B = 0 R A + R B = P
Elem. Estaticamente Indeterminados Considere a viga abaixo R A A Reações R A e R B...? L P C L AC L CB Viga Estaticamente F x = 0 Indeterminada R B B x R A + P R B = 0 R A + R B = P
Elem. Estaticamente Indeterminados Considere a viga abaixo R A A L P C L AC L CB Podemos enxergar essa viga de outro modo... R A A L AC δ C,A = δ C,B C R A R B B R A + R B = P L CB C B R B R B
Elem. Estaticamente Indeterminados Calculemos... R A A L AC C R A R A + R B = P L CB δ C,A = δ C,B R B C B R B δ C,A = R A L AC E A = R B L CB E A = δ C,B R A = R B L CB L AC
Elem. Estaticamente Indeterminados Calculemos... R A A L AC δ C,A = δ C,B C δ C,A = R A L AC E A Condição de Compatibilidade R A R B C = R B L CB E A R A = R B L CB L AC R A + R B = P L CB R B Condição de Equilíbrio = δ C,B B
Elem. Estaticamente Indeterminados Exemplo φ = 5mm E = 200GPa Reações R A e R B...? F x = 0 δ C,A = δ C,B + 0,001 R A + P R B = 0 R A + R B = P
Elem. Estaticamente Indeterminados Exemplo δ C,A = δ C,B + 0,001 φ = 5mm E = 200GPa R A L AC E A = R B L CB E A + 0,001 R A L AC E A R B L CB E A = 0,001 R A = 0,001 E A + R B L CB L AC
Elem. Estaticamente Indeterminados Exemplo δ C,A = δ C,B + 0,001 φ = 5mm E = 200GPa R A = 0,001 E A + R B L CB L AC = 0,001 E A + (P R A) L CB L AC R A = 0,001 200 109 π (2,5 10 3 ) 2 +(20 10 3 R A ) 0,8 0,4
Elem. Estaticamente Indeterminados Exemplo R A = 0,001 200 109 π 6,25 10 6 + (20 10 3 R A ) 0,8 0,4 R A = 3927 + (20000 R A) 0,8 0,4 R A = 9817,5 + 40000 2 R A 3 R A = 49817,5 R A = 16605,8N 16,6kN
Elem. Estaticamente Indeterminados Exemplo R A = 16605,8N 16,6kN R B = P R A R B = 20kN 16,6kN R B = 3,4kN
EXERCÍCIO
Exercício (Em Dupla) Calcule: O deslocamento em C As reações de apoio φ A = 0,5m φ B = 1m E A = E B = 50GPa C A 2m 300kN B 1m
PARA TREINAR
Para Treinar em Casa Aço A-36: E = 200GPa Concreto de Alta Resistência: E = 35GPa Hibbeler (Bib. Virtual), Pág. 91 a 106 Mínimos: Exercícios 4.1, 4.5, 4.10, 4.29 Exercícios 4.31, 4.33 Extras: Exercícios 4.2 a 4.4, 4.6, 4.7, 4.21, 4.30 Exercícios: 4.34, 4.36, 4.37
CONCLUSÕES
Resumo Existe relação entre carga e deslocamento Influenciam Rigidez (E) Área (A) Comprimento (L) Podemos decompor problemas (superposição) Estaticamente Indeterminados? Compatibilidade de deslocamentos Exercitar Exercícios Hibbeler
Próxima Aula Únicas cargas axiais? Temperatura Concentração de tensão Deformação Inelástica
PERGUNTAS?
BOM DESCANSO A TODOS!