CAPÍULO 3 SISEMA DE EQUAÇÕES LINEARES Como vimos é vantajoso usar a álgera matricial para a solução de sistemas de equações. Antes de uscar a solução de tais sistemas pelo caminho matricial é importante fazermos algumas considerações a respeito da característica de uma matriz. O caso geral de sistema de equações lineares não homogêneas A. X L no qual A é uma n u u n matriz qualquer, X o vetor das incógnitas e L o vetor dos termos conhecidos tem por solução, não única (sistema indeterminado): sendo: A g : inversa generalizada M: vetor aritrário I: matriz unitária. g g X A L ( A A I ) M 3. Mais adiante, ao estudarmos o chamado ajustamento livre veremos a utilidade da inversa generalizada. Por ora, nos interessa apenas fiar a atenção em dois casos particulares de matrizes: a) Considere o caso da matriz A A de dimensão (u u); sendo esta matriz de característica integral o sistema admite solução única (X) que se otém facilmente pré-multiplicando a equação A X L por A : n. u u n A AX A L ( A A) A AX ( A A) A L X ( A A) A L 3. Considerando A a matriz aumentada de A com dimensão (n (u+)): A A L demonstrar que: é possível ) A condição necessária e suficiente para que o sistema seja compatível é que as matrizes A e A tenham a mesma característica (r); ) neste caso o sistema será determinado 3 se r = u. ) No caso mais simples da matriz A ser quadrada (u u) o sistema será compatível e determinado se a referida matriz for de característica integral: u u u u X A X L A L 3.3 Uma matriz de característica integral... Sistema compatível é... 3 Sistema determinado significa...
4 3. Sistema de Equações Lineares e o MMQ Retornemos com a equação A. X L; vamos admitir que L represente oservações n u u n (medições); em opografia e Geodésia é comum designar L por L. Necessário se faz considerar dois aspectos importantes: n>u.. usualmente em Geodésia o número de oservações é superior ao de incógnitas, isto é:. o sistema de equações dado por n A. X L é inconsistente, pois as oservações contém os inevitáveis erros de medida; assim, as oservações L não são compatíveis com o modelo matemático u u AX L. A introdução de correções (resíduos) V v... v v n no modelo anterior pode remover a inconsistência - n A. X u u L V L a. Com isso, ocorre um fato curioso: o sistema passa a ter mais incógnitas do que equações. A arra indica que X é um estimador de X. O vetor L a e o estimador X dependem, oviamente, da escolha de V. Já fizemos nossa escolha ao acompanhar Gauss e Legendre em preferir o Método dos Mínimos Quadrados (MMQ): aceitar como melhor estimador X de X aquele que conduz à resíduos que satisfaçam à condição: VV min, isto é: v v V V v.... v v n min vn 3.4 Introduzindo nesta epressão o valor dos resíduos V A X L, resulta:. u u ( A. X L ) ( A. X L ) min 3.5 Derivando a epressão em relação a X e igualando a zero: d A. AX A L A. L dx A AX A L Esta última equação matricial representa o conjunto das u equações normais a u incógnitas. A solução do sistema é imediata, desde que a matriz finalmente podemos escrever: ( ) 3.6 A A(u u) não seja singular. Assim, X A A A L 3.7 3. Ponderando as oservações Considerando o caso de as oservações L não oferecerem o mesmo grau de confiança é possível homogeneizá-las multiplicando-as por pesos, isto é, por valores tanto maiores quanto maior a confiança que inspiram (quanto menor o valor da variância ˆ ). Considerando a matriz variância-covariância estimada das oservações; considerando tamém que seja a variância da L
5 oservação à qual foi atriuído peso unitário; dividindo L por otém-se uma nova matriz, simétrica, denominada matriz dos coeficientes de peso: Q L. Se a matriz Q for não singular admitirá inversa: Q L Aplicando o MMQ com a matriz P, pode-se escrever: P, que recee o nome de matriz dos pesos. V PV Conhecida no meio geodésico como forma quadrática fundamental. Desenvolvimento análogo ao anterior conduz ao sistema de equações normais: De solução: min A PAX A PL 3.8 X A A A L 3.9 ( P ) P Em geral, a epressão anterior é compactada, resultando: X N U com N A PA e U A PL 3. A matriz P, tamém simétrica, se reduz a uma matriz diagonal quando as oservações são nãocorrelacionadas entre si; neste caso os elementos diagonais de P são os pesos das oservações. 3.3 Sistemas mal condicionados Inicialmente vamos considerar o sistema de equações lineares: A.X = L 5 X 5 5 de solução: Introduzindo uma pequena variação em um dos termos independentes, por eemplo, sustituir o da primeira equação por,. Esta alteração de apenas um centésimo implicará em uma variação para as incógnitas apenas na ordem de milésimos: X 5,7 5,3 Sistema como esse é eemplo de sistema em condicionado. Considere agora o sistema,,5 que apresenta solução eata igual a: X 5 5. Efetuando uma pequena alteração no termo independente da segunda equação, veja o que acontece aos valores das incógnitas:,, X 9
6 Sistema como esse é um eemplo de sistema mal condicionado. Analisemos os seguintes sistemas de equações lineares. 5 + = 5 + = + 4 = + 4 = 3 Se traçarmos os gráficos dessas retas, veremos que no primeiro sistema as retas coincidem e no segundo são retas paralelas. Assim o primeiro sistema terá infinitas soluções, pois todos os pontos das retas coincidentes atendem às duas equações. Já no segundo sistema, caso em que as retas são paralelas, não haverá nenhum ponto capaz de atender às duas equações; as retas não se cortam. Sistemas desse tipo são chamados sistemas singulares, podendo ser de solução indeterminada, quando há infinitas soluções ou de solução impossível, quando não há qualquer solução. 5 det 5.4. 4 Em amos os casos o determinante da matriz do sistema é nulo, como podemos verificar neste caso. Em casos de sistemas de ordem mais elevada, não é tão óvio, num primeiro olhar, se o sistema é ou não singular. Por eemplo, toda vez que uma linha ou uma coluna de uma matriz for uma de outras linhas ou colunas, o determinante será zero. Imaginemos um sistema de equações a incógnitas, onde a linha 73 é igual à linha 34,9734 + a linha 53 3,98 a linha 59,98. Claro que nunca será perceptível essa relação, emora o determinante seja igual a zero e a solução necessariamente será ou indeterminada ou impossível, com determinante do sistema igual a zero. Imaginemos agora outro caso, dado pelos sistemas aaio. 5 3 5 5, 3 5 5 3 5 5 3, 5 O determinante do primeiro sistema vale 5 3 5, 3 = -,3 e o determinante do segundo sistema vale 5 3, 5 3 =,5, portanto amos diferentes de zero. Os dois sistemas tendo determinante diferente de zero, têm solução possível determinada, isto é, solução única. No primeiro sistema a solução única é = e = 5. No segundo sistema a solução única é = 3 e =. Reparem que os sistemas são praticamente iguais, podendo mesmo se considerar que as eventuais diferenças seriam devidas a erros de aproimação. Entretanto, um pequeno erro está causando uma enorme diferença entre os resultados. Sistemas como esses tais que uma pequena diferença num coeficiente causa uma grande mudança nos resultados, são chamados Sistemas Mal Condicionados. O que caracteriza esses sistemas é que seu determinante é muito pequeno quando comparado a seus elementos. Verifique seus valores. Sistemas como esses eigem grande cuidado, requerem que se traalhe com a maior precisão possível, pois qualquer pequeno erro pode causar enorme variação nos resultados. Voltemos aos sistemas singulares a que nos referimos há pouco. Imaginemos um sistema muito grande, em que uma das linhas seja cominação linear de outras linhas. Claro que o sistema será singular, com determinante igual a zero. Na hora de resolver esse sistema, no processo de cálculo
7 deverá aparecer e não poderá ser retirado, um elemento da diagonal principal igual a zero, forçando seu determinante a ser zero. Entretanto, com tantas contas, tantas aproimações, será que o cálculo do determinante dará mesmo zero? É muito improvável! Deve dar algo próimo a zero, mas zero mesmo não creio. Assim, um sistema singular tende a aparecer um sistema mal condicionado, com determinante muito menor do que seria de se esperar. É preciso estar atento a isso; um sistema mal condicionado pode ser originado por um sistema singular com erros devido às aproimações e aos truncamentos que necessariamente ocorrem nos cálculos. Quando surgir um sistema mal condicionado, é possível, e mesmo provável, que haja algum erro na modelagem que deu origem ao sistema de equações lineares. --------------------------------------------------------------------- AREFA 3.: 5 7 6 5 7 8 7 a) Seja a matriz dos coeficientes das incógnitas dadas por: W. Esta matriz 6 8 9 5 7 9 8 4 7 4 5 6 admite a seguinte inversa: W ; W. Recalcule a inversa W e o 7 5 3 6 3 respectivo determinante, tendo em vista que foi descoerto que o elemento w, em consequência de um erro qualquer tenha valor igual a 5, e não valor 5. ) Refaça o eercício anterior supondo que w seja igual a 4,9. O que aconteceu com o valor do determinante e com os valores dos elementos da matriz inversa? 3.4 O caso de sistemas de equações não lineares Na solução de prolemas de ajustamento de oservações com frequência é necessário tratar com equações não lineares. O caminho mais fácil para achar a solução do sistema de equações é usar a aproimação pela série de aylor a fim de linearizar as equações. Seja a função de duas variáveis e y: L f (, y) f f f f L f (, y ) d d... dy dy... 3. y y y y Onde, y são aproimações dos valores de e y; f( o,y o ) é a função não linear avaliada com os valores aproimados (valores iniciais), y ; d e dy são as correções às aproimações iniciais de modo que:
8 d y y dy 3. Quanto maior for o número de derivadas parciais, mais eta será a aproimação da série de aylor. Aandonando os termos que contém derivadas parciais superiores à primeira, se otém a seguinte epressão linear: f f L f (, y) d dy... y 3.3 y Uma vez selecionadas as aproimações iniciais, y as únicas incógnitas na equação (3.3) são as correções d e dy. Devido ao aandono dos termos superiores à primeira derivada, a epressão (3.3) é apenas uma oa aproimação linear. Por isso, o procedimento para se chegar à solução segue os seguintes passos:. Selecionar adequadamente os valores iniciais para as incógnitas do prolema;. Sustituir os valores iniciais na (3.3) e resolver o sistema determinando os valores das correções d e dy; 3. Calcular os valores revisados (, y) usando a epressão (3.); 4. Usando os valores revisados de e y como novas aproimações, repete-se os passos e 3; 5. Continuar o procedimento até que os valores das correções d e dy sejam tais que atendam as eigências de tolerância.