MODELAGEM DA IONOSFERA COM INJUNÇÃO DE DESIGUALDADE

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1 MODELAGEM DA IONOSFERA COM INJUNÇÃO DE DESIGUALDADE Paulo de Oliveira Camargo FCT/Unesp Depto de Cartografia Claudio Antonio Brunini FCAG/UNLP - Depto de Geodesia Espacial y Aeronomia VIII GEGE Anual Presidente Prudente 11/12/2008

2 Motivação - Mod_Ion => em período de baixa proporcionava valores negativos para o TEC. - Como resolver o problema => injunção.

3 Método Paramétrico com Injunção de Desigualdade - Modelo Matemático: L b = A X a V, C X a c, onde: C - matriz dos coeficientes das injunções; c - vetor das imposições ou restrições.

4 - Problema => minimizar a forma quadrática (V T PV = mínimo) e ao mesmo tempo satisfazer a condição: ou C X a c C X a V = c, que pode ser escrito na forma de uma equação de condição: C X a V c = 0, Onde V é um vetor de componentes adicionais, satisfazendo a condição de que

5 V 0. - Solução => para que as incógnitas se subordinem ao MMQ e ao mesmo tempo satisfaçam as equações de desigualdade utiliza-se a técnica Lagrangiana: φ = V T PV 2 K T (C X a V c) = mín. φ = X a T A T P A X a X a T A T P L b L b T P A X a + L b T P L b 2 K T (C X a V c) = mín. com K 0 (vetor dos multiplicadores de Lagrange ou dos correlatos).

6 - Das derivadas parciais da função φ em relação X a e K, obtém-se que: A T PA X a A T P L b C T K = 0. C X a V c = 0. Da primeira equação tem-se que: X a =(A T P A) -1 A T P L b +(A T P A) -1 C T K, X a = N -1 U + N -1 C T K ou X a = X * + δx,

7 X * = N -1 U solução obtida com o método paramétrico, δx = N -1 C T K influência da injunção de desigualdade. - Introduzindo X a na equação (C X a V c = 0), obtém-se uma expressão para V : V = C N -1 C T K + C X * c. - O valor de V depende do vetor K.. Como resolver isso?

8 - Solução: trata-se do Problema Linear Complementar (LCP Linear Complementary Problem) com duas incógnitas. A solução é dada pelo algoritmo de Lemke: V = W K + q ou I -W = q K, [ ] V' com V 0, K 0 e V TK = 0. No problema em questão:

9 W = C N -1 C T. q = C X * c. - Uma vez resolvido o problema, com os valores do vetor K determina a influência da injunção: δx = N -1 C T K, e determinados os parâmetros ajustados: X a = N -1 U + N -1 C T K

10 - A MVC dos parâmetros estimados é dada por: = σˆ [N ] [ I - C (C N C ) C N ] 2-1 T -1 T -1-1 X 0 a T 2 V PV σ ˆ 0 = +. n u s

11 CASOS PARTICULARES - Se C é uma matriz quadrada não singular, o vetor dos parâmetros ajustados X a pode ser obtido a partir da equação de injunção: C X a V c = 0. X a = C -1 (V + c). - Se C X a >> c, todos os elementos do vetor dos correlatos (K) na solução do LCP tornam-se nulos, e a estimativa reduz ao método paramétrico convencional: X a = N -1 U

12 - Se C X a = c, todos os elementos do vetor dos correlatos (K) na solução do LCP tornam-se positivos (K >> 0), que implica em V = 0. Neste caso, tem a injunção de igualdade, conhecida também como injunção funcional: C X a c = 0, e o valor de K necessário para calcular δx é obtido diretamente da equação: V = C N -1 C T K + C X * c. ou seja, K = - (C N -1 C T ) -1 (C X * - c).

13 3 EXPERIMENTOS Injunção de Desigualdade n= 4 s s s 1 2 j j+ 1 i= 1 j= 2i+ 1 VTEC = a + a B + {a cos(i h ) + a sin(i h )} m= 4 s s s n*2 + 3 j j+ 1 i= 1 j= 2i a h + {a cos(i B ) + a sin(i B )} 0 - Dados => 1 semana de dados de 8 estações GPS espalhadas na América do Sul, contemplando regiões de latitudes médias e equatoriais: - Período baixa atividade solar, na transição do ciclo solar 23 para o 24, compreendendo os dias 343 a 349 do ano de 2007 (09 a 15/12/2007)

14 REGIÃO DE LATITUDES ALTAS REGIÃO DE LATITUDES MÉDIAS REGIÃO EQUATORIAL REGIÃO DE LATITUDES MÉDIAS REGIÃO DE LATITUDES ALTAS

15 TEC estimado sem e com injunção de desigualdade KOUR (φ 5,3 o ; λ -52,8 o ). TEC estimado sem e com injunção de desigualdade SAGA (φ -0,1 o ; λ -67,1 o ).

16 TEC estimado sem e com injunção de desigualdade BRFT (φ -03,9 o ; λ -38,4 o ). TEC estimado sem e com injunção de desigualdade GLPS (φ -0,7 o ; λ -90,3 o ).

17 TEC estimado sem e com injunção de desigualdade MABA (φ -5,4 o ; λ -49,1 o ). TEC estimado sem e com injunção de desigualdade PPTE (φ -21,1 o ; λ -51,4 o ).

18 TEC estimado sem e com injunção de desigualdade LPGS (φ -34,9 o ; λ -55,9 o ). TEC estimado sem e com injunção de desigualdade RIO2 (φ -53,8 o ; λ -67,8 o ).

19 - Observa-se que as estações localizadas entre o equador geomagnético e extremo da região equatorial (KOUR, SAGA, GLPS e BRFT) foram as que mais apresentaram valores negativos para o VTEC, quando não foi considerada a injunção de desigualdade. Aplicando a injunção a modelagem não proporcionou mais valores negativos - A estação está localizada na parte central (MABA) e a próxima ao extremo da região equatorial (PPTE), os valores negativos ocorrem somente num dia em cada uma. - As estações localizadas na região de latitudes médias (LGPS e RIO2) não apresentaram valores negativos e a modelagem com e sem a injunção proporcionaram os mesmos valores.

20 - Também se observa, além da variação diária do VTEC, as variações em função da região geográfica. - Quanto à injunção de desigualdade verifica-se que não se trata de uma translação, e sua influência é maior no período de mínima atividade diária da ionosfera.

21 4 CONCLUSÕES Com base nos experimentos, até então realizados com o Mod_Ion, conclui-se que a partir da introdução da injunção de desigualdade o modelo passou a não fornecer mais valores negativos para o TEC.