Teorema de Tales O Teorema de Tales possui diversas aplicações no cotidiano, que devem ser demonstradas a fim de verificar sua importância. O Teorema diz que retas paralelas, cortadas por transversais, formam segmentos correspondentes proporcionais. Algumas considerações preliminares O enunciado do Teorema de Tales será compreensível a partir da consideração, nesse primeiro momento, de alguns elementos básicos: um feixe de retas paralelas r, s e t que cortam as retas transversais u e v. Neste exemplo, o feixe de retas é formado por apenas três retas paralelas e duas transversais, mas outros feixes podem ser formados com maior número de retas paralelas contidas num mesmo plano. No feixe acima, destacam-se os seguintes elementos: Pontos correspondentes: A e D, B e E, C e F; Segmentos correspondentes: AB e DE, BC e EF, AC e DF. O teorema de Tales: Se duas retas transversais são cortadas por um feixe de retas paralelas, então a razão entre quaisquer dos segmentos determinados em uma das transversais é igual à razão entre os segmentos correspondentes da outra transversal. No feixe de retas exemplificado anteriormente, podemos destacar, de acordo com o Teorema de Tales, as seguintes razões:
Aplicação do teorema
c) Fuvest SP) Três terrenos têm frente para a rua A e para a rua B, como na figura. As divisas laterais são perpendiculares à rua A. Qual a medida de frente para a rua B de cada lote, sabendo que a frente total para essa rua tem 180m? Com base no enunciado, vamos fazer umas anotações na imagem.
ATIVIDADES 1) Determine o valor de x, y e z em cada uma das figuras: a) b) c) d)
e) f) 2) Ao realizar a instalação elétrica de um edifício, um eletricista observou que os dois fios r e s eram transversais aos fios da rede central demonstrados por a, b, c, d. Sabendo disso, calcule o comprimento x e y da figura. Obs.: os fios da rede central são paralelos.
3) No triângulo ABC da figura abaixo temos que DE//BC Sabendo que a medida do lado BC do triângulo é 14 cm, calcule as medidas dos lados AB e AC o perímetro desse triângulo. 4) No triângulo da figura abaixo, as medidas são consideradas em centímetros. Se BC=32 cm, calcule o valor de x y. 5) No triângulo ABC a seguir, o segmento DE é paralelo ao segmento BC. Determine o valor de x aplicando a proporcionalidade entre segmentos paralelos cortados por segmentos transversais.
6) Observe a figura r // s // t. Calcule o valor de x de acordo com o Teorema de Tales. 7) Nas figuras, a//b//c, calcule o valor de x: a) b)
c) d) e) f)
Teorema de Pitágoras Considerado um dos mais importantes teoremas da Matemática, o Teorema de Pitágoras foi desenvolvido por Pitágoras de Samos, filósofo grego que viveu no séc. VI a.c., fundador da mística Escola Pitágorica. O Teorema de Pitágoras pode ser aplicado em qualquer triângulo retângulo no intuito de determinar uma das medidas quando conhecidas as outras duas. O Teorema não se restringiu somente ao triângulo retângulo, de acordo com estudos da época, eram conhecidos os números inteiros e as frações, sendo através das aplicações do Teorema iniciado o estudo dos números irracionais. O Teorema consistia na seguinte relação: A medida do quadrado da hipotenusa é igual à soma das medidas dos quadrados dos catetos Exemplos 1 Determine a medida da hipotenusa do triângulo representado pela figura a seguir: 2 Dado o triângulo retângulo a seguir, determine a medida do cateto y.
3) Calcule a altura do muro x: 4) Encontre o valor de c:
ATIVIDADES 1) Usando o teorema de Pitágoras encontre o valor de x nas seguintes figuras: a) b) c) d)
2) Um avião percorreu a distância de 5 000 metros na posição inclinada, e em relação ao solo, percorreu 3 000 metros. Determine a altura do avião. 3) Do topo de uma torre, três cabos de aço estão ligados à superfície por meio de ganchos, dando sustentabilidade à torre. Sabendo que a medida de cada cabo é de 30 metros e que a distância dos ganchos até à base da torre é de 15 metros, determine a medida de sua altura. 4) Calcule a metragem de arame utilizado para cercar um terreno triangular com as medidas perpendiculares de 60 e 80 metros, considerando que a cerca de arame terá 4 fios.
Lista 2
LISTA 3
Razões trigonométricas Catetos e Hipotenusa Em um triângulo chamamos o lado oposto ao ângulo reto de hipotenusa e os lados adjacentes de catetos. Observe a figura: HIPOTENUSA: BC CATETOS: AC E AB Seno, Cosseno e Tangente Considere um triângulo retângulo BAC: Hipotenusa:, m( ) = a. Catetos:, m( ) = b., m( ) = c. Ângulos:, e.
Seno de um ângulo agudo é a razão entre a medida do cateto oposto a esse ângulo e a medida da hipotenusa. Assim: Cosseno de um ângulo agudo é a razão entre a medida do cateto adjacente a esse ângulo e a medida da hipotenusa. Assim:
Tangente de um ângulo agudo é a razão entre a medida do cateto oposto e a medida do cateto adjacente a esse ângulo. Assim: Exemplo:
Observações: 1. A tangente de um ângulo agudo pode ser definida como a razão entre seno deste ângulo e o seu cosseno. Assim: 2. A tangente de um ângulo agudo é um número real positivo. 3. O seno e o cosseno de um ângulo agudo são sempre números reais positivos menores que 1, pois qualquer cateto é sempre menor que a hipotenusa. SENO, COSSENO E TANGENTE DE 30º, 45º E 60º x sen x cos x tg x 30º 45º 60º 90º 1 0
Matemática 4º BIMESTRE 8ª série Aluno: Turma: