Objectivos Compreender o conceito de material elástico Compreender a Lei de Hooke Compreender o conceito dos módulos: Elasticidade por tracção ou de Young Elasticidade por compressão Elastância Módulo de compressibilidade Saber aplicar o conceito de deformação elástica: ubos elásticos Vasos sanguíneos Compreender o conceito de complacência Aplicar o conceito de complacência a um vaso sanguíneo elacionar complacência com o módulo de compressibilidade DEFOMAÇÕES ELÁSICAS M Filomena Botelho 1
Deformações elásticas oda a estrutura elástica tem como propriedade fundamental oferecer resistência à deformação e retornar à sua forma original após a remoção da acção deformante O comportamento destas estruturas, obedece à: lei de Hooke Lei de Hooke Quando uma substância elástica, sofre uma deformação por tracção, desenvolve-se uma pressão (força por unidade de área) que é proporcional à deformação relativa, ou alongamento unitário S Vamos supor que temos uma barra de material elástico, com: - secção - S - comprimento 2
Se a submetermos a uma força de tracção, ela vai passar a ter um: - comprimento - l F l S Se a lei de Hooke se verificar, existe uma relação de proporcionalidade directa entre a: e a: - força aplicada - deformação relativa ou alongamento unitário F S = E l - F S = E l - F l Alongamento unitário ou deformação relativa: S = área da secção l - F S = E l - E = módulo de Young ou módulo de elasticidade por tracção 3
Se em vez de força de tracção, for exercida uma força de compressão, a barra do material em questão, sofre um: - encurtamento l F Alongamento unitário ou deformação relativa: - l Verifica-se uma relação de proporcionalidade entre a força aplicada e o encurtamento unitário, sendo neste caso a constante de proporcionalidade o: - módulo de elasticidade por compressão F S = E - l E = Módulo de elasticidade por compressão Módulo de Young ou módulo de elasticidade por tracção raduz a maior ou menor capacidade que a substância tem de se deformar F S = E l - Quanto maior o módulo de Young (E) à: menor a deformação relativa, ou seja, o material é pouco elástico (sentido comum do termo elasticidade) Módulos de Young grandes: materiais muito rígidos osso: E 10 10 N/m 2 Módulos de Young pequenos: materiais mais deformáveis borracha: E 10 6 N/m 2 4
A tradução gráfica da Lei de Hooke, é uma recta que intercepta o eixo dos comprimentos, no: - ponto isto é, no ponto correspondente ao comprimento inicial, antes da aplicação da acção deformante F/S F S = E l - E/ A inclinação da recta é: E/ l F S = E l - x E l = - E a b inclinação Ordenada na origem Mas, a tradução gráfica da Lei de Hooke, pode aparecer de diferente maneira, continuando contudo a ser uma recta mas que parte da origem F S = E l - F/S E l - A inclinação da recta é: E 5
Se aplicarmos a Lei de Hooke a uma lâmina muito fina de tecido elástico, onde possamos desprezar a espessura F -F a l Em vez de: - força por unidade de área (pressão) vamos ter: - força por unidade de comprimento (tensão), passando a constante de proporcionalidade a ser o: módulo de elasticidade da membrana ou elastância E aparecendo a expressão que a traduz: F a = = E l - E = elastância ou módulo de elasticidade da membrana (1 só dimensão) A tradução gráfica da Lei de Hooke, é uma recta que intercepta o eixo dos comprimentos, no: - ponto isto é, no ponto correspondente ao comprimento inicial, antes da aplicação da acção deformante = E l - E / l A inclinação da recta é: E / 6
ambém aqui a tradução gráfica da Lei de Hooke, pode aparecer de diferente maneira, continuando contudo a ser uma recta mas que parte da origem = E l - E l - A inclinação da recta é: E Elastância ou módulo de elasticidade da membrana raduz a propriedade que as lâminas de uma particular substância elástica têm de: - resistir a deformação por tracção De modo semelhante ao módulo de Young, quanto: maior for a elastância menor a deformação relativa l - 7
Deformação elástica em volume A Lei de Hooke pode generalizar-se e aplicar-se a: - deformações elásticas em volume V Quando um corpo elástico de volume V 0 é submetido a uma variação de pressão P podemos dizer que: V F S = P = ε V 0 - V V 0 ε = módulo de compressibilidade P V 0 - V V 0 = V V 0 variação relativa de volume Módulo de compressibilidade raduz a propriedade que as lâminas de uma particular substância elástica têm de: - resistir a deformação por tracção Do mesmo modo, para uma mesma variação de pressão quanto: maior o módulo de compressibilidade menor a deformação em volume 8
A tradução gráfica da Lei de Hooke, é também uma recta que intercepta o eixo dos volumes, no: P - ponto V 0 isto é, no ponto correspondente ao volume inicial, antes da aplicação da acção deformante V 0 ε/v 0 V P = ε V 0 - V V 0 P ε V 0 - V V0 ambém aqui a tradução gráfica da Lei de Hooke, pode aparecer como uma recta que parte da origem Objectivos Compreender o conceito de material elástico Compreender a Lei de Hooke Compreender o conceito dos módulos: Elasticidade por tracção ou de Young Elasticidade por compressão Elastância Compressibilidade 9
UBOS ELÁSICOS M Filomena Botelho ubos elásticos Podemos aplicar a Lei de Hooke aos vasos sanguíneos, pois devido à constituição das suas paredes, ricas em fibras elásticas, podem sofrer deformações elásticas Mas antes de analisarmos o vaso sanguíneo, vamos primeiro considerar um tubo elástico homogéneo 10
ubo elástico homogéneo Para aplicar a Lei de Hooke a este tipo de estruturas (paredes de tubos elásticos), cortamos um: anel do tubo, de largura unitária que seccionamos de modo a obter uma tira fina, de comprimento igual ao perímetro da circunferência do tubo - P - Se for o comprimento inicial da tira é igual : - 2 π 0 P 0 0 = raio antes da deformação = raio depois da deformação Se exercermos nas suas extremidades uma força de tracção (como a espessura é muito pequena, as dimensões serão as de uma tensão) o comprimento (o perímetro) vai aumentar, ficando: l = 2 π P 0 - P - A expressão que traduz a Lei de Hooke, tomaria a seguinte forma: l - 2π 2π = E = E 0 - = E 0 2π 0 0 E = - E 0 = tensão elástica da parede do tubo 0 α E / 0 A função () é uma recta que corta as abcissas num ponto: - 0 e tem um coeficiente angular de E / 0 α = arc tg E 0 11
- P 0 P - Mas se o tubo elástico homogéneo se encontrar aberto (não colapsado) é porque há uma: - pressão transmural positiva (P int P ext > 0) Neste caso podemos aplicar a: vindo: - Fórmula de Laplace, P = P = pressão transmural Se a parede for espessa: tensão média da parede raio médio - P 0 P - A tradução gráfica da fórmula de Laplace, aplicada a um cilindro (tubo elástico), é: P = P = P = pressão transmural P = P. y = a. x 12
Colocando as duas rectas: - que traduz a lei de Hooke forças de tensão elástica - que traduz a lei de Laplace forças de pressão transmural no mesmo sistema de eixos coordenados, o ponto de cruzamento corresponde ao: raio de equilíbrio pois é o único valor para o raio, onde as duas leis são - simultaneamente satisfeitas P 0 P - eq Neste caso, quando ocorre equilíbrio, as: tensões () tangentes à superfície devem compensar as: forças de pressão VASOS SANGUÍNEOS M Filomena Botelho 13
Vasos sanguíneos elásticos Os vasos sanguíneos são estruturas elásticas, pois na composição da sua parede encontram-se fibras de: elastina colagénio as quais apresentam elastâncias diferentes Elastina - menor elastância - menor resistência à deformação mais deformável colagénio - maior elastância - maior resistência à deformação menos deformável Como as fibras de colagénio não se encontram estirados, a mobilização destes dois tipos de fibras durante uma acção deformante, ocorre em tempos diferentes: Para pequenas deformações actuam praticamente só fibras de elastina Para grandes deformações à medida que a deformação aumenta, são mobilizadas as fibras de colagénio 14
A elastina e o colagénio têm elastâncias diferentes gráfico () rectas com inclinação diferente E = 1 x 10 9 dine/cm 0 E = 3 x 10 6 dine/cm elastina 0 colagénio Os 0 correspondem ao raio inicial (quando começa a deformaçãomobilização das fibras) Curva () para uma vaso sanguíneo é uma curva de concavidade superior, que traduz a variação da tensão na parede em função do raio Nos vasos sanguíneos as diferenças de pressão existentes entre o interior e o exterior: pressão transmural cujo valor é equilibrado pela reacção elástica da parede do tubo Sempre que: - aumenta a pressão transmural a parede do vaso distende, sendo a relação entre a pressão elástica e o raio, regulada pela: Lei de Laplace P = Graficamente, num gráfico (), esta expressão é: uma recta que passa pela origem (a inclinação é igual à pressão transmural) P 15
Num vaso sanguíneo, que se encontre no raio de equilíbrio tem que ter simultaneamente satisfeitas a: Lei de Hooke = E - E 0 Lei de Laplace = P. Se traçarmos no mesmo gráfico as curvas que traduzem as duas leis, temos: 0 eq No ponto de cruzamento destas duas curvas, há um: equilíbrio entre: - pressão transmural - tensão elástica o que corresponde ao: raio de equilíbrio do vaso No ponto de cruzamento destas duas curvas, há um: equilíbrio entre: - pressão transmural - tensão elástica o que corresponde ao: raio de equilíbrio do vaso 0 eq Quando o raio aumenta acima do raio de equilíbrio: a força elástica é maior do que a força de pressão transmural, tendo o raio a tendência para: - diminuir até ser de novo atingido o raio de equilíbrio (predominam as forças elásticas) 16
No ponto de cruzamento destas duas curvas, há um: equilíbrio entre: - pressão transmural - tensão elástica o que corresponde ao: raio de equilíbrio do vaso 0 eq Quando o raio diminui abaixo do raio de equilíbrio: a força de pressão transmural fica maior do que a força elástica, tendo o raio a tendência para - aumentar até ser de novo atingido o raio de equilíbrio (predominam as forças de pressão transmural) Vasos sanguíneos com músculo Os vasos sanguíneos para além das fibras elásticas, as suas paredes apresentam: fibras musculares o que lhes confere um tónus basal que resulta numa: tensão elástica ( A ) Quando a tensão elástica está presente, as curvas () para os vasos sanguíneos tomam um aspecto diferente da anterior 17
Quando o vaso sanguíneo tem músculo, tensão elástica está presente, modificando as curvas () M 1 2 Curva 1 Lei de Hooke Curva 2 Lei de Laplace A B 0 eq eq Quando há tensão activa, a recta que traduz a Lei de Laplace, intersepta a curva que traduz a Lei de Hooke (tensão-deformação), em dois pontos: M B A B M 1 2 O ponto M corresponde ao diâmetro que o vaso terá quando as forças de tensão elástica (dadas pela Lei de Hooke) foram equilibradas pelas: forças depressão (dadas pela fórmula de Laplace), ou seja: raio de equilíbrio 0 eq eq Quando o raio aumenta acima do raio de equilíbrio: a força elástica é maior do que a força de pressão transmural, tendo o raio a tendência para: - diminuir até ser de novo atingido o raio de equilíbrio (predominam as forças elásticas) 18
A B 0 M 1 eq eq 2 O ponto M corresponde ao diâmetro que o vaso terá quando as forças de tensão elástica (dadas pela Lei de Hooke) foram equilibradas pelas: forças depressão (dadas pela fórmula de Laplace), ou seja: raio de equilíbrio Quando o raio diminui abaixo do raio de equilíbrio: a força de pressão transmural fica maior do que a força elástica, tendo o raio a tendência para - aumentar até ser de novo atingido o raio de equilíbrio (predominam as forças de pressão transmural) 1 2 M O ponto B corresponde a um vaso muito pequeno, dependente: - somente do valor da tensão activa A B 0 eq eq Para valores de raio ligeiramente superiores predominam as forças de pressão transmural tendência para o raio aumentar (até atingir o valor do ponto M) 19
1 2 M O ponto B corresponde a um vaso muito pequeno, dependente: - somente do valor da tensão activa A B 0 eq eq Para valores de raio inferiores ao correspondente ao ponto B predomínio das forças de tensão elástica tendência do raio para diminuir até se anular (até as paredes colapsarem) 1 2 M O ponto B corresponde a um vaso muito pequeno, dependente: - somente do valor da tensão activa A B 0 eq eq A existência deste ponto não tem interesse, pois quando a: pressão transmural - diminui diminui também a inclinação da recta da Laplace Diferentes pontos de cruzamento com a curva que traduz a Lei de Hooke 20
O aparecimento de pontos de cruzamento diferentes, com a curva de Hooke alteração do raio de equilíbrio do vaso (diminuição) Se a pressão transmural continuar a descer, graficamente: a inclinação da recta de Laplace é cada vez menor 1 2 M A À medida que a inclinação da recta diminui, há uma altura em que fica tangente (recta a verde) à curva da lei de Hooke, no ponto A M 1 2 O valor da tangente do ângulo que esta recta de Laplace faz com o eixo dos raios, não é mais do que a: pressão transmural limite que o vaso tem que ter para não colapsar A A α pressão crítica de colapsamento tg α = P 21
1 2 M tg α = P A A α Para valores de pressão transmural inferiores a pressão crítica de colapsamneto as forças de tensão predominam diminuição do raio e colapsamento do vaso Objectivos Saber aplicar o conceito de deformação elástica: ubos elásticos Vasos sanguíneos 22
COMPLACÊNCIA DE UM VASO ELÁSICO M Filomena Botelho Complacência de um vaso sanguíneo elástico Para estudar a complacência de um vaso sanguíneo elástico, vamos partir do: raio de equilíbrio (raio que o vaso tem quando a tensão de Laplace está equilibrada pela tensão elástica da parede) Supondo: l = comprimento do vaso = raio de equilíbrio P M = pressão transmural S = tensão total da parede A = tensão activa SE = tensão elástica 23
A tensão total da parede do vaso, é igual a: S = A + SE Por sua vez, como o vaso se encontra na posição do raio de equilíbrio, a tensão total da parede é também igual à tensão resultante da pressão transmural P M x = A + SE E P M x = A + E 0 Fórmula de Laplace Lei de Hooke A E E P M = + 0 l Uma pequena variação da pressão transmural (dp M ), provoca variações da: tensão total da parede (d s ) raio (d ) volume (dv) A 2 E dp M = - d + d 2 l dp M = E - A d 24
Supondo que não há variações de comprimento: l é constante o aumento de volume dv é: Como: V = π 2 l l dv = π ( + d) 2 l - π 2 l = π 2 l + π d 2 l + 2 π d l - π 2 l dv = 2 π d l A variação relativa do volume do vaso é: dv V 2 π d l = = 2 π 2 l d dv V = 2 d d = 1 2 dv V Voltando à variação da pressão transmural, dp M = E - A d Substituindo o valor de d/, vem: dp M = E - A 2 dv V Módulo de elasticidade em volume ou módulo de compressibilidade 25
dp M = E - A 2 dv V Módulo de elasticidade em volume ou módulo de compressibilidade F S F l F S = E = E = ε l - l - V V Esta expressão relaciona o: aumento de volume de um vaso secundário ao aumento de pressão transmural podendo pois considerar-se E - A 2 como o: módulo de elasticidade em volume de um vaso (ou módulo de compressibilidade) Este módulo diz respeito somente às: - propriedades elásticas do vaso não dependendo da qualidade do seu conteúdo dp M = E - A 2 dv V Continuando a resolver esta expressão vem: dv = 2 V E - A dp M Complacência 26
Complacência - C É uma quantidade diferencial, cujo valor para um vaso com elastância E, varia com o : raio tensão activa supondo invariável o comprimento do tubo 2 V 2 π C = = 2 l 2 π = 3 l E - A E - A E - A dv = C dp M C = dv dp M Complacência raduz as variações de volume do vaso, como consequência das variações de pressão transmural. É um índice da capacidade de um material sofrer uma deformação por tracção Voltemos ao módulo de elasticidade em volume de um vaso elástico K = E - A 2 Se o vaso não tiver tensão elástica: A = 0 K = E 2 E - elastância 27
K = E - A 2 Podemos relacionar a elastância (E ) com o módulo de elasticidade ou módulo de Young (E) na parede do vaso f = = E a l l f S f = = E a. e E = E. e l l A elastância é igual ao módulo de Young multiplicado pela espessura da parede S a e E = E. e Com tensão activa Sem tensão activa K = E - A 2 K = E 2 (E. e) - A (E. e) - A K = = 2 d K = E. e 2 = E. e d 28
Complacência vascular dp M = 1/C dv dv = C dp M Podemos estudar a complacência dos vasos sanguíneos, através das curvas: P(V) V(P) P curvas P(V) Quanto menor o coeficiente angular 1/C maior a complacência V coeficiente angular: inverso da complacência maior a deformação Complacência vascular dp M = 1/C dv dv = C dp M Podemos estudar a complacência dos vasos sanguíneos, através das curvas: P(V) V(P) V curvas V(P) Quanto maior o coeficiente angular C maior a complacência coeficiente angular: complacência P maior a deformação 29
Complacência vascular sistémica Se traçarmos as curvas P(V) para a rede vascular arterial e venosa da circulação sistémica, vemos que a: complacência venosa é maior do que a complacência arterial P mmhg artérias veias Esta diferença entre as complacências das componentes arterial e venosa da circulação sistémica, é facilmente compreendida tendo em conta a: - diferente composição histológica C. S. venosa 2,57 ml/kg. mmhg V, ml/kg C. S. arterial 0,06 ml/kg. mmhg C = ml/kg. mmhg Complacência vascular pulmonar No caso da circulação pulmonar, também a complacência venosa é maior do que a arterial P mmhg Pulmonar total Sistémica total V, ml/kg C = ml/kg. mmhg 30
Complacência vascular Quando comparamos as complacências das duas circulações: sistémica pulmonar a complacência sistémica é maior P mmhg artérias veias Esta diferença entre as complacências das componentes arterial e venosa da circulação sistémica, é facilmente compreendida tendo em conta a: - diferente composição histológica C. S. venosa 2,57 ml/kg. mmhg V, ml/kg C. S. arterial 0,06 ml/kg. mmhg C = ml/kg. mmhg Objectivos Compreender o conceito de material elástico Compreender a Lei de Hooke Compreender o conceito dos módulos: Elasticidade por tracção ou de Young Elasticidade por compressão Elastância Módulo de compressibilidade Saber aplicar o conceito de deformação elástica: ubos elásticos Vasos sanguíneos Compreender o conceito de complacência Aplicar o conceito de complacência a um vaso sanguíneo elacionar complacência com o módulo de compressibilidade 31
Leitura adicional Biofísica Médica. JJ Pedroso de Lima Capítulo IVpag. 310 a 316 pag. 445 a 456 pag. 502 a 504 32