VERIFICAÇÃO DE SOLUÇÕES NUMÉRICAS DE PROBLEMAS TERMOELÁSTICOS EM MALHAS UNIFORMES

UNIVRSIDAD FDRA DO ARANÁ ROGRAMA D ÓS-GRADUAÇÃO M MÉODOS NUMÉRICOS M NGNHARIA, ÁRA D CONCNRAÇÃO M MCÂNICA COMUACIONA SORS D CNOOGIA D CIÊNCIAS XAAS ORSS HACK VRIFICAÇÃO D SOUÇÕS NUMÉRICAS D ROBMAS RMOÁSICOS M MAHAS UNIFORMS CURIIBA R 006

ORSS HACK VRIFICAÇÃO D SOUÇÕS NUMÉRICAS D ROBMAS RMOÁSICOS M MAHAS UNIFORMS Dissertação apresentada como reqisito parcial à obtenção do gra de Mestre em Ciências, rograma de ós-gradação em Métodos Nméricos em ngenaria, Área de Concentração em Mecânica Comptacional, Setores de ecnologia e de Ciências atas da Uniersidade Federal do araná Orientador: Carlos Henriqe Marci, Dr ng CURIIBA R 006

RSUMO O principal objetio desse trabalo é erificar o erro cometido na solção nmérica de problemas termoelásticos em ma e em das dimensões, em regime permanente e com a tilização de malas niformes As solções nméricas são obtidas empregando-se o método das diferenças finitas com algmas aproimações nméricas para a deriada de a ordem e de a ordem das ariáeis enolidas O trabalo é sbdiido em oito casos, tratando da condção térmica nidimensional, termoelasticidade nidimensional, condção térmica bidimensional e termoelasticidade bidimensional, todos em regime permanente São aaliados o erro () de discretização erdadeiro e a incerteza(u) É feito o cálclo da incerteza das solções nméricas com o emprego do estimador de erro de Ricardson e GCI Os estimadores são sados para erificar a confiabilidade da solção (U/ ) e qanto a acrácia (U/ ) São tilizadas malas com números de elementos ariando de a 768 nos casos nidimensionais e de a 0 em cada direção, nos problemas bidimensionais A solção nmérica dos casos propostos é obtida com a tilização do programa RMO_D_D, escrito em C Bilder 60 Verifico-se qe qanto maior o número de elementos nas malas, melor a acrácia das solções, qe o estimador de Ricardson fornece estimatias cada ez mais próimas do erro, qe o estimador GCI lea a estimatias maiores do erro, mas qe a partir de m certo número de elementos, o erro de arredondamento tem inflência na solção alaras-cae: diferenças finitas, erros nméricos, condção de calor, termoelasticidade, malas niformes, erificação

ABSRAC e main prpose of tis work is to erif te committed error in te nmeric soltions of te termoplastics problems in one and in two dimensions, in permanent regime and wit te niform grids tilization e nmeric soltions are obtained sing te finite differences metod wit some nmeric approaces for te first-rate deriatie order and second order of te inoled ariables e work is sbdiided in eigt cases one-dimensional termal condction, one-dimensional termo elasticit, two-dimensional termal condction and two-dimensional termo elasticit, all in permanent regime e tre discretizacion error () and te ncertaint (U) of te nmerical soltions are ealated wit te Ricardson error estimator and GCI e estimators are sed to erif te soltion reliabilit (U/ ) e accrac (U/ ) Grids wit elements nmber aring of to 768 in te one-dimensional cases and of to 0 in eac direction in te two-dimensional cases are sed e nmeric soltion of te proposed cases is obtained wit te program RMO_D_D tilization, written in C Bilder 60 It erified ow mc larger te elements nmber in te grids, better accrac of te soltions, tat Ricardson s estimator spplies estimates eer time nearest error, tat te estimator GCI carrie te estimates larger of te error, bt from elements nmber, ronding error as inflence in te soltion Kewords: finite differences, nmerical error, eat condction, termo elasticit, niform grids, erification

ISA D SÍMBOOS A coeficientes do sistema de eqações algébricas da ariáel dependente A área perpendiclar ao eio B termos independentes do sistema de eqações da ariáel c c p CDS DDS dependente coeficientes da eqação geral do erro de trncamento calor específico à pressão constante (J/kgK) Central Differencing Sceme Downstream Differencing Sceme Ė af taa de energia aflente no olme de controle (W) Ė ef Ė g taa de energia eflente do olme de controle (W) taa de energia gerada (W) (φ) erro erdadeiro o erro de discretização da solção nmérica f() alor da fnção de ma ariáel no ponto de abscissa f i deriada de a ordem de f f n F F s GCI j k deriada de ordem n de f, onde n é grafado em algarismos romanos e assme os alores ii, iii, i,, força (N) fator de segrança do estimador GCI Grid Conergence Inde tamano de m elemento da mala (m) número do nó de ma mala condtiidade térmica (W/mK) comprimento do domínio de cálclo (m) comprimento do domínio de cálclo na direção (m)

p p p p U p V q comprimento do domínio de cálclo na direção (m) ordem prática do erro (adimensional) ordem efetia do erro (adimensional) ordem assintótica do erro (adimensional) ordem aparente do erro (adimensional) ordens erdadeiras do erro (adimensional) razão de refinamento da mala (adimensional) q taa de geração de energia por nidade de olme (W/m ) S termo fonte genérico das eqações diferenciais temperatra (K o o C) temperatra média (K o o C) DMA ridiagonal Matri Algoritm deslocamento na direção (m) U incerteza o erro estimado da solção nmérica U GCI U Ri UDS incerteza da solção nmérica segndo o estimador GCI incerteza da solção nmérica segndo o estimador de Ricardson Upwind Differencing Sceme deslocamento na direção (m),, z coordenadas (m) etras Gregas α difsiidade térmica (m /s), coeficiente de epansão térmica (K - ) β coeficiente de epansão térmica (K - ) ε erro de trncamento ε φ φ Φ λ deformação na direção (m/m) solção nmérica de ma ariáel genérica estimatia da solção analítica solção analítica eata de ma ariáel genérica solção nmérica da ariáel dependente λ m solção nmérica da média de λ

i ( ) λ solção nmérica da deriada de a ordem de Λ obtida por diferença CDS i ( ) DDS central λ solção nmérica da deriada de a ordem de Λ obtida com pontos a i ( ) UDS jsante λ solção nmérica da deriada de a ordem de Λ obtida com pontos à ii ( ) CDS montante λ solção nmérica da deriada de a ordem de Λ obtida por diferença central Λ solção analítica eata da ariáel dependente do problema Λ m solção analítica eata da média de Λ Λ i solção analítica eata da deriada de primeira ordem de Λ Λ n solção analítica eata da deriada de ordem n de Λ, onde n é grafado com algarismos romanos e assme os alores i, ii, iii, i,, µ razão o coeficiente de oisson ρ massa específica (kg/m ) σ σ tensão normal na direção (a) tensão normal na direção (a) Sbscritos mala fina mala grossa mala spergrossa j número do nó nma mala nidimensional j- nó à esqerda do nó j j nó à direita do nó j i, j localização do nó na lina i e colna j de ma mala bidimensional ponto genérico sobre a mala ponto à direita de, a ma distancia de ponto à direita de, a ma distância de W ponto à esqerda de, a ma distância de

WW ponto à esqerda de, a ma distância de N ponto acima de, a ma distância de NN ponto acima de, a ma distância de S ponto abaio de, a ma distância de SS ponto abaio de, a ma distância de N ponto correspondente ao o értice do qadrado cjos otros três értices são N,, NW ponto correspondente ao o értice do qadrado cjos otros três értices são N,, W S ponto correspondente ao o értice do qadrado cjos otros três értices são S,, SW ponto correspondente ao o értice do qadrado cjos otros três értices são S,, W

SUMÁRIO CAÍUO INRODUÇÃO DFINIÇÃO DO ROBMA JUSIFICAIVA OBJIVOS DO RABAHO 5 Objetio Geral 5 Objetios specíficos 6 RSRIÇÕS DO RABAHO 6 5 DINAMNO DO RABAHO 7 CAÍUO RVISÃO BIBIOGRÁFICA 8 RANSFRÊNCIA D CAOR 8 qação da Difsão do Calor 9 Determinação da qação da Difsão do Calor 0 ASICIDAD ensão ensor de ensões 5 Deformação 7 MODOS MAMÁICOS 8 AROXIMAÇÕS NUMÉRICAS Aproimações para a Deriada de rimeira Ordem Aproimações para a Deriada de Segnda Ordem 5 VRIFICAÇÃO 5 Ordens Verdadeiras e Ordem Assintótica do rro 5 5 stimador de rro de Ricardson 6 5 Ordem Aparente do rro 7 5 Ordem fetia 7 55 stimador GCI 8 CAÍUO - CONDUÇÃO D CAOR UNIDIMNSIONA M RGIM RMANN 9 SOUÇÕS ANAÍICAS 9

Solções Analíticas Qando S é Constante 9 Solção Analítica ara S e e MODO NUMÉRICO Distribição de emperatras emperatra Média Deriada da emperatra em rograma Comptacional 5 RROS D RUNCAMNO ORDNS DO RRO 5 SOUÇÕS NUMÉRICAS DAS RÊS VARIÁVIS D INRSS 7 5 VRIFICAÇÃO DO CASO 50 6 CONCUSÃO 57 CAÍUO RMOASICIDAD UNIDIMNSIONA RMANN 58 SOUÇÕS ANAÍICAS 58 MODOS NUMÉRICOS 6 Deslocamentos 6 Deformações 6 ensões 65 Força Normal em 0 65 5 rograma Comptacional 66 SOUÇÕS NUMÉRICAS 67 VRIFICAÇÃO DO CASO 6 69 5 CONCUSÃO DO CAÍUO 78 CAÍUO 5 - CONDUÇÃO D CAOR BIDIMNSIONA M RGIM RMANN 79 5 SOUÇÕS ANAÍICAS 79 5 emperatra No onto (/, /) 79 5 emperatra Média 80 5 Flo de Calor Atraés da Sperfície 8 5 MODOS NUMÉRICOS 8 5 emperatra 8 5 emperatra Média: 8 5 Flo de Calor (q) 8 5 rograma Comptacional 8

5 SOUÇÕS NUMÉRICAS 85 5 VRIFICAÇÃO DO CASO 7 87 5 emperatra no onto (/, /) 87 5 emperatra Média ( ) 89 5 Flo de Calor (q) 9 55 CONCUSÃO DO CAÍUO 5 9 CAÍUO 6 - RMOASICIDAD BIDIMNSIONA M RGIM RMANN 96 6 MODO NUMÉRICO 97 6 Deslocamentos 97 6 Força 98 6 rograma Comptacional 00 6 ORDNS DO RRO D RUNCAMNO 0 6 Deslocamentos 0 6 Força Normal 0 6 SOUÇÕS NUMÉRICAS 0 6 VRIFICAÇÃO DO CASO 8 07 6 Dos Deslocamentos 07 6 Das Forças Normais 0 65 CONCUSÃO DO CAÍUO 6 CAÍUO 7 CONCUSÃO RFRÊNCIAS 6 AÊNDICS 8 AÊNDIC A 9 AÊNDIC B AÊNDIC C 9 AÊNDIC D AÊNDIC 6 AÊNDIC F 8

CAÍUO INRODUÇÃO DFINIÇÃO DO ROBMA A resolção de problemas de transferência de calor pode ser efetada de das formas: a analítica e a nmérica A solção nmérica pode ser obtida por diersos métodos nméricos, dentre eles o método das diferenças finitas Como o método das diferenças finitas é m método iteratio, ele reqer ma grande qantidade de cálclos, a tilização do comptador deidamente programado, pode lear mais rapidamente a ma solção nmérica aceitáel A aplicação do método das diferenças finitas para a resolção de eqações diferenciais, como as enolidas na transmissão de calor, lea a resltados confiáeis e com a acrácia necessária? ambém, pode-se qestionar se os erros de arredondamento cometidos pelo comptador são releantes qando comparados com os erros de trncamento casados pela aplicação do método das diferenças finitas Nesse trabalo será realizada ma inestigação dos erros cometidos pela aplicação do método das diferenças finitas sando m programa de comptador em C Bilder, ersão 60 O problema a ser estdado é a análise dos erros cometidos na resolção de eqações diferenciais da condção de calor nidimensional permanente, termoelástico nidimensional, condção de calor bidimensional permanente e termoelástico bidimensional permanente, atraés de aproimações nméricas, sendo tilizado o método das diferenças finitas

JUSIFICAIVA A epansão o contração dos materiais qando sbmetidos a ma ariação de temperatra, é de fndamental importância na engenaria, pois qando a temperatra de m corpo aria de maneira não niforme srgem tensões no corpo A qebra de m idro qando a sa sperfície é rapidamente aqecida é atribída a essas tensões A fala por fadiga pode ocorrer como resltado de ariação de temperatras Segndo imosenko (970), as conseqüências dessas tensões térmicas são importantes em mitos aspectos de engenaria, como em trbinas, aiação e reatores ncleares Atalmente o poder de processamento dos comptadores, mesmo pessoais, é cada ez maior, permitindo qe qantidades cada ez maiores de dados sejam analisadas e como conseqüência problemas como a distribição de temperatras nma placa, as tensões e as deformações prodzidas podem ser determinadas o até preistas com precisão O fato de dizer qe os resltados podem ser calclados com precisão pode significar qe eles podem não ser eatos, o seja, conter erros, qe podem ser desprezíeis, aceitáeis o qe leem a ma aaliação errônea da sitação proposta A análise do erro contido em m resltado prodzido por m processo nmérico, principalmente se atraés de ma máqina digital, é fndamental para qaisqer tipos de cálclos, em especial nos oltados para a engenaria (DIGUZ, 99, p9) O controle sobre os erros eistentes nm determinado processo comptacional, então, é de fndamental importância, aja isto qe, ma solção apresentada pelo comptador pode não ser tão precisa como se deseja, não só por casa de erros cometidos pelo eector de ma tarefa, mas por limitações comptacionais e do método nmérico tilizado Nesse trabalo serão analisados os erros qando for tilizado o método nmérico das diferenças finitas ortanto, além de se obter a solção nmérica do problema e a solção analítica (o eata) do problema, também será possíel erificar o erro total cometido em cada m dos nós da mala atraés da aplicação do método das diferenças finitas

5 A dificldade encontrada na solção do problema de distribição de temperatras e cálclo de tensões proocadas pela ariação de temperatra deido à qantidade de ariáeis enolidas, a geometria da peça, podem tornar a obtenção analítica dos alores dessas grandezas mito demorada e a mdança de alor de ma das ariáeis implica nma noa série de cálclos, noamente demorados e a cada noa mdança o processo se repete A aplicação de m método nmérico qe permita modelar m problema termoelástico Dp, o seja m problema termoelástico bidimensional em regime permanente, e qe possibilite a constrção de m sistema comptacional qe resola rapidamente o problema, e, a cada ariação nos alores de ma o mais ariáeis, o processo possa ser repetido rapidamente e com precisão, deiando para o sário do sistema a tarefa de análise dos resltados e permitindo ma tomada de decisão mais correta qanto a tilização dos materiais o preendo o comportamento térmico desses materiais, parece ma forma racional de tratar a qestão Diante do eposto anteriormente se propõe a seginte qestão: como saber se o método nmérico tilizado pode prodzir resltados com a precisão necessária e a partir de qe momento o esforço comptacional estará sendo inútil em face da propagação dos erros nos cálclos? A resposta a essa qestão é o principal motio da realização desse trabalo OBJIVOS DO RABAHO Objetio Geral Analisar os erros de discretização cometidos pela aplicação do método nmérico das diferenças finitas na resolção de problemas de termoelasticidade

6 Objetios specíficos Verificar a ordem assintótica do erro de discretização para as ariáeis de interesse Verificar o erro de discretização das as ariáeis de interesse Constrir m sistema comptacional qe calcle a distribição de temperatras, os deslocamentos, as deformações e as tensões prodzidas em problemas termoelásticos nidimensionais e bidimensionais Analisar o desempeno dos estimadores de Ricardson GCI para erros de discretização RSRIÇÕS DO RABAHO A análise dos erros restringe-se à transferência de calor por condção e termoelasticidade nidimensional e transferência de calor por condção e termoelasticidade bidimensional em regime permanente Uma restrição do trabalo, então, é qe não se lea em conta as otras formas de transferência de calor como a conecção e a irradiação No trabalo é tilizada a lingagem C, o tipo das ariáeis será long doble qe segndo Sildt, 996, p 7, tem ma precisão de 6 casas decimais Otras restrições são: A erificação dos erros é feita apenas para o método das diferenças finitas As malas tilizadas são niformes As aproimações nméricas são nidimensionais

7 5 DINAMNO DO RABAHO No capítlo 0 será feita ma reisão bibliográfica da transferência de calor, do método das diferenças finitas, dos estimadores do erro de trncamento, da ordem aparente e da ordem assintótica do erro de trncamento No capítlo 0 será analisado o problema de transferência de calor nidimensional permanente atraés da eqação d d S, sendo tilizados três alores diferentes para S Inicialmente S será igal a 0, depois igal a e depois igal a e e No capítlo 0 será tratado o problema termoelástico nidimensional permanente, sendo tilizada a distribição de temperatras obtidas de acordo com o capítlo 0, para os mesmos alores de S No capítlo 05 será analisado o problema da transferência de calor bidimensional permanente, com temperatras prescritas nos contornos Será obtida a solção analítica e a solção aproimada nmericamente para a distribição de temperatras No capítlo 06 será analisado o problema termoelástico bidimensional permanente com temperatras prescritas nos contornos Serão calcladas as estimatias do erro de trncamento, bem como serão prodzidas tantas iterações qantas necessárias para se atingir o erro de máqina No capítlo 7 será apresentada a conclsão do trabalo

8 CAÍUO RVISÃO BIBIOGRÁFICA RANSFRÊNCIA D CAOR Segndo Incropera e De Witt (00, p ), a transferência de calor (o calor) é a energia térmica em trânsito deido a ma diferença de temperatra O calor pode passar de m ponto para otro de três formas: por condção, por conecção e por radiação Nm sólido, a condção pode ser creditada à atiidade atômica em forma de ibrações dos retíclos ode-se, também, associar a transferência de energia à ondas na estrtra dos retíclos indzidas pelo moimento atômico Nos não condtores, a transferência de energia se dá eclsiamente atraés dessas ondas; em m condtor, a transferência também é deida ao moimento de translação dos elétrons lires Segndo Incropera e De Witt (00, p 7), o flo de calor é ma grandeza física etorial, e a taa de transferência de calor por condção (lei de Forier) pode ser escrita da forma: q ' ' k ki j k () z onde é m operador diferencial e (,,z) é o campo de temperatra escalar or essa eqação nota-se qe o etor flo de calor encontra-se em ma direção perpendiclar às sperfícies isotérmicas Fazendo ' ' q k ' ' q k ' ' q k z z ()

9 Sbstitindo a eqação () na eqação (), teremos: q'' i q j q k q ' () '' '' ' z qação da Difsão do Calor Qando se conece a distribição de temperatras, nm determinado meio sólido, pode-se determinar, por eemplo, as tensões térmicas, epansões e defleões ara obter-se a eqação da difsão do calor, em coordenadas cartesianas, considera-se, inicialmente m olme de controle diferencial, considerando os processos releantes de transferência de calor, onde são introdzidas as eqações das taas de transmissão de calor apropriadas A eqação diferencial obtida é: onde: k k k q ρ c () z z p t ρ é a massa específica da sbstância qe forma o corpo c p é o calor específico à pressão constante k é a condtiidade térmica do material é a temperatra t é o tempo q é taa de calor gerado por nidade de olme, e z são as coordenadas cartesianas do ponto A resolção da eqação anterior, para as condições de contorno descritas, dá a distribição de temperatra como ma fnção do tempo

0 Determinação da qação da Difsão do Calor Seja m meio omogêneo, no qal não eiste adecção e a distribição de temperatra (,, z) está epressa em coordenadas cartesianas Considerando m olme de controle infinitesimal, cjo olme seja dv dddz, conforme a figra, a segir Nessa figra obsera-se qe as taas de condção de calor, perpendiclares a cada ma das sperfícies são dadas por q, q e q z As taas de condção de calor nas paredes opostas podem ser escritas como q d, q d e q zdz qe podem ser aproimada por ma epansão da série de alor, onde são desprezados os termos de ordem sperior: q zdz q d d z q g q d ac d z q d q z Figra : Volme de controle infinitesimal (diferencial), em coordenadas cartesianas, onde se pode obserar qe o olme é dv dddz q d q q d (5a)

q d q q d (5b) q z dz q z q z dz z (5c) ode-se dizer qe a taa de energia aflente, denotada por Ė af é dada pela soma das taas de condção de calor nas faces, o seja: q q q af z (6) Da mesma forma, a taa de energia eflente, denotada por Ė ef pode ser dada pela soma das taas de condção de calor nas faces opostas, o seja: (7) ef q d q d qz dz Na parte interna do olme de controle pode eistir também m termo qe represente ma fonte de energia e qe está associado à taa de geração de energia térmica, qe pode ser dado por: qdddz (8) g Onde q é a taa de energia gerada por nidade de olme O material do olme de controle pode, ainda, apresentar ariações na qantidade de energia térmica interna armazenada Sem considerar a mdança de fase do material, podese desprezar a qantidade de calor latente do material do olme de controle, e então, a energia acmlada pode ser dada por: ρ c dddz ac p t (9)

Aplicando o princípio da conseração da energia, temos: (0) af g ef ac qe sbstitindo pelas eqações 6,7 e 8, fornece: q ( q q q ) c dddz q qz qdddz d d z dz ρ p () t sbstitindo na eqação anterior as eqações 5, em q q q q q q qdddz z z q d q d qz dz ρc z p dddz t qe pela redção dos termos semelantes, fica: q q q qdddz z d d dz ρc p dddz () z t como sendo embrando a lei de Forier, podemos escreer as taas de condção de calor q q kddz (a) kddz (b) q z kdd (c) z Sbstitindo as eqações em, em q dddz kddz d kddz d kdd dz c dddz z z ρ p t

Onde, organizando os termos e diidindo ambos os membros por dddz, obtém-se a eqação, qe é conecida como eqação da difsão do calor e é ma das epressões fndamentais para a análise da condção de calor, pois, a partir de sa solção pode-se obter a distribição de temperatras em fnção do tempo Na eqação, considerando k constante, pode-se diidir os dois lados da igaldade por k, obtendo: t k c k q z z p ρ () Onde segndo Incropera e De Witt (00, p ), a difsiidade térmica do meio é denotada por α e definida como sendo c p k ρ α ortanto, a eqação pode ser reescrita como: t k q z α (5) ASICIDAD ensão Seja o corpo representado na figra a segir, onde se ê m corte transersal e o etor força atando sobre a área A:

A z Figra : sqema de m corpo lire com algmas forças internas Na figra a segir, ê-se as componentes da força : z Figra : componentes ortogonais da força Considerando qe o meio seja omogêneo e não leando em conta a estrtra atômica, podem se escreer as tensões como: τ lim A 0 A, τ lim, τ A 0 A z z A Nessa representação, o primeiro índice de τ indica qe o plano perpendiclar ao eio é considerado, e o segndo designa a direção da componente da tensão A intensidade da força perpendiclar o normal à seção é camada de tensão normal em m ponto As tensões qe casam tração à sperfície do corte podem ser camadas de tensões de tração e as qe casam compressão de tensões de compressão As tensões normais são denotadas pela letra σ (sigma) com m índice qe indica a direção do eio ao inés de τ com dplo índice As demais componentes

5 agem paralelamente ao plano da área elementar e são camadas de tensões de cisalamento e são indicadas por τ ensor de ensões Seja m cbo infinitesimal, contendo o ponto onde a força está atando As tensões qe agem sobre o cbo estão representadas na figra, a segir: z τ zz σ z τ z σ τ z τ τ z τ σ σ τ z τ τ σ σ z Figra : ensões atantes sobre m cbo infinitesimal De acordo com a figra acima eistem três tensões normais τ σ, τ σ, τ zz σ z e seis tensões de cisalamento τ, τ, τ z, τ z, τ z e τ z O etor força tem três componentes, e z, qe podem ser escritas em forma de m etor colna: z Da mesma forma, as componentes de tensão podem ser agrpadas da seginte maneira:

6 τ τ τ z τ τ τ z τ z σ τ z τ τ zz τ z τ σ τ z τ z τ z σ z (6) ssa é ma matriz de representação do tensor de tensões e é m tensor de segnda ordem O tensor de tensões é simétrico, o seja, τ ij τ ji ara obserar isto, considera-se m elemento infinitesimal de dimensões d, d e dz e calcla-se a soma dos momentos das forças em relação ao eio, conforme é mostrado na figra 5, a segir: A soma dos momentos, em relação ao eio, dee ser igal a zero: M A 0 τ z (ddz)d - τ z (dd)dz 0 τ z (ddz)d τ z (dd)dz Qe simplificando, fica: τ z τ z Analogamente pode se mostrar qe τ τ e τ z τ z Dessa forma, os índices para as tensões de cisalamento são comtatios e o tensor de tensões é simétrico z d τ z τ z dz τ z τ z A d Fig 5: lemento infinitesimal de m corpo em cisalamento pro

7 Deformação Um corpo sólido se deforma qando sbmetido a ma ariação de temperatra o qando recebe a ação de ma força eterna Qando ma barra de comprimento inicial l o é sbmetida a ma força eterna F, ela sofre ma ariação no se comprimento dado por l e o comprimento final passa a ser l De acordo com opo (00, p87), o alongamento por nidade de comprimento, o seja, a intensidade da deformação é denotada por ε, e dada por: l dl l ε (7) l l 0 o o Onde ε é o alongamento por nidade de comprimento e é camado de deformação linear Além da deformação linear, m corpo pode também sofrer ma deformação de cisalamento De acordo com a eqação (8), as deformações ariam de ponto para ponto, e então, as definições de deformação deem se referir a m elemento infinitesimal Na deformação linear, ocorrendo nma direção, como na figra 6 a segir, os pontos A e B se moem para A e B, respectiamente: O A A B B, Figra 6: Deformação linear nma direção O ponto A sofre m deslocamento e o ponto B, pois, além de, comm a todo elemento, ocorre a deformação no elemento eando isso em conta, a deformação linear pode ser dada por d ε lim (8) 0 d

8 ara o caso bidimensional, como mostrado na figra 7 a segir, o corpo sofre deformações em direções ortogonais:, d d d 0 d, Figra 7: Um corpo sofrendo deformações ortogonais entre si MODOS MAMÁICOS O o caso a ser analisado é da condção de calor nidimensional permanente nma barra de condtiidade térmica k, comprimento e com as temperatras prescritas nos contornos, o seja, (0) o e () As ariáeis de interesse serão: a temperatra no ponto médio da barra, o seja, (/) a temperatra média e a deriada da temperatra para ntão, nesse caso, o problema a ser resolido é: d d S (9) com condições de contorno: (0) o, () e S 0 (0) ariáeis de interesse: (/) 0 ( ) d () d I () d

9 O o caso é o mesmo do o, considerando S O o caso é o mesmo do o e, considerando S () e O o caso a ser analisado é o problema termoelástico Dp, com as temperatras dadas no o caso e as ariáeis de interesse serão: os deslocamentos () para /, as deformações (ε ), as trações (σ ) e as forças (F o ) em 0 ntão, nesse caso o problema a ser resolido é: d d α 0 () d d com condições de contorno: (0) 0 e () 0 (5) d ε ( ) (6) d σ (ε - αθ) (7) o ( σ ) o ( A ) o F (8) onde α é o coeficiente de epansão térmica, é o módlo de Yong e A é a área transersal ao eio ara esse caso as ariáeis de interesse são: (/), ε(/), σ(/) e F o (0) O 5 o caso é o mesmo do o caso, com as temperatras dadas no o caso O 6 o caso é o mesmo do o caso, com as temperatras dadas no o caso O 7 o caso é a condção de calor bidimensional em regime permanente com temperatras prescritas nos contornos Será considerada ma placa retanglar de comprimento e largra, como a mostrada na figra 8, sendo considerado Na face correspondente a (, ) a temperatra será dada por (, ) (sen(π/)) o C e nas otras faces a temperatra será mantida constante e igal a 0 o C Nesse caso qer-se encontrar a temperatra no ponto de coordenadas (/, /) ortanto, nesse caso, o problema a ser resolido é: δ δ δ δ S (9) com (,0) (0,) (,) 0, (0) (,)sen(π/) e S 0 ()

0 As ariáeis de interesse são (/, /), e q, sendo e q, definidos por: d d 0 0 ), ( () d k q 0, () O 8 o caso é m problema termolelástico bidimensional com condições de contorno de Diriclet, com as temperatras dadas no 7 o caso Nesse problema serão determinados os deslocamentos nas direções e no ponto de coordenadas (/, /) Será, também, obtida a força média em e em Fazendo µ µ µ C onde µ é a razão de oisson, o problema a ser resolido, nesse caso, será então: C C α () com (,0)(,)(0,)(,) 0 (5) C C α (6) com (,0)(,)(0,)(,) 0 (7) ( ) 0 W d F σ (8) ( ) 0 W d F σ (9) onde σ é a tensão normal na direção e σ é a tensão normal na direção e qe podem ser dadas por: ( ) o C α µ µ µ σ µ (0) ( ) o C α µ µ µ σ µ ()

(m) z W 0 (m) Figra 8: placa de comprimento, largra e espessra W Nos 7 primeiros casos a solção analítica será encontrada e no oitao caso ela não será conecida Na tabela é mostrado m resmo dos 8 casos anteriores: AROXIMAÇÕS NUMÉRICAS Indicando a solção analítica por Φ e a solção nmérica por φ, então, de acordo com Marci e Sila (00), o erro da solção nmérica de ma ariáel de interesse é dado por: (φ) Φ - φ () ntão Φ φ (φ) () onde Φ é a solção analítica, φ é a solção nmérica e (φ) é o erro A epressão anterior, pode ser escrita como: j ( λ ) j ε ( λ) j Λ () onde Λ é a solção analítica, λ é aproimação nmérica e ε é o erro de trncamento

abela Modelos Matemáticos Caso qações diferenciais Variáeis de interesse Aproimação nmérica (/) ii λ CDS : diferença central d e S d, 5 e 6 7 d e d e d d α d d 0 δ δ 0 δ δ ( ) d 0 d I d (/) ( ) d 0 d I d (/) d ε d σ (/) (ε - αθ) ( σ ) ( A ) o F o o (/, /) 0 0 (, ) d d λ m : regra do trapézio i λ UDS ii λ CDS : diferença central λ m : regra do trapézio i λ UDS ii λ CDS : diferença central i λ CDS : diferença central i λ CDS : diferença central i λ DDS ii λ CDS : diferença central Regra do rapézio q k 0, d i λ UDS 8 C C C α C α (/, /) (/, /) F W ( σ ) 0 d ( ) F W σ 0 d ii λ CDS : diferença central i λ CDS : diferença central ii λ CDS : diferença central i λ CDS : diferença central Regra do rapézio Regra do rapézio As solções nméricas de cada termo em cada caso dado pela tabela, serão denotadas por λ i CDS, λ i UDS, λ i DDS para as deriadas primeiras, ii CDS λ

para as deriadas segndas e interesse λ m para a média dos alores da ariáel de ssas solções podem ser obtidas a partir da série de alor, e conforme demonstradas no apêndice A e escritas nos itens e, a segir Aproimações para a Deriada de rimeira Ordem Nesse trabalo são tilizadas as segintes aproimações para a deriada primeira: - Com diferença central de pontos: Λ j Λ j λ CDS (5) j i ( ) com erro de trncamento dado por 6 i iii ii ( ) Λ Λ Λ ε λ CDS j j j j (6) 6 0 500 onde é o tamano de cada elemento da mala e qe pode ser isalizado na figra 9, a segir: Nó Nó Nó Nó Nó n Nó n Fig 9: Discretização do comprimento da barra (mala niforme) - Com dois pontos à jsante Λ j Λ j Λ j λ DDS (7) j i ( ) com erro de trncamento dado por i iii i 7 ( ) Λ Λ Λ ε λ DDS j j j j (8) 60 - Com dois pontos à montante

Λ j Λ j Λ j λ UDS (9) j i ( ) com erro de trncamento dado por i iii i 7 ( ) Λ Λ Λ ε λ UDS j j j j (50) 60 Aproimação para a Deriada de Segnda Ordem - Com diferença central de pontos Λ Λ Λ j λ (5) ii j j ( CDS ) j com erro de trncamento dado por 6 ii i i iii ( ) Λ Λ Λ ε λ CDS j j j j (5) 60 060 5 VRIFICAÇÃO O erro cometido na solção nmérica de ma ariáel de interesse é dada pela eqação 9 De acordo com Marci e Sila (00) esse erro nmérico pode ser classificado em formas: erros de trncamento, qe srgem das aproimações nméricas feitas na discretização do modelo matemático; erros de iteração, qe é a diferença entre a solção eata e a solção iteratia da eqação discretizada; erros de arredondamento qe é deido ao número finito de dígitos da comptação aritmética e erros de programação qe são proocados pela pessoa qe implementa o código e/o tiliza O erro de trncamento, em geral dimini com a diminição do alor de, conforme pode ser isto nas eqações 6, 8, 50 e 5, onde o erro de trncamento depende do alor de O erro de iteração dimini a medida qe o número de iterações amenta e o erro de arredondamento amenta qando o

5 tamano de cada elemento da mala é diminído pois serão mais elementos considerados, portanto mais arredondamentos são feitos a cada iteração Nesse trabalo é considerado qe não eistem erros de iteração, de arredondamento o de programação, o seja, o erro da solção nmérica definida pela eqação é deido apenas a erro de trncamento e, então, daqi para frente será camado de erro de discretização o simplesmente erro Nesse trabalo é feita ma erificação do erro atraés da determinação das ordens erdadeiras do erro de trncamento, da ordem assintótica do erro de trncamento, da ordem aparente do erro de trncamento e a aaliação do erro atraés do estimador de erro de Ricardson para a ordem assintótica e para a ordem aparente Conforme Roace (99) o erro de trncamento, pode ser dado por: p p p p ( φ) c c c c ε (5) onde c, c, c, são coeficientes qe independem do alor de, p, p, p, p são números inteiros positios 5 Ordens Verdadeiras e Ordem Assintótica do rro Os epoentes de na eqação 5 para os qais os coeficientes são diferentes de zero, são as ordens erdadeiras do erro de trncamento e o menor desses epoentes é a ordem assintótica do erro Comparando a eqação 5 com as eqações 6, 8, 50 e 5 podese obter a tabela, a segir, qe mostra os alores possíeis para as ordens erdadeiras e da ordem assintótica do erro de trncamento para cada tipo de aproimação Os alores das ordens do erro de trncamento contidos na tabela são os alores possíeis, pois eles dependem das deriadas enolidas serem nlas o não

6 abela Valores possíeis para as ordens do erro de trncamento Solção nmérica i CDS λ i λ UDS i λ DDS ii CDS λ ipo da aproimação nmérica Ordens erdadeiras Ordem assintótica Diferença central,, 6, 8 Dois pontos a montante,,, 5, Dois pontos a jsante,,, 5, Diferença central,, 6, 8, 5 stimador de rro de Ricardson De acordo com Marci e Sila (00), a incerteza de ma solção nmérica, é definida por U Ri (φ) φ - φ (5) Onde φ representa a solção nmérica, φ é a estimatia da solção analítica De acordo com Roace (99), o alor de φ pode ser obtido pela etrapolação de Ricardson, o seja, φ φ φ φ (55) p q onde φ e φ são as solções nméricas obtidas na mala fina ( ) e na mala grossa ( ), respectiamente, p é a ordem assintótica do erro de discretização e q taa de refinamento da mala, dado por q (56) Sbstitindo a eqação 55 na eqação 5, o estimador de erro de Ricardson fica U Ri φ φ ( φ ) p q (57)

7 5 Ordem Aparente do rro De acordo com De Val Dais (98) a ordem aparente do erro pode ser dada por: φ φ log p φ φ U (58) log q onde φ, φ e φ são as solções nméricas nas malas fina ( ), grossa ( ) e sper grossa ( ), respectiamente e q é taa de refinamento, sposta constante entre as malas A dedção da eqação 58 é mostrada no apêndice B A etrapolação de Ricardson sando a ordem aparente do erro, fica: φ φ φ φ (59) p q O estimador do erro de Ricardson, com a ordem aparente é igal a: U φ φ φ ) p q (60) Ri ( 5 Ordem fetia Segndo Marci (00), a ordem efetia (p ) é definida como a inclinação da cra do erro de dsicretização (φ) em fnção de e pode ser dada por p ( φ ) log ( φ ) log( q) (6)

8 55 stimador GCI De acordo com Roace (99), atraés do estimador GCI (Grid Conergence Inde), a incerteza de ma solção nmérica para solção na mala fina, é dada por U GCI ( p ) F S φ φ p q (6) onde F s é m fator de segrança, geralmente igal a O estimador de erro GCI com a ordem aparente do erro, fica igal a: U GCI ( p U ) F S φ φ p q U (6)

9 CAÍUO CONDUÇÃO D CAOR UNIDIMNSIONA M RGIM RMANN Nesse capítlo são abordados os o, o e o casos da tabela Será mostrada a solção analítica de cada caso, bem como a solção nmérica aproimada Serão mostrados em forma de tabelas as solções nméricas para malas com diferentes números de elementos, o erro erdadeiro, as ordens erdadeiras, as ordens aparentes, as ordens efetias, o alor da estimatia do erro de Ricardson e os gráficos qe mostram esses alores, para o o caso SOUÇÕS ANAÍICAS De acordo com Incropera e De Witt (00, p), a condção de calor nidimensional permanente pode ser escrita como: d d S () com S sendo ma fnção de, sendo a temperatra nm ponto qalqer e a abscissa do ponto Solções Analíticas Qando S é Constante Resolendo a eqação, para S 0 com as condições de contorno (0)0 o C e () o C, obtém-se a solção analítica da distribição de temperatras para o o caso () () Fazendo /, encontra-se para (/):

0 A temperatra média, no interalo [0, ], é dada por: o C então 0 ( ) d () d () 0 portanto A deriada de () para m, pode ser dada por: 0 o C d I (5) d I o seja I o C/m Resolendo a eqação para S, () o C, (0) 0 o C e m, obtém-se a solção analítica para a distribição de temperatras do o caso Fazendo /, obtém-se: () (6) o C A temperatra média é obtida pela resolção da eqação, para a distribição de temperatras dada pela eqação 6, e qe reslta d (7) 0 0 A deriada de () para m, será: o C d I d I I o C/m

Solção Analítica ara S e e e Resolendo a eqação para S, (0)0 o C, () o C e m e obtém-se e ( ) (8) e fazendo /, temos: 0, 7750668 o C A temperatra média, será dada pela resolção da eqação para a distribição de temperatras dada pela eqação 8, da seginte forma e d e 0 e 0, 809 e 0 A deriada de () para será: d e I I d e I,58976707 o C/m A tabela, a segir, mostra m resmo das solções analíticas das três ariáeis de interesse para os três primeiros casos: o C abela Solções analíticas dos três primeiros casos Caso (/) (em o C) (em o C) d I d (em o C/m) o 0,5 0,5 o 0,5 0, o 0,7750668 0,809,58976707

MODO NUMÉRICO Distribição de emperatras De acordo com a eqação a condção de calor nidimensional permanente d pode ser escrita como d S com S sendo ma fnção de, sendo a temperatra nm ponto qalqer e a abscissa do ponto Considerando ma barra de comprimento disposta na direção O, como mostra a figra a segir, cja origem coincide com a origem do eio e cja etremidade está no ponto de abscissa : 0 Figra : barra de comprimento ara essa barra considera-se ma condção de calor nidimensional permanente ao longo da direção com temperatras das etremidades (0) o e () mantidas constantes ara aplicar as eqações das diferenças finitas dee-se discretizar a distância ao longo da qal o calor irá se propagar, o seja, considerar n pontos, camados nós sse conjnto de nós é camado de mala A figra, a segir, ilstra ma mala para essa sitação: Nó Nó Nó Nó Nó n Nó n Figra : Discretização do comprimento da barra (mala niforme)

Dee-se notar qe os n nós tilizados, diidem a barra em n sbinteralos, qe nesse caso serão considerados com a mesma medida, portanto: n (9) De acordo com a eqação 5a, a eqação, pode ter a deriada segnda da temperatra, dada por ) ( d d j j j j (0) ara encontrar nmericamente a deriada de segnda ordem, sando diferença central de três pontos, o erro de trncamento é dado por: 060 6 60 ) ( iii j i j i j j ε - () onde j é o número do nó interno, pois nos nós etremos a temperatra é prescrita Sbstitindo a eqação (9) na eqação () tem-se: S j j j o j j- j S () Aplicando a eqação () em cada m dos nós internos obtém-se: 5 S S S S S n n n n n n () Matricialmente, esse sistema é dado por: B A ] ][ [ () onde A é a matriz dos coeficientes, φ é o etor de solções e B é o etor dos termos fontes, então: 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 S S S S S n n (5)

A resolção do sistema de eqações anterior leando em conta qe o e n fornece as temperatras em cada m dos nós emperatra Média ara a temperatra média ( ) sa-se o teorema do alor médio, aplicando a regra do trapézio para o cálclo da integral De acordo com Swokowski (99 p 59) para o teorema do alor médio e de acordo com Rggiero e opes (996, pp 96-99) para a regra do trapézio, tem-se qe a temperatra média pode ser aproimada por: N (6) j j j O erro de trncamento cometido, será dado por: N ( ) ε ii i (7) j j 80 j Deriada da emperatra em por: A deriada de primeira ordem com dois pontos a montante, pode ser dada d d j j j j (8) com erro de trncamento dado por 7 ε ( I) iii i (9) j j j 60

5 rograma Comptacional O programa comptacional sado foi escrito em ingagem C Bilder 60, camado RMO_D_D, com todas as ariáeis qe representam as ariáeis de interesse bem como todas as qe podem apresentar parte decimal não nla sendo do tipo long doble O programa está diidido em 6 partes, cada ma tilizada para a resolção de m o mais dos casos considerados na tabela A tela principal permite a entrada de dados do problema como condtiidade do material, difsiidade, tamano da barra, número de nós, temperatra nos contornos e escola do alor de S para os casos, e Caso os dados de entrada sejam os desse trabalo, basta qe o sário selecione qal caso resoler, se não, pode alterar os dados e erificar a solção de otros problemas ara a obtenção da solção nmérica da temperatra em cada nó, o seja, para a resolção do sistema de eqações, foi aplicado o método DMA (ridiagonal Matri Algoritm) descrito por Dieges (99, p 5, ), qe fornece solção direta da temperatra em cada nó da mala O algorítmo da solção dos casos, e, é: er o,,, escola_de_s; ara i até 5 faça n i ; /n; Resoler o sistema de eqações ; meio[i][(n)/]; rro_meio[i]meio_an meio[i]; Calclar [i] com a eqação 6; rro_ [i] _an - [i]; Calclar I[i] com a eqação 8; rro_i[i]i_an I[i]; Mostrar meio[i], [i] e I[i] Graar meio[i], [i] e I[i];

6 Fim_para; ara i até 5 calclar p U [i] de cada ariáel de interesse; ara i até 5 calclar p [i] de cada ariáel de interesse; ara i até 5 calclar U Ri (p )/(φ) de cada ariáel de interesse; ara i até 5 calclar U Ri (p U )/(φ) de cada ariáel de interesse; ara desenolimento do programa e obtenção das solções foi tilizado m microcomptador entim com freqüência de clock de 8MHz, 5Mbte de memória RAM ara os o, o e o a memória necessária é obtida pela declaração das ariáeis e o tempo de processamento é obtido pela atribição do orário do sistema operacional a ma ariáel no início e a otra ariáel no final O tempo de processamento será a diferença entre esses alores Os gráficos qe aparecem nesse e nos capítlos segintes foram obtidos com a tilização do software Origin 6 No endereço F://FDMCUFRBR/CFD/MONOGRAFIAS estão o programa fonte, o programa eectáel e as tabelas com os resltados RROS D RUNCAMNO ORDNS DO RRO Calclando as deriadas scessias da temperatra para os três primeiros casos, obtém-se a tabela, a segir, qe mostra o erro de trncamento e a ordens do erro de trncamento para a temperatra

7 abela rros de trncamento e ordens do erro para (/) Caso S rro de trncamento Ordens erdadeiras o 0 0 o 0 o e e Ordem assintótica 0,, 6, Na tabela, a segir, tem-se o erro de trncamento e as ordens do erro de trncamento para o cálclo da temperatra média abela rro de trncamento e ordens do erro de Caso S rro de trncamento Ordens erdadeiras o 0 0 Ordem assintótica o 0 o e 0,, 6, e Na tabela, a segir, tem-se o erro de trncamento e as ordens do erro de trncamento para a deriada da temperatra em m abela rro e ordens do erro de trncamento de I Caso S rro de trncamento Ordens erdadeiras o 0 0 o 0 o e e Ordem assintótica 0,,, SOUÇÕS NUMÉRICAS DAS RÊS VARIÁVIS D INRSS As solções nméricas da temperatra em cada m dos nós foram graados em 8/0/006 em arqios no formato DA no diretório de trabalo e cjos nomes eternos são CASO_DA para o caso, CASO_DA para o caso e

8 CASO_DA para o caso, todas obtidas com a tilização da mala com 768 elementos A memória comptacional necessária para esses casos é obtida pela declaração das ariáeis Nesses três casos o sistema de eqações foi resolido pelo algorítmo DMA, qe fornece de maneira direta as solções para a temperatra em cada nó ara S 0, a tabela 5 a segir mostra os alores calclados pelo método das diferenças finitas para a temperatra do ponto médio, a temperatra média e a deriada da temperatra em, em malas com,, 8,, 768 elementos o sbinteralos da mala abela 5 Valores de (/), de e I para o o caso lementos (/) (em o C) (em o C) I () 0,5 0,5 0,5 0,5 8 0,5 0,5 6 0,5 0,5 0,5 0,5 6 0,5 0,5 8 0,5 0,5 56 0,5 0,5 5 0,5 0,5 0 0,5 0,5 08 0,5 0,5 0,99999999999999 096 0,5 0,5 89 0,5 0,5 0,99999999999999 68 0,5 0,5 0,99999999999999 768 0,500000000000006 0,500000000000006 0,99999999999999 Nessa tabela pode-se obserar qe para (/) até 68 elementos a solção nmérica é igal a solção analítica, porém para 768 elementos aparece ma diferença na décima qinta casa decimal, tornando a solção nmérica m poco maior qe a analítica O mesmo ocorre para a temperatra média ara a I em obsera-se qe a partir de 08 elementos a solção nmérica apresenta ma peqena ariação ficando poco menor qe a solção analítica ssa ariação qe a solção nmérica apresenta, em relação à analítica, pode ser credita à arredondamentos, já qe comptacionalmente, se trabala com m número finito de algarismos para representar os números

9 ara S, a tabela 6, a segir, mostra os alores aproimados o seja calclados nmericamente da temperatra do ponto médio, da temperatra média e da deriada da temperatra para abela 6 Solções nméricas de (/), de e I para o o caso lementos (/) (em o C) (em o C) I () 0,5 0,5 0,75 8 0,5 0,5975 6 0,5 0,9875 0,5 0,960975 6 0,5 0,7075 8 0,5 0,50585975 56 0,5 0,587668 5 0,5 0,9696 0 0,5 0,97905 08 0,5 0,706976 096 0,5 0,67 89 0,5 0,58686,99999999999999 68 0,5 0,955 768 0,50000000000006 0,88558,9999999999999 Obserando essa tabela pode-se notar qe para a ariáel (/) a solção nmérica é igal a solção analítica até 68 elementos, porém para 768 elementos a solção nmérica apresenta ma diferença na décima qinta casa decimal, tornando a solção nmérica ligeiramente maior qe a analítica De acordo com a tabela, para esse caso, o erro de trncamento é nlo, portanto o erro apresentado para 768 elementos dee ser casado por arredondamento ara, a tabela mostra qe, nesse caso, eiste erro de trncamento e na tabela 6 pode-se obserar qe a medida qe o número de elementos amenta, a solção nmérica fica cada ez mais próima da solção analítica ara a ariáel I em, a tabela mostra qe o erro de trncamento é zero e como se pode erificar na tabela 6 isso é confirmado até 096 elementos ara 896 elementos o mais ê-se ma peqena diferença entre o alor nmérico e a solção analítica ssa diferença pode ser atribída à erros de arredondamento e ara S, a tabela 7, a segir, mostra os alores da solções e nméricas obtidas para a temperatra no ponto /, da temperatra média e da deriada da temperatra em m

50 abela 7 Solções nméricas de (/), e I para o o caso lementos (/) I () 0,8006080566 0,00060078,7975868787 0,7876895989 0,686906,556589596 8 0,776999965578 0,9000006,5779556685 6 0,775805077 0,8756675795,57988785 0,775506077 0,8679,586785 6 0,77560090 0,805058607,5887650 8 0,77596566 0,80879667,589795669 56 0,7750859 0,8066898,589679090 5 0,7750707769 0,806708679,589756 0 0,7750678508 0,807989,5897658089 08 0,7750679 0,806769,5897656968 096 0,77506690607 0,80985090,589766755 89 0,7750668950 0,8097,589766988960 68 0,7750668866 0,8096656,589767070 768 0,7750668807658 0,80965,5897670699 Atraés das tabelas, e pode-se obserar qe eiste erro de trncamento diferente de zero para as três ariáeis de interesse e qe atraés da tabela 7 pode-se er qe qanto maior o número de elementos tilizados a solção nmérica fica cada ez mais próima da solção analítica 5 VRIFICAÇÃO DO CASO A tabela 8, a segir, mostra os alores de, φ, (φ), p U, e p para (/) abela 8: alor de, da solção aproimada, do erro, da ordem aparente e da ordem efetia para (/) lem φ (φ) p U p 0,5 0,8006080566-0,0059659058 0,5 0,7876895989-0,0006580796088,9865658907 8 0,5 0,776999965578-0,00059775999,9888,996655799 6 0,065 0,7758050770 -,98557899760-5,995776790770,9995965 0,05 0,7755060770-9,965799760-6,998955876,999788688685 6 0,0565 0,77560090 -,90585860-6,999758867,99997678778 8 0,00785 0,77596566-6,8586708690-7,9999959905,9999867980 56 0,009065 0,7750859 -,557970-7,99998976,99999669807787 5 0,00955 0,7750707769 -,898765509950-8,99999586770,9999997558 0 0,000976565 0,7750678508-9,79859790-9,9999989686,99999978658 08 0,0008885 0,7750679 -,0897850-9,99999985768,999999899 096 0,000065 0,77506690607-6,0860080680-0,9999990989,000000709 89 0,0000705 0,7750668950 -,506555560-0,0000078,000000705 68 6,055650-5 0,7750668866 -,8060806870 -,99999999998,00000877080 768,0575780-5 0,7750668807658-9,569800680 -,00075056,99877896579 ela eqação 58 nota-se qe o cálclo da ordem aparente do erro tiliza as solções nméricas obtidas em três malas: φ, φ e φ or isso na tabela 8 não

5 eiste alor para a ordem aparente para mala com e elementos ela eqação 6 obsera-se qe o cálclo da ordem efetia do erro tiliza as solções nméricas obtidas em das malas φ e φ, então, na tabela 8 não eiste alor para a ordem efetia do erro para a mala com elementos m todo o restante desse trabalo e para as tabelas em qe são mostradas as o tilizadas as ordens aparente e efetia, isso irá ocorrer A tabela 9, a segir, mostra o alor de U ( p ) Ri e ( φ) U ( p ) Ri U ( φ) para (/) abela 9: alor de, e razão entre as incertezas e os erros para(/) lementos U Ri(p )/(φ) U Ri(p U)/(φ) 0,5 0,5 0,988960606769 8 0,5 0,9968866689,0560665799 6 0,065 0,9999067959,0087699796 0,05 0,9998075867,0007885059 6 0,0565 0,9999576065,00095708 8 0,00785 0,9999877986,0000889658 56 0,009065 0,99999696867,0000055 5 0,00955 0,9999990987,00000069085 0 0,000976565 0,99999980976,0000007687907 08 0,0008885 0,99999987768 0,99999997767 096 0,000065,00000059750,00000707758 89 0,0000705 0,9999999607095 0,9999970586 68 6,055650-5,000000667960,00000066888 768,0575780-5 0,99889789968 0,998759907 ela eqação 57 pode-se erificar qe o alor da estimatia do erro dada pelo estimador de Ricardson depende de das solções nméricas φ e φ, então não eistem alores U Ri (p )/(φ), U Ri (p U )/(φ) e U Ri (p )/(φ) para ma mala com elementos ara U Ri (p U )/(φ) não eiste alor para mala com elementos porqe a ordem aparente depende de solções nméricas Na tabela 8 pode-se erificar qe até 08 elementos as ordens aparente e efetia do erro tendem monotonicamente para a ordem assintótica do erro, mas para 096 elementos o mais elas oscilam, indicando qe o erro de arredondamento está afetando o resltado Na tabela 9 nota-se qe U Ri (p )/(φ) tende monotonicamente a atraés de alores menores qe e qe U Ri (p U )/(φ) tende monotonicamente a, atraés de alores maiores qe ara 08 elementos o mais essas razões oscilam em torno de e pode-se notar qe ambos os alores são ambos maiores qe o ambos menores qe

5 A figra, a segir, mostra o alor de p U e de p em fnção de, para (/),5,0,5 Ordem,0 0,5 p p U p 0,0-5 - - 0,0 0, (m ) Figra : alores da ordem assintótica, da ordem aparente e da ordem efetia para (/), em fnção de Na figra pode-se notar qe as ordens assintótica, aparente e efetia do erro são aproimadamente igais para os alores de tilizados A figra a segir, mostra os alores dos módlos de (φ), U Ri (p ) e Uri(p U ) em fnção de para (/) - -5-6 rro o incerteza -7-8 -9-0 - Uri(p) Uri(pU) - - - - 0,0 0, (m ) Figra (φ), U Ri (p ) e Uri(p U ) para (/), em fnção de

5 A figra mostra qe os alores das estimatias do erro dadas pelo estimador de Ricardson para a ordem assintótica e para a ordem efetia do erro são mito próimas do erro erdadeiro A tabela 0, a segir, mostra os alores de, φ, (φ), p U, e p, para abela 0: solção nmérica, erro, ordem aparente e efetia para lementos H φ (φ) p U p 0,5 0,00060078-0,000687089009 0,5 0,686906-0,00560505977,9706096987 8 0,5 0,9000006-0,0006707885,9678790,999895660 6 0,065 0,8756675795-0,0005076,998679698,998776598 0,05 0,8679-8,8075900-5,99796679790,999596897 6 0,0565 0,805058607 -,0559700-5,999968780588,99989886 8 0,00785 0,80879667-5,50857970000-6,99987967,9999758089 56 0,009065 0,8066898 -,75805080000-6,9999680005,9999966655 5 0,00955 0,806708679 -,9500500000-7,999990577,999998865 0 0,000976565 0,807989-8,598777500000-8,999998088065,999999605 08 0,0008885 0,806769 -,969500000-8,999999966678,99999996090 096 0,000065 0,80985090-5,76000050-9,99999986577608,000000067089 89 0,0000705 0,8097 -,559000000-9,0000000897857 68 6,055650-5 0,8096656 -,58890000760-0,9999989686,0000090 768,0575780-5 0,80965-8,976999995770 -,000097905,99998957 Na tabela 0 pode-se obserar qe qanto maior o número de elementos na mala, a solção nmérica fica cada ez mais próima da solção analítica, o seja, o erro fica cada ez menor A ordem aparente do erro tende monotonicamente para a ordem assintótica, atraés de alores menores qe ela, até qe o número de elementos seja de 096 Já a ordem efetia tende monotonicamente para a ordem assintótica até 08 elementos ara mais de 096 elementos obsera-se qe qando a ordem aparente é maior qe a assintótica, a efetia é menor qe a assintótica e ice-ersa A tabela, mostra o alor de U ( p ) Ri ( φ) e U ( p ) Ri U ( φ) para abela : alor de, e razão entre as incertezas e os erros para lementos U Ri(p )/(φ) U Ri(p U)/(φ) 0,5 0,5 0,97609780786 8 0,5 0,990057668578,07986956 6 0,065 0,9989785098655,00607600757 0,05 0,9996560,00508676 6 0,0565 0,9999060777956,000759777 8 0,00785 0,9999765075,0000996708 56 0,009065 0,999998756,00009068 5 0,00955 0,999998567967,0000058756 0 0,000976565 0,9999996705,0000067 08 0,0008885 0,99999996859,0000008765099 096 0,000065,0000000608,000000860707 89 0,0000705 0,9999999705 68 6,055650-5,00000977077,00000969779 768,0575780-5 0,999958667 0,9998957588