A ideia de potência é muito antiga e desde tempos remotos suas aplicações facilitaram a vida humana auxiliando, tornando possíveis muitas representações matemáticas solucionando problemas de elevado grau de complexidade. Assim como todas as descobertas do homem, a equação possibilitou novos horizontes e permitiu a expansão dos conhecimentos humanos norteando viagens inimagináveis pelos campos abstratos da matemática e alicerçando ciências afins como a astronomia, física, química e biologia. Conceitos antigos dos quais se têm registros datam do século III a.c. através do astrônomo e inventor Arquimedes em sua tentativa de calcular quantos grãos de areia seriam necessários para encher o universo. Nessa época, tinha-se a ideia de que as estrelas limitavam o nosso universo dando-lhe um formato esférico e, ao calcular o volume dessa esfera astronômica, chegaria ao resultado desejado. Após longo estudo e dedicação, Arquimedes conseguiu encontrar um resultado assombrosamente grande em termos de representação numérica e soube que seria impossível demonstrar sua resposta para que outros conseguissem compreendê-la. Após séria análise detalhada dos números que apareciam no cálculo do volume da esfera gigante, Arquimedes percebeu um fato curioso: havia uma grande repetição de multiplicações que envolviam o número 10. Surgiu então a ideia de representar sua resposta usando potência de base 10. Hoje utilizada como notação científica e aplicada a várias áreas do conhecimento humano, através da potência de base dez, podemos escrever a resposta conquistada por Arquimedes como 1063. Toda notação moderna que se tem de potência teve fundamento com o Matemático francês René Descartes (1596-1650) no século XVII. Descartes, além de suas contribuições referentes à potenciação é também conhecido como Pai da Filosofia e da Matemática Modernas. Onde estão as potências? A resposta à pergunta anterior seria em nosso cotidiano. Acompanhem alguns exemplos a seguir: Um jogo de xadrez é formado por um tabuleiro tipo 8 x 8 e representa uma matriz quadrada de ordem 8. Podemos calcular o número de casas desse tabuleiro utilizando conhecimentos sobre potência. Para isso, elevamos o número de linhas (8) ao número de colunas (8), ficando 8 2 = 64. Num sítio, as laranjas extraídas periodicamente, são embaladas em forma cúbica: 4 laranjas no comprimento, 4 na largura e 4 na altura. Se desejarmos saber quantas dessas frutas têm nesses cubos, elevamos ao 4, o número de vezes que ele se repete (3), ficando 4 3 = 64.
Potência é todo número na forma a n, com a 0. a é a base, n é o expoente e a n é a potência. a n = a x a x a x a x...a (n vezes) Por convenção, admitiremos que todo número elevado a 0 é igual a 1, a 0 = 1 e todo número elevado a 1 é igual a ele próprio, a 1 = a. : 2 1 = 2 54 0 = 1 4 4 = 256 5 3 = 125 Potência de base racional Para resolver uma potência cuja base é um número fracionário, elevamos tanto o numerador quanto o denominador da fração ao expoente dado. Exemplo Potência de expoente negativo A ideia de inverso é utilizada para solucionar potências de expoente negativo, transformamos numerador em denominador, e vice-versa, logo após, tornamos o expoente positivo.
Multiplicação de potências de mesma base Resolvemos a multiplicação de potências de mesma base conservando uma das bases e adicionando os expoentes. a m. a n = a m + n Divisão de potências de mesma base Toda divisão de potências de mesma base, com esta diferente de zero, pode ser resolvida conservando uma das bases e subtraindo os expoentes. a m : a n = a m n, com a 0. Multiplicação de fatores elevados ao mesmo expoente Para o produto de dois ou mais fatores elevados ao mesmo expoente, elevamos cada um dos fatores ao expoente dado na questão. (a. b) n = a n. b n (5. 6) 4 5 4. 6 4 (0,2. 1,3) 3 (0,2) 3. (1,3) 3 Divisão de expoente igual Aqui segue o mesmo critério dado na propriedade anterior: eleva-se o dividendo e o divisor ao mesmo expoente. (a : b) n = a n : b n (9 : 8) 5 = 9 5 : 8 5 (2,3 : 0,1) 2 = (2,3) 2 : (0,1) 2
Potência de potência Quando elevamos uma determinada potência à outra potência, temos uma potência de potência. Para resolvê-la, podemos conservar a base e multiplicar os expoentes. (a m ) n = a m. n (2 3 ) 4 2 3. 4 = 2 12 [(1/5) 2 ] 5 (1/5) 2. 5 = (1/5) 10 Potência de base 10 A potência de base 10 é utilizada para abreviar a escrita de números que contenham n fatores 10, facilitando assim sua representação. 10 5 = 100000 (5 zeros) 10 7 = 10000000 (7 zeros) 10 3 = 1000 (3 zeros) Nesse tipo de potência, quanto o expoente for positivo, ele indica a quantidade de zeros que deverão ser acrescentados após o algarismo 1. 10-2 = 0,01 (2 casas decimais) 10-5 = 0,00001 (5 casas decimais) Aqui, como o expoente é negativo, ele indica o número de casas decimais que deverão ser criadas a partir do zero e com final 1. QUESTÕES DE VESTIBULARES 1) (FATEC) Das três sentenças abaixo: I. 2 x+3 = 2 x. 2 3 II. (25) x = 5 2x III. 2 x + 3 x = 5 x a) somente a I é verdadeira; b) somente a II é verdadeira; c) somente a III é verdadeira; d) somente a II é falsa; e) somente a III é falsa. 2) (FUVEST) O valor de (0,2)³ + (0,16)² é: a) 0,0264 b) 0,0336 c) 0,1056 d) 0,2568 e) 0,6256
3) (UFPA) Simplificando a expressão [2 9 : (2 2. 2) 3 ] -3, obtém-se: a) a b) 2-30 c) 2-6 d) 1 e) 2 36 4) (USF) Dadas as expressões A = -a² 2a + 5 e B = b² + 2b + 5: a) Se a = 2 e b = -2, então A = B; b) Se a = 2 e b = 2, então A = B; c) Se a = -2 e b = -2, então A = B; d) Se a = -2 e b = 2, então A = B; e) Se a = -2 e b = 2, então A = B. 5) (UFMT) Se 5 3a = 64, o valor de 5 -a é: a) 1/4 b) 1/40 c) 1/20 d) 1/8 e) ¼ 6) (PUC-SP) O número de elementos distintos da sequência 2 4, 4 2, 4-2 (-4) 2, (-2) 4, (-2) -4 é: a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 7) (FEI-SP) O valor da expressão B = 5. 10 8. 4. 10-3 é: a) 20 6 b) 2. 10 6 c) 2. 10 9 d) 20. 10-4 8) (PUC-RIO 2008) O maior número abaixo é: a) 3 31 b) 3 31 c) 16 8 d) 81 6 e) 243 4 9) (UFF-2009) The Internet Archive (http://www.archive.org/) é uma organização sem fins lucrativos com o objetivo de catalogar e armazenar todas as páginas WEB da Internet, desde 1996. Atualmente, o sistema é gerenciado por cerca de 800 computadores pessoais e ele dispõe de aproximadamente 3 pentabytes de memória para armazenamento. Cada pentabyte equivale a 2 20 gigabytes. Admitindo-se que um DVD comum é capaz de armazenar 4 gigabytes (na verdade, ele armazena um pouco mais), então o número de DVDs necessários para se armazenar 3 pentabytes é: a) menor que 2 17 e maior que 2 16 b) menor que 2 18 e maior que 2 17 c) menor que 2 19 e maior que 2 18 d) menor que 2 18 e maior que 2 17 e) maior que 2 19 e menor que 2 20
10) (UFRGS) Assinale a relação correta, das citadas abaixo. a) se a > 1 b) se 0 < a < 1 c) se 0 < a < 1 d) se 0 < a < 1 e) se a > 0 11) (FUVEST) Dos números abaixo, o que está mais próximo de a) 0,625 b) 6,25 c) 62,5 d) 625 e) 6250 12) (UFSM) O valor da expressão é: a) b) c) d) e) 13) (UFRGS) O valor de para e a) b) c) d) e) Gabarito: 1) E 2) B 3) D 4) C 5) E 6) B 7) B 8) A 9) E 10) C 11) E 12) A 13) C