Lógica para Ciência da Computação I Lógica Matemática Texto 2 Expressões e enunciados Sumário 1 Expressões e enunciados 2 1.1 Observações................................ 2 1.2 Exercício resolvido............................ 3 2 Constantes e variáveis 3 2.1 Observações................................ 4 2.2 Exercício resolvido............................ 5 3 Estendendo a noção de enunciado 5 3.1 Observações................................ 6 3.2 Exercícios resolvidos........................... 7 Neste texto, abordamos os conceitos de expressão, enunciado, constante e variável. Depois de estudá-lo, vamos ser capazes de: classificar certos símbolos e/ou frases da Linguagem Matemática como expressão ou enunciado; classificar certas expressões como constantes ou variáveis; estender os conceitos acima para certos símbolos e/ou frases da Língua Portuguesa. 1
1 Expressões e enunciados Os símbolos e/ou frases da Linguagem Matemática podem ser classificados como expressões ou enunciados. Uma expressão é um símbolo e/ou frase que denota um objeto matemático, em um dado contexto. Um enunciado é um símbolo e/ou frase que expressa uma propriedade de um objeto matemático ou estabelece uma relação entre vários objetos matemáticos, em um dado contexto. Exemplo 1 Considerando as frases 2013 (1) o triângulo ABC (2) 2013 é par (3) o triângulo ABC é retângulo (4) o maior lado do triângulo ABC é menor que 2013 (5) em seus contextos usuais, temos que (1), (2) são expressões e que (3), (4), (5) são enunciados. 1.1 Observações Observação 1 Expressões também são chamadas de termos. Expressões são usadas para referência a objetos matemáticos. Por isto, elas atuam como sujeitos, nas afirmações matemáticas. Sendo assim, usualmente não possuem ocorrências de verbos e, mesmo quando o fazem, não exprimem ações ou estados, mas usam estas ações e estados para qualificar o objeto que está sendo denotado. Por exemplo, a frase o menor número inteiro que é par e está entre 4 e 10, exclusive é uma expressão, pois denota o número 6. Observação 2 Enunciados também são chamados de sentenças ou proposições. Enunciados são usados para descrever ações ou estados nos quais objetos matemáticos estão envolvidos. Por isto, eles atuam como frases declarativas, na Linguagem Matemática. Sendo assim, usualmente, envolvem expressões e possuem ocorrências de verbos. 2
1.2 Exercício resolvido Exercício 1 Classifique cada símbolo e/ou frase abaixo como expressão ou enunciado. (i) 2 é primo (ii) o sucessor de 2012 (iii) x e y (iv) (x, y) está no primeiro quadrante (v) 5 4 = 21 Antes de ler a resolução, tente resolver o exercício usando os conceitos estudados. Resolução do Exercício 1: (i) Enunciado. A frase afirma que um objeto possui uma propriedade. Possui ocorrência do verbo ser. (ii) Expressão. A frase é usada para indicar um objeto. (iii) Expressão. A frase é usada para indicar um par de objetos. (iv) Enunciado. A frase afirma que um par de objetos possui uma propriedade. Possui ocorrência do verbo estar. (v) Enunciado. A frase afirma que dois objetos estão relacionados (pela relação de igualdade). Possui ocorrência do verbo ser. 2 Constantes e variáveis As expressões podem ser classificadas em duas categorias, de acordo com a maneira como elas denotam objetos. (1) Dizemos que uma expressão é constante, em um dado contexto, se ela denota um objeto fixo e bem determinado e não denota nenhum outro objeto naquele mesmo contexto. (2) Dizemos que uma expressão é variável se ela denota um objeto fixo e bem determinado, em um dado contexto, mas poderia denotar qualquer objeto (do mesmo tipo que o objeto já denotado), naquele mesmo contexto. Exemplo 2 Considerando os enunciados 1 é um número natural (6) o triângulo ABC é isósceles (7) se x é par, então x 2 é par (8) o eixo 0x é perpendicular ao eixo 0y (9) 3
em seus contextos usuais, temos que são constantes, e que 1, o eixo 0x, o eixo 0y o triângulo ABC, x, x 2 são variáveis. Além disso, 1, x e x 2 são do tipo número e o triângulo ABC, o eixo 0x e o eixo 0y são do tipo figura. 2.1 Observações Observação 3 Constantes desempenham, na Linguagem Matemática, um papel similar àquele que os nomes desempenham na Língua Portuguesa. Já as variáveis desempenham um papel similar aos dos pronomes pessoais. Observação 4 Não existe um consenso universal sobre quais símbolos e/ou sequências de símbolos da Linguagem Matemática devem ser adotados como constantes ou variáveis. De fato, algumas expressões, como 2, o triângulo retângulo de lados 3, 4 e 5 são universalmente empregadas como constantes; enquanto que outras, como x, a função f(x) são universalmente empregadas como variáveis; mas também existem expressões como e, φ cujo emprego como constante ou variável depende de certas convenções que podem mudar de texto para texto. Para classificar uma expressão como constante ou variável, a melhor coisa a fazer é prestar bastante atenção no texto em análise e tentar identificar o uso que está sendo feito de cada símbolo e/ou sequência de símbolos, de acordo com as noções apresentadas acima. Observação 5 Usualmente, as variáveis são classificadas de acordo com o tipo de objeto que elas podem denotar. Por exemplo, na Aritmética é usual considerarmos m e n como variáveis para números naturais e x e y como variáveis para números reais. Já em Geometria é usual considerarmos P, Q e R como vari veis para pontos, r, s e t como variáveis para retas e α, β e γ como variáveis para planos. 4
2.2 Exercício resolvido Exercício 2 Classifique cada expressão abaixo como constante ou variável. (i) 2 22 (ii) x + 1 (iii) (1 + 2) 3 (iv) 2 x 2 (v) (x, y) Antes de ler a resolução, tente resolver o exercício, usando os conceitos estudados. Resolução do Exercício 1: (i) Constante. Denota um número específico. (ii) Variável. Denota um número não específico. (iii) Constante. Denota um número específico. (iv) Variável. Denota um número não específico. (v) Variável. Denota um par ordenado não específico de números. 3 Estendendo a noção de enunciado Sob o ponto de vista da Linguagem e da Lógica Matemáticas, três características dos enunciados são as mais relevantes: 1. cada enunciado pode ser classificado como verdadeiro ou falso, de maneira exclusiva, em um dado contexto; isto é, dado um enunciado qualquer e o contexto no qual ele está inserido, ou ele é verdadeiro ou ele é falso, mas não é simultaneamente verdadeiro e falso; 2. cada enunciado pode ser classificado de maneira exclusiva como atômico ou molecular, apenas pela maneira como ele está escrito e não pelo seu significado; 3. enunciados podem ser combinados entre si para formar enunciados mais complexos, por meio de certas partículas da Linguagem Matemática. A seguir, vamos estudar detalhadamente estas características dos enunciados. Mas, antes, temos algumas observações importantes que estendem a noção de enunciado, da Linguagem Matemática para a Língua Portuguesa. 5
3.1 Observações Observação 6 A parte da Linguagem Matemática que estamos estudando pode ser vista como uma parte da Língua Portuguesa, modificada pela reinterpretação de certos vocábulos e pelo acréscimo de algumas palavras e símbolos. Por esta razão, em nossos estudos, além de enunciados sobre conteúdos matemáticos, como 2 não é um número racional vamos considerar também enunciados sobre outros conteúdos, como Sócrates é homem Luiza e Mariana são irmãs se ela é carioca, então ela é brasileira todo homem é mortal Estritamente falando, enunciados deste tipo não fazem parte da Linguagem Matemática, mas considerando enunciados neste contexto mais amplo, além de efetuarmos a análise lógica de enunciados matemáticos, também estaremos aptos a aplicar os métodos que estamos estudando a certos raciocínios do senso comum. Observação 7 No enunciado as expressões um é diferente de dois um, dois são constantes. De maneira similar, no enunciado João é casado com Maria as expressões são constantes. Nos enunciados João, Maria as expressões x é diferente de dois, um é diferente de y, x é diferente de y são constantes e as expressões são variáveis. De maneira similar, nos enunciados um, dois x, y ele é casado com Maria, Alfredo é casado com ela, ele é casado com ela as expressões Alfredo, Maria 6
são constantes e as expressões ele, ela são variáveis. Como estes exemplos sugerem, em certos enunciados, os nomes próprios são usados como constantes e os pronomes pessoais são usados como variáveis. Levando esta sugestão adiante, em geral, vamos classificar os nomes próprios como constantes e os pronomes pessoais como variáveis. 3.2 Exercícios resolvidos Exercício 3 Classifique cada expressão abaixo como constante ou variável. (i) eu (ii) Zezé de Camargo e Luciano (iii) o irmão mais velho de Luciano (iv) o Campeão Brasileiro de 2009 (v) um amigo Exercício 4 Classifique cada frase abaixo como expressão ou enunciado. (i) 2 está entre 1 e 3 (ii) o marido de Angélica (iii) 3! não é um número par (iv) ( 1, 1) está sobre o eixo 0x sen2 (x) + cos 2 (x) (v) x 2 Exercício 5 Mostre que a frase A frase (10) é falsa. (10) que se refere a ela mesma não pode ser classificada nem como verdadeira nem como falsa. E, portanto, apesar de ter sujeito, verbo e predicado, não é um enunciado. Antes de ler as resoluções, tente resolver os exercícios usando os conceitos estudados. Resolução do Exercício 3: (i) Variável. (ii) Constante. (iii) Constante. (iv) Constante. (v) Variável. Resolução do Exercício 4: (i) Enunciado. A frase afirma que três objetos estão relacionados. Possui ocorrência do verbo estar. (ii) Expressão. A frase é usada 7
para indicar um objeto. (iii) Enunciado. A frase afirma que um objeto não possui uma propriedade. Possui ocorrência do verbo ser. (iv) Enunciado. A frase afirma que um par de objetos está relacionado com um outro objeto. Possui ocorrência do verbo estar. (v) Expressão. A frase é usada para indicar um objeto. Resolução do Exercício 5: Observe que a frase possui ocorrência de verbo e, portanto, parece ser um enunciado. Mas, para ser classificada como tal, além do verbo, a frase também deve poder ser classificada como verdadeira ou falsa, de maneira exclusiva, em um dado contexto. Vamos mostrar, agora, que este não é o caso. Para isto, vamos aplicar um raciocínio bastante comum em Matemática que, neste caso, pode ser resumido do seguinte modo: (a) Primeiro, vamos considerar que a frase (10) é um enunciado. (b) Depois, vamos apresentar duas possibilidades excludentes e complementares para ela: ou vale uma, ou vale a outra, mas não valem ambas. (c) Depois vamos mostrar que cada uma destas possibilidades não pode acontecer. (d) Finalmente, vamos concluir que a frase não é um enunciado, pois quando assumimos que ela é, as duas únicas alternativas possíveis não podem acontecer. Vamos lá: (a) Suponhamos que a frase (10) é um enunciado. (b) Temos, então, as duas seguintes possibilidades excludentes e complementares: a frase (10) é verdadeira ou a frase (10) é falsa. (c) Vamos, agora, analisar cada uma destas possibilidades: (c 1 ) Se supomos que a frase (10) é verdadeira, temos que concluir que o que ela afirma acontece. Mas ela afirma que a frase (10) ou seja, ela mesma é falsa. Assim, temos que concluir que a frase (10) é falsa, uma contradição com a suposição de que ela é verdadeira. (c 2 ) Se supomos que a frase (10) é falsa, temos que concluir que o que ela afirma não acontece. Mas ela afirma que a frase (10), ou seja, ela mesma, é falsa. Como estamos assumindo que isto não acontece, temos que concluir que a frase (10) é verdadeira, uma contradição com a suposição de que ela é falsa. (d) Como a suposição de que a frase (10) é um enunciado nos leva a duas alternativas possíveis e cada uma delas não pode acontecer, temos que concluir que a nossa suposição está errada, ou seja, que a frase (10) não é um enunciado. c 2014 Márcia Cerioli, Renata de Freitas e Petrucio Viana IM-UFRJ, IME-UFF 8