Dinâmica de uma partícula

Dinâmica de uma partícula Cinemática : Como se move? Descrição do movimento de uma partícula Dinâmica : Porque se move? Razões pelas quais as partículas se movem. Estudo da relação entre o movimento de um corpo e as causas desse movimento. Movimento de um corpo resulta da interacção com outros corpos que o cercam. Interacções são descritas por forças A dinâmica pode ser considerada como a análise da relação entre a força e o movimento 1ª Lei de Newton : Lei da Inércia : Uma partícula livre move-se sempre com velocidade constante, ou seja, sem aceleração (a partícula em repouso movimento rectilíneo uniforme Partícula livre : partícula que não está sujeita a interacções com outras (uma partícula isolada. Movimento é um conceito relativo Para descrever o movimento de uma partícula livre é necessário que o observador também seja uma partícula livre (sem aceleração. Tal observador é um observador inercial e o sistema de referência por ele usado é um referencial inercial. Terra Sol 3x10 20 m 1.5x10 11 m Terra não é um referencial inercial pois: Rotação em torno do eixo Rotação em torno do sol Sol não é um referencial inercial pois: roda em torno do centro da galáxia Sol é mais próximo de um referencial inercial do que a terra pois o seu movimento é mais próximo do movimento rectilíneo uniforme ( raio de curvatura muito maior que o da Terra.

Quantidade de Movimento (momento cinético P = m v (kg m s -1 Combina dois elementos que caracterizam Velocidade o estado dinâmico de uma partícula Massa 1ª Lei de Newton : Partícula livre move-se com P constanteg Princípio da conservação da Quantidade de Movimento Sistema de duas partículas isoladas V 1, t A V 1, t A B V 2, t No instante t P = P1 + P2 = m1v1 + m2 V2 No instante t P = P 1 + P 2 = m1v 1 + m2 V 2 B V 2, t P = P = Constante a qualquer instante Sistema de n partículas isoladas P = Pi = Constante i (relativamente a um referencial inercial Princípio da conservação da quantidade de movimento Não se conhecem excepções a este princípio

Considerando dois instantes t in e t f têm-se : ou seja ( P + ( P + ( P +... = ( P + ( P + ( P... 1 in 2 in 3 in 1 f 2 f 3 f + ( P ( P + ( P ( P + ( P ( P 1 P1 f + P2 Pj 1 in 2 + P3 = P ( i i i j f 2 in +... Num sistema de duas partículas P1 = P 2 3 f 3 in... Variação de P de uma dada partícula é o simétrico da variação de P do resto do sistema Interacção entre partículas leva a uma troca de quantidade de movimento Exemplo: Recuo de uma arma Inicialmente arma (corpo 1 e bala (corpo 2 em repouso: P 1 + P 2 Após o disparo e utilizando a conservação da quantidade de movimento tem-se: m m 2 1V1 + m2 V2 V1 = V2 m1 Se m 1 =0.8kg, m 2 =0.016kg e V 2 =700ms -1 obtem-se V 1 =-14ms -1 A 2ª e 3ª Leis de Newton : Conceito de orça P1 = P 2 dividindo pelo intervalo de tempo em que as variações de P ocorrem P 1 P dp dp = 2 tomando t 0 1 = 2 t t dt dt dp dt = 2ª Lei de Newton orça que actua numa partícula é a derivada temporal da quantidade de movimento P

Como dp resulta de interacção entre partículas então descreve a interacção das partículas. Numa partícula livre P=constante pelo que (numa partícula livre não actuam forças De dp1 dp = 2 obtém-se 1 = 2 dt dt 3ª Lei de Newton (Lei de acção e reacção ( dp d mv dm = = = V + dt dt dt dv m dt Quando duas partículas interagem a força que actua sobre uma partícula é simétrica à que actua sobre a outra massa constante => dv = m = ma a = dt m Se uma partícula m interactuar com várias partículas m 1, m 2,... : m 1 m 3 1 2 m 2 m 3 Cada partícula m 1, m 2, m 3,..., produz, através da sua interacção com m, uma variação da quantidade de movimento Pi num dado intervalo de tempo t P = P1 P t dp dt P = 1 t = 1 + P2 + 2 P + 2 t + 3 + P3 P + 3 t +... = +... +... ou seja dp dt dp dp = 1 + 2 dt dt orça Resultante dp + 3... logo dt (admite-se que não existe interferência entre os efeitos das várias interacções com a partícula m Na dinâmica da partícula admite-se que a força resultante,, só depende das coordenadas dessa partícula. (ignoram-se os movimentos das outras partículas m 1, m 2, m 3,..., com as quais interage

Enunciado das Leis undamentais de Newton 1. Se a intensidade da força resultante que actua num ponto material é zero, então este está em equilíbrio, ou seja em repouso (se estava inicialmente em repouso permanecerá com velocidade (se estava inicialmente constante e em em movimento linha recta 2. Se a força resultante que actua num ponto material é diferente de zero, então este terá uma aceleração proporcional à intensidade da resultante, na sua direcção e com o mesmo sentido: R = m a 3. Para cada acção existe uma reacção igual e oposta; então, a força exercida por um corpo em outro é igual em módulo e direcção, e tem sentido oposto à força exercida pelo segundo corpo no primeiro. A 1ª e 2ª leis de Newton referem-se às forças aplicadas num dado corpo. A 3ª lei de Newton refere-se a duas forças aplicadas em corpos diferentes. Deve considerar-se cada objecto como um corpo livre isolado e determinar a resultante de todas as forças aplicadas nesse objecto.

Unidades de força força que aplicada a um corpo de 1kg provoca uma aceleração de 1 ms -2 1 dp kgm s 2 = = kgm s = N (Newton dt s No sistema CGS a unidade de força é g cm s -2 = Dine = 10-5 N m g 1kgf (quilograma-força =1 kg x 9.807 ms -2 = 9.807 N (corresponde ao peso de um corpo com 1kg de massa Comentários ao conceito de força As forças actuam sempre à distância (não existe contacto ser muito grande (ex. : interacção gravítica interplanetária Essa distância poderá ser muito pequena (ex. :interacções interatómicas contacto aparente entre dois objectos Transferência de quantidade de movimento entre as partículas envolve um meio de transmissão. A lei de acção e reacção pressupõe que essa transmissão seja instantânea. Características da força Representa a acção de um corpo sobre outro Pode ser exercida por contacto (? orça gravitacional ou à distância orça magnética orça Caracterizada por Ponto de Aplicação Intensidade Direcção Sentido Representada por um vector

orças aplicam-se a Ponto Material Corpo Rígido Corpo Deformável Pequena porção de matéria que se pode considerar que ocupa um ponto no espaço. É utilizado quando o tamanho e a forma dos corpos em estudo não têm influência significativa. Conjunto de um grande número de pontos materiais em que as suas posições relativas são fixas (corpo indeformável Linha de acção de uma força linha que define a direcção da força Princípios undamentais: Príncípio da transmissibilidade : as condições de equilíbrio ou de movimento de um corpo rígido não se alteram se uma força que actua num dado ponto de um corpo rígido fôr substituida por outra com a mesma intensidade, direcção e sentido mas que actua num ponto diferente na mesma linha de acção força aplicada num corpo rígido é um vector deslizante Ponto de Aplicação fixo ( Vector ixo Ponto de Aplicação pode deslocar-se ao longo da linha de acção ( Vector Deslizante Conclui-se que: Todo o corpo rígido sujeito à acção de forças cujas linhas de acção concorram num mesmo ponto pode ser representado por um ponto material Equivalente a A força resultante total ( R aplicada a qualquer sistema é a soma vectorial de todas as forças individuais que podem agir nele.

Tipos de forças: Gravítica Electromagnética Interacções fracas Interacções fortes operantes no núcleo atómico - B orça gravítica Lei da gravitação de Newton : Dois pontos materiais de massas M e m são mutuamente atraídos com forças iguais e opostas e de intensidade,, dada por A mm = G 2 r AB G constante de gravitação r AB distância entre os dois pontos materiais no caso da atracção pela Terra de um ponto material à sua superfície P = mg g = GMTerra 2 R Terra 2 = 9.8ms P é a força de atracção exercida pela Terra num ponto material de massa m e é definida como o seu peso. orças de contacto Diagrama espacial de um objecto na superfície terrestre P R Diagrama de corpo livre do objecto P R Diagrama de corpo livre da Terra R R P P R P R = - R P = P P R R e R são as forças de contacto entre o solo e o corpo. É uma força normal à superfície de contacto

orças de compressão e de tensão Corpo em compressão Corpo em tensão - - orças em cordas flexíveis: 1. A corda pode estar sob tensão mas não sob compressão 2. A corda pode transmitir uma força apenas ao longo do seu comprimento 3. Na ausância de atrito a tensão é a mesma em todos os pontos da corda 4. Despreza-se normalmente o peso da corda Diagrama espacial de um objecto pendurado por uma corda T 2 Diagrama de corpo livre do objecto T 1 Diagrama de corpo livre da corda T 2 T 2 P o T 1 T 1 T 1 P o T 1 P o P o T 1 = - T 1 T 2 = T 2 P o = P o corda : corpo : ' T1 ' + T2 ' ' T1 = T2 T1 + Po T1 = Po T1 = T2 T 1 força exercida pela corda no objecto T 1 reacção à força T 1 exercida pelo objecto na corda T 2 força exercida pela corda no suporte T 2 reacção à força T 2 exercida pelo suporte na corda P o peso do objecto P o força de atracção gravítica aplicada na Terra devida ao objecto

orças de atrito Atrito de escorregamento: ocorre quando existe movimento relativo entre duas superfícies em contacto. Um dado objecto em movimento vai perdendo a sua quantidade de movimento por acção do atrito (velocidade diminui até o objecto parar Essa diminuição de P ocorre devido à força de atrito ( at A força de atrito de escorregamento opõe-se sempre ao movimento e tem, por isso, a mesma direcção da velocidade mas sentido oposto A linha de acção da força de atrito está no plano de contacto entre as duas superfícies O atrito resulta da interacção entre as moléculas dos dois corpos em contacto (depende da natureza das superfícies, da velocidade relativa, etc A interacção entre as superfícies é tanto maior quanto maior fôr a força normal que pressiona um corpo contra o outro: N N at V P at N V P N O peso do corpo pressiona-o contra a superfície originando um par acção-reacção N, N normal à superfície de contacto. Verifica-se experimentalmente que a intensidade da força de atrito é proporcional à intensidade da força normal, N, que resulta do contacto entre os dois corpos: at = µ N µ 0 µ é o coeficiente de atrito Quando existe movimento relativo e considerando o versor da direcção do movimento, û V = V V, pode-se expressar vectorialmente a força de atrito:

at = µ N ûv = µ N V V O coeficiente de atrito, µ, varia consoante existe ou não movimento relativo: V N at µ µ e Sem movimento V Com movimento V 0 µ c Quando não existe movimento a força de atrito consegue contradiar a acção da força aplicada no corpo. Deste modo tem-se: at + at µ = = N N Ao valor máximo de para o qual a força de atrito consegue evitar o movimento do corpo corresponde o coeficiente de atrito estático, µ e. Nesse caso o corpo está na iminência do movimento. Conclui-se então que, na ausência de movimento, a força de atrito está no plano de contacto das superfícies e tem intensidade at µ e N Quando a força é suficiente para iniciar o movimento verifica-se que o coeficiente de atrito é aproximadamente independente da velocidade tomando um valor de µ c. Este valor corresponde ao coeficiente de atrito cinético e é inferior a µ e. at = µ c N ûv = µ c N V V

Atrito de rolamento: ocorre quando um corpo rola em cima de outro. Como a superfície de contacto entre os dois corpos é menor, a força de atrito é geralmente menor do que a de escorregamento. Atrito em fluidos: Ocorre quando um corpo se move através de um fluido (gás, líquido Se a velocidade fôr relativamente baixa, pode-se considerar que a força de atrito, af, é proporcional à velocidade mas com sentido oposto: af = k η V Depende da forma do corpo. No caso de uma esfera de raio R chega-se a que k = 6πR (lei de Stokes É o coeficiente de viscosidade. Depende do atrito interno do fluido (atrito devido ao deslocamento de camadas do fluido. Da análise dimensional da definição de af conclui-se que: N = m 1 [ η] ms [ η] 2 2 2 = Nm s = kgm s m s 1 1 = kgm s (SI 1 1 = gcm s = Poise = P (CGS 1 1 1kgm s = 10P Líquidos η (cp=10-2 P Gases η (cp=10-2 P Água (0 C 1.792 Ar (0 C 0.0171 Água (20 C 1.005 Ar (20 C 0.0181 Água (40 C 0.656 Ar (40 C 0.0190 Glicerina (20 C 833 Hidrogéneo (20 C 0.0097 Álcool (20 C 0.367 Dióxido de Carbono (20 C 0.0146

A equação de movimento num fluido é então dada por: m a = k η V v af af v P i Se a força aplicada,, fôr constante então à medida que a velocidade aumenta sob o efeito da aceleração a, aumenta igualmente a força de atrito no fluido o que, por sua vez, faz com que a aceleração diminua. Para uma determinada velocidade atinge-se uma situação em que a. Nessa situação a velocidade já não varia mais, e a força aplicada compensa exactamente a força de atrito do fluido. Quando se atinge a situação em que a o corpo continua a deslocar-se no sentido da força aplicada, mas com uma velocidade constante que se designa por velociade-limite, V L que é dada por: V L = k η No caso da queda livre de um corpo ter-se-ia V L m g = k η É, no entanto, necessário corrigir esta última expressão devido à existência da força de impulsão, i, excercida pelo fluido no corpo: De acordo com o princípio de Arquimedes a força de impulsão (para cima é igual ao peso do fluido, m f g, deslocado pelo corpo : i = -m f g m a = m g + i k η VL ( m m f g = k η VL VL = ( m m f k η g

A massa do fluido pode ser calculada através de mf = ρ f Vcorpo em que ρ é a massa específica do fluido (massa por unidade de volume. Ex.: ρ=1kg/litro=1kg dm -3 =10 3 kg m -3, e V corpo é o volume do corpo. Considerando uma partícula esférica tem-se k=6πr (Lei de Stokes e Vsol=4/3πR3 donde se pode concluir que 2 2 ( ρcorpo ρf V L = gr 9 η orça muscular O músculo consiste num conjunto de fibras, de células que se podem contrair ao ser estimuladas por impulsos eléctricos que vêm dos nervos. O músculo é ligado usualmente a dois ossos através de tendões. Os tendões funcionam como cordas flexíveis. Os dois ossos estão unidos de forma flexível através de uma articulação. ponto de origem (osso menos móvel tendão músculo Contracção do músculo origina dois pares de forças Devido à 3ª lei de Newton as forças que actuam em ambos os pontos de ligação com os ossos são iguais. ponto de inserção (osso mais móvel articulação

orças em molas Quando se estica ou comprime uma mola existe uma força que tende a levar a mola ao seu comprimento de equilíbrio: O x o O el x x o Mola comprimida O el x o x Mola esticada A força el é proporcional ao afastamento da posição de equilíbrio da mola: el = k ( x xo ûx Resolução de problemas em estática Equilíbrio dinâmico a aceleração do corpo em estudo é nula (velocidade ou é nula ou é constante De acordo com a primeira lei de Newton, a condição de equilíbrio de um ponto material, ou de sistemas que a ele são redutíveis é dada por: R = i i em que o somatório se estende a todas as forças aplicadas no ponto material. Utilizando as componentes das forças em cada um dos eixos cartesianos chega-se a que: i x i y i z i i i

No caso de estarem envolvidas apenas três forças a soma vectorial determina que a aplicação sucessiva dessas forças conduz a triângulo de forças. 1 2 3 2 1 3 Método de resolução de problemas de estática: 1. Escolher o corpo. 2. Esquematizá-lo de acordo com um diagrama de corpo livre. Tipos 3. Marcar de forças: todas as forças externas aplicadas a esse corpo. 4. Obter as equações de equilíbrio. orça gravítica Exemplos A Y AB R B B A B P A AB P B AB AB AB + PA PA = PA = mag ' AB + PB + RB ' AB PB + RB RB = PB + ' AB RB = PB + AB = ( ma + mb g Pela 3ª lei de Newton as forças de interacção entre os dois corpos A e B têm a mesma intensidade mas sentidos opostos

A 30 60 D B C E m 1 m 2 Sabendo que m 1 =90.8kg calcule o valor de m 2 para que o sistema se encontre em equilíbrio. No ponto A o fio AB puxa a parede. A parede reage com uma força aplicada no fio AB: T AB T AB Análogamente para o ponto D tem-se: T DC A massa m 1 puxa o fio BE com uma força de tensão através da acção do seu peso. Este reage através de uma força aplicada em m 1 : P 1 B T BE T BE T BE T BE E T BE = - T BE (3ª Lei de Newton: Lei da acção e reacção P 1

De modo análogo para a massa m 2 tem-se: C T C T C T C = - T C (3ª Lei de Newton: Lei da acção e reacção P 2 O ponto C puxa, através da massa m 2, o ponto B com uma força T 2. Este reage com uma força T 2 aplicada no ponto C. De igual modo o ponto B puxa, através da massa m 1, o ponto C com uma força T 1. Este reage com uma força T 1 aplicada em B: B T 2 T 1 T 1 T 2 C Considerando T BC = T 2 + T 1 e T BC = T 2 + T 1 tem-se B T BC T BC C T BC = - T BC (3ª Lei de Newton: Lei da acção e reacção Colocando então todas as forças aplicadas no sistema em estudo obtém-se: A D 30 60 T AB 30 60 B C T BE T BE T BC T DC T BC E m 1 m 2 T C T C Y X P 1 P 2

Aplicando a condição de equilíbrio às massas m 1 e m 2 e aos pontos B e C chega-se a que: massa P1 P1 P2 P1 + TBE TBE massa TC m1 m2 + TC ponto TAB TAB ponto TDC TDC + TBE + TBC + P1 + TBC Utilizando o sistema de eixos XY indicados na figura os vários vectores são representados por: TAB TDC = TDC cos TBC ^ P1 = P1 j P2 = TAB cos ^ = TBC i ^ = P2 j ^ ( 30 i + T sen( 30 ^ ( 60 i + T sen( 60 DC A resolução conjunta destas quatro equações permite obter: TAB TBC TDC P2 = P1 sen 30 cos = P1 sen 30 ( sen( 30 ( 30 = m1 g ( cos( 30 ( cos( 60 ( 30 sen( 60 ( cos( 60 cos = P1 sen 30 = P1 sen 30 = m1 g AB ( 30 ( cos sen 30 1 2 ^ j m2 g = m ^ j = m1 g sen 30 B C + P2 TBC + TC + TBC Substituindo na equação 1 ( 30 ( TAB cos TABsen 30 + TBC P1 Substituindo na equação 2 TDC cos TDC sen ( 60 ( 60 cos( 30 ( cos( 60 cos( 30 sen( 60 1 g sen( 30 cos( 60 TBC P2 de onde se conclui que TAB = 1780N TBC = 1541N TDC = 3082N m2 = 272.4 kg

Método de resolução de problemas em dinâmica / estática 1. Decompôr o sistema em estudo em objectos individuais 2. Para cada objecto desenhar um diagrama de forças em que se representa vectorialmente todas as forças actantes nesse objecto. As forças devem ser identificadas com uma letra, mesmo que se conheça o seu valor. No processo de identificação é importante reconhecer os pares de forças actuantes em corpos diferentes de acordo com a 3ª Lei de Newton. 3. Escolher um sistema de eixos em relação ao qual é conveniente expressar as componentes das forças, velocidades e acelerações. Escolher um sistema de eixos inercial, ou seja, que não esteja centrado num corpo com aceleração. Poderá ser conveniente utilizar um sistema de eixos diferente para cada corpo. 4. Determinar as relações cinemáticas entre os vários corpos que compõem o sistema em estudo. 5. Escrever a expressão da 2ª lei de Newton para cada corpo. Decompôr a equação vectorial resultante em componentes no sistema de eixos escolhido. Adicionar as relações entre as acelerações dos vários corpos que resultam das relações cinemáticas obtidas no passo 4. 6. Identificar o número de variáveis. Garantir que é igual ao número de equações. Exemplos: Plano inclinado com atrito α R P at O corpo desce logo a força de atrito é para cima ao longo do plano inclinado A força de contacto é normal à superfície É conveniente colocar um dos eixos na direcção do movimento y α R x P at A 2ªlei de Newton é então dada por: R + P + at E usando o sistema de eixos indicado na figura tem-se: (x Psen( α at = max = ma (y P cos( α + R = may com at = µ cr a = g sen( α µ c cos( α chega-se a que [ ]

1 - Determine a relação entre as massas para que o sistema esteja em equilíbrio. y y A y 2 y B m 2 A B Corpo 2 Roldana fixa A T 2 m 2 P 2 T2 + P2 T2 P2 T2 = m2g A T 2 T 2 T 2 P A Roldana móvel B Corpo 1 3T2 + PA + T3 3T2 PA + T3 T3 = (3m2 + ma g T3 = (3m2 + ma g y 1 m 1 T 2 T B 2 T 1 P B 2T2 + T1 + PB 2T2 T1 + PB T1 = 2T2 + mbg T1 = (2m2 + mb g T 1 m 1 P 1 T1 + P1 T1 P1 T1 = m1g Usualmente despreza-se a massa das roldanas m1 = 2m2 + mb mb 0 m1 = 2m2 2 Considere agora que o sistema não está em equilíbrio e determine as acelerações dos corpos 1 e 2 Aplicando a 2ª Lei de Newton obtém-se as seguintes equações para a coordenada das várias forças e acelerações no eixo representado na figura. T2 P2 = m2a2 3T2 PA + T3 2T2 T1 PB = mbab T1 P1 = m1a 1

Uma vez que os vários corpos estão ligados o seu movimento não é independente sendo necessário determinar as relações entre as suas acelerações: A ligaçao entre o corpo 1 e a roldana móvel B ocorre directamente através de um fio inextensível. Assim os deslocamentos destes dois corpos são iguais e logo v B = v 1 a B = a 1 A ligação entre a roldana móvel B e o corpo 2 não é directa. É então necessário relacionar os deslocamentos destes dois objectos: (y a - y 2 +2(y a - y R = L em que L se relaciona com o tamanho do fio 3y a - y 2-2y R = L derivando em ordem ao tempo e considerando que o fio é inextensível temse: - v 2-2v R <=> v 2 = -2v R = -2v 1 e a 2 = -2a 1 Novamente desprezando a massa da roldana B chega-se ao seguinte conjunto de 6 equações a 6 incógnitas (T 1, T 2, T 3, a B, a 1 e a 2 : T2 P2 = m2a2 3T2 PA + T3 2T2 T1 T1 P1 = m1a 1 a B = a1 a2 = 2a1 cuja resolução permite obter: 2m m a 2 1 1 = g 4m2 + m1 a2 2m1 4m = 2 g 4m2 + m1