Capítulo 6: Transformações Lineares e Matrizes

6 Livro: Introdução à Álgebra Linear Autores: Abramo Hefez Cecília de Souza Fernandez Capítulo 6: Transformações Lineares e Matrizes Sumário 1 Matriz de uma Transformação Linear....... 151 2 Operações com Transformações Lineares e Matrizes........................... 158 3 Operadores Lineares em R 2 e em R 3........ 163 4 Mudança de Base e Matrizes Semelhantes.... 171 150

1. MATRIZ DE UMA TRANSFORMAÇÃO LINEAR 151 Neste capítulo, mostramos como associar matrizes a transformações lineares, reduzindo as operações com transformações lineares a operações com matrizes, o que permite ganhar computabilidade. 1 Matriz de uma Transformação Linear Nesta seção, veremos que se V e W são espaços vetoriais de dimensão nita, com bases xadas, então uma transformação linear T : V W pode ser representada por uma matriz. A vantagem de uma tal representação é que muitos problemas associados às transformações lineares entre espaços de dimensão nita podem ser resolvidos com a teoria das matrizes, como veremos na próxima seção e nos capítulos a seguir. Seja T : V W uma transformação linear, em que dim V =n e dim W =m. Sejam α = {v 1, v 2,..., v n } e β = {w 1, w 2,..., w m } bases de V e W, respectivamente. Como β é uma base de W, podemos determinar de modo único números reais a ij, com 1 i n, 1 j m, tais que T (v i ) = a 1i w 1 + + a ji w j + + a mi w m. (1) Tomemos agora v em V. Temos que v = k 1 v 1 + + k n v n, em que k i R para 1 i n. Pela linearidade de T e por (1), segue que T (v) = k 1 T (v 1 ) + + k n T (v n ) = k 1 (a 11 w 1 + + a m1 w m ) + + k n (a 1n w 1 + + a mn w m ) = (a 11 k 1 + + a 1n k n )w 1 + + (a m1 k 1 + + a mn k n )w m. Logo, [T (v)] β = a 11 k 1 + + a 1n k n. a m1 k 1 + + a mn k n a 11 a 1n k 1 =... = [T ] α β [v] α, (2) a m1 a mn k n

152 CAPÍTULO 6. TRANSFORMAÇÕES LINEARES E MATRIZES onde denimos [T ] α β = a 11 a 1n... a m1 a mn A matriz [T ] α β, que representa T em relação às bases α e β, é chamada a matriz de T nas bases α e β. Por (2), temos a expressão [T (v)] β = [T ] α β [v] α para todo v em V. (3) Observemos que [T ] α β é uma matriz de ordem m n tal que, para cada 1 i n, a i-ésima coluna de [T ] α β é dada pelas coordenadas de T (v i) na base β. Exemplo 1. Sejam α = {(1, 1), (0, 2)} e β = {(1, 0, 1), (0, 1, 0), (1, 2, 0)}, bases de R 2 e R 3, respectivamente. dada por T (x, y) = (2x, x y, 2y). Calculemos [T ] α β, onde T : R2 R 3 é Como T é uma transformação linear de R 2 em R 3, [T ] α β 3 2, digamos a 11 a 12 [T ] α β = a 21 a 22. a 31 a 32 é uma matriz Pelo que vimos, a 11, a 21 e a 31 são as coordenadas de T (1, 1) na base β e a 12, a 22 e a 32 são as coordenadas de T (0, 2) na base β. Ou seja, T (1, 1) = (2, 0, 2) = a 11 (1, 0, 1) + a 21 (0, 1, 0) + a 31 (1, 2, 0) e T (0, 2) = (0, 2, 4) = a 12 (1, 0, 1) + a 22 (0, 1, 0) + a 32 (1, 2, 0). Equivalentemente, a 11 + a 31 = 2 a 21 + 2a 31 = 0 a 11 = 2 e a 12 + a 32 = 0 a 22 + 2a 32 = 2 a 12 = 4.

1. MATRIZ DE UMA TRANSFORMAÇÃO LINEAR 153 Resolvendo os sistemas lineares acima, obtemos a 11 = 2, a 21 = 0, a 31 = 0, a 12 = 4, a 22 = 6 e a 32 = 4. Portanto, 2 4 [T ] α β = 0 6. 0 4 No exemplo anterior, determinamos [T ] α β a partir da transformação linear T. No próximo exemplo, vamos considerar o problema inverso: dada a matriz [T ] α β, determinar T a partir desta matriz. Exemplo 2. Sejam α e β as bases dadas no Exemplo 1. Determine a transformação linear T : R 2 R 3 tal que 1 0 [T ] α β = 1 2. 0 1 Para determinar T usaremos a expressão (3). Assim, computemos inicialmente [v] α. Ora, se (x, y) R 2, então ( ) y x (x, y) = x(1, 1) + (0, 2), 2 o que nos dá [(x, y)] α = x y x. 2 Portanto, 1 0 [T (x, y)] β = 1 2 x x y x = y y x 0 1 2 2 e, consequentemente,

154 CAPÍTULO 6. TRANSFORMAÇÕES LINEARES E MATRIZES ( ) y x T (x, y) = x(1, 0, 1) + y(0, 1, 0) + (1, 2, 0) 2 ( ) y + x =, 2y x, x. 2 O Exemplo 2 pode ser resolvido por um outro método. De fato, sabemos que, na base β, a primeira coluna de [T ] α β nos dá as coordenadas de T (1, 1) e a segunda coluna nos dá as coordenadas de T (0, 2). Assim, T (1, 1) = 1(1, 0, 1) + 1(0, 1, 0) + 0 (1, 2, 0) = (1, 1, 1) e T (0, 2) = 0 (1, 0, 1) + 2(0, 1, 0) + 1(1, 2, 0) = (1, 4, 0). Para (x, y) R 2 arbitrário, temos ( ) y x (x, y) = x(1, 1) + (0, 2). 2 Agora, pela linearidade de T, segue que ( ) y x T (x, y) = x(1, 1, 1) + (1, 4, 0) 2 ( ) y + x =, 2y x, x, 2 como encontrado anteriormente. Quando a transformação linear for de um espaço vetorial V nele mesmo, ela será chamada de operador em V. Exemplo 3. Consideremos o operador identidade em um espaço vetorial V ; isto é, o operador denido por I V (v) = v para todo v V. Tem-se que [I V ] α α é a matriz identidade de ordem n. De fato, para cada 1 j n, a j-ésima coluna de [I V ] α α é dada pelas coordenadas de I V (v j ) na base α. Mas, para cada 1 j n, I V (v j ) = v j = 0v 1 + + 0v j 1 + 1v j + 0v j+1 + + 0v n,

1. MATRIZ DE UMA TRANSFORMAÇÃO LINEAR 155 o que implica que [I V ] α α é a matriz identidade de ordem n: 1 0 0 0 0 0 [I V ] α... α =. 0 1 0... 0 0 1 coordenadas coordenadas coordenadas de I V (v 1 ) de I V (v j ) de I V (v n ) na base α na base α na base α Seja T : V W uma transformação linear entre espaços vetoriais de dimensão nita. Vimos que, uma vez xadas bases α e β de V e W, respectivamente, existe uma única matriz [T ] α β que representa T nessas bases. Uma pergunta natural é o que ocorre com a matriz [T ] α β se diferentes bases são escolhidas. Consideremos a transformação linear dada no Exemplo 1. Se α e β são as bases canônicas de R 2 e R 3, respectivamente, então 2 0 [T ] α β = 1 1. 0 2 Assim, podemos ter matrizes diferentes representando uma mesma transformação linear. Isto deixa bastante claro que, embora uma transformação linear T : V W não dependa de bases particulares escolhidas para V e W, a matriz associada depende dessas bases. Terminamos esta seção observando que escolhidas bases quaisquer α e β de R n e R m, respectivamente, uma matriz A M(m, n) dene uma transformação linear T : R n R m como segue: [T (v)] β = A [v] α, v R n.

156 CAPÍTULO 6. TRANSFORMAÇÕES LINEARES E MATRIZES Mais ainda, tem-se que [T ] α β = A (veja Problema 1.2). Em particular, se α e β são as bases canônicas de R n e R m, respectivamente, então a transformação linear T é chamada transformação multiplicação por A, sendo representada por T A. Exemplo 4. Seja A = [a ij ] uma matriz de ordem m n. Temos que a 11 a 12... a 1n x 1 a T A (x 1,..., x n ) = 21 a 22... a 2n x 2.... a m1 a m2... a mn x n = a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n. a m1 x 1 + a m2 x 2 + + a mn x n = x 1 w 1 + x 2 w 2 + + x n w n, onde w 1,..., w n são os vetores colunas da matriz A. Assim, temos que Im T A é o subespaço de R m gerado pelas colunas da matriz A, chamado espaço coluna de A e denotado por C(A). Por outro lado, o núcleo Ker T A de T A é o conjunto solução S h (A) do sistema linear homogêneo AX = 0. Problemas 1.1 Dadas duas transformações lineares T, T : V W e bases α e β de V e W, respectivamente, mostre que se [T ] α β = [T ] α β, então T = T. 1.2* Sejam dados dois espaços vetoriais V e W de dimensões n e m, respectivamente. Seja α uma base de V e β uma base de W. Dada uma matriz A M(m, n), considere a função T : V W denida por [T (v)] β = A[v] α, v V.

1. MATRIZ DE UMA TRANSFORMAÇÃO LINEAR 157 Mostre que: (a) T é uma transformação linear; (b) [T ] α β = A. 1.3 Sejam A e B matrizes em M(m, n) e β uma base de um espaço vetorial V. Mostre que se A[v] β = B[v] β para todo v V, então A = B. 1.4* Sejam T : R n R m uma transformação linear e α e β bases de R n e de R m, respectivamente. Se r é o posto da matriz [T ] α β, mostre que dim Im T = r e dim Ker T = n r. 1.5 Dadas as bases α = {(1, 1, 1), (0, 1, 0), (0, 1, 1)} de R 3 e β = {(1, 2), (0, 1)} de R 2, ache a transformação linear T : R 3 R 2 tal que [T ] α 1 0 2 β =. 1 1 1 1.6 Dado o operador linear T : R 3 R 3, T (x, y, z) = (x y, y x, x z), encontre [T ] α β, onde α é a base canônica de R3 e β = {(1, 0, 1), (0, 1, 1), (1, 1, 0)}. 1.7 Seja T : R 3 R 3 a multiplicação pela matriz 1 3 4 3 4 7. 2 2 0 (a) Mostre que Ker T é uma reta que passa pela origem e encontre as equações paramétricas desta reta. (b) Mostre que Im T é um plano que passa pela origem e encontre a equação cartesiana deste plano. 1.8 Dado o operador linear T (x, y, z) = (x 2y + z, x + 4y 2z, x) em R 3, com base α = {(1, 0, 1), (0, 1, 2), (1, 2, 0)}, encontre uma base β de R 3 tal

158 CAPÍTULO 6. TRANSFORMAÇÕES LINEARES E MATRIZES que 1 0 0 [T ] α β = 0 0 0. 0 0 1 1.9 Seja T : R[x] 2 R[x] 2 a transformação linear T (p(x)) = p(2x + 1) (veja Exemplo 6, Seção 1, Capítulo 5). Encontre [T ] β β em relação à base β = {1, x, x 2 }. 1.10 Suponha que V e W tenham dimensão nita. Mostre a matriz, em quaisquer bases de V e de W, da transformação nula 0: V W é a matriz nula. 1.11 Seja α = {v 1, v 2, v 3, v 4 } uma base de um espaço vetorial V. Encontre a matriz [T ] α α da transformação linear T : V V denida por T (v 1 ) = v 2, T (v 2 ) = v 3, T (v 3 ) = v 4 e T (v 4 ) = v 1. 1.12 Seja T : R 2 M(2, 2) a transformação linear denida por 1 2 [T ] α 1 0 β = 2 1 1 1 onde α e β são as bases canônicas de R 2 e M(2, 2), respectivamente. (a) Determine os vetores v R 2 tais que T (v) = I 2 ; (b) Determine T (3, 1). 2 Operações com Transformações Lineares e Matrizes Sejam T e T transformações lineares de V em W. Sejam α = {v 1,..., v n } e β = {w 1,..., w m } bases de V em W, respectivamente. Estamos interessados em vericar se existe alguma relação entre as matrizes [T + T ] α β, [T ]α β e

2. OPERAÇÕES COM TRANSFORMAÇÕES LINEARES E MATRIZES 159 [T ] α β. Notemos que se 1 j n, então [(T + T )(v j )] β = [T (v j ) + T (v j )] β = [T (v j )] β + [T (v j )] β, mostrando que a j-ésima coluna de [T + T ] α β é a soma da j-ésima coluna de [T ] α β com a j-ésima coluna de [T ]α β. Demonstramos assim o seguinte resultado: Proposição 6.2.1. Sejam T e T transformações lineares de V em W, onde V e W são espaços vetoriais de dimensão nita. Se α e β são bases de V e W, respectivamente, então [T + T ] α β = [T ] α β + [T ] α β. Deixamos como exercício para o leitor (veja Problema 2.3) demonstrar a próxima proposição, que é um resultado análogo ao anterior para a multiplicação por escalar de transformações lineares. Proposição 6.2.2. Seja T : V W uma transformação linear, onde V e W são espaços vetoriais de dimensão nita. Se α e β são bases de V e W, respectivamente, então onde k é um número real arbitrário. [kt ] α β = k[t ] α β, Decorre, das duas proposições acima, que [T +kt ] α β = [T ]α β +k[t ] α β, o que mostra, em virtude dos Problemas 1.1 e 1.2, da Seção 1, que dados espaços vetoriais V e W, de dimensões respectivamente, n e m, e xadas bases α de V e β de W, a aplicação L(V, W ) M(m, n) T [T ] α β é um isomorsmo de espaços vetoriais. Portanto, temos que dim L(V, W ) = dim M(m, n) = nm. No próximo resultado veremos que a composta de duas transformações lineares pode ser representada por um produto de matrizes. Esta é uma das principais razões da importância do estudo de matrizes.

160 CAPÍTULO 6. TRANSFORMAÇÕES LINEARES E MATRIZES Proposição 6.2.3. Sejam T : V W e S : W U transformações lineares, em que V, W e U são espaços vetoriais de dimensão nita. Se α, β e γ são bases de V, W e U, respectivamente, então [S T ] α γ = [S] β γ [T ] α β. (1) Demonstração Consideremos α = {v 1,..., v n }. Denotemos por C j (M) a j-ésima coluna de uma matriz M arbitrária. Se A e B são matrizes para as quais a matriz AB está denida, segue da denição de produto que C j (AB) = A C j (B). (2) Para demonstrar (1) basta provar que, para cada j, com 1 j n, tem-se que C j ([S T ] α γ ) = C j ([S] β γ [T ] α β ). Ora, xe um índice j. De (2), segue que C j ([S] β γ [T ] α β) = [S] β γ C j ([T ] α β) = [S] β γ [T (v j )] β. Por outro lado, de (3), da Seção 1, segue que C j ([S T ] α γ ) = [(S T )(v j )] γ = [S(T (v j ))] γ = [S] β γ [T (v j )] β, o que prova o desejado. Exemplo 1. Sejam T : R 2 R 3 e S : R 3 R 2 transformações lineares cujas matrizes são 1 0 [T ] α β = 2 1 e [S] β 1 0 1 γ =, 0 0 1 1 1 sendo α = {(1, 0), (1, 1)}, β = {(1, 1, 1), (1, 0, 1), (0, 0, 1)} e γ = {(1, 0), (0, 2)}. Vamos encontrar a transformação linear S T. Para determinarmos S T, vamos primeiramente determinar [S T ] α γ. Pela Proposição 6.2.3, 1 0 [S T ] α 1 0 1 0 1 γ = 2 1 =. 0 0 1 1 1 1 1

2. OPERAÇÕES COM TRANSFORMAÇÕES LINEARES E MATRIZES 161 Agora por (3), da Seção 1, temos que, para qualquer (x, y) R 2, 0 1 [(S T )(x, y)] γ = [(x, y)] α 1 1 0 1 x y = 1 1 y y = 2y x e, consequentemente, (S T )(x, y) = y(1, 0) + (2y x)(0, 2) = (y, 4y 2x). Vimos que se T é uma transformação linear bijetiva, T 1 é também uma transformação linear. O resultado a seguir, que é uma consequência da Proposição 6.2.3, nos apresenta uma relação entre as matrizes que representam T e T 1, quando xadas bases do domínio e do contradomínio de T. Teorema 6.2.4. Seja T : V W um isomorsmo, onde V e W são espaços vetoriais de dimensão nita. Se α é uma base de V e β é uma base de W, então [T 1 ] β α = ([T ] α β) 1. Demonstração Como T 1 é a inversa de T, temos que T 1 T é a função identidade em V, ou seja, T 1 T = I V. Pela Proposição 6.2.3, [I V ] α α = [T 1 T ] α α = [T 1 ] β α [T ] α β. (3) Se dim V = n, pelo Exemplo 3, da Seção 1, temos que [I V ] α α é a matriz identidade de ordem n. Assim, de (3), segue-se que [T ] α β é invertível e sua inversa é a matriz [T 1 ] β α. Corolário 6.2.5. Seja T : V W uma transformação linear, onde V e W são espaços vetoriais de mesma dimensão nita. Sejam α e β bases de V

162 CAPÍTULO 6. TRANSFORMAÇÕES LINEARES E MATRIZES e W, respectivamente. Temos que T é invertível se, e somente se, a matriz [T ] α β é invertível. Demonstração Uma implicação resulta de (3). A outra, do fato que a transformação linear L(V, W ) M(n, n), onde n = dim V = dim W, é sobrejetora e transforma composição de transformações lineares em produtos de matrizes. Exemplo 2. Seja T : R 2 R 2 a transformação linear dada por T (x, y) = (4x 3y, 2x + 2y). Vamos vericar que T é invertível e vamos encontrar T 1. Para vericarmos que T é invertível, podemos calcular Ker T e usar a Proposição 5.2.4, ou, ainda, podemos calcular [T ] α α, onde α é uma base qualquer de R 2, e usar o Corolário 6.2.5. Vamos aqui optar pelo segundo método. Ora, se α é a base canônica de R 2, então [T ] α 4 3 α =. 2 2 Utilizando a técnica exposta logo após a Proposição 2.1.7, podemos vericar que a matriz acima é invertível e a sua inversa é a matriz 1 3/2. 1 2 Portanto, devido ao Teorema 6.2.4, temos que [T 1 ] α α = ([T ] α α) 1 1 3/2 =. 1 2 A transformação linear T 1 é, então, determinada usando a fórmula (3) da Seção 1, como segue: [T 1 (x, y)] α = [T 1 ] α 1 3/2 x x + 3 α [(x, y)] α = = y 2, 1 2 y x + 2y

3. OPERADORES LINEARES EM R 2 E EM R 3 163 o que fornece Problemas 2.1 Sejam T 1 (x, y) = (x + 3 y, x + 2y). 2 1 0 1 1 1 1 A = 0 2 1 e B = 0 0 1. 0 0 1 1 2 0 Determine a transformação linear T : R 3 R 3 tal que T A = T B T. 2.2 Considere as matrizes 1 2 1 1 1 A = 0 1 e B = 1 0 0. 1 1 1 2 1 Determine: (a) Ker T A ; (b) Im T A ; (c) Ker T B ; (d) Im T B ; (e) Ker(T B T A ); (f) Im(T B T A ). 2.3 Prove a Proposição 6.2.2. 3 Operadores Lineares em R 2 e em R 3 Dentre os operadores lineares mais importantes em R 2 e em R 3 estão os que produzem reexões, projeções e rotações. A seguir, passamos a estudar alguns destes operadores. Reexões Consideremos o operador linear T : R 2 R 2, chamado de reexão em torno do eixo Ox, que transforma cada vetor v = (x, y) R 2 em sua imagem simétrica em relação ao eixo Ox. Figura 10 Se escrevermos w = T (v) = (w 1, w 2 ), obtemos as equações w 1 = x = 1x + 0y, w 2 = y = 0x 1y.

164 CAPÍTULO 6. TRANSFORMAÇÕES LINEARES E MATRIZES Assim, se α denota a base canônica de R 2, segue que 1 0 [T (v)] α = [v] α. 0 1 Em geral, os operadores lineares de R 2 ou de R 3 que levam cada vetor em seu simétrico em relação a alguma reta ou plano são chamados de reexões. Abaixo, apresentamos algumas das reexões mais comuns em R 2 e R 3. Fixamos a notação α para denotar a base canônica de R 2 ou de R 3.

3. OPERADORES LINEARES EM R 2 E EM R 3 165 Operador Equações Matriz [T ] α α Reexão em torno do eixo Oy { w 1 = x w 2 = y 1 0 0 1 Reexão em torno da reta y = x { w 1 w 2 = y = x 0 1 1 0 Reexão em torno do plano xoy Reexão em torno do plano yoz Reexão em torno do plano xoz w 1 = x w 2 = y w 3 = z w 1 = x w 2 = y = z w 3 w 1 = x w 2 = y = z w 3 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 Projeções Consideremos o operador linear T : R 2 R 2 que transforma cada vetor v = (x, y) R 2 em sua projeção ortogonal sobre o eixo Ox (Figura 11). Se escrevermos w = T (v) = (w 1, w 2 ), obteremos as equações w 1 = x = 1x + 0y, w 2 = 0 = 0x + 0y. Assim, se α denota a base canônica de R 2, temos 1 0 [T (v)] α = [v] α. 0 0 Figura 11 Em geral, uma projeção (ou, mais precisamente, uma projeção ortogonal ) de R 2 ou R 3 é um operador linear que transforma cada vetor em sua projeção

166 CAPÍTULO 6. TRANSFORMAÇÕES LINEARES E MATRIZES ortogonal sobre alguma reta ou algum plano que passa pela origem. A seguir, apresentamos algumas das projeções mais comuns. Operador Equações Matriz [T ] α α Projeção sobre o eixo Oy Projeção sobre o plano xoy Projeção sobre o plano yoz Projeção sobre o plano xoz { w 1 = 0 w 2 = y w 1 = x w 2 = y w 3 = 0 w 1 = 0 w 2 = y w 3 = z w 1 = x w 2 = 0 = z w 3 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 Rotações Consideremos o operador linear T : R 2 R 2 que gira cada vetor v = (x, y) R 2 de um ângulo xado θ (Figura 12). T é chamado de rotação por θ em R 2. Figura 12

3. OPERADORES LINEARES EM R 2 E EM R 3 167 Se escrevermos w = T (v) = (w 1, w 2 ), segue da trigonometria que x = r cos φ, y = r sen φ (1) e w 1 = r cos(θ + φ), w 2 = r sen(θ + φ), (2) onde r denota o comprimento de v e φ denota o ângulo entre v e o eixo Ox positivo no sentido anti-horário. Aplicando identidades trigonométricas em (2), temos { w 1 = r cos θ cos φ r sen θ sen φ w 2 = r sen θ cos φ + r cos θ sen φ. Substituindo (1) nas expressões acima, obtemos as equações { w 1 = x cos θ y sen θ w 2 = x sen θ + y cos θ. (3) Assim, se α denota a base canônica de R 2, obtemos [ ] cos θ sen θ [T (v)] α = [v] α. sen θ cos θ Em geral, uma rotação de vetores em R 3 é feita em relação a uma reta partindo da origem, chamada eixo de rotação. À medida que um vetor gira em torno do eixo de rotação, ele varre uma porção de um cone (Figura 13).

168 CAPÍTULO 6. TRANSFORMAÇÕES LINEARES E MATRIZES O ângulo de rotação, que é medido na base do cone, é descrito no sentido horário ou anti-horário em relação a um ponto de vista ao longo do eixo de rotação olhando para a origem. Por exemplo, na Figura 13, o vetor T (v) resulta da rotação no sentido anti-horário do vetor v em torno do eixo Ox por um ângulo θ. Assim como em R 2, os ângulos são positivos se gerados por rotações no sentido anti-horário e negativos se gerados por rotações no sentido horário. Figura 13 Na tabela a seguir, apresentamos as rotações em R 3 cujos eixos de rotação são os eixos coordenados.

3. OPERADORES LINEARES EM R 2 E EM R 3 169 Operador Equações Matriz [T ] α α Rotação anti-horária em torno do eixo Ox por um ângulo θ Rotação anti-horária em torno do eixo Oy por um ângulo θ Rotação anti-horária em torno do eixo Oz por um ângulo θ w 1 = x w 2 = y cos θ z sen θ w 3 = y sen θ + z cos θ w 1 = x cos θ + z sen θ w 2 = y w 3 = x sen θ + z cos θ w 1 = x cos θ y sen θ w 2 = x sen θ + y cos θ w 3 = z 1 0 0 0 cos θ sen θ 0 sen θ cos θ cos θ 0 sen θ 0 1 0 sen θ 0 cos θ cos θ sen θ 0 sen θ cos θ 0 0 0 1 Para cada uma das rotações na tabela acima, uma das componentes do vetor permanece inalterada durante a rotação e a relação entre as duas outras componentes pode ser deduzida da mesma forma que deduzimos (3). Sabemos que a multiplicação por escalar de um vetor em R 2 e em R 3, dependendo do valor do escalar, produz no vetor uma dilatação, contração ou inversão. Podemos representar estes efeitos geométricos por meio de operadores lineares. De fato, o operador linear T a : R 2 R 2, dado por T a (v) = av, em que a R e v R 2, dilata v, se a 1; contrai v, se 0 a < 1; inverte o sentido de v, se a < 0. No caso particular de a = 1, o operador T a é chamado reexão em torno da origem. O que acabamos de ver vale também para R 3 (Figura 14). Figura 14 Exemplo 1. Determinemos se T 1 T 2 = T 2 T 1, onde T 1 : R 2 R 2 é a projeção ortogonal sobre o eixo Ox e T 2 : R 2 R 2 é a projeção ortogonal sobre o eixo Oy. Como vimos na Seção 2, compor transformações lineares é equivalente a multiplicar as matrizes que representam estas transformações. Seja α a base

170 CAPÍTULO 6. TRANSFORMAÇÕES LINEARES E MATRIZES canônica de R 2. Como [T 1 ] α 1 0 α = 0 0 e [T 2 ] α 0 0 α =, 0 1 segue que T 1 T 2 é dada pelo produto 1 0 0 0 0 0 = 0 0 0 1 0 0 (4) e que T 2 T 1 é dada pelo produto 0 0 1 0 0 0 =. (5) 0 1 0 0 0 0 De (4) e (5), obtemos que T 1 T 2 e T 2 T 1 são o operador nulo em R 2. Portanto, T 1 T 2 = T 2 T 1. Problemas 3.1* Encontre a matriz na base canônica para a composição de uma rotação de 90 seguida de uma reexão em torno da reta y = x, em R 2. 3.2* Determine a inversa do operador linear em R 3 dado por uma reexão em torno do plano xoy. 3.3 Sejam T : R 2 R 2 a reexão em torno do eixo Oy e S : R 2 R 2 a reexão em torno do eixo Ox. Mostre que S T = T S.

4. MUDANÇA DE BASE E MATRIZES SEMELHANTES 171 3.4 Sejam T : R 2 R 2 a reexão em torno da reta y = x e S : R 2 R 2 a projeção ortogonal sobre o eixo Oy. Mostre que S T T S. 3.5 Mostre que se T : R 3 R 3 é uma projeção ortogonal sobre um dos eixos coordenados, então os vetores T (v) e v T (v) são ortogonais, para cada v em R 3. 3.6 Seja T : R 3 R 3 a projeção ortogonal sobre o plano xoy. Mostre que uma reta ortogonal ao plano xoy é levada por T a um mesmo ponto deste plano. 3.7 Determine a matriz na base canônica de T : R 2 R 2, em que (a) T dilata os vetores de R 2 por 3, em seguida reete estes vetores em torno da reta y = x e depois projeta estes vetores ortogonalmente sobre o eixo Oy; (b) T contrai os vetores de R 2 por 1, em seguida gira estes vetores pelo 2 ângulo π 4 e depois reete estes vetores em torno do eixo Ox. 4 Mudança de Base e Matrizes Semelhantes Um problema comum no estudo de espaços vetoriais de dimensão nita é conhecer as relações entre as coordenadas de um vetor em diferentes bases. Como a noção de base é a generalização para espaços vetoriais arbitrários da noção de sistemas de coordenadas em R 2 e R 3, mudar de base é análogo a mudar de eixos coordenados em R 2 ou R 3. Dado um espaço vetorial V arbitrário de dimensão nita e duas bases α e β de V, podemos obter uma relação entre as matrizes [v] α e [v] β de um vetor v em V, usando, para isto, o operador identidade em V. Com efeito, pela expressão (3) da Seção 1, para todo v V, temos que [v] β = [I V ] α β [v] α. (1) A matriz [I V ] α β é chamada matriz mudança de base de α para β, pois, pela igualdade (1), ela nos permite obter as coordenadas de um vetor v em V em relação à base β uma vez conhecidas suas coordenadas na base α.

172 CAPÍTULO 6. TRANSFORMAÇÕES LINEARES E MATRIZES Exemplo 1. Considerando a base canônica α de R 2 e a outra base β = {(1, 1), (1, 2)}, temos que [I R 2] α a 1 b 1 β =, a 2 b 2 onde a 1, a 2, b 1, b 2 são números reais satisfazendo o sistema de equações (1, 0) = a 1 (1, 1) + a 2 (1, 2) (0, 1) = b 1 (1, 1) + b 2 (1, 2). Resolvendo as equações acima, obtemos a 1 = 2, a 2 = 1, b 1 = 1 e b 2 = 1. Portanto, [I R 2] α 2 1 β =. 1 1 Seja agora v = (x, y) em R 2. Se então [ x y [v] β = x y ] 2 1 x =, 1 1 y o que garante que x = 2x y e y = x + y são as coordenadas de v na base β. Ou seja, (x, y) = (2x y)(1, 1) + ( x + y)(1, 2). A Figura 15 ilustra como a determinação do par (2,3) em R 2 depende da base com a qual estamos trabalhando.,

4. MUDANÇA DE BASE E MATRIZES SEMELHANTES 173 Figura 15 O próximo resultado mostra que uma matriz mudança de base é invertível e que sua inversa também é uma matriz mudança de base. Teorema 6.4.1. Sejam α e β duas bases de um espaço de dimensão nita V. Temos que a matriz [I V ] α β é invertível e sua inversa é a matriz [I V ] β α. Ou seja, ([I V ] α β) 1 = [I V ] β α. Demonstração Como I V do Teorema 6.2.4. é um isomorsmo e I 1 V = I V, o resultado segue Sejam α e β duas bases de um espaço vetorial de dimensão nita V e T um operador linear em V. Com as matrizes mudança de base podemos obter uma relação entre as matrizes [T ] α α e [T ]β β. De fato, como T = I V T I V, segue, da Proposição 6.2.3, que [T ] α α = [I V T T V ] α α = [I V ] β α [T ] β β [I V ] α β, ou seja [T ] α α = [I V ] β α [T ] β β [I V ] α β. (2) No entanto, pelo Teorema 6.4.1, temos que [I V ] β α é a inversa de [I V ] α β. Assim, se denotarmos [I V ] α β por P, a equação (2) pode ser reescrita como [T ] α α = P 1 [T ] β β P.

174 CAPÍTULO 6. TRANSFORMAÇÕES LINEARES E MATRIZES Com isto, demonstramos o seguinte resultado: Teorema 6.4.2. Sejam α e β duas bases de um espaço vetorial de dimensão nita V. Se T é um operador linear em V, então onde P = [I V ] α β. [T ] α α = P 1 [T ] β β P, (3) A relação dada na expressão (3) é de tal importância que existe uma terminologia associada a ela. Sejam A e B matrizes quadradas de mesma ordem. Dizemos que B é semelhante a A, quando existir uma matriz invertível P tal que B = P 1 A P. É fácil vericar que se uma matriz B é semelhante a uma matriz A, então A também é semelhante a B. Assim, dizemos simplesmente que A e B são semelhantes. Por (3), temos que [T ] α α e [T ]β β Exemplo 2. Para vericar se as matrizes 5 2 1 2 A = e B = 8 3 0 1 são semelhantes. são semelhantes, devemos encontrar uma matriz invertível P tal que P A = BP. Se tal matriz P existir, ela necessariamente é uma matriz quadrada de ordem 2; digamos P = [ x z ] y. t Assim, [ x z ] [ y 5 2 1 2 x = t 8 3 0 1 z o que é equivalente ao sistema linear homogêneo 4x 8y 2z = 0 2x 4y 2t = 0 4z 8t = 0, ] y, t

4. MUDANÇA DE BASE E MATRIZES SEMELHANTES 175 que admite a solução não trivial (3, 1, 2, 1). invertível 3 1 P =, 2 1 Portanto, obtemos a matriz que satisfaz A = P 1 BP. Problemas 4.1 Sejam dadas as bases de R 2 α = {(1, 1), (0, 2)}, β = {(1, 2), (2, 1)} e γ = {(1, 0), (0, 1)}. (a) Determine I [ α ] R 2 β, I [ α ] R 2 γ, γ I R 2 β. (b) Se v = (4, 1), encontre [v] β usando uma matriz mudança de base. 4.2 ] α [ 1 Se I R 2 = 2 e β = {(3, 5), (1, 2)}, encontre a base α. β 4 11 4.3 β Determine I R 3, sabendo que α 0 1 0 α IR 3 = β 1 1 0. 1 1 1 4.4 Encontre três matrizes semelhantes à matriz 1 1. 1 2 4.5 Mostre que não são semelhantes as matrizes 3 1 1 2 e. 6 2 1 0 4.6 Sejam A e B matrizes semelhantes. Prove que: (a) A t e B t são semelhantes; (b) Se A e B são invertíveis, então A 1 e B 1 são semelhantes.

176 CAPÍTULO 6. TRANSFORMAÇÕES LINEARES E MATRIZES 4.7 Mostre que a semelhança de matrizes é uma relação de equivalência, ou seja: (i) A é semelhante a A; (ii) se A é semelhante a B, então B é semelhante a A; (iii) se A é semelhante a B e B a C, então A é semelhante a C. 4.8* Seja A = (a ij ) uma matriz quadrada de ordem n. Dene-se o traço de A como tr A = a 11 + + a nn. a) Mostre que tr: M(n, n) R é um funcional linear. b) Se A, B M(n, n), mostre que tr AB = tr BA. c) Seja T : V V um operador linear, onde V é um espaço n-dimensional, e seja α uma base de V. Dena tr T = tr[t ] α α. Mostre que esta denição independe da base de V escolhida; ou seja, se β é uma outra base de V, então tr[t ] α α = tr[t ] β β. Conclua que assim temos bem denido um funcional linear tr: L(V, V ) R, denido por T tr T.

Bibliograa [1] H. P. Bueno, Álgebra Linear, um segundo curso, Coleção Textos Universitários, SBM, 2006. [2] P. Halmos, Teoria Ingênua dos Conjuntos, Editora Ciência Moderna, 2001. [3] A. Hefez e M. L. T. Villela, Códigos Corretores de Erros, Coleção Matemática e Aplicações, IMPA, 2008. [4] A. Hefez e M. L. T. Villela, Números Complexos e Polinômios, Coleção PROFMAT, SBM, 2012. [5] V. J. Katz, A History of Mathematics - an Introduction, HarperCollins College Publishers, 1993. [6] S. Lang, Introduction to Linear Algebra, 2 nd edition, Undergraduate Texts in Mathematics, Springer, 1986. [7] E.L. Lima, Álgebra Linear, 3 a edição, Coleção Matemática Universitária, IMPA, 1998. [8] E.L. Lima, Geometria Analítica e Álgebra Linear, 2 a edição, Coleção Matemática Universitária, IMPA, 2010. 300