Curso de Aritmética Capítulo 1: Conjuntos Numéricos, Operações Básicas e Fatorações 1. A Base de Nosso Sistema Numérico Se observarmos a história, nós veremos que os primeiros números usados pelos humanos eram os números contáveis. Estes números podem ser escritos, na forma moderna, como: onde os três pontos finais significam "e assim por diante". Um tempo depois, descobriram que o zero poderia ser adicionado aos números contáveis, como: O zero é um elemento neutro. E a diferença de 3-3 tem uma resposta numérica: Se você insistir na subtração do problema =?
terá uma resposta; então você estará forçado a admitir números negativos no seu sistema matemático. Os números inteiros podem ser divididos em partes. É só imaginar um barril contendo vinho; se eu engarrafar, estarei dividindo o vinho do barril em partes. Admitirmos frações como parte do nosso sistema numérico nos facilita bastante. Se você quer a divisão do problema nós temos que obter uma resposta. Então admitir frações em nosso sistema matemático é um "bom negócio". Mas fazer aritmética com frações, multiplicar, dividir... pode ser cansativo. Sorte nossa termos calculadoras e o Maple para nos ajudar. Estas ferramentas podem converter números decimais em números fracionários e vice versa. 2. Outras Bases Numéricas Muitas culturas adaptaram o sistema decimal para a contagem. Várias nações em volta do mundo inventaram símbolos para os números de 1 até 9. Mas há exceções nessa regra: os romanos por vezes usavam grupos de 12, os babilônios tinham um sistema misto, trabalhavam, em parte, em grupos de 10 e de 60, e os maias usavam grupamentos de 20. O grupamento de 12 ainda sobrevive na língua inglesa. Nós temos um sistema decimal altamente desenvolvido. Mas outros grupamentos podem ser úteis para certas aplicações. Os computadores digitais da atualidade funcionam trocando informações de um computador para outro. Dispositivos que têm dois estados (on e off) são chamados de dispositivos binários. Então um sistema numérico com somente dois dígitos, 0 e 1, é uma escolha natural. Outras escolhas úteis são os grupos de dois. O sistema octal é baseado nos dígitos de 0 até 7 (três grupos de dois), e o hexadecimal, com os dígitos 0 até 15 (quatro grupos de dois), é muito comum nos computadores atuais. Todos esses sistemas têm um elemento em comum: o método de escrever números chamados de sistema posicional é a base de todos eles. 3. O Sistema Decimal Considere o número 1986. Como interpretaremos essa quantidade? Nossa notação posicional leva em conta que o numeral 1 está na posição do 1.000, o numeral 9 na posição do 900, o numeral 8 na posição do 80, e o 6 na sua mesma posição: ele é realmente 6, mas todos os outros devem ser multiplicados por uma potência de dez. Nós poderíamos escrever desta maneira: Agora, nós vamos interpretar um número binário. Por exemplo o número da seguinte forma: é escrito e interpretado Agora um problema: Converta o número octal 17362 para decimal. Solução: Ora,
O Maple possui um procedimento para converter número de uma base para outra. É muito simples: Usando o Maple para converter 17362 na base 8 para a base decimal, primeiramente faremos uma lista dos dígitos em octal na ordem inversa: [2,6,3,7,1], e usamos o comando convert para converter. (1) O Maple também dá a resposta escrita na ordem inversa. Podemos usar o comando dessa forma também: 7922 (2) Lembrando sempre que a base que o número se encontra é a última entrada do comando a a base a ser convertida é a segunda entrada. O melhor dessa forma é que podemos escrever o número na forma padrão, e não como uma lista invertida. 4-Frações Uma fração é definida como uma divisão entre dois inteiros. Os números então formados são também chamados de números racionais. A fração é da forma, onde e são inteiros e é um inteiro diferente de zero. O número p é chamado de numerador e o número q é o denominador da fração. Para somar ou subtrair frações, é necessário que elas possuam o mesmo denominador: Vimos que a fração pôde ser simplificada em uma fração irredutível. Isso pode e deve ser feito sempre que possível. Mas o problema é quando as frações não possuem o mesmo denominador. Devemos então seguir o seguinte passo-a-passo: Calcular o mmc dos denominadores; Encontrado o denominador comum, dividimos este pelo antigo e depois multiplicamos pelo numerador seu resultado; Efetuamos a operação de soma ou subtração;
No Maple, isso é feito de maneira automática: 1 5 6 5 (3) (4) Multiplicações de frações são feitas da seguinte forma: Multiplicamos os numeradores e multiplicamos os denominadores, simplificando no fim, se possível: Divisões são feitas da seguinte forma: Multiplicamos a fração de cima pelo inverso da fração de baixo (invertendo o numerador pelo denominador) e simplificamos no fim, se possível. No Maple, podemos trabalhar com frações de forma muito simples, inclusive com potências e raízes: Para introduzir potências, use o símbolo ^: 8 27 125 27 (5) (6) Para introduzir raízes quadradas, use o comando sqrt; Para introduzir qualquer outra raiz, use uma combinação de potências e raízes:
Assim, temos: (7) (8) Para transformar o resultado em um número decimal, use o comando evalf: 5-Números Reais 0.8164965809 (9) Um sistema numérico, que inclui somente os números inteiros, e todas as frações possíveis, não é suficiente para realizar cálculos matemáticos; Vimos um exemplo disso na parte de frações quando nos deparamos com uma raiz quadrada de um número que não é um quadrado perfeito, ou seja, não é o quadrado de um número natural. Quando calculamos a raiz quadrada de 2, temos a resposta: 1.4142135623730950488 (10) (11) Obtemos um número que não é um número decimal periódico, sendo portanto um número não racional ou irracional. Então precisamos de um conjunto numérico que contenha os números racionais e os irracionais; Este é o conjunto dos números reais, representado pelo símbolo =. Dentro deste conjunto estão todos os números racionais e os números que não podem ser expressos como frações, os chamados números irracionais. Vale lembrar que dentro do conjunto
números estão incluídos em um conjunto mais completo, o chamado conjunto dos números complexos. Para estudar e entender melhor os conjuntos numéricos, vamos usar o seguinte aplicativo que está incluído na seção de Aplicativos Matemáticos; Clique em Números Reais. 6-Fatorando Você sabe que ao multiplicar quaisquer dois números obteremos um terceiro número. Este número é chamado de produto. Agora considere o problema inverso: encontrar os dois números que ao serem multiplicados obteremos o número desejado. Para pequenos números você pode resolver este problema mentalmente. Tendo o número 15, os dois números são 3 e 5. Estes números são chamados de fatores de 15. Outros números, como o 30, pode ser fatorado por dois caminhos: 10 x 3, ou 6 x 5. Após examinar estas duas soluções, algum desses números podem ser expressos como fatores: 10 = 2 x 5 e 6 = 2 x 3. E nenhum desses números pode ser fatorado em números menores. No Maple, a função ifactor é usada para encontrar os fatores de qualquer inteiro. Exemplo: use o Maple para fatorar o número real 30 e o número 14400. (12) (13)