Capítulo 4: O Espaço Vetorial R 3

4 Livro: Introdução à Álgebra Linear Autores: Abramo Hefez Cecília de Souza Fernandez Capítulo 4: O Espaço Vetorial R 3 Sumário 1 Retas e Planos em R 3................. 93 1.1 Retas em R 3..................... 93 1.2 Planos em R 3..................... 99 2 Posições Relativas................... 107 3 Determinantes e Geometria............. 111 3.1 Determinantes.................... 111 3.2 O Produto Vetorial.................. 115 91

92 CAPÍTULO 4. O ESPAÇO VETORIAL R 3 Neste Capítulo, aplicaremos os conceitos vistos no capítulo anterior à Geometria Analítica em R 3. Mais precisamente, usaremos os conceitos de subespaço vetorial, base e dimensão para estudar as noções de retas e planos em R 3. Uma ferramenta essencial para o estudo da geometria em R 3 é a noção de produto escalar que introduziremos em seguida. Dados u = (x 1, x 2, x 3 ) e v = (y 1, y 2, y 3 ) em R 3, denimos o produto escalar de u e v, denotado por u v, como o número real u v = x 1 y 1 + x 2 y 2 + x 3 y 3. Por exemplo, (1, 2, 1) (0, 2, 1) = 1.0 + 2.2 + ( 1)(1) = 3. É fácil vericar que, para quaisquer u, v, w R 3 e a R, tem-se (i) u v = v u, (ii) u (v + w) = u v + u w, (iii) (au) v = u (av) = a(u v). Dados dois vetores u e v em R 3, dizemos que eles são ortogonais, e denotamos u v, quando u v = 0. O produto escalar é um caso particular de uma classe de produtos de- nidos em espaços vetoriais de dimensão qualquer, chamados de produtos internos, que serão estudados no Capítulo 7. A partir do produto escalar, podemos denir a norma de um vetor v = (x, y, z), como v = v v = x 2 + y 2 + z 2. Note que da denição segue-se imediatamente que v 0 e que v = 0 se, e somente se, v = 0. Geometricamente, a norma do vetor v representa a distância da origem de R 3 ao ponto de coordenadas (x, y, z), ou seja, é igual ao módulo do vetor v. Mostraremos a seguir como a noção de produto escalar permite também calcular o ângulo entre dois vetores em R 3.

1. RETAS E PLANOS EM R 3 93 Lembremos que o ângulo entre dois vetores não nulos u e v em R 3 é o ângulo θ formado por eles tal que 0 θ π (Figura 2). Figura 2 Aplicando a lei dos cossenos no triângulo da Figura 2, obtemos u v 2 = u 2 + v 2 2 u v cos θ. (1) Por outro lado, segue das propriedade (i), (ii) e (iii) do produto escalar que u v 2 = (u v) (u v) = u u u v v u + v v = u 2 2u v + v 2. (2) De (1) e (2), temos que cos θ = u v u v (3) 1 Retas e Planos em R 3 1.1 Retas em R 3 Seja v um vetor não nulo em R 3. Seja W o conjunto de todas as combinações lineares de v, ou seja, W = G(v) = {tv ; t R}.

94 CAPÍTULO 4. O ESPAÇO VETORIAL R 3 Geometricamente, W é o conjunto de todas as dilatações, contrações e inversões de v. (Figura 3). Figura 3 Tomemos A um ponto de R 3. direção v, e denotamos r(a, v), como o conjunto Denimos a reta que contém A e tem r(a, v) = {A + tv ; t R} = {A} + W. O vetor v é chamado de um vetor diretor da reta r(a, v). Notemos que, pelo Teorema 3.1.7, todo vetor não nulo em G(v) é um vetor diretor de r(a, v). Pela regra do paralelogramo, é fácil determinar r(a, v) geometricamente. De fato, a reta r(a, v) é determinada pelos vetores dados pela diagonal, que parte da origem, do paralelogramo formado pelos vetores v A e tv (t R) (Figura 4), sendo que v A é o vetor dado pelo ponto A. Figura 4 Observamos que G(v), v 0, é a reta que passa pela origem com direção v, ou seja, G(v) = r(0, v). Portanto, todo subespaço vetorial de R 3 de dimensão 1 é, geometricamente, uma reta que passa pela origem. Reciprocamente, uma reta que passa pela origem é o espaço gerado por um de seus vetores diretores e, consequentemente, é um subespaço vetorial de R 3 de dimensão 1. Assim, caracterizamos geometricamente todos os subespaços vetoriais de R 3 com dimensão 1: os

1. RETAS E PLANOS EM R 3 95 subespaços vetoriais de R 3 com dimensão 1 são as retas em R 3 que passam pela origem. A seguir apresentamos os diversos tipos de equações de uma reta em R 3. Seja r(a, v) uma reta em R 3. Tomemos P R 3. Temos que P r(a, v) quando P = A + tv para algum t R. A equação P = A + tv, t R, (1) é chamada equação vetorial da reta r(a, v). Escrevendo P = (x, y, z), A = (x 1, y 1, z 1 ) e v = (a, b, c), obtemos de (1) que (x, y, z) = (x 1, y 1, z 1 ) + t(a, b, c), t R, o que equivale às equações x = x 1 + ta, t R, t = y 1 + tb, t R, (2) z = z 1 + tc, t R. As equações em (2) são chamadas de equações paramétricas de r(a, v). Se a 0, b 0 e c 0, obtemos de (2) que ou seja, t = x x 1 a x x 1 a = y y 1 b = y y 1 b = z z 1 c, = z z 1 (3) c

96 CAPÍTULO 4. O ESPAÇO VETORIAL R 3 As equações em (3) são chamadas de equações simétricas da reta r(a, v). Podemos apresentar as equações em (3) de uma outra forma, explicitando as variáveis y e z e expressando-as em função de x. De fato, onde e onde y y 1 b z z 1 c = x x 1 a = x x 1 a y y 1 = b a (x x 1) y = mx + n, m = a b e n = b a x 1 + y 1, z z 1 = c a (x x 1) z = px + q, p = c a e q = c a x 1 + z 1. As equações { y = mx + n z = px + q, x R, (4) são chamadas de equações reduzidas da reta r(a, v). Observamos que em (4) a variável x aparece como variável independente. Se expressarmos as equações de forma que a variável independente seja y ou z, as equações obtidas são também chamadas de equações reduzidas. Exemplo 1. Encontremos as equações paramétricas da reta que tem como um vetor diretor v = (1, 0, 2) e que contém o ponto A = (2, 1, 3). Ora, as equações paramétricas da reta r(a, v) são x = 2 + t y = 1, z = 3 + 2t; t R. Exemplo 2. Determinemos a e b para que o ponto P = (1, a, b) pertença à reta de equações x = 2 + t y = 3 t, z = 1 + 2t; t R.

1. RETAS E PLANOS EM R 3 97 Para que P pertença à reta dada, as componentes de P devem satisfazer as equações acima, ou seja, devemos ter 1 = 2 + t a = 3 t, b = 1 + 2t, para algum t R. A solução procurada é então a = 0 e b = 5. Exemplo 3. Consideremos as retas r = r(a, v) e s = r(b, w), onde A = (0, 1, 0), B = (1, 0, 0), v = (1, 1, 2) e w = (2, 1, 3). Vamos vericar que r s =. Com efeito, se P = (x 0, y 0, z 0 ) r, então, para algum t 1 R, x 0 = t 1, y 0 = 1 t 1, z 0 = 2t 1. (5) E, se P = (x 0, y 0, z 0 ) s, então, para algum t 2 R, x 0 = 1 + 2t 2, y 0 = t 2, z 0 = 3t 2. (6) De (5) segue-se que P = (x 0, 1 x 0, 2x 0 ). E, de (6), segue-se que P = (x 0, x 0 1, 3(x 0 1) ). Assim, 2 2 1 x 0 = x 0 1 2 e 2x 0 = 2 3 (x 0 1), o que não ocorre para nenhum x 0 em R. Logo, não existe P r s, ou seja, r s =. Segue da denição de vetores colineares em um espaço vetorial sobre um corpo K, dada na Seção 1 do Capítulo 1, que dois vetores v 1 e v 2 em R 3 são colineares quando eles pertencem a uma mesma reta que passa pela origem. (Figura 5). Figura 5 Suponhamos que v 1 e v 2 pertençam à reta r(0, v). Então existem t 1 e t 2 em R tais que v 1 = t 1 v e v 2 = t 2 v. Se v 2 é o vetor nulo, {v 1, v 2 } é dependente. Se v 2 não é o vetor nulo, então t 2 é um número real não nulo. Assim, v 1 t 1 t 2 v 2 = 0,

98 CAPÍTULO 4. O ESPAÇO VETORIAL R 3 mostrando que {v 1, v 2 } é dependente. Reciprocamente, sejam w 1 e w 2 vetores não nulos em R 3. Se {w 1, w 2 } é um conjunto linearmente dependente, então existe t R tal que w 1 = tw 2. Logo, w 1 pertence a reta r(0, w 2 ). Portanto, o conceito v 1 e v 2 são linearmente dependentes (linguagem algébrica) e o conceito v 1 e v 2 são colineares (linguagem geométrica) são equivalentes. Ou seja, provamos o seguinte resultado. Proposição 4.1.1. Dois vetores v 1 e v 2 em R 3 são linearmente dependentes se, e somente se, v 1 e v 2 são colineares. Discutimos acima a noção de vetores colineares. Existe também a noção de pontos colineares. Diremos que três pontos distintos A, B, C R 3 são colineares se existir uma reta em R 3 que contenha os três pontos. Os dois conceitos se relacionam de acordo com o resultado a seguir. Proposição 4.1.2. Três pontos distintos A, B, C R 3 são colineares se, e somente se, os vetores v 1 = B A e v 2 = C A são colineares. Demonstração Suponhamos que A, B e C pertençam a uma mesma reta. Como por dois pontos distintos passa uma e somente uma reta (Problema 1.6), a reta de equação vetorial P = A + v 1 t, t R contém A e B. Como C pertence à mesma reta, existe t 0 R tal que C = A + v 1 t 0,

1. RETAS E PLANOS EM R 3 99 ou seja, v 2 = v 1 t 0, mostrando que v 1 e v 2 são colineares. Reciprocamente, suponhamos que v 1 e v 2 sejam colineares. Então, existe t 0 R tal que v 2 = t 0 v 1, ou seja C A = t 0 (B A). Considere a reta de equação vetorial P = A + t(b A), t R. Note que tomando t = 0, temos P = A e tomando t = 1, temos P = B. Assim, A e B pertencem à reta. Tomando t = t 0, temos P = A+t 0 (B A) = C. Portanto, A, B e C pertencem a uma mesma reta. Exemplo 4. Veriquemos que os pontos A = (2, 3, 1), B = (1, 4, 1) e C = (3, 2, 3) são colineares. Pelas Proposições 4.1.1 e 4.1.2, devemos vericar que os vetores v 1 = B A e v 2 = C A são linearmente dependentes. Temos que v 1 = ( 1, 1, 2) e v 2 = (1, 1, 2). Como v 1 + v 2 = 0, temos que v 1 e v 2 são linearmente dependentes. 1.2 Planos em R 3 Sejam v 1 e v 2 dois vetores linearmente independentes em R 3. Seja W o conjunto de todas as combinações lineares de v 1 e v 2, ou seja, W = G(v 1, v 2 ) = {sv 1 + tv 2 ; s, t R}. Tomemos A um ponto de R 3. Denimos o plano que passa por A determinado por v 1 e v 2, e o denotamos por π(a, v 1, v 2 ), como o conjunto π(a, v 1, v 2 ) = {A + sv 1 + tv 2 ; s, t R} = {A} + W. Os vetores v 1 e v 2 são chamados de vetores base do plano π(a, v 1, v 2 ) (ver Figura 6). Figura 6

100 CAPÍTULO 4. O ESPAÇO VETORIAL R 3 Notemos que, pelo Teorema 3.3.6, quaisquer dois vetores independentes w 1, w 2 em G(v 1, v 2 ) formam uma base de π(a, v 1, v 2 ), pois G(w 1, w 2 ) G(v 1, v 2 ) e as dimensões dos dois espaços são iguais. Observemos também que o espaço G(v 1, v 2 ) é o plano que passa pela origem determinado por v 1 e v 2, ou seja, G(v 1, v 2 ) = π(0, v 1, v 2 ). Portanto, todo subespaço vetorial de R 3 de dimensão 2 é, geometricamente, um plano que passa pela origem. Reciprocamente, um plano que passa pela origem é o espaço gerado por dois de seus vetores base e, consequentemente, é um subespaço vetorial de R 3 de dimensão 2. Assim, caracterizamos geometricamente todos os subespaços vetoriais de R 3 com dimensão 2: os subespaços vetoriais de R 3 com dimensão 2 são os planos em R 3 que passam pela origem. Tomemos W um subespaço vetorial de R 3. Pelo Teorema 3.3.6, segue que dim W 3. Pelo que acabamos de ver, temos a seguinte classicação dos subespaços W de R 3 : aspecto algébrico aspecto geométrico dim W = 0 W = {(0, 0, 0)} (origem do espaço) dim W = 1 W é uma reta que passa pela origem dim W = 2 W é um plano que passa pela origem dim W = 3 W = R 3 A seguir apresentamos a equação vetorial e as equações paramétricas de um plano em R 3. Seja π(a, v 1, v 2 ) um plano em R 3. Tomemos P R 3.

1. RETAS E PLANOS EM R 3 101 Temos que P π(a, v 1, v 2 ) se, e somente se, P = A + sv 1 + tv 2 para certos s, t R. A equação P = A + sv 1 + tv 2, s R e t R (1) é chamada equação vetorial do plano π(a, v 1, v 2 ). Escrevendo P = (x, y, z), A = (x 1, y 1, z 1 ), v 1 = (a 1, b 1, c 1 ) e v 2 = (a 2, b 2, c 2 ), obtemos de (1) que (x, y, z) = (x 1, y 1, z 1 ) + s(a 1, b 1, c 1 ) + t(a 2, b 2, c 2 ), s, t R, o que equivale às equações x = x 1 + sa 1 + ta 2, s, t R, y = y 1 + sb 1 + tb 2, s, t R, (2) z = z 1 + sc 1 + tc 2, s, t R. As equações em (2) são chamadas de equações paramétricas de π(a,v 1,v 2 ). Vamos apresentar agora a equação cartesiana ou equação geral de um plano. Antes, precisamos apresentar a noção de vetor normal a um plano. Chamamos de vetor normal ao plano π(a, v 1, v 2 ) a um vetor não nulo ortogonal aos vetores v 1 e v 2 (portanto, ortogonal a todo vetor do plano). Seja n um vetor normal ao plano π(a, v 1, v 2 ). Seja P = (x, y, z) um ponto de π(a, v 1, v 2 ). Denotemos por v o vetor dado por P A. Então, v = t 1 v 1 + t 2 v 2 para certos t 1, t 2 R. Como n v 1 e n v 2, temos que n v 1 = n v 2 = 0. Assim, n v = 0. Se A = (x 1, y 1, z 1 ) e n = (a, b, c), temos que n v = 0 equivale à equação (a, b, c) (x x 1, y y 1, z z 1 ) = 0, ou seja, ax + by + cz + d = 0, (3) onde d = ax 1 by 1 cz 1. A equação em (3) é chamada de equação geral ou cartesiana do plano π(a, v 1, v 2 ).

102 CAPÍTULO 4. O ESPAÇO VETORIAL R 3 Exemplo 5. Determinemos as equações cartesianas dos planos cartesianos xoy, yoz e xoz. Os vetores e 1 = (1, 0, 0) e e 2 = (0, 1, 0) são vetores base para o plano cartesiano xoy e o vetor e 3 é um vetor normal ao plano xoy. Como e 3 = (0, 0, 1), a equação z + d = 0x + 0y + 1 z + d = 0 é uma equação cartesiana do plano xoy, onde d é um número real a ser determinado. Como a origem pertence ao plano xoy, temos que d = 0 + d = 0. Assim, z = 0 é a equação cartesiana do plano xoy. As equações x = 0 e y = 0 são as equações cartesianas dos planos yoz e xoz, respectivamente. Pela denição, vimos que um plano ca determinado por um ponto A em R 3 e por dois vetores v 1 e v 2 em R 3 linearmente independentes. Existem outras maneiras de se determinar um plano. No resultado a seguir, vamos apresentar três outras maneiras de se determinar um plano em R 3.

1. RETAS E PLANOS EM R 3 103 Teorema 4.1.3. (i) Existe um único plano em R 3 que passa por um ponto A e tem um vetor não nulo n como vetor normal. (ii) Existe um único plano em R 3 que passa por três pontos A, B e C não colineares. (iii) Existe um único plano que passa por uma reta r e um ponto A fora de r. Demonstração Provaremos apenas o item (i), deixando os demais itens para o leitor (veja Problema 1.12). Seja A um ponto em R 3 e seja n um vetor não nulo. Consideremos W = {v R 3 ; v n = 0}. Como n é não nulo, W é um subespaço vetorial de R 3 de dimensão 2. Assim, podemos tomar dois vetores linearmente independentes em W, digamos, v 1 e v 2. O plano π(a, v 1, v 2 ) contém A e tem n como um vetor normal. Mais ainda, este plano é o único com tais propriedades. De fato, consideremos π(p, w 1, w 2 ) um plano que contém A e tem n como um vetor normal. Vejamos que π(p, w 1, w 2 ) = π(a, v 1, v 2 ). Tomemos Q em π(p, w 1, w 2 ). Então, existem l e m em R tais que Q = P + lw 1 + mw 2. (4) Como π(p, w 1, w 2 ) contém A, existem p e q em R tais que A = P + pw 1 + qw 2. (5) Tomando a diferença (4)-(5), obtemos que Q = A + rw 1 + sw 2 (6) com r e s em R. Como w 1, w 2 W, existem números reais a, b, c e d tais que { w 1 = av 1 + bv 2 w 2 = cv 1 + dv 2. (7)

104 CAPÍTULO 4. O ESPAÇO VETORIAL R 3 Finalmente, substituindo (7) em (6), obtemos Q = A + (ra + sc)v 1 + (rb + sd)v 2, ou seja, Q π(a, v 1, v 2 ). Mostramos assim que π(p, w 1, w 2 ) π(a, v 1, v 2 ). Deixamos para o leitor vericar a outra inclusão. Exemplo 6. Determinemos a equação cartesiana do plano que contém o ponto A = (1, 1, 1) e a reta r de equações paramétricas x = 2t, y = 3t, z = 1 + t; t R. Como A / r, pelo Teorema 4.1.3, existe um único plano π que contém A e r. Para determinarmos este plano, tome B r e v um vetor diretor da reta r; digamos B = (0, 0, 1) e v = (2, 3, 1). Considere w = B A = ( 1, 1, 0). O plano π(a, v, w) é o plano procurado. Note que aqui estamos dando uma ideia de como resolver parte do Problema 1.12, provando assim o item (iii) do Teorema 4.1.3. Figura 7 O vetor n = (1, 1, 1) é um vetor normal ao plano π, logo uma equação cartesiana deste plano é dada por x y + z + d = 0,

1. RETAS E PLANOS EM R 3 105 onde d é um número real a ser determinado. Como A π, segue que 1 1 + 1 + d = 0, ou seja, d = 1. Portanto, uma equação cartesiana de π é x y + z 1 = 0. Exemplo 7. Determinaremos a equação vetorial do plano que contém os pontos A = (1, 2, 3), B = (1, 1, 0) e C = (0, 2, 1). Como os vetores v 1 = B A = (0, 3, 3) e v 2 = C A = ( 1, 0, 2) são linearmente independentes, os pontos A, B e C não pertencem a uma mesma reta. Assim, pela parte (ii) do Teorema 4.1.3, existe um único plano π que contém os pontos A, B e C. Este plano é o plano π(a, v 1, v 2 ) (aqui estamos dando uma ideia de como resolver a outra parte do Problema 1.12, provando assim o item (ii) do Teorema 4.1.3), cuja equação vetorial é dada por P = A + tv 1 + sv 2, t, s R. Ou seja, (x, y, z) = (1, 2, 3) + t(0, 3, 3) + s( 1, 0, 2), t, s R. Note que para t = s = 0, obtemos (1, 2, 3) na equação acima. Para t = 1 e s = 0, obtemos (1, 1, 0). E, para t = 0 e s = 1, obtemos (0, 2, 1). Assim, π(a, v 1, v 2 ) contém os pontos A, B e C. Problemas 1.1 Mostre que se w é ortogonal a u e a v, então w é ortogonal a todo vetor de G(u, v). 1.2* Mostre que, em R 3, a dependência linear de três vetores pode ser descrita geometricamente como segue: Três vetores quaisquer u, v e w são dependentes se, e somente se, estão num mesmo plano que passa pela origem, ou seja, se eles são coplanares.

106 CAPÍTULO 4. O ESPAÇO VETORIAL R 3 Este exercício é uma versão da Proposição 4.1.1 para três vetores em R 3. 1.3* Determine a equação geral do plano que passa pelos pontos A = ( 1, 2, 0), B = (2, 1, 1) e C = ( 1, 1, 1). 1.4 Determine uma base para cada um dos seguintes subespaços de R 3 : (a) o plano 3x 4y z = 0; (b) a reta x = 2t, y = t, z = 3t; (c) o plano x y = 0. 1.5 As equações paramétricas de uma reta são x = 2 + 4t, y = t 4, z = 7 8t (t R). Reduzir estas equações à forma simétrica. 1.6 (Determinação de uma reta por dois pontos.) Sejam A e B dois pontos distintos em R 3. Mostre que a reta r(a, v), onde v é o vetor A B, é a única reta que contém A e B. 1.7 Determine as equações simétricas da reta que contém os pontos A = (2, 3, 0) e B = (0, 1, 2). 1.8 Determine as equações reduzidas, em função da variável z, da reta que passa pelos pontos A = ( 1, 0, 1) e B = (1, 3, 2). 1.9 Qual deve ser o valor de k para que os pontos A = (3, k, 1), B = (1, 1, 1) e C = ( 2, 10, 4) pertençam à mesma reta? 1.10 Represente gracamente os planos de equações: (a) x + y + z = 0; (b) z 2 = 0; (c) 2x + y + z 1 = 0. 1.11 Determine o valor de k para que os pontos A = (k, 1, 5), B = (7, 2, 1), C = ( 1, 3, 1) e D = (1, 0, 3) estejam no mesmo plano. 1.12 Conclua a demonstração do Teorema 4.1.3. 1.13 Determine as equações paramétricas do plano x 4 + y 3 + z 2 = 1.

2. POSIÇÕES RELATIVAS 107 1.14 Determine a equação do plano que passa pelo ponto (2, 1, 0) e contém a reta 2x y z + 4 = 0 x + 2y z + 3 = 0. 1.15 Determine os pontos de interseção dos planos coordenados xoy, yoz e xoz com a reta y = 2x 3 r : z = x + 2. 2 Posições Relativas Vejamos a seguir como os conceitos de base e dimensão podem ser aplicados no estudo sobre as posições relativas entre retas, retas e planos e planos em R 3. Antes precisamos lembrar que duas retas r 1 = r(a 1, v 1 ) e r 2 = r(a 2, v 2 ) em R 3 são ditas coplanares quando elas pertencem a um mesmo plano. Na linguagem algébrica, isto equivale a dizer que o conjunto de vetores {v, v 1, v 2 } é linearmente dependente, onde v denota o vetor A 2 A 1 (veja Problema 2.1). As retas r 1 e r 2 são ditas reversas quando não são coplanares. Se r 1 e r 2 são retas reversas, então r 1 r 2 =, ou seja, elas não se intersectam. No caso de r 1 e r 2 serem coplanares um e somente um dos casos abaixo pode ocorrer: 1) r 1 r 2 = ; 2) r 1 r 2 = {P }, onde P R 3 ; 3) r 1 r 2 = r 1 = r 2. Se 1) ocorre, ou seja, se r 1 e r 2 não se intersectam, r 1 e r 2 são ditas retas paralelas. Se 2) ocorre, ou seja, se r 1 e r 2 se intersectam em um único ponto de R 3, r 1 e r 2 são ditas retas concorrentes. Se 3) ocorre, ou seja, se a interseção coincide com as retas dadas, r 1 e r 2 são ditas retas coincidentes. Vejamos uma demonstração destes fatos.

108 CAPÍTULO 4. O ESPAÇO VETORIAL R 3 Proposição 4.2.1. (Posições relativas de duas retas coplanares) Sejam r 1 = r(a 1, v 1 ) e r 2 = r(a 2, v 2 ) duas retas coplanares em R 3. Então, r 1 e r 2 são paralelas ou r 1 e r 2 são concorrentes ou r 1 e r 2 são coincidentes. Demonstração Se r 1 r 2 =, as retas são paralelas e não temos nada a fazer. Suponhamos que r 1 r 2. Então existe P R 3 tal que P r 1 r 2. Logo, r 1 = {A 1 } + W 1 = {P } + W 1 e r 2 = {A 2 } + W 2 = {P } + W 2, onde W 1 = G(v 1 ) e W 2 = G(v 2 ). Daí, temos que r 1 r 2 = {P } + (W 1 W 2 ). (1) Como W 1 e W 2 são subespaços vetoriais de R 3, temos pela Proposição 3.1.3 que W 1 W 2 é um subespaço vetorial de W 1 e de W 2. Como dim W 1 = dim W 2 = 1, segue agora, pelo Teorema 3.3.6, que dim(w 1 W 2 ) 1. Temos, então, dois casos a considerar: Caso 1. dim(w 1 W 2 ) = 0. Neste caso, W 1 W 2 = {0}. Logo, por (1), segue que r 1 r 2 = {P }. Caso 2. dim(w 1 W 2 ) = 1. Pelo Teorema 3.3.6, segue neste caso que W 1 W 2 = W 1 = W 2 Logo, por (1), segue que r 1 r 2 = r 1 = r 2. Vejamos a seguir o que ocorre com dois planos em R 3. Proposição 4.2.2. (Posições relativas entre dois planos) Sejam dados dois planos π 1 = π(p 1, v 1, v 2 ) e π 2 = π(p 2, v 3, v 4 ) em R 3. Uma e somente uma das possibilidades a seguir pode ocorrer: 1) π 1 π 2 = ; 2) π 1 π 2 = r, onde r é uma reta em R 3 ; 3) π 1 π 2 = π 1 = π 2.

2. POSIÇÕES RELATIVAS 109 Se 1) ocorre, os planos são ditos paralelos. Se 2) ocorre, os planos são ditos concorrentes e, se 3) ocorre, os planos são ditos coincidentes. Demonstração Sejam π 1 = {P 1 } + W 1 e π 2 = {P 2 } + W 2, onde W 1 = G(v 1, v 2 ) e W 2 = G(v 3, v 4 ). Se π 1 π 2 =, nada temos a fazer. Suponhamos π 1 π 2. Tomemos P π 1 π 2. Então π 1 = {P 1 } + W 1 = {P } + W 1 e π 2 = {P 2 } + W 2 = {P } + W 2. Daí, temos que π 1 π 2 = {P } + (W 1 W 2 ). (2) Como W 1 W 2 é um subespaço vetorial de W 1, segue, pelo Teorema 3.3.6, que dim(w 1 W 2 ) dim W 1 = 2. Por outro lado, dim(w 1 W 2 ) 0, pois, caso contrário, teríamos, pelo Problema 3.16 do Capítulo 3, que 4 = dim W 1 + dim W 2 = dim(w 1 + W 2 ) dim R 3 = 3, o que é absurdo. Portanto, 0 < dim(w 1 W 2 ) 2. Se dim(w 1 W 2 ) = 2, então W 1 W 2 = W 1 = W 2. Neste caso, por (2), π 1 π 2 = {P } + W 1 = {P } + W 2 = π 1 = π 2. Se dim(w 1 W 2 ) = 1, então existe um vetor v não nulo em R 3 tal que W 1 W 2 = G(v). Seja r = r(p, v). Temos, então, neste caso que π 1 π 2 = {P } + G(v) = r. Terminamos esta seção, observando que, no caso de termos uma reta r e um plano π em R 3, pode ocorrer uma e apenas uma das possibilidades abaixo:

110 CAPÍTULO 4. O ESPAÇO VETORIAL R 3 1) r π = {P }, onde P é um ponto de R 3 ; 2) r π = ; 3) r π = r. Se 1) ocorre, dizemos que r e π são concorrentes; se 2) ocorre, r e π são ditos paralelos; e, se 3) ocorre, r está contida no plano π. A demonstração destes fatos segue de argumentos semelhantes aos usados nas Proposições 4.2.1 e 4.2.2 e é, portanto, omitida. Problemas 2.1* Sejam r 1 = r(a 1, v 1 ) e r 2 = r(a 2, v 2 ) duas retas em R 3. Seja v o vetor dado por A 2 A 1. As seguintes armações são equivalentes: (a) r 1 e r 2 são coplanares, ou seja, r 1 e r 2 pertencem a um mesmo plano; (b) o conjunto {v, v 1, v 2 } é linearmente dependente. 2.2* Estude a posição relativa das retas y = 2x 3 x = 1 36t r 1 : e r 2 : y = 4 6t z = x z = 3t. 2.3 Dê a posição relativa entre o plano 5x + 3y + 13z 1 = 0 e o plano 3x + 8y 3z + 8 = 0. 2.4 Verique se a reta x 1 = y 2 1 3 equação 4x 2y + 5z 20 = 0. = z 4 2 está contida no plano de 2.5 Dados os planos 2ax y + 4z + 2 = 0 e 4x + by + 8z + c = 0, determine a, b e c para que eles sejam coincidentes. 2.6 Dados os planos 4x 3ay + 6z 8 = 0 e 2x 6y + bz + 10 = 0, determine a e b para que sejam paralelos. 2.7 Para os dois planos a 1 x + b 1 y + c 1 z + d 1 = 0 e a 2 x + b 2 y + c 2 z + d 2 = 0, mostre que as seguintes relações são condições necessárias e sucientes para:

3. DETERMINANTES E GEOMETRIA 111 (a) Paralelismo: existe k 0 tal que a 1 = ka 2, b 1 = kb 2 e c 1 = kc 2 ; (b) Coincidência: existe k 0 tal que a 1 = ka 2, b 1 = kb 2, c 1 = kc 2 e d 1 = kd 2. 3 Determinantes e Geometria Nesta seção introduziremos os determinantes de matrizes 2 2 e 3 3, para posteriormente aplicá-los ao estudo da geometria em R 3. A noção mais geral de determinantes será estudada no Capítulo 8. Determinantes são funções muito especiais denidas nos espaços das matrizes quadradas com valores no corpo onde estão os coecientes da matriz. A utilidade dos determinantes é múltipla. Por exemplo, eles servem, como veremos no Capítulo 8, para dar um critério para invertibilidade de matrizes e um método para o cálculo da matriz inversa, caso a matriz seja invertível. Eles permitem dar fórmulas explícitas para as soluções de sistemas de equações lineares. Por meio deles, dene-se também a importante noção de polinômio característico de uma matriz, noção que desempenhará papel fundamental no Capítulo 9. O conceito de determinante aparece em vários outros contextos da Matemática. Por exemplo, em Geometria, ele aparece como a área de um paralelogramo e o volume de um paralelepípedo e, em Análise, ele está presente em teoremas importantes, como o Teorema da Função Inversa, o Teorema da Função Implícita e o Teorema de Mudança de Variáveis. Nesta seção estaremos interessados nas aplicações dos determinantes à geometria em R 3. 3.1 Determinantes No trabalho Um Tratado sobre Álgebra em Três Partes, de Colin Maclaurin (Escócia, 1698-1746), publicado em 1748, foi apresentado o que ele chamou de teorema geral, que era usado para resolver um sistema linear n n onde n 4. De fato, em seu trabalho nada foi mencionado sobre o caso em

112 CAPÍTULO 4. O ESPAÇO VETORIAL R 3 que n 5. O método apresentado por Maclaurin é conhecido hoje como Regra de Cramer, após o matemático Gabriel Cramer (Suíça, 1704-1752) ter utilizado os métodos de Maclaurin em seu livro sobre curvas algébricas em 1750. Dado um sistema linear 2 2 nas incógnitas x e y, digamos, ax + by = e cx + dy = f, sabemos do Problema 2.12 do Capítulo 2 que, se ad bc 0, as soluções são dadas pelas fórmulas x = ed fb ad bc, af ce y = ad bc. Vejamos agora a resolução de um sistema linear de três equações nas incógnitas x, y e z, digamos, ax + by + cz = m dx + ey + fz = n gx + hy + kz = p. Este sistema foi tratado por Maclaurin de modo análogo ao caso 2 2, notando que, se o número real aek ahf + dhc dbk + gbf gec é diferente de zero, então x = mek mfh + bfp bnk + cnh cep aek ahf + dhc dbk + gbf gec, (1) (2) e y = z = nak ncg + mfg mdk + pcd paf aek ahf + dhc dbk + gbf gec aep ahn + dhm dbp + gbn gem aek ahf + dhc dbk + gbf gec Maclaurin notou que, tal como no caso 2 2, cada uma das expressões acima tem o mesmo denominador, que consiste de somas alternadas de vários

3. DETERMINANTES E GEOMETRIA 113 produtos dos coecientes das incógnitas do sistema. Ele também notou que o numerador da expressão de cada uma das incógnitas consiste de somas alternadas de vários produtos dos coecientes das demais incógnitas e dos termos independentes do sistema. Os numeradores e os denominadores que apareceram nas soluções de Maclaurin são o que conhecemos hoje por determinantes. O termo determinante foi introduzido pela primeira vez por Gauss em 1801. Vamos agora sintetizar as soluções de Maclaurin, introduzindo os determinantes. Se A = [a ij ] é uma matriz 2 2, denimos o determinante da matriz A como [ ] a 11 a 12 det = a 11 a 22 a 21 a 12. (3) a 21 a 22 Se A = [a ij ] é uma matriz 3 3, denimos o determinante da matriz A como a 11 a 12 a 13 det a 21 a 22 a 23 = a 31 a 32 a 33 a 11 a 22 a 33 a 11 a 23 a 32 + a 13 a 21 a 32 a 12 a 21 a 33 + a 12 a 23 a 31 a 13 a 22 a 31. (4) Note que a expressão (4) do determinante de uma matriz quadrada A de ordem 3 pode ser escrita como [ ] [ ] [ ] a 22 a 23 a 21 a 23 a 21 a 22 det A = a 11 det a 12 det + a 13 det. (5) a 32 a 33 a 31 a 33 a 31 a 32 Voltando aos sistemas lineares, temos que, se [ ] a b det 0, c d

114 CAPÍTULO 4. O ESPAÇO VETORIAL R 3 então as soluções do sistema (1) podem ser escritas na forma [ ] ( [ ]) 1 [ ] ( [ e b a b a e a x = det det, y = det det f d c d c f c ]) 1 b. d Por outro lado, se a b c det d e f 0, g h k as soluções do sistema (2) podem ser escritas na forma: m b c a b c x = det n e f det d e f p h k g h k a m c a b c y = det d n f det d e f g p k g h k a b m a b c z = det d e n det d e f g h p g h k 1 1 1,,. A expressão do determinante em (3) é muito fácil de lembrar. Basta tomar o produto dos elementos da diagonal principal da matriz A e dele subtrair o produto dos elementos da outra diagonal. A expressão do determinante em (4) pode ser recuperada a partir da regra de Sarrus 1, muito utilizada no Regra Ensino demédio. Sarrus 1 2 0 Exemplo 1. Vamos calcular det 1 4 1. 2 1 1 1 Pierre Fréderic Sarrus (França, 1768-1861) cou conhecido na Matemática pela regra prática de resolução de determinantes de matrizes quadradas de ordem 3.

3. DETERMINANTES E GEOMETRIA 115 Pela regra de Sarrus, obtemos que 1 2 0 det 1 4 1 = 4 + 4 + 0 ( 2 + 1 + 0) = 10. 2 1 1 3.2 O Produto Vetorial Um outro produto que possui importantes aplicações geométricas é o produto vetorial em R 3. Trata-se de uma operação que a partir de dois vetores linearmente independentes em R 3, associa de modo natural um vetor ortogonal ao plano gerado por estes vetores. Sejam dados dois vetores u = (u 1, u 2, u 3 ) e v = (v 1, v 2, v 3 ) em R 3. Para que um vetor w = (x 1, x 2, x 3 ) seja tal que w u e w v, as suas coordenadas devem ser soluções do sistema { que podemos reescrever como w u = u 1 x 1 + u 2 x 2 + u 3 x 3 = 0 w v = v 1 x 1 + v 2 x 2 + v 3 x 3 = 0, { u 1 x 1 + u 2 x 2 = u 3 x 3 v 1 x 1 + v 2 x 2 = v 3 x 3. Como u e v são linearmente independentes, uma das expressões u i v j u j v i, para i, j = 1, 2, 3, i j, é não nula (cf. Problema 3.7). Podemos, sem perda (6)

116 CAPÍTULO 4. O ESPAÇO VETORIAL R 3 de generalidade, supor que u 1 v 2 u 2 v 1 0. Assim, o sistema acima se resolve pela fórmula do Problema 2.12 do Capítulo 2, como segue: x 1 = u 2v 3 u 3 v 2 u 1 v 2 u 2 v 1 x 3, x 2 = u 3v 1 u 1 v 3 u 1 v 2 u 2 v 1 x 3. Portanto, para todo x 3 R, o vetor ( u2 v 3 u 3 v 2 x 3, u ) 3v 1 u 1 v 3 x 3, x 3 u 1 v 2 u 2 v 1 u 1 v 2 u 2 v 1 é um vetor ortogonal a u e v. vetor Escolhendo x 3 = u 1 v 2 u 2 v 1, temos que o (u 2 v 3 u 3 v 2, u 3 v 1 u 1 v 3, u 1 v 2 u 2 v 1 ) é ortogonal a u e v, independentemente da hipótese u 1 v 2 u 2 v 1 0 que zemos. Isto motiva a seguinte denição: Dados os vetores u = (u 1, u 2, u 3 ) e v = (v 1, v 2, v 3 ) em R 3, o produto vetorial de u e v, denotado por u v, é o vetor de R 3 dado por Por exemplo, u v = (u 2 v 3 u 3 v 2, u 3 v 1 u 1 v 3, u 1 v 2 u 2 v 1 ). (1, 0, 0) (0, 1, 2) = (0.2 0.1, 1.2 + 0.0, 1.1 0.0) = (0, 2, 1). (1, 0, 0) (0, 1, 0) = (0, 0, 1). (0, 1, 0) (0, 0, 1) = (1, 0, 0). O produto vetorial possui as propriedades a seguir. Para quaisquer u, v, w R 3 e a R, tem-se que (i) u v = v u, (ii) u (v + w) = (u v) + (u w) (iii) (au) v = a(u v) = u (av), (iv) (u v) u e (u v) v.

3. DETERMINANTES E GEOMETRIA 117 Estas propriedades são facilmente vericadas e serão deixadas como exercícios para o leitor. Notemos que a expressão que dene o produto vetorial pode ser colocada em uma forma mais compacta com a ajuda dos determinantes. De fato, se considerarmos a matriz formal 3 3 e 1 e 2 e 3 A = x 1 x 2 x 3, y 1 y 2 y 3 onde {e 1, e 2, e 3 } é a base canônica de R 3 e (x 1, x 2, x 3 ), (y 1, y 2, y 3 ) R 3, e calcularmos o seu determinante utilizando a fórmula (4), vamos obter que seu determinante é precisamente o produto vetorial de u = (x 1, x 2, x 3 ) e v = (y 1, y 2, y 3 ). Note que esta expressão é apenas formal, desprovida de qualquer conteúdo, pois, em princípio, não faz sentido considerar o determinante de uma matriz onde os elementos da primeira linha são vetores e os elementos das demais linhas são números reais. Isto é um abuso de notação, que serve apenas para memorizar a denição de u v. Por exemplo, para calcularmos o produto vetorial de u = (2, 8, 3) e v = (0, 4, 3), escrevemos e 1 e 2 e 3 [ ] [ ] [ ] 8 3 2 3 2 8 u v = det 2 8 3 = det e 1 det e 2 + det 4 3 0 3 0 4 0 4 3 = 36e 1 6e 2 + 8e 3 = ( 36, 6, 8). A seguir, vamos apresentar duas identidades envolvendo o módulo do produto vetorial de dois vetores em R 3. Proposição 4.3.1. Sejam u e v dois vetores em R 3. Tem-se que : i) u v 2 = u 2 v 2 (u v) 2 ; ii) u v = u v sen θ, sendo θ o ângulo entre u e v, com u e v não nulos. e 3

118 CAPÍTULO 4. O ESPAÇO VETORIAL R 3 Demonstração (i): Sejam u = (x 1, y 1, z 1 ) e v = (x 2, y 2, z 2 ). Temos que [ ] [ ] [ ] y 1 z 1 x 1 z 1 x 1 y 1 u v = det e 1 det e 2 + det e 3. y 2 z 2 x 2 z 2 x 2 y 2 Logo, u v 2 = (y 1 z 2 z 1 y 2 ) 2 + ( x 1 z 2 + z 1 x 2 ) 2 + (x 1 y 2 y 1 x 2 ) 2. Por outro lado, u 2 v 2 = (x 2 1 + y1 2 + z1)(x 2 2 2 + y2 2 + z2) 2 e Assim, (u v) 2 = (x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2 ) 2. u v 2 = u 2 v 2 (u v) 2. (ii): Por (i), segue que u v 2 = u 2 v 2 ( u v cos θ) 2, uma vez que Portanto, mostrando que cos θ = u v u v. u v 2 = u 2 v 2 u 2 v 2 cos 2 θ = u 2 v 2 (1 cos 2 θ) = u 2 v 2 sen 2 θ, u v = u v senθ. A seguir, daremos a interpretação geométrica do módulo do produto vetorial de dois vetores. Sejam u e v dois vetores não nulos em R 3. Consideremos o paralelogramo ABCD determinado pelos vetores u e v, conforme a Figura 8, abaixo, onde h denota a altura do paralelogramo e θ é o ângulo entre os vetores u e v.

3. DETERMINANTES E GEOMETRIA 119 Figura 8 Sabemos da Geometria que Área ABCD = u h. Como h = v senθ, segue que Área ABCD = u senθ. Pela Proposição anterior, item (b), concluímos então que Área ABCD = u v. Pelo que vimos acima, temos o seguinte resultado: Proposição 4.3.2. O módulo do produto vetorial de dois vetores não nulos u e v em R 3 mede a área do paralelogramo determinado por estes vetores. Com um outro produto em R 3, podemos obter o volume do paralelepípedo determinado por três vetores não nulos. Este é o produto misto que vamos denir a seguir. Sejam u = (x 1, y 1, z 1 ), v = (x 2, y 2, z 2 ) e w = (x 3, y 3, z 3 ) três vetores em R 3. Chama-se produto misto dos vetores u, v e w ao número real (u, v, w) = u (v w). Pelas denições de produto escalar e produto vetorial em R 3, podemos vericar que x 1 y 1 z 1 u (v w) = det x 2 y 2 z 2. x 3 y 3 z 3

120 CAPÍTULO 4. O ESPAÇO VETORIAL R 3 Consideremos agora u, v e w três vetores não nulos em R 3. Chamemos de P o paralelepípedo determinado por estes vetores, conforme a gura abaixo: Figura 9 Na gura, h denota a altura do paralelepípedo e θ o ângulo entre u e v w. Como vimos anteriormente, v w é um vetor ortogonal aos vetores v e w. Assim, h = u cos θ. A área da base do paralelepípedo P é dada por v w. Portanto, se V denota o volume do paralelepípedo, obtemos V = v w u cos θ = u (v w) = (u, v, w). Assim, obtivemos o resultado a seguir: Proposição 4.3.3. O módulo do produto misto de três vetores não nulos u, v e w em R 3 mede o volume do paralelepípedo determinado por estes vetores. Problemas 3.1 Mostre que os determinantes de matrizes 2 2 possuem as seguintes propriedades:

3. DETERMINANTES E GEOMETRIA 121 a) Para todos a, b, c, c, d, d, t R, det [ a b c + tc d + td ] = det [ a c ] [ ] b a b + t det, d c d o mesmo valendo para a primeira linha; b) Para todos a, b R, [ ] 1 0 c) det = 1. 0 1 det [ a a ] b = 0; b 3.2 Mostre que uma função F : M(2, 2) R com as três propriedades acima é tal que F = det. 3.3 Mostre que os determinantes de matrizes 3 3 possuem as seguintes propriedades: a) Para todos a, b, c, d, e, f, g, g, h, h, k, k, t R, a b c a b c a b c det d e f = det d e f + t det d e f, g + tg h + th k + tk g h k g h k o mesmo valendo para as outras duas linhas; b) Para todos a, b, c, d, e, f, g, h, k R, a b c a b c a b c det a b c = det d e f = det d e f = 0, g h k a b c d e f 1 0 0 c) det 0 1 0 = 1. 0 0 1

122 CAPÍTULO 4. O ESPAÇO VETORIAL R 3 3.4 Mostre que, para quaisquer a, b, c e d em R, tem-se que sen a cos a sen (a + d) det sen b cos b sen (b + d) = 0. sen c cos c sen (c + d) 3.5 Determine x R para que x 2 x + 3 x 1 det 2 1 3 = 60. 3 2 1 3.6* Utilize o método de Maclaurin para determinar x e y em função de x e y, onde { x = x cos θ y sen θ y = x sen θ + y cos θ. 3.7 Mostre que dois vetores u = (u 1, u 2, u 3 ) e v = (v 1, v 2, v 3 ) em R 3 são linearmente independentes se, e somente se, um dos três determinantes abaixo é não nulo: [ ] [ ] [ ] u 1 u 2 u 1 u 3 u 2 u 3 det ; det ; det. v 1 v 2 v 1 v 3 v 2 v 3 Mostre que u v = 0 se, e somente se, u e v são colineares. 3.8 Calcule a área do paralelogramo que tem por lados os vetores u = (1, 3, 5) e v = (2, 1, 4). 3.9 Calcule o volume do paralelepípedo que tem por arestas os vetores u = (1, 3, 5), v = (2, 1, 4) e w = ( 2, 1, 3).

Bibliograa [1] H. P. Bueno, Álgebra Linear, um segundo curso, Coleção Textos Universitários, SBM, 2006. [2] P. Halmos, Teoria Ingênua dos Conjuntos, Editora Ciência Moderna, 2001. [3] A. Hefez e M. L. T. Villela, Códigos Corretores de Erros, Coleção Matemática e Aplicações, IMPA, 2008. [4] A. Hefez e M. L. T. Villela, Números Complexos e Polinômios, Coleção PROFMAT, SBM, 2012. [5] V. J. Katz, A History of Mathematics - an Introduction, HarperCollins College Publishers, 1993. [6] S. Lang, Introduction to Linear Algebra, 2 nd edition, Undergraduate Texts in Mathematics, Springer, 1986. [7] E.L. Lima, Álgebra Linear, 3 a edição, Coleção Matemática Universitária, IMPA, 1998. [8] E.L. Lima, Geometria Analítica e Álgebra Linear, 2 a edição, Coleção Matemática Universitária, IMPA, 2010. 300