Probabilidade II Aula 9

Coteúdo Probabilidade II Aula 9 Maio de 9 Môica Barros, D.Sc. Estatísticas de Ordem Distribuição do Máximo e Míimo de uma amostra Uiforme(,) Distribuição do Máximo e Míimo caso geral Distribuição das Estatísticas de Ordem Distribuição da Amplitude Estatísticas sticas de Ordem Sejam X, X,..., X um cojuto de variáveis iid (idepedetes e ideticamete distribuídas) com desidade (ou fução de probabilidade) f(x) e fução de distribuição acumulada x). Estatísticas sticas de Ordem Sejam: X () mí(x, X,..., X ), X () o. meor detre X, X,..., X,... X () máx(x, X,..., X ). Supoha que ordeamos X, X,..., X. X (), X (),..., X () são também variáveis aleatórias, e estamos iteressados em descobrir qual as suas distribuições. 3 4

Estatísticas sticas de Ordem Começamos este estudo pelas distribuições do míimo e do máximo. Exemplo Cosidere um cojuto de variáveis iid com a desidade Uif(,). A seguir fazemos uma simulação e, em seguida, obtemos a distribuição teórica correspodete aos dados simulados. A seguir geramos 5 cojutos destas variáveis. Isso os permite obter 5 valores míimos e 5 máximos (detre outras variáveis). 5 6 Exemplo Assim, a partir dos 5 valores gerados, podemos tetar iferir sobre a cara das distribuições do míimo e do máximo das amostras de variáveis Uif(,). Também, podemos calcular a Amplitude, defiida como o (máximo míimo), e teremos também uma aproximação para a distribuição teórica desta quatidade. 7 Exemplo Distribuição simulada do míimo Frequêcia.5 x 4 Histograma dos míimos.5.5...3.4.5.6.7.8 8

Exemplo Distribuição simulada do máximo.5 x 4 Histograma dos máximos Exemplo Distribuição simulada da amplitude 4 Histograma da amplitude Frequêcia.5 Frequêcia 8 6.5 4.4.5.6.7.8.9 9..3.4.5.6.7.8.9 Exemplo Estatísticas Descritivas MÍNIMO MÁXIMO AMPLITUDE umero de amostras simuladas 5 5 5 tamaho de cada amostra média amostral.9.993.883 mediaa amostral.668.938.838 desvio padrao.833.88.4 miimo.3583.54 máximo.78.9993 Dos gráficos fica claro que as distribuições do máximo, míimo e amplitude ão são Uif(,). Note também que a média dos 5 mil míimos gerados é.9, a mediaa.67. Veja as outras estatísticas descritivas... Exemplo Podemos também obter a fução de distribuição empírica dos dados simulados. A idéia por trás da costrução da fução de distribuição empírica é simples. Supoha que defiimos uma fução de probabilidade que associa o valor /N a cada um dos N valores observados.

Exemplo Exemplo distribuição empírica do míimom Neste caso, geramos N 5 míimos, por exemplo. Etão, podemos atribuir uma probabilidade /5 acada um destes míimos observados..9.8 Fucao de distribuição empírica do míimo A fução de distribuição empírica F* tem o aspecto de uma fução degrau, e é tal que F*(x) úmero de valores observados meores ou iguais a x dividido por N (N 5 aqui). Nos gráficos a seguir, a forma de degrau da fução de distribuição empírica ão fica evidete, pois foram gerados muitos valores e a fução se aproxima de uma fução cotíua. 3 Frequêcia Relativa.7.6.5.4.3.....3.4.5.6.7.8 Por exemplo, cerca de 6% dos valores míimos gerados estão abaixo de. 4 Exemplo distribuição empírica do máximom Exemplo distribuição empírica da amplitude Fucao de distribuição empírica do máximo Fucao de distribuição empírica da amplitude.9.9.8.8.7.7 Frequêcia Relativa.6.5.4.3 Frequêcia Relativa.6.5.4.3.....4.5.6.7.8.9..3.4.5.6.7.8.9 5 6

Exemplo Uma questão que deve ser ivestigada é: Como o tamaho da amostra Uiforme iflui estes resultados? Parece ituitivo que, se partimos de uma amostra grade, o míimo da amostra deve estar mais próximo de zero que se usarmos uma amostra pequea. Aalogamete, para uma amostra grade, o máximo deve estar mais perto de um que uma amostra pequea. Exemplo Para verificar estas cojecturas, repetimos o experimeto do Exemplo, mas agora geramos 5 amostras de tamaho 5 da Uiforme(,), ao ivés de amostras de tamaho, como foi feito o exemplo aterior. Os resultados das simulações seguem os próximos slides. 7 8 Exemplo Distribuição simulada do míimo Frequêcia.5.5.5 3 x 4 Histograma dos míimos Compare com o gráfico do slide 8. Que difereças você ota?.5..5..5 9 Exemplo Distribuição simulada do máximo Frequêcia.5.5.5 3 x 4 Histograma dos máximos.75.8.85.9.95 Compare com a figura do slide 9

Exemplo Distribuição simulada da amplitude Frequêcia 8 6 4 8 6 4 Histograma da amplitude.7.75.8.85.9.95 Compare com a figura do slide Exemplo distribuição empírica do míimom Frequêcia Relativa.9.8.7.6.5.4.3.. Fucao de distribuição empírica do míimo.5..5..5 Compare com a figura do slide 4 Por exemplo, quase % dos valores míimos gerados estão abaixo de. Exemplo distribuição empírica do máximom Exemplo distribuição empírica da amplitude.9.8 Fucao de distribuição empírica do máximo Compare com a figura do slide 5.9.8 Fucao de distribuição empírica da amplitude Compare com a figura do slide 6 Frequêcia Relativa.7.6.5.4.3 Frequêcia Relativa.7.6.5.4.3.....75.8.85.9.95.7.75.8.85.9.95 3 4

Exemplo Estatísticas descritivas MÍNIMO MÁXIMO AMPLITUDE umero de amostras simuladas 5 5 5 tamaho de cada amostra 5 5 5 média amostral.95.983.968 mediaa amostral.38.986.9666 desvio padrao.89.93.68 miimo.7853.7387 máximo.7.9999 a média dos 5 mil míimos gerados é., a mediaa.4. Compare com as estatísticas descritivas do Exemplo. Exemplo Em resumo... O efeito do tamaho da amostra () Uiforme(,) é claro, como a comparação das as simulações revela. Quato maior o tamaho da amostra, mais perto de está o míimo da amostra, e mais perto de está o máximo da amostra. Que coclusões você tira acerca da amplitude? 5 6 Exemplo 3 O próximo passo é derivar aaliticamete as desidades do míimo e do máximo de uma amostra de tamaho da Uiforme(,). Qual a distribuição do míimo? Seja X () mí(x, X,..., X ) 7 Exemplo 3 Ecotraremos a desidade de X () através do método da fução de distribuição. Para isso, é bom recordar quem é a fução de distribuição de uma variável Uif(,). Se U tem desidade Uif(,) etão: Pr( U u se u < se u se u > 8

Exemplo 3 A fução de distribuição de X () é: ( X Pr( X > G ( Pr () () Pr ( X > u, X > u,..., X > Pela idepedêcia dos X i, esta última probabilidade pode ser escrita como o proto das probabilidades idiviais e etão: Exemplo 3 G ( Pr Pr G ( Pr ( X Pr( X > u, X > u,..., X > ( X > Pr( X >...Pr( X > () ( X Pr( X > Pr( X >...Pr( X > { Pr( X > } () Mas, os X i s são ideticamete distribuídos, e etão todos os termos o proto acima são iguais. Logo: Como os X i s são Uif(,), segue que Pr(X > -u. Logo: G ( () ( X { u} Pr 9 3 Exemplo 3 A desidade de X () é apeas a derivada da fução de distribuição: dg ( d { u} g ( + (. u ( { } ( ) { u } Γ Γ ( + ) ( ) Γ( ) ( para < u < Ou seja, X () tem desidade Beta(,). Em particular, sua média é /(+). u Exemplo 3 Do último slide, a depedêcia da desidade do míimo da amostra o tamaho da amostra deve ter ficado explícita. Note que, em particular, se tomarmos uma amostra de tamaho grade, a média dos X () se aproxima de zero. 3 3

Exemplo 3 Por exemplo, uma amostra de tamaho (vide exemplo ), o valor esperado de X () é /.99 Exemplo 3 Neste mesmo cotexto (amostra de tamaho da Uif(,)) qual a desidade do máximo? Numa amostra de tamaho 5 (vide exemplo ), a média de X () é /5.96 Compare estes valores com os ecotrados as simulações dos exemplos e. A fução de distribuição de X () é: G ( Pr ( X Pr( X u, X u,..., X ( ) Pr( X Pr( X...Pr( X { Pr( X } { } ( 33 34 Exemplo 3 A desidade de X () é: dg ( d g( Γ. u ( Γ { u } { u} ( + ) ( ) Γ( ) u ( para < u < Ou seja, X () é Beta(,). Em particular, E{X () } /(+) Exemplo 4 Os resultados ecotrados para o míimo e o máximo de uma amostra Uiforme(,) podem ser facilmete geeralizados para uma amostra de uma desidade f(x) qualquer. Sejam X, X,..., X um cojuto de variáveis CONTÍNUAS iid (idepedetes e ideticamete distribuídas) com desidade f(x) e fução de distribuição acumulada x). 35 36

Exemplo 4 Etão a fução de distribuição do míimo é: ( X Pr( X > Pr( X >...Pr( X > G ( Pr () { } E a desidade do míimo é: { { } } dg ( d d g ( ( ) { } +. f ( ( ) 37 Exemplo 4 Aalogamete, a fução de distribuição do máximo é: G ( Pr ( X Pr( X u, X u,..., X ( ) Pr( X Pr( X...Pr( X { Pr( X } { } E a desidade do máximo é: dg ( d g( { } d { } { } 38. f ( u ) Exemplo 5 Sejam X, X,..., X um cojuto de variáveis Expo(λ). Ecotre a desidade do míimo destas variáveis. Solução Lembre-se que a fução de distribuição dos X s é: x) exp(-λ.x) e etão x) exp(-λ.x) Exemplo 5 Dos resultados ateriores: g ( +. f ( λ. e λu λu λu ( ). λ. e { e } Assim, X() é Expoecial com parâmetro.λ 39 4

Distribuição das Estatísticas sticas de Ordem Teorema A desidade de X (k) a k-ésima estatística de ordem, é: f k ( x)! ( k )!( k)! { } x k k f ( x). F ( x) ) 4 Distribuição das Estatísticas sticas de Ordem Demostração Seja dx um úmero positivo pequeo. Etão: f ( x). dx Pr x X x dx ( ) k ( k ) + O eveto x X (k) x + dx ocorre se k- observações são meores que x, uma observação está em [x, x + dx] e k observações estão acima de x + dx. A probabilidade de qualquer sequêcia deste tipo é f(x).{x)} k-.{ x)} -k.dx e existem!/{(k-)!!(k)!} sequêcias deste tipo. 4 Distribuição das Estatísticas sticas de Ordem Do teorema aterior podemos descobrir facilmete quais são as distribuições de todas as estaísticas de ordem de uma amostra Uiforme(,), como idicado o próximo teorema. Distribuição Beta e relação com a Uiforme(,) Teorema Sejam X, X,..., X variáveis aleatórias idepedetes com desidade Uif(,). Seja X (k) a k-ésima estatística de ordem da amostra. Etão X (k) tem desidade Beta com parâmetros k e k +. 43 44

Exemplo 6 Um computador gera úmeros aleatórios uiformemete o itervalo (,). Calcule a probabilidade de que o meor destes úmeros será maior que.5. Solução Pelo teorema aterior, a desidade do meor dos úmeros é uma Beta com parâmetros e. Isto é, se Y deota este úmero temos: Exemplo 6 A desidade de Y é: ( ) Γ( ) ( ) Γ( )! ( ) ( ) ( ) ode <y< Γ.!9! 9 9 f y y y y y A probabilidade deste úmero exceder.5 é: 9 Pr ( Y >.5) ( y) dy.5 Faça a mudaça de variável: t - y dt - dy e se y.5, t.5 e se y, t. Logo:.5.5 9 9 Pr ( Y >.5) t ( dt ) t dt t (.5).977%.5 45 46 Distribuição Beta (para casa) Cosidere uma amostra de tamaho > 3 da desidade Uiforme(,). Calcule, como fução do tamaho da amostra, as seguites probabilidades: a) De que o maior úmero a amostra exceda.8; b) De que o meor úmero a amostra seja meor que.. c) Faça um gráfico das probabilidades os ítes a) e b) versus. Distribuição Beta (para casa) Um computador gera 6 úmeros aleatórios uiformemete distribuídos o itervalo (,). Calcule a probabilidade de que o meor destes úmeros será maior que.. Calcule o valor esperado do meor destes úmeros. Ecotre a desidade do o. meor destes úmeros e calcule a sua média e variâcia. Calcule a probabilidade de que o maior destes úmeros exceda.6. 47 48

Distribuição da Amplitude Para ecotrar a distribuição da amplitude é preciso achar a distribuição cojuta do míimo e do máximo. Supoha que (pois se < a amplitude é zero). Seja u v. Etão: Distribuição da Amplitude Pr(X () > x, X () y) Pr(x < X y, x < X y,..., x < X y) {Pr(x < X y)} { y) x) } Também: Pr(X () y) { y)} Assim a fução de distribuição cojuta de X () e X () é: 49 5 Distribuição da Amplitude F X () Pr, X ( x, y) Pr( X x X y) (), ( ) ( ) ( X y) Pr( X > x, X y) ( ) () ( ) { y) } { y) x) } A desidade cojuta de X () e X () é dada por: f X (), X ( ) ( x, y) + ( ) f ( x) f ( y) FX, (, ) () X x y ( ) x y { y) x) } para x y Distribuição da Amplitude A desidade cojuta é zero se x > y. A desidade da amplitude, R X () - X () é dada por uma ligeira modificação da desidade da soma: f r) ( ) se r < R ( f ( x) f ( r + x) { r + x) x) } dx se r > 5 5

Distribuição da Amplitude Exemplo 7 Podemos aplicar o resultado do slide aterior a uma amostra de tamaho da desidade Uif(,). A desidade da amplitude é: f R ( r) ( ) f ( r) ( ) r R r se r < ()() {( r + x) ( x) } ( -r) Γ Γ( + ) ( ) Γ( ) dx ( ). r r (- r) ( r) se < r < se < r < 53 Distribuição da Amplitude Exemplo 7 Ou seja, a amplitude R tem desidade Beta(-, ). Sua média é: E( R) + + Assim, quado o tamaho da amostra cresce, a amplitude se aproxima de. 54 Distribuição da Amplitude Exemplo 7 Assim, para uma amostra de tamaho da Uif(,), E(R) 9/.88. Na simulação do Exemplo, a média da distribuição simulada foi.883. Para uma amostra de tamaho 5 da Uif(,), E(R) 49/5.968, e ecotramos o Exemplo o mesmo valor como média amostral da distribuição simulada. 55