INSTITUTO SUPERIOR POLITÉCNICO DE VISEU ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA Estatística Aplicada Ano Lectivo 006/007 Ficha n.º4 1. Uma máquina de lavar roupa é vendida em 5 cores: Verde (A 1 ), Castanho (A ), Encarnado (A 3 ), Azul (A 4 ) e Branco (A 5 ) Num estudo de mercado para apreciar a popularidade das várias cores analisou-se uma amostra aleatória de 300 vendas recentes com o seguinte resultado: Cor A 1 A A 3 A 4 A 5 Total Frequências ervadas 88 65 5 40 55 300 Será de admitir que os consumidores não manifestam preferência por qualquer uma das cores? (Use α=0.05). A procura diária de um certo produto F foi, em 60 dias escolhidos ao acaso, a seguinte: N.º de unidades 0 1 3 4 5 6 7 8 9 procuradas N.º de dias 4 8 13 14 9 5 3 1 1 Será de admitir que tal procura segue uma distribuição de Poisson? (Use α=0.05) 3. Da produção de uma fábrica, seleccionaram-se 0 peças aleatoriamente e registou-se o comprimento de cada uma delas: 10.98 10.74 14.91 9.354 9.864 11.81 8.974 8.95 11.19 11.76 9.036 13.356 9.886 7.54 9.08 6.46 9.478 1.474 1.09 8.984 Serão os dados compatíveis com a hipótese de que se trata de uma amostra de uma população com distribuição N(10, )? (Use α=0.1) i) Utilize o teste de ajustamento do Qui-quadrado; ii) Utilize o teste Kolmogorov-Smirnov.
4. Numa Baía da Florida efectuaram-se 48 medições dos níveis de salinidade. Os valores obtidos aleatoriamente foram os seguintes: 46 53 58 60 60 49 59 48 46 78 37 58 46 46 47 48 4 50 63 48 6 49 47 36 40 39 61 43 53 4 59 60 5 34 40 36 67 44 40 40 56 51 51 35 47 53 49 50 Pesquise a hipótese dos valores da salinidade nessa Baía serem normalmente distribuídos, recorrendo aos seguintes testes: a) Teste de ajustamento do Qui-quadrado; (Use α=0.1) b) Teste de normalidade de Lilliefors. (Use α=0.01) 5. Nas corridas de cavalos é ponto de vista comum entre os apostadores que, numa pista circular, as chances são mais favoráveis a cavalos em determinadas posições (postos). O posto de um cavalo é a posição que lhe é atribuída na linha de partida. O posto 1 é o mais próximo do lado interno da pista e o posto 8 o mais afastado (numa corrida com 8 cavalos).registaramse as vitórias em 144 corridas escolhidas aleatoriamente, tendo-se obtido os seguintes resultados: Posto 1 3 4 5 6 7 8 Total N.º de vitórias 9 19 18 5 17 10 15 11 144 Usando um teste de hipótese apropriado diga se será de aceitar o ponto de vista dos apostadores? (Use α=0.01) 6. Uma pesquisa feita junto de 30 famílias, cada uma com cinco filhos, levou à distribuição abaixo representada. Tais resultados estão de acordo com a hipótese de igualdade de probabilidade de nascimento para ambos os sexos, ao nível de significância de 0.05? N.º de meninos 5 4 3 1 0 N.º de famílias 18 56 110 88 40 8 7. Realize um teste de ajustamento para verificar se a distribuição das alturas de 100 estudantes do sexo feminino, segue distribuição normal.(use α=0.05) Alturas 150-16 16-168 168-174 174-186 N.º de estudantes 16 40
8. Como resultado da verificação da qualidade de 00 caixas de latas de conserva, obteve-se a seguinte distribuição empírica (na 1ª linha indica-se o n.º de latas em más condições, em cada caixa, e na segunda o n.º de caixas que continha aquele n.º de latas): x i 0 1 3 4 n i 13 43 0 3 Verifique a hipótese de que a v. a., X, o n.º de latas em más condições por caixa, está distribuída segundo uma lei Poisson, para o nível de significância de 0.05. 9. Num determinado teste de inteligência, supõe-se que a pontuação obtida segue uma distribuição normal com média µ=100 e variância σ =5. Para uma amostra aleatória de 1000 pessoas que fizeram o teste, foram obtidas as seguintes pontuações: Pontuações [0,50[ [50,70[ [70,85[ [85,100[ [100,115[ [115,130[ [130,150[ [150,+ [ N.º de pessoas 6 8 114 360 344 10 0 8 Com base nestes dados teste a distribuição proposta ao nível se significância de 0.05. 10. Ao longo de 43 dias, registaram-se as chamadas telefónicas recebidas numa central e encontrou-se para o n.º de chamadas as seguintes frequências: N.º de chamadas telefónicas 0 1 3 4 5 6 7 N.º de dias 169 134 74 3 11 0 1 Ajuste as frequências ervadas a uma distribuição de Poisson. 11. Uma máquina embala pacotes de esparguete e foi recentemente calibrada de forma a que o peso de um pacote de esparguete fosse normalmente distribuído com média 500 gr e desvio padrão 5.1 gr. Recolheu-se uma amostra aleatória de 10 pacotes de esparguete embalados pela máquina e obtiveram-se os seguintes resultados: 507 490 497 510 501.5 499 50.5 507 510 510.5 a) Determine a função de distribuição empírica e represente-a graficamente. b) Perante a amostra obtida será possível afirmar que as normas estão a ser respeitadas? (Use α=0.01) c) Para outra máquina usada para o mesmo efeito foi recolhida uma amostra aleatória de 9 pacotes de esparguete, a qual revelou os seguintes resultados: 49 495 497 497 500 50.5 508 509 509 Será de admitir que as duas máquinas estão a funcionar de modo idêntico? (Use α=0.05) 3
1. Suponha que a seguinte amostra aleatória foi retirada de uma população com função de distribuição F desconhecida: -5.641 4.97-4.861-7.78 7.58 1.3 10.78-0.01-10.813-5.593 a) Teste a nível de significância de 0.05 a hipótese de F ser normal com alguma média e alguma variância. b) Considere a seguinte amostra recolhida de forma aleatória de outra população com distribuição F' desconhecida -9.44-6.64-0.93 3.8 6.49 10.71 Teste a hipótese de as duas populações de onde foram retiradas as amostras anteriores terem iguais distribuições. (α=0.01) 13. Para o nível de significância de 0.05 verifique se a hipótese da distribuição Normal da v.a. X é concordante com a distribuição empírica da amostra: x i 5 7 9 11 13 15 17 19 1 n i 15 6 5 30 6 1 4 0 13 14. Registaram-se as alturas de 80 árvores da mesma categoria, escolhidas aleatoriamente, obtendo-se os seguintes resultados: Altura (em mts) 0 3 6 9 30 31 33 34 N.º de árvores 3 9 1 7 16 7 a) Construa a função de distribuição empírica da amostra estandardizada. b) Ao nível de significância de α=0.01 indique se será possível afirmar que as árvores provêm de uma população normalmente distribuída. c) Seleccionaram-se aleatoriamente 70 árvores da mesma categoria noutra região do país. As alturas destas árvores estão registadas seguidamente. Pode-se admitir que a distribuição da altura das árvores desta categoria é igual nas duas regiões? (Use α=0.01) Altrura 3 4 6 8 30 31 3 33 34 36 38 Nº de árvores 1 3 6 15 0 13 4 3 1 15. Num estudo comparativo da eficiência de empresas agrícolas, considerou-se uma amostra de 69 explorações que foram classificadas segundo dois atributos: A={explorações de cabeça, explorações intermédias, explorações de cauda} B={explorações vitícolas, explorações frutícolas} 4
Os dados estão apresentados na seguinte tabela: Vitícolas Frutícolas Cabeça 6 8 Intermédia 10 9 Cauda 14 a) Será de admitir que o atributo A está relacionado com o atributo B? (Use α=0.01) b) Use as medidas que conhece para medir a intensidade da associação entre os dois atributos e relacione os valores obtidos com a resposta dada na alínea anterior. 16. O quadro apresenta uma tabela 3 3 construída a partir dos 86441 casamentos realizados em 1977 no continente português, considerando a classificação dos cônjuges, de ambos os sexos, segundo o estados civil anterior ao casamento. Homens Mulheres Solteiros Viúvos Divorciados Solteiras 77670 1573 3115 Viúvas 545 796 350 Divorciadas 1343 416 633 a) Na nível de significância de 0.05 será de admitir que havia naquele período uma intensa associação entre o estado civil dos cônjuges no que se refere aos casamentos realizados no continente português. b) Use os coeficientes de contingência, Tschuprow e Cramér para medir a intensidade de associação entre os dois atributos. 17. Com o objectivo de verificar se o tipo de revestimento florestal tem influência sobre a severidade da erosão em certa região, fizeram-se ervações em 350 pontos, com os resultados que se condensam na tabela seguinte. Revestimento Florestal Erosão Vegetação Vegetação Floresta Herbácea Arbustiva Severa 30 10 10 Moderada 50 30 0 Fraca 50 60 40 Desprezável 10 0 0 a) Parece-lhe que os dados obtidos permitem extrair alguma conclusão relativamente ao objectivo acima indicado? (Use α=0.01) b) Use as medidas que conhece para medir a intensidade de associação entre o tipo de erosão e o revestimento florestal. 5
18. Registam-se os dados do rendimento de 400 famílias do Norte e Sul de um país. Rendimento Região 0-5 5-10 10-15 >15 Norte 8 4 30 4 Sul 44 78 78 76 a) Será que o rendimento familiar depende da região do país? (Use α=0.05) b) Use os coeficientes de contingência, Tschuprow e Cramér para medir a intensidade de associação entre rendimento familiar e a região do país. 19. A tabela a seguir exibe os resultados obtidos por estudantes de Estatística e Cálculo. Estatística Cálculo 0 notas<5 5 notas<7 7 notas 10 0 notas<5 75 35 13 5 notas<7 9 10 3 7 notas 10 15 70 46 a) Teste a hipótese de que os resultados em estatística são independentes dos resultados em cálculo, ao nível de significância de.5%. b) Utilize as medidas que conhece para medir a intensidade de associação entre os dois atributos. 0. A tabela de contigência do quadro seguinte resultou de uma investigação em que se decidiu estudar como 100 peças de cada um dos tipos de material reagiam a um tratamento térmico. Material I Material II Material III Completamente destruídas 5 45 40 Pequenos defeitos 40 35 35 Resistência perfeita 35 0 5 Será de admitir homogeneidade dos 3 materiais? (Use α=0.1) 1. Na tabela a seguir estão indicados os números de estudantes aprovados e reprovados por 3 professores. Testar ao nível de significância de 5% a hipótese de as proporções de estudantes reprovados pelos três professores serem iguais. Professor A Professor B Professor C Aprovados 50 55 60 Reprovados 10 10 15 6
. Com o objectivo de investigar sobre a educação das pessoas ao nível de Reciclagem, fezse aleatoriamente um inquérito anónimo em quatro cidades A, B, C e D. O número de pessoas que responderam Sim ou Não à pergunta Separa o Lixo? está indicado na tabela a baixo. Cidade A Cidade B Cidade C Cidade D Sim 40 30 0 10 Não 50 60 60 70 Teste ao nível de significância de 0.01, se os atributos Sim e Não estão homogeneamente distribuídos pelas cidades. 3. Uma empresa tem dois vendedores e registou, para cada um, o total de visitas a clientes e o número de visitas bem sucedidas. Classificação Vendedor I Vendedor II Totais Visitas bem sucedidas Visitas mal sucedidas 0 300 80 600 100 900 Totais 30 680 1000 Averigúe ao nível de significância de 0.01 se os dois vendedores são igualmente hábeis. 4. Os resultados de vacinação contra a cólera num conjunto de 79 indivíduos escolhidos aleatoriamente entre vacinados, e num conjunto de 539 indivíduos escolhidos aleatoriamente entre os não vacinados: Vacinados Não Vacinados Atacados 3 66 Não Atacados 76 473 Usando um teste adequado, verifique se a população dos vacinados difere da dos não vacinados no que se refere ao facto de terem ou não sido atacados. 5. Sobre uma população U sabe-se que a distribuição por grupos sanguíneos é a seguinte: A 41% B 9% AB 4% O 46% Numa amostra aleatória de 00 indivíduos sofrendo de cancro de estômago encontraram-se os seguintes dados: 7
A 80 indivíduos B 0 indivíduos AB 9 indivíduos O 91 indivíduos É de admitir que a distribuição por grupos sanguíneos é diferente na subpopulação sofrendo de cancro do estômago?(α=0.01) 6. Considere a seguinte amostra aleatória de 8 ervações: X 35.1 35.5 35.9 35.9 36.0 36.1 36.1 36.3 a) Construa a função de distribuição empírica. b) Será razoável supor que a população de onde foi retirada esta amostra é normalmente distribuída com média 35.9 e variância 1, em relação à variável ervada? Para responder a esta pergunta utilize o teste que lhe pareça mais adequado e justifique a sua escolha. (α=0.05) 7. Para uma amostra aleatória de estudantes de Gestão de uma determinada escola registouse o ano curricular do aluno e a sua opinião relativamente a uma mudança na estrutura curricular do curso: Opinião Ano curricular Favor Contra 1º ano 10 80 º ano 70 130 3º ano 60 70 4º ano 40 60 Será de admitir que a opinião emitida está associada ao ano curricular? Justifique convenientemente a sua resposta. 8. Para avaliar o mérito de três métodos de ensino diferentes, cada um de 14 estudantes foi aleatoriamente matriculado em uma de três turmas. Em cada turma utilizou-se um método de ensino diferente. Após algumas aulas, pediu-se a cada estudante que resolvesse o mesmo problema. Os tempos respectivos (em minutos) constam do quadro seguinte. Será possível afirmar que os métodos de ensino produzem resultados diferentes no que diz respeito à rapidez de um aluno para resolver um problema? (Use α=0.05) 8
Método 1 Método Método 3 15 1 11 1 16 19 18 13 17 0 9 10 4 9. Está planeado um seminário na área de gestão de empresas para profissionais da industria, das finanças e do comércio. O orador está interessado em saber se o nível de conhecimentos acerca de alguns princípios de gestão é igual nos três grupos de profissionais. Para isso são escolhidos aleatoriamente alguns participantes de cada um dos grupos, aos quais é pedido para responderem por escrito a um conjunto de questões. Se não existirem diferenças entre os três grupos de profissionais nos resultados obtidos no conjunto de questões, o orador fará apenas uma sessão, caso contrário serão feitas sessões separadas para cada um dos grupos de profissionais. Os resultados obtidos estão registados na tabela seguinte. Pontuação total no conjunto de questões Profissionais da indústria Profissionais das finanças Profissionais do comércio 51 14 89 3 31 0 17 68 60 69 87 7 86 0 56 6 8 96 77 97 Qual deverá ser a actuação do orador? (Use α=0.05) 30. Pretende-se saber se existem diferenças efectivas na rapidez de resposta de três agências concorrentes no mercado de uma dada região. O quadro seguinte apresenta os dados relativos a três amostras aleatórias e independentes. O que pode concluir ao nível de significância de1%? Tempos de resposta (em horas) Agência A Agência B Agência C 133 151 5 15 149 4 143 16 0 18 145 1 135 153 9
31. Retome-se o Exercício 6 da ficha de ANOVA, o qual refere que para um fabricante de tecidos a tensão de rotura de uma fibra sintética é muito importante. Um dado fabricante suspeita que a tensão de rotura está relacionada com a percentagem de algodão na fibra e encomendou um estudo estatístico. Para esse estudo foram considerados quatro níveis de percentagem de algodão: 15%, 0%, 5% e 30%. Para cada um destes níveis foram registados as tensões de rotura de cinco pedaços de fibra escolhidos aleatoriamente. Utilize o teste de Kruskal-Wallis para testar a suspeita do fabricante. (α=0.01) % de algodão Observações 15% 7 7 15 11 9 0% 1 17 1 18 18 5% 14 18 18 19 19 30% 19 5 19 3 3. A cada uma de 18 pessoas com excesso de peso atribuiu-se aleatoriamente um de três planos de dieta. As perdas de peso (em Kg) foram as seguintes Dietas Perdas de peso 1.7 3. 4.1 4.5 3.7 3.8 3.6 3..7 3.6 4.1.6 3 4.5 3.6 3. 4.1 3. 3.9 As dietas podem considerar-se equivalentes? (Use α=0.05) 10
Soluções da ficha de trabalho nº 4 1. Teste de ajustamento do Qui-quadrado: Q =1.63>9.49, logo rejeita-se H 0.. Teste de ajustamento do Qui-quadrado: Q =1.479<1.6, logo não se rejeita H 0. 3. i) (resultado para 3 classes) Q =0.699<4.61, logo não se rejeita H 0. ii) d 0 =0.1981<0.65, logo não se rejeita H 0. 4. a) (resultado para 4 classes) Q =1.833<.71, logo não se rejeita H 0. b) d =0.0864<0.1488, logo não se rejeita H 0. * 48 5. Teste de ajustamento do Qui-quadrado: Q =16.333<18.5, logo não se rejeita H 0. 6. Teste de ajustamento do Qui-quadrado: Q =1>11.1, logo rejeita-se H 0. 7. Teste de ajustamento do Qui-quadrado: Q =5.3>3.84, logo rejeita-se H 0. 8. Teste de ajustamento do Qui-quadrado: Q =8.769>3.841, logo rejeita-se H 0. 9. Teste de ajustamento do Qui-quadrado: Q =13.117>11.1, logo rejeita-se H 0. 10. Teste de ajustamento do Qui-quadrado: Q =7.5<9.49, logo não se rejeita H 0. 11. b) Teste de Kolmogorov-Smirnov para uma amostra: d 10 =0.4147<0.489, logo não se rejeita H 0. c) Teste de Kolmogorov-Smirnov para duas amostras: d'=0.3<0.58, logo não se rejeita H 0. * 1. a) Teste de Lilliefors: d 10 =0.4<0.58, logo não se rejeita H 0. b) Teste de Kolmogorov-Smirnov para duas amostras: d'=0.<0.733, logo não se rejeita H 0. 13. Teste de Lilliefors: * d 00 =0.1168>0.066, logo rejeita-se H 0. * 14. b) Teste de Lilliefors: d 80 =0.3005>0.1153, logo rejeita-se H 0. c) Teste de Kolmogorov-Smirnov para duas amostras: d'=0.4911>0.6677, logo rejeita-se H 0. 15. a) Teste do Qui-quadrado da independência: b) C=0.117; T=0.099; V=0.118 16. a) Teste do Qui-quadrado da independência: b) C=0.4; T=0.309; V=0.309 17. a) Teste do Qui-quadrado da independência: b) C=0.61; T=0.17; V=0.191 =0.9585<9.1, logo não se rejeita H 0. =16509.8>9.49, logo rejeita-se H 0. =5.504>16.8, logo rejeita-se H 0. 11
18. a) Teste do Qui-quadrado da independência: b) C=0.1197; T=0.09; V=0.11 19. a) Teste do Qui-quadrado da independência: b) C=0.45; T=0.358; V=0.358 0. Teste do Qui-quadrado de homogeneidade: 1. Teste do Qui-quadrado de homogeneidade:. Teste do Qui-quadrado de homogeneidade: 3. Teste do Qui-quadrado de homogeneidade: 4. Teste do Qui-quadrado de homogeneidade: =5.81<9.35, logo não se rejeita H 0. =111.64>11.1, logo rejeita-se H 0. =18.5>7.78, logo rejeita-se H 0. =0.555<5.99, logo não se rejeita H 0. =.80>11.3, logo rejeita-se H 0. =7.35>6.63, logo rejeita-se H 0. =9.8>7.78, logo rejeita-se H 0. 5. Teste de ajustamento do Qui-quadrado: Q =0.4<11.3, logo não se rejeita H 0. 6. Teste de Kolmogorov-Smirnov para uma amostra: d 8 =0.3446<0.454, logo não se rejeita H 0. 7. Teste do Qui-quadrado da independência: =6.97>7.81, logo rejeita-se H 0. 8. Teste de Kruskal-Wallis: H =1.96<5.649, logo não se rejeita H 0. 9. Teste de Kruskal-Wallis: H =0.3<5.99, logo não se rejeita H 0. 30. Teste de Kruskal-Wallis: H =11.57>7.79, logo rejeita-se H 0. 31. Teste de Kruskal-Wallis: H' =34.99>11.3, logo rejeita-se H 0. 3. Teste de Kruskal-Wallis: H' =.07<7.38, logo não se rejeita H 0. 1