CPÍTULO 6 MOMENTO TORSOR 1) INTRODUÇÃO a) O objetivo é a análise de barras sujeitas à torção ura, isto é, cujas seções estão sujeitas somente a mome0nto torsor (torque) Portanto, se retende analisar somente o efeito do momento torsor s barras analisadas terão eixo reto e seção constante circular (cheia ou vazada) de raio R (externo) Se o carregamento for constituído de momento torsor (um conjugado que tendem a torcer a barra), será constante ao longo do comrimento da barra (eixo) Barra Submetida à Torção b) Para equenas deformações, as seções ermanecem lanas e erendiculares ao eixo, com forma e dimensões conservadas s seções aenas sofrem rotações em torno do eixo da barra Então, as deformações são deslocamentos angulares (ângulos de torção) de uma seção em relação à outra 1
c) Conforme estudado na Introdução, as tensões são tensões tangenciais (de cisalhamento) O momento torsor T em uma seção qualquer é o momento resultante de uma infinidade de binários elementares em ontos diametralmente oostos Conclui-se que a tensão tangencial (resultante) em um onto P, genérico da seção, é erendicular ao raio OP da Figura abaixo Considerando δ como o raio do círculo e se OP δ (0 δ R ara seção circular) e df d ( r δ R ara seção circular) então, dt δ df δ d e, ortanto, dt T d δ, onde d df distribuição de tensões na seção (se é constante ou como varia), será analisada a seguir, relacionando tensões e deformações corresondentes Portanto, o momento torçor ode simlesmente ser dado ela fórmula: T Fd ) CÁLCULO DE TENSÕES E DEFORMÇÕES Seja a distorção angular γ do retângulo abcd, contido em uma suerfície cilíndrica de raio δ e altura (comrimento) dx
Se dθ é o deslocamento angular (ângulo de torção) elementar da seção S d em relação à seção S e, então: bb dd δ dθ e bb dd γ dx então γ dx δ dθ e γ δdθ/dx sendo dθ/dx a deformação angular esecífica constante na seção Então, γ varia linearmente com δ (roorção direta) Como γ /G, então γg δg dθ/dx ou G k γ, onde Gdθ/dx k Se também varia linearmente com δ (roorção direta) e, ara calcularmos a constante k, lembramos: k δ δ d T δ d k δ d, onde d δ é o momento olar de inércia da seção (dimensional: L, unidade rática: cm ) ou Então: T T T k 0 k δ e se δ R, então T R T W 0 dimensional: L, unidade rática: cm ) 0 0, onde W 0 é o módulo de resistência à torção (W 0 /R, Portanto, se a barra está submetida a uma torção constante ao longo do seu comrimento, este esforço irá rovocar nas seções transversais da barra tensões de cisalhamento dadas ela exressão a seguir:
T R onde: : Momento torçor que solicita a seção transversal da eça; R: Distância do CG da seção até o onto onde estamos calculando a tensão; : Momento olar de inércia figura a seguir mostra a distribuição de tensões cisalhantes ao longo da seção transversal Distribuição da Tensão de Cisalhamento em uma Seção Circular O momento olar de inércia ( ) é dado ara seções circulares cheias e vazadas elas exressões: + x y Seção circular cheia: πd Seção circular vazada: π D ext D int Para seção anular ou circular, considere dπδdδ (coroa circular de raios δ e δ + dδ) Então, R r δ π δ dδ (r0 ara seção circular)
π π D Obtém-se ( R r ) ( 1 n ) seção circular) 16 T π D 1 1 n, onde Então ara seção circular r d n (no ara R D se n 0, então, ara seção circular: 16 T e π D é Em um onto (elemento de área) situado a uma distância δ do eixo, a tensão δ R distribuição de tensões (linear) ao longo de um raio da seção transversal (diagrama em baixo) é a mesma na seção longitudinal que contém os raios seções (figura seguinte) 5
) CÁLCULO DO ÂNGULO DE TORÇÃO torção Na figura abaixo, odemos ver a deformação de cisalhamento e o ângulo de Segmento da Barra de Comrimento dx Vista Suerior Para ângulos equenos, temos: Então, odemos escrever: Temos: tan (γ)γ c c γ ac D c c θ torção é: exressão que relaciona a deformação de cisalhamento com o ângulo de 6
θd γ L Lembrando que : Gγ e que Tρ Obtemos: θ TL G dθ γ T T T T L dx, onde, γ e δ dθ dx Então : θ dθ dx θ δ G G G G L L 0 0 Como T R, então T L θ e θ θ R R G Na exressão anterior, G é o módulo de elasticidade transversal do material e é dado or: onde: E G ( 1+ ν ) E : Módulo de elasticidade longitudinal do material, ver caítulo 1 ν : Coeficiente de Poisson, ver caítulo 1 Para o aço é igual a 0 Torção roduzirá em um elemento q ualquer da barra um estado de tensão conhecido como cisalhamento uro, ou seja, há somente, tensões cisalhantes nas seções transversais, conforme está mostrado na figura a seguir Contudo, deve-se salientar que ara uma direção de 5 graus com o eixo da barra haverá tensões de tração ou comressão, conforme o sentido da torção, ver figura seguinte 7
Estado de Cisalhamento Puro Tensões Normais em Planos a 5 graus do eixo da eça OBS: Momento torçor (torque) alicado ao eixo de uma máquina Sejam P a otência a ser transmitida, em kgfcm/s e w a velocidade (angular) de rotação do eixo, em rd/s Então: P Tw, onde T é o torque alicado ao eixo, e ortanto, T P/w Mas, se a otência for exressa em cavalor-vaor (N cv) e a velocidade angular em rotações or minuto (n rm), e como 1 cv 7500 kgfcm/s e 1 rm 7500 N( kgf cm / s) N π/60 rd/s, obtém-se T T 7160 ( kgf cm) π n n( rd / s) 60 isto é, entrando com a otência N (cv) e a velocidade angular n (rm), obtém-se o torque T (kgfcm) Exemlo 1) Dimensionar o eixo de uma máquina (comrimento de 9 m, velocidade angular 10 rm e otência transmitida de 00 cv calcular o corresondente deslocamento angular total, adotando: a) seção circular cheia; b) seção anular com d/d 1/ Dados em kgf/cm : 10 e G 0,85 x 10 6 8
00 Torque: T 7160 11966, 67 kgfcm 10 16 T 1611966,67 a) 10 onde D 1,5 cm π D π D 16 T 1 1611966,67 1 b) 10 onde D 1,56 cm π D 1 n π D 1 (1/ ) Exemlo ) Calcular o momento torçor máximo admissível e o corresondente ângulo de torção em um eixo de comrimento m (00 cm) sendo: a) seção circular D 5 cm; b) seção anular D 5 cm e d 15 cm Dados em kgf/cm : 800 e G 0,85 x 10 6 16 T 16 T a) 800 onde T adm,56 x 10 5 kgfcm π D π5 L 80000 1,50,8510 θ onde θ 0,015 rd 6 R G 16 T' 1 16 T ' 1 b) π D 1 n π5 1 0,6 800 onde T adm 1,6 x 10 5 kgfcm e θ 0,015 rd obs: T /T 0,87 onde T é 1 % menor do que T / 0,6, onde é 6 % menor do que 9
Exercício ) Calcular a tensão máxima em cada trecho do eixo reresentado abaixo e o ângulo de torção C x Dados: T 1 600 kgfm, T 800 kgfm e Barra B) lumínio, D a 10 cm; G a 0,810 6 kgf/cm Barra BC) Latão, D l 6 cm; G l 0,510 6 kgf/cm Barra B) Barra BC) 16( T 1 71kgf / cm (ositiva) π10 + T 16 T π 10 ) 1 115kgf / cm (ositiva) 10
L 71100 Rotação Barra B: θ B 0, 0509rd 6 R G 50,810 Rotação Barra BC : θ 11560 BC 0, 0809rd 6 0,510 θ C θ B + θ BC 0,118 rd Exercício ) O eixo B da figura abaixo tem seção circular com diâmetro de 5 cm, é movimentado ela olia em C a uma rotação de 00 rm e movimenta duas máquinas em (0 cv) e B (5 cv) Calcular a tensão máxima em cada trecho e o ângulo de torção B x Dado G 0,810 6 kgf/cm N 0 T 7160 Então: T 7160 1kgf cm e n 00 5 T B 7160 895,5kgf cm 00 11
Para a barra C: Para a barra CB: 16 T π D 58,6kgf / 16 T B π D kgf 6,8 / L 58,6150 Ãngulo de torção: θ C 0, 08rd 6 (ositivo) R G,50,810 Ãngulo de torção: θ 6,8150 CB 0, 07rd 6,50,810 (negativo) θ B θ C + θ CB 0,08 0,07 0,0165 rd cm cm Exercício 5) No exemlo anterior, qual deveria ser a razão entre os diâmetros D 1 (do trecho C) e D (do trecho CB) de modo que a tensão máxima fosse a mesma nos dois trechos? 16 T 16 TB D1 T ot 0 D1 1,6 1,6 1 π D π D D TB ot B 5 D C CB 1,17 Exercício 6) O eixo B da figura abaixo tem seção circular, é engastado em e B e está sujeita a um torque T 1 em C Pede-se: a) calcular os momentos torçores reativos em e B; b) traçar o diagrama de momentos torçores; c) reresentar a variação do ângulo de torção de uma seção genérica, em função da abcissa x e calcular o ângulo de torção da seção C 1
θ B θ C + θ CB 0 rd T a TB b T + 0 G G T B b a e daí, obtém-se: T -T 1 b/l e T B T 1 a/l Barra C) 0 x a então θ S T x T a G θ c G P Barra CB) 0 x L então θ S T a TB( x a) + G G P 1