Filtragem Processamento digital de imagens CPGCG/UFPR Prof. Dr. Jorge Centeno
Operações de vizinhança (Filtros) Filtros lineares Filtro passa-baixas (suavização) Filtro passa-altas (realce) Filtros direcionais Filtros não lineares Operações aritméticas entre bandas Índices espectrais
A transformacao de contraste muda o valor do pixel em função de seu valor original Y=2x-4 5 1 7-2 6 10 Porem, uma transformação dependente da vizinhança também pode ser aplicada. Neste caso, o valor de saída depende do valor do pixel e o valor de seus vizinhos 5 1 7 Media dos vizinhos 6
Filtro Considere uma serie de leituras de valores inteiro: 11 12 11 40 19 30 40 60 65 64 20 67 70
Filtros: exemplo Calcule a media os três vizinhos para cada elemento 11 12 11 40 19 30 40 60 65 64 20 67 70 + + + 11 11 21 23 30 30 43 55 63 50 50 52 70
filtros A operação realizada para calcular a media pode ser escrita como M= [ p 1 *x i-1 + p 2 *x i + p 3 *x i+1 ]/3 Ou M= 1/3 *[ x i-1,x i,x i+1 ]* [ p 1,p 2, p 3 ] M=1/3 * Valor_vizinhos * pesos Ou seja, um polinômio, ou uma operação LINEAR, onde os pesos são dados por: p1 p2 p3
Filtros lineares Os filtros lineares resultam da convolução de uma janela móvel e a imagem. A Convolução em uma dimensão: Para uma dimensão a convolução de duas funções p(x) e I(x) é dada por: G(x)= ( p(x)* I(x+i) ) Aqui i representa a vizinhança do valor x, por exemplo: i= -1, 0, +1 pode ser usado para descrever o pixel e seus dois vizinhos na linha. p(x) representa o filtro G(y,x) é a imagem resultante, filtrada
exemplo Considerando uma função I(x) com os seguintes valores: I(x)= 5 2 5 5 5 9 5 5 4 4 5 5 e o filtro de tamanho 1x3 com os valores p(i)=(1,1,1) Tem-se: imagem filtro 5 4 5 5 5 9 5 5 4 4 5 5 1 1 1 Como o filtro é 3x1, as posições relativas são -1, 0,1, ou seja i=-1, 0,1
5 4 5 5 5 9 5 5 4 4 5 5 1 1 1 exemplo P=1 p=2 5 2 5 5 5 9 5 5 4 4 5 5 5 2 5 5 5 9 5 5 4 4 5 5.................. 4............... p=3 5 2 5 5 5 9 5 5 4 4 5 5. 4 4.............. p=4 5 2 5 5 5 9 5 5 4 4 5 5 5 2 5 5 5 9 5 5 4 4 5 5 5 2 5 5 5 9 5 5 4 4 5 5. 4 4 5............. 4 4 5 6............ 4 4 5 6 6......... p=12. 4 4 5 6 6 6 5 4 4 5.
exemplo 9 8 7 6 5 4 3 2 1 ENTRADA 5 2 5 5 5 9 5 5 4 4 5 5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 1 1 9 8 7 6 5 4 3 2 1. 4 4 5 6 6 6 5 4 4 5.
Filtros lineares Em processamento de imagens, os filtros lineares resultam da convolução de uma janela móvel e a imagem no espaço 2-D. O resultado de um filtro linear pode ser escrito na seguinte forma: G(y,x)= ( p(i,j)* I(y+i,x+j) ) onde y,x representam as coordenadas do pixel e i,j a posição relativa dos vizinhos p(i,j) representa o filtro G(y,x) é a imagem resultante, filtrada
Exemplo de filtro Imagem (8x8) 1 1 1 1 2 1 1 0 1 1 2 1 3 1 1 1 1 1 3 9 2 1 1 0 1 1 3 1 2 1 1 1 9 7 8 9 8 9 9 8 9 9 8 8 9 9 9 8 9 9 9 8 9 8 9 9 9 8 9 8 8 9 9 9 Filtro (3x3) 1 2 1 2 2 2 1 2 1 dividido por 14, a soma dos elementos: 1/14 2/14 1/14 2/14 2/14 1/14 1/14 2/14 1/14 Para o pixel: Linha=3, coluna=4, o valor filtrado é calculado: G(3,4)= 2*1/14+ 1*2/14+3*1/14+ 3*2/14+ 9*2/14+2*2/14+ 3*1/14+ 1*2/14+2*1/14= (2+2+3+6+18+4+2+2+2)/14= 41/14=3
Um resultado pode ser calculado para cada posição da janela móvel dentro da imagem. O resultado é sempre atribuído ao pixel central. Este novo valor é calculado somando o produto do pixel na janela 3x3 e o respectivo peso, definido no filtro. Os filtros lineares são definidos em termos de seu efeito na imagem como passa baixas e passa altas.
Filtro passa-baixas (suavização) Atenua as altas frequências, aquelas associadas a detalhes na imagem, e deixa apenas as baixas frequências. O efeito deste filtro é a remoção de detalhes da imagem e sua suavização. A imagem filtrada apresenta uma aparência de névoa ou um efeito de ``imagem fora de foco'', e as áreas presentes na imagem tornam-se mais homogêneas. O efeito é atingido substituindo o pixel central pela média da janela. A média pode ser uma média simples ou uma média ponderada, onde diferentes pesos são atribuídos aos vizinhos em função de sua proximidade ao pixel central.
Original passa-baixas (suavização)
Exemplos de filtros passa-baixas 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 4 2 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 Filtros de média. Para o cálculo do valor final, o resultado da multiplicação dos pesos e os valores da imagem deve ser dividido pela soma dos pesos.
Filtro passa-altas (realce) Enfatiza os contrastes, realçando os detalhes da imagem. O nome do filtro explica seu funcionamento, pois nesta transformação as baixas frequências são eliminadas, sendo as altas frequências as únicas remanescentes. Este efeito pode ser atingido adicionando à imagem original a diferença entre a imagem original e o resultado de um filtro-passa baixas. O resultado da operação é nulo em regiões homogêneas. Em regiões com detalhes, o valor resultante é alto, em função do contraste entre o pixel central e a vizinhança.
Original passa-altas
Exemplos de passa-altas -1-1 -1-1 9-1 -1-1 -1 0-1 0-1 5-1 0-1 0 Imagem (8x8) 1 1 1 1 2 1 1 0 1 1 2 2 2 1 1 1 1 1 2 9 2 1 1 0 1 1 2 1 2 1 1 1 9 7 8 9 8 9 9 8 9 9 8 8 9 9 9 8 9 9 9 8 9 8 9 9 9 8 9 8 8 9 9 9 Calcule o valor para a região em marcada usando o primeiro filtro: a) 66 b) 3 c) 18
Uma função pode ser aproximada combinando funções harmônicas (sen, cos) com diferentes frequências. Na figura, o que ocorre se retiramos a segunda e terceira harmônica?
FILTRO Retido passou Passaram as altas ou baixas freqüências?
Filtros direcionais A convolução de uma janela e a imagem também é útil para salientar determinadas linhas ou bordas. Por exemplo, as técnicas de filtragem permitem salientar as bordas ou linhas que ocorrem numa determinada direção, fazendo a diferença dos valores na janela considerando sua posição em relação ao pixel central da janela. A seguir são mostrados alguns exemplos destes filtros.
1 1 1 1-2 1-1 -1-1 Norte Os contrates na direção norte são salientados. Algumas linhas diagonais também são salientadas, pois possuem uma componente norte forte.
1 1 1 1-2 1-1 -1-1 Norte 1 1 1-1 -2 1-1 -1 1 Nordeste -1-1 -1 1-2 1 1 1 1 Sul 1 1 1 1-2 -1 1-1 -1 Noroeste -1 1 1-1 -2 1-1 1 1 Leste -1-1 1-1 -2 1 1 1 1 Sudeste 1 1-1 1-2 -1 1 1-1 Oeste 1-1 -1 1-2 -1 1 1 1 Sudoeste
-1 1 1-1 -2 1-1 1 1 leste
Exemplos de passa-altas Aplique um filtro à imagem: a) norte b) sul c) leste d) oeste Qual filtro salienta a fronteira? Imagem (8x8) 1 1 1 1 2 1 1 0 1 1 2 2 2 1 1 1 1 1 2 6 2 1 1 0 1 1 2 1 2 1 1 1 9 7 8 9 8 9 9 8 9 9 8 8 9 9 9 8 9 9 9 8 9 8 9 9 9 8 9 8 8 9 9 9
Filtros não lineares Resultam da análise da vizinhança em torno do pixel, mas neste caso seu funcionamento não pode ser representado usando a forma geral da convolução. O filtro de moda (valor mais freqüente) : Usado para suavizar imagens, especialmente temáticas, pois o novo valor atribuído ao pixel central corresponde ao valor mais freqüente da vizinhança e por este motivo é igual a pelo menos um dos pixels vizinhos.
Filtro da mediana Introduz um certo grau de suavização na imagem resultante, do que decorre perda de detalhe. A diferença em relação ao filtro passa baixas é que as bordas não são degradadas em extremo, pois os valores originais são preservados.
Filtros de Gradiente O gradiente de uma superfície descreve sua inclinação em relação ao sistema adotado. O gradiente é tradicionalmente representado perpendicular à superfície. Gradiente
Como estimar o gradiente??
Ah! Analisando a variação local?? x
Em duas direções!? y x
E calcular a resltante! yes!
Filtros de Gradiente O gradiente pode ser calculado a partir de suas duas componentes (Norte e Leste), ou seja, a derivada parcial da função da superfície em relacao a cada uma das componentes. G(x,y)={ F(x,y)/ (x), F(x,y)/ (y) } Gradiente em N Gradiente em E
No processamento de imagens, pode-se assumir que a variação dos valores digitais se assemelha a uma superfície, similar a um Modelo Digital do Terreno (MDT). Logo, torna-se possível calcular o gradiente para qualquer pixel, analisando a variação dos valores em sua vizinhança. Para isto: Estima-se o gradiente em X Estima-se o gradiente em Y (Y perpendicular a X) Calcula-se a resultante da soma destes dois vetores. O pixel recebe um valor proporcional à magnitude do gradiente.
A diferença entre os filtros de gradiente radica na maneira de estimar as duas derivadas parciais. Ex: filtros de Roberts: 1 0 0-1 F(x,y)/ (x) 0 1-1 0 F(x,y)/ (y) Magnitude: G= ( F(x,y)/ (x) 2 + F(x,y)/ (y) 2 ) 1/2 F(x,y)/ (x)= F(x-1, y-1)-f(x,y) F(x,y)/ (y)= F(x-1, y+1)-f(x,y)
Ex: filtros de Prewitt -1 0 1-1 0 1-1 0 1-1 -1-1 0 0 0 1 1 1 F(x,y)/ (x) F(x,y)/ (y) Magnitude: G= ( F(x,y)/ (x) 2 + F(x,y)/ (y) 2 ) 1/2
Ex: filtros de Sobel -1 0 1-2 0 2-1 0 1-1 -2-1 0 0 0 1 2 1 F(x,y)/ (x) F(x,y)/ (y) Magnitude: G= ( F(x,y)/ (x) 2 + F(x,y)/ (y) 2 ) 1/2
Ex: filtro de SOBEL Áreas uniformes: baixo gradiente áreas de fronteira são salientadas, bem como feições lineares.